【文档说明】【精准解析】山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题数学试题.doc，共(25)页，2.097 MB，由小赞的店铺上传

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2020年高考热身训练数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,

0,2,4M=−，集合2log2Nxx=，则MN=（）A.1,0,2,4−B.0,2,4C.1,0,2−D.2【答案】D【解析】【分析】解对数不等式得集合N，再由交集定义求解．【详解】由题意2log2{|04}Nxxxx==，∴{2}MN=．

故选：D．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题．2.若双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线过点()1,2，则其离心率为（）A.3B.5C.52D.3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线渐近线byxa=过()1,2得到a、b的

数量关系，结合双曲线各参数的关系及离心率cea=求值【详解】由双曲线公式，其渐近线为byxa=∴由0a，0b知：过点()1,2的渐近线为byxa=，即2ba=225cabeaa+===故选：B【点睛】本题考查了双曲线，结合双曲线的几何

性质及各参数的关系求离心率3.已知函数()xfxa=（01a），记()3log5mf=，1213nf=，21log2pf=.则m，n，p的大小关系为（）A.mnpB.nmpC.pnmD.pmn【答案】C【解析】【分

析】先得出3log5>1，12113，21log12=−，再由函数()fx的单调性可得选项.【详解】因为3log5>1，10211133=，1221loglog212−==−，所以123211lo

g5>>log32，又()xfxa=，01a，所以()xfxa=单调递减，所以pnm，故选：C.【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，以及由函数的单调性比较大小，属于中档题.4.设i为虚数单位，aR，“复

数22020i21iaz=−−是纯虚数“是“1a=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简z，求出a，再判断即可.【详解】复数()()22020222i1

1i11i21i21i21i1i222aaaaz+=−=−=−=−−−−−+是纯虚数，则21a=，1a=，1a=是1a=的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查

充分、必要条件的判断，属于基础题.5.公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）.设石凳的体积为1V，正方体的体积为2V，则12VV的值为（）A.13B.23

C.56D.78【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积，则答案可求．【详解】设正方体的棱长为2a，则正方体的体积322228

Vaaaa==．由题意可得，石凳的体积为V1＝8a3-11832aaa＝3203a．3132205386aVVa==．故选：C．【点睛】本题考查正方体与棱锥体积的求法，属于基础题．6.函数()()sinlnxxfxxee−=+的图像大

致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数为奇函数排除D,再根据函数在0,,,2上的符号排除A,B，进而得答案.【详解】解：函数的定义域为R，()()()()()sinlnsinlnxxxxfxxeexeefx−−

−=−+=−+=−，所以函数为奇函数，故排除D，因为()lnln20xxee−+，sin0x在()0,上成立，sin0x在(),2上成立，故函数()fx在()0,上有()0fx，在(),2上有()0fx，所以

排除A,B，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象问题，考查用解析式研究函数的性质，是中档题.7.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）23456销售额y（万元）1925343844根据上表可

得回归直线方程为6.3yxa=+，下列说法正确的是（）A.回归直线6.3yxa=+必经过样本点()2,19、()6,44B.这组数据的样本中心点(),xy未必在回归直线6.3yxa=+上C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1

万元，销售额实际增加6.3万元D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【答案】D【解析】【分析】计算出样本中心点(),xy的坐标，代入回归直线方程，求出a的值，进而可判断各选项的正误.【详解】由表格中的数据可得2345645

x++++==，1925343844325y++++==，将点(),xy的坐标代入回归直线方程得6.3432a+=，解得6.8a=，所以回归直线方程为6.36.8yx=+.对于A选项，当2x=时，6.326.819.4

y=+=，A选项错误；对于B选项，这组数据的样本中心点(),xy必在回归直线6.3yxa=+上，B选项错误；对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，C选项错误；对于D选项，当7x=

时，6.376.850.9y=+=，所以，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元，D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查回归直线方程的应用，要注意回归直线过样本的中心点这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.8.已知等差数列na，公差不为0，若函数(

)fx对任意自变量x都有()(4)fxfx=−恒成立，函数()fx在[2,)+上单调，若8493()()fafa=，则na的前500项的和为（）A.1010B.1000C.2000D.2020【答案】B【解析】

【分析】由已知()(4)fxfx=−得函数关于2x=对称，因为8493()()fafa=，则84934aa+=，再由等差数列性质求得前500项的和.【详解】()(4)fxfx=−对任意自变量x都成立，函数对称轴为2x=因为8493()()f

afa=，84934aa+=，150050015008493500()250()250()250410002aaSaaaa+==+=+==故选：B【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题.函数()fx对任意自变量x都有()(2)fxfax=-，则

函数对称轴为xa=，na为等差数列，若++mnpq＝，则++mnpqaaaa＝()*mnpqN，，，．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3

分，有选错的得0分.9.如图是2018年10月—2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是（）A.2019年6月同比增速最大B.2019年3月—5月同比增速平稳C.2019年10月钢材总产量约10264万吨D

.2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低【答案】ABC【解析】【分析】从条形统计图和折线图观察产量、增速等的变化规律，判断各选项．【详解】从折线图知2019年6月同比增速最大，A正确；2019年3月—5月同比增速平稳，B正确；从条形图知2019年10月钢材总产量为33

1.1×31＝10264.1万吨，C正确；2019年8月钢材总产量为343.23110639.2=万吨2019年9月钢材总产量为347.93010437=万吨，所以2019年8月钢材总产量超过2019年9月钢材总产量，D错．故选：ABC．【点睛】本题考查统计图表，考查条形图与折线图，考查学

生的数据处理能力，属于基础题．10.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为()2,Pmm−（0m），则下列各式一定为负值的是（）A.sincosB.tanC.cossin−D.cos2【答案】AB【解析】【分析】由

终边上一点的坐标，根据m与0的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误【详解】由题意知：(1)若m>0时，有121sin,cos,tan255=−

==−∴233sincos,cossin,cos2555=−−==(2)若m<0时，有121sin,cos,tan255==−=−∴233sincos,cossin,cos2555=−−=−=综上，知：一定

为负值的有tan、sincos故答案为：AB【点睛】本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号11.一圆柱形封闭

容器内有一个棱长为2的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则容器体积可以为（）A.2B.362C.364D.1669【答案】BD【解析】【分析】先求出正四面体的外接球的半径，由该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面

体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，计算圆柱形封闭容器的最小体积，可得出选项.【详解】由已知得：要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，作出正四面体SABC−与其外接球O的位置关系如下

图所示，SD是球的直径，与面ABC交于点E，连接,CECD，则由正弦定理得22sin60CE=，解得233CE=，又SECE⊥，所以由勾股定理得22222326233SESCCE=−=−=，所以2SASESD=，即22632SD=，所以6S

D=，所以外接球O的半径为62，所以圆柱形封闭容器的体积2636622V=，又因为2362，363642，16636>92，所以容器体积可以为362，1669.故选：BD【点睛】本题考查正四面体的外接球的体积计算，圆柱的体积计算，属于中档题.12

.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：24yx=的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交直线OA，OB，l于点P，Q，N.则（）A.PMNQ=B.若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的

斜率为22C.若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQOQD.若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有NQOQ【答案】AB【解析】【分析】设直线方程为(1)ykx=−，1122(,),(,)AxyBxy，直线方程代入抛物线方程

应用韦达定理得1212,xxxx+，从而可表示出M点坐标，然后求出,,PQN点坐标，判断各选项．【详解】抛物线的焦点为(1,0)F，设直线AB方程为(1)ykx=−，0k，1122(,),(,)AxyBxy，由2(1)4ykxyx=−=得2222(24)0kxkxk−++=，212

224kxxk++=，121=xx，∴122212Mxxxk+==+，2(1)MMykxk=−=，直线MN方程为2yk=，∵,,OPA共线，∴11PPxyxy=，21111111222PPxyxyyxykykyk====，同理22Qyxk=，12222MPQyy

yxxkkk++===，222211MNPQxxxxkk+=+−==+，∴MPQNxxxx−=−，即MPNQ=，A正确；若P，Q不是线段MN的三等分点，则13PQMN=，122212121(1)2233yykkk−=+−−=+，2124(1

)3kyyk+−=，又1242Myyyk+==，2212121212(1)(1)(1)4yykxxkxxxx=−−=−−+=−，∴2121212216()416yyyyyyk−=+−=+，∴22164(1)163kk

k++=，解得22k=（∵0k），B正确；由2222(24)0kxkxk−++=得222221kkxk++=，2222221kkxk+−+=，∴222221(1)kykxk−+=−=，222112Qykxkk−+

==，又2QMyyk==，∴22222221125221kkkOQkkk−++−+=+=，2122212yykPQkk−+==，∴22222224452214(1)(11)(13)kkkkkOQPQkk+−+−++++

−−==，当22k时，OQPQ，C错；由图可知1NQ，而2QOQyk=，只要02k，就有1OQNQ，D错．故选：AB．【点睛】本题考查抛物线的焦点弦的性质，通过确定直线与抛物线中的线段长考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分.13.已知函数()2ln23fxxxx=+−，则函数()fx在1x=处的切线方程为______.【答案】230xy−−=【解析】【分析】先求函数()fx在1x=处的导数，再求函数值()1f，利用点斜式求出方

程即可.【详解】由已知得()143fxxx+=−且()1=2f，()1=1f−，则切线方程为()()121yx−−=−，即230xy−−=.故答案为：230xy−−=【点睛】本题考查在曲线上某点处的切线方程的求法，属于简单题.14.今年我国中医药选出的“三药三方”

对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方,若某医生从“三药三方”中随机选出2种,则恰好选出1药1方的概率是___

____.【答案】35【解析】【分析】根据组合的方法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】从“三药三方”中随机选出2种共2615C=个基本事件,其中1药1方的事件数有11339CC=个.故概率P＝93155=.故答案为：35【点睛

】本题主要考查了利用组合的方法解决随机事件的概率问题,属于基础题.15.如图,△ABC为等边三角形,分别延长BA,CB,AC到点D,E,F,使得AD＝BE＝CF．若BA2AD=,且DE＝13,则AFCE的值是_

______．【答案】92−【解析】【分析】设AD＝x,再在△BDE中根据余弦定理求解得出1x=,再利用数量积公式求解AFCE即可.【详解】易知△DEF也为等边三角形,设AD＝x,则BD＝3x,△BDE中,由余弦定理得：()()221133232xxxx=+−−,解得x＝1,

故BD＝3,则9AFCE33cos1202==−．故答案为：92−【点睛】本题主要考查了平面向量数量积以及余弦定理的运用,属于基础题.16.某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰ABC的顶点A在外圆上，底

边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧.若线段BC与劣弧BC所围成的弓形面积为1S，OAB与OAC的面积之和为2S，设2BOC=.当3=时，21SS−=______2cm；经研究发现当21SS−的值最大时，纪念章最美观，当纪念

章最美观时，cos=______.【答案】(1).5343−(2).152−+【解析】【分析】结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2，S1，即可求解21SS−；利用导数研究单调性可求最值．【详解】由题意可知，∠BOC

＝2θ∈（0，π），故10,2，S1＝11211sin222OBOC−＝θ﹣sinθcosθ＝1sin22−，S2＝1(2cos)2BCOB+1BC2OO−sin2θ＝12sin(2Bcos)2OBO+12−sin2θ＝2sin

θ，当13=时，S1＝1334−，S2＝3，故S2﹣S1＝5343−（cm2），S2﹣S1＝2sinθ+12sin2θ﹣θ，10,2，令f（θ）＝2sinθ+12sin2θ﹣θ，10,2

，则2()2coscos212cos2cos2f=+−=+−，令()f＝0可得，cosθ＝152−（舍负），记cosθ0＝152−+，010,2，当θ∈（0，θ0）时，()f＞0，函数单调递增，当0

1,2时，()f＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时，即cosθ＝152−+时，f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．故答案为：5343−；152−+.【点睛】本题主要考查了利用导数求解与

三角有关的函数的最值问题，体现了转化思想的应用，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.2019年底某汽车4S店为跟踪调查该店售后服务部的当年的服务质量，兑现奖惩，从购买该

品牌汽车的顾客中随机抽出100位顾客对售后服务部的服务质量打分（5分制），得到如图所示的柱状图.（1）从样本中任意选取3名顾客，求恰好有1名顾客的打分不低于4分的概率；（2）若以这100位顾客打分的频率作为概率，在该4S店随机

选取2名顾客进行打分（顾客打分之间相互独立），记X表示两人打分之差的绝对值，求X的分布列和()EX.【答案】（1）2566；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）从样本中选3人，共有3100C种不同选法，恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有

215020CC，再求概率即可；（2）根据题意，每名顾客打分为2,3,4,5分的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，再写出X的可能取值为0，1，2，3，根据独立事件的概率计算求解即可.【详解】（1）设“从样本中任意选取3名顾客，恰好有一名顾客的打分不低于4

分”为事件A，从样本中选3人，共有3100C种不同选法，恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有215020CC，则()2150203100CC25C66PA==（2）根据题意，每名顾客打分为2,3,4,5分的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2，X的可能取值为0，1

，2，3；则()00.20.20.30.30.20.20.30.30.26PX==+++=.()120.20.320.30.320.20.30.42PX==++=，()220.20.320.30.20.24PX==+=.()320.20.20.08PX===，

X的分布列如下：X0123P0.260.420.24008X的数学期望为()00.2610.4220.2430.081.14EX=+++=.【点睛】本题考查概率的计算，独立事件的概率分布列等，考查分析解决问题的能力，是中档题.18.如图，在ABC中，5AB=，4AC=，点D为ABC内一

点，满足2BDCD==，且2cos2cos1ADBC=−.（1）求sinsinABCBCD的值；（2）求cosA.【答案】（1）2；（2）1116.【解析】【分析】（1）利用已知余弦关系得出ABDC+=，即si

nsinABDC=，然后在ABC和BDC中应用正弦定理后两式相除可得sinsinABCBCD；（2）分别求出cosA和cosBDC，利用这两个余弦是相反数求得BC长，即得cosA．【详解】（1）设BCa=，ACb=，ABc=，因

为BDCD=，所以2BDCDBC=−，所以2coscos212coscosBDCDBCDBCA=−=−=−.又BDC∠，A为三角形的内角，所以BDCA+=，从而sinsinBDCA=.在ABC

中，sinsinabAABC=，所以4sinsinaAABC=同理，2sinsinaBDCBCD=所以42sinsinABCBCD=，所以sin2sinABCBCD=.（2）在ABC中，22222225441cos225440bcaaaAbc+−+−−===

，同理28cos8aBDC−=，由（1）可得22418408aa−−=−，解得2272a=，所以274155112cos408016A−===.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．19.如图①，在平面五边形ABCDE中，A

BCD是梯形，//ADBC，222ADBC==，3AB=，90ABC=，ADE是等边三角形.现将ADE沿AD折起，连接EB、EC得如图②的几何体.（1）若点M是ED的中点，求证：//CM平面ABE；（2）若3EC=，在棱EB上是否存在点F，使得二面角EADF−−的余弦值为223？若

存在，求EFEB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；13EFEB=.【解析】【分析】（1）取AE的中点N，连接MN、BN，证明出四边形BCMN为平行四边形，可得出//CMBN，再利

用线面平行的判定定理可得出结论；（2）取AD中点O，连接OC、OE，推导出OC、OD、OE两两垂直，然后以点O为原点，分别以射线OC、OA、OE为x、y、z轴正半轴建立空间直角坐标系，设()01EFEB=，利用空间向量法结合二面角EADF−−的余弦值为223可求

得的值，进而可求得EFEB的值，由此可得出结论.【详解】（1）取AE中点N，连接MN、BN，则MN是EAD的中位线，//MNAD且12MNAD=，//BCADQ且12BCAD=，//BCMN且BCMN=，则四边形BCMN是平行四边形，//CMBN，又CM平面ABE，BN

平面ABE，//CM平面ABE；（2）取AD中点O，连接OC、OE，易得OEAD⊥，OCAD⊥，在COE中，由已知3CE=，3OCAB==，32262OE==.222OCOECE+=，OCOE⊥，所以，OC、OD、OE两两垂直，以O为原点，分别以射线OC、OA、

OE为x、y、z轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A、()3,2,0B、()0,2,0D−、()0,0,6E，则()3,2,6EB=−，()0,2,6AE=−，()0,22,0AD=−，假设在棱EB上存在点F满足题意，设()01EFEB=，则()3,2,6EF=−，()

3,22,66AFAEEF=+=−−，设平面ADF的一个法向量为(),,mxyz=，则00mAFmAD==，即()()322660220xyzy+−+−=−=，令z=，得平面ADF的一个法向量()22,0,m=−，又

平面EAD的一个法向量()1,0,0n=r，由已知()()222122cos,321mnmnmn−===−+，整理得23210+−=，解得13=（1=−舍去），因此，在棱EB上存在点F，使得二面角EADF−−的余弦值为223，且13EFEB=.【点

睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用二面角的余弦值解决动点问题，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20.已知na是各项均为正数的无穷数列，数列nb满足nnnkbaa+=（nN），其中常数k为正整数.（1）设数列na前n项的积()122nnnT−=，当2k=时

，求数列nb的通项公式；（2）若na是首项为1，公差d为整数的等差数列，且214bb−=，求数列1nb的前2020项的和.【答案】（1）4nnb=；（2）20202021.【解析】【分析】（1）先根据前n项积与通

项公式的关系求解12nna-=（2n），再验证1n=时满足，进而得12nna-=（nN），再求2k=时，4nnb=；（2）先根据题意求得11kba+=，()()211kbdad+=++，再结合214bb−=和na为等差数列分析得1d=，1k=，故()1n

bnn=+，再用裂项求和法求和即可得答案.【详解】解：（1）因为()122nnnT−=，所以()()21212nnnT−−−=（2n），两式相除，可得()()()1121222nnnnnna−−−−−==（2n），当1n=时，111

112aT−===，符合上式，所以12nna-=（nN），当2k=时，112224nnnnnnbaa−++===；（2）因为nnnkbaa+=，且11a=，所以1111kkbaaa++==，()()22211kkbaadad++==++，所以()221114kbbdda+−=++=，

因为na是各项均为正数的无穷数列，na是首项为1，公差d为整数的等差数列，所以d，k均为正整数，所以1d，所以1212kaad+=+，所以()221143kddadd+++=+，解得1d，所以1d=，即nan=.所以(

)211142kkddaa++++==+，即12ka+=，解得1k=，所以()11nnnbaann+==+，则1111nbnn=−+，记nb的前n项和为nS，则11111111112233411nSnnn=−+−+−++−=−++所以2020

12020120212021S=−=；【点睛】本题考查前n项和的积与通项公式的关系，裂项求和法等，考查分析问题与解决问题的能力，数学运算能力，是中档题.21.已知O为坐标原点，F为椭圆C：2212yx+=在y轴正半轴上的焦

点，过F且斜率为2−的直线l与C交于A、B两点，点P满足0OAOBOP++=．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）要证明点P在C上，即证明P

点的坐标满足椭圆C的方程2212yx+=，根据已知中过F且斜率为2−的直线l与C交于A、B两点，点P满足0OAOBOP++=，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（Ⅱ）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入

验证即可．【详解】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：2212yx+=①，则直线AB的方程为：y2=−x+1②联立方程可得4x2﹣22x﹣1＝0，则x1+x222=，x1×x214=−则y1+y22=−（x1+x2）+2＝1设

P（p1，p2），则有：0A=（x1，y1），0B=（x2，y2），0P=（p1，p2）；∴00AB+=（x1+x2，y1+y2）＝（22，1）；0P=（p1，p2）＝﹣（00AB+）＝（22−，﹣1）∴p的坐标为

（22−，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（122xx+，122yy+），即（24，12），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y1222−=（x24−）

，即y22=x14+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y22=−x④；③④联立方程组，解之得：x28=−，y18=③④的交点就是圆心O1（

28−，18），r2＝|O1P|2＝（22−−（28−））2+（﹣118−）29964=故过PQ两点圆的方程为：（x28+）2+（y18−）29964=⑤，把y2=−x+1…②代入⑤，有x1+x222=，y1+y2＝1∴

A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．22.已知函数()fx满足222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，21()(1)24xgxfxax

a=−+−+，xR．（1）求函数()fx的解析式；（2）求函数()gx的单调区间；（3）当2a且1x时，求证：1lnlnxexeaxx−−+−．【答案】（1）22()2xfxexx=+−

；（2）当0a时，函数()gx的单调递增区间为()−+，，当0a时，函数()gx的单调递增区间为()lna+，，单调递减区间为()lna−，；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）由已知中222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，可得22()(1)22(0)xfxf

exf−=+−，进而可得(0)1f=，2(1)2fe=，进而得到函数()fx的解析式；（2）由（1）得：22()2xfxexx=+−，即21()(1)(1)24xxgxfxaxaeax=−+−+=−−，()x

gxea=−′，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数()gx的单调区间；（3）令l(n)epxxx−=，1l(n)xeqxxa−+−=，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉()px和()qx的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.【详解】（

1）∵222(1)()2(0)2xffxxfxe−=+−，∴22()(1)22(0)xfxfexf−=+−，∴(1)(1)22(0)fff=+−，即(0)1f=，又∵()()2102ffe−=，所以2(1)2fe=，所以22()2xfxexx=+−；

（2）∵22()2xfxexx=+−，∴21()(1)(1)24xxgxfxaxaeax=−+−+=−−，∴()xgxea=−′，①当0a时，()0gx恒成立，函数()gx在R上单调递增；②当0a时，由()0xgxea=−=得lnxa=，当()lnxa−，时，(

)0gx，()gx单调递减，当()lnxa+，时，()0gx，()gx单调递增，综上，当0a时，函数()gx的单调递增区间为()−+，，当0a时，函数()gx的单调递增区间为()lna+，，单

调递减区间为()lna−，；（3）令l(n)epxxx−=，1l(n)xeqxxa−+−=，当2a且1x时，由21()0epxxx=−−得()px在)1,+上单调递减，所以当1xe时，((0))ppex=，当xe时，()0px，而11()xqxex−=−，

120(1)xqxex−=−，所以()qx在)1,+上单调递增，()(1)0qxq=，则()qx在)1,+上单调递增，()(1)20qxqa=+，①当1xe时，1()()()()()xepxqxpxqxeamx

x−−=−=−−=，12()0xemxex−=−−，所以()mx在1,e上单调递减，()(1)10mxmea=−−，()()pxqx，②当xe时，1()()()()2ln()xepxqxpxqxxeanx

x−−=−−=−+−−=，122()xenxexx−=+−，12222()0xenxexx−=−−−，所以()()0nxne，所以()nx递减，()()0nxne，()()pxqx，综上，1lnlnxexeaxx−−+−．

【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查分析和转化能力，属于难题.