【文档说明】2023届高考数学模拟试题分类汇编：解三角形 Word版无答案.doc，共(7)页，525.062 KB，由小赞的店铺上传

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2023届优质模拟试题分类汇编（新高考卷）解三角形第一板块：知识梳理一．基本结论1.正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，，则有2sinsinsinabcRC===(R为C的外接圆的半径).2.正弦定理的变形公式：①2sinaR=，2sinbR=，2sincR

C=；②sin2aR=，sin2bR=，sin2cCR=；③::sin:sin:sinabcC=；④RSinCSinBSinAcba2=++++.3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcab

Cac===．4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc=+−，推论：222cos2bcabc+−=；变形：Abcacbcos2222=−+.5.解三角形所涉及的其它知识（1）三角形内角和定理（2）三角形边角不等

关系：BABABAbacoscossinsin.6.诱导公式在ABC中的应用（1）()()CBACBACBAtan)tan(;coscos;sinsin−=+−=+=+；（2）2sin2cos,2cos2sinC

BACBA=+=+二．对边对角对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.1.结合余弦定理：2222cosabcbcA=+−变式可得：()()2221cosabcbcA=+−+此

公式在已知,aA的情况下，可得到bc+和bc的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值.2.结合正弦定理构建周长或者面积关于角的目标函数，利用三角函数处理最值或者范围.3.注意到其在焦点三角形中的应用.三．射

影定理与平方差公式结论1.正余弦平方差公式)sin()sin(sinsin22−+=−，)cos()cos(sincos22−+=−.结论2.射影定理：在ABC中，coscoscoscoscoscosabCcBba

CcAcaBbA=+=+=+注：上述作为解答题均需推导，当然也很简单，第一个右边展开化简，第二个正弦定理边角转化.（请读者自行推导）四．爪型三角形1.爪型三角形的基本几何特征:如图，=+APCAPB.2.斯特瓦尔特定理：设P为ABC的BC边上异于CB,的任一点，则有

CBPCBPBCAPBPACPCAB+=+222.证明：由余弦定理，可得：APCPCAPPCAPAC−+=cos2222①)cos(2222APCPBAPPBAPAB−−+=②，将上述两式

分别乘CPBP,后相加整理，可得.注：可以看到，斯特瓦尔特定理的证明关键是利用爪型三角形中两角互补，即：这个隐含条件，而这个条件是处理爪型三角形的一个重要技巧.推论1.当设P为ABC的BC边中点时，222241)(21BCACABAP−+=.注：该结论还可由

)(21→→→+=ACABAP证得.推论2.当设P为BAC的角平分线时，PCBPACABAP−=2.推论3.当设P满足→→=BCBP时，2222)1()1(ACABBCAP+−+−=.3.等面积思想.设AM为A的平分线，则设==

CAMBAM，那么有等面积可得：sin)(212sin21+==AMcbbcSABC，进一步可得：AMcbbc+=)(cos2，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线AM的长度，则可得到cbbc+

的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.同时，该思想在处理高线问题时亦然有效，请读者注意.五：秦九韶公式与嵌入不等式1.秦九韶公式出现在人教版必修二教材的55页，作为中国古代数学中的优秀成果之一介绍出来，

它给出了三角形的面积和边长之间的定量关系，没有角度形式出现，这样的话，在我们的条件只有边关系时，就可考虑从这个角度入手解题.近年来，以这方面为背景的解三角形压轴题目多次出现，应该引起各位读者的注意.秦九韶公式：−+−

=222222241bcacaS.2.再将边结构推广又可给出二次边结构和面积之间的不等关系，即嵌入不等式.（嵌入不等式）若三角形的三边为cba,,，面积为S，zyx,,为给定的正实数，则有：zxyzxySzcybxa++++4222，当且仅当)(:)(::222222bac

acbzyx−+−+=)(:222cba−+取等.六．解三角形中的常见轨迹1．阿氏圆定义：已知平面上两点BA,，则所有满足1,||||=PBPA的动点P的轨迹是一个以定比为nm:内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆.若)0

,(),0,(bBaA,则圆的半径为|||1|2AB−，圆心)0|,|11(22AB−+为.解析：设(,0),(,0),(,)AcBcPxy−．因为(0,0APBPc=且1)由两点间距离公式得2222()()xcyxcy++=−+，化简得2222221211x

cyc+−+=−−．所以点P的轨迹是以221,01c+−为圆心，以221c−为半径的圆．2．米勒圆轨迹米勒问题：已知点BA,是MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则当P在何

处时，使得APB最大？对米勒问题有如下重要结论称之为米勒定理.米勒定理：已知点BA,是MON的边ON上的两个定点，点P是边OM上的动点，则当且仅当ABP的外接圆与边OM相切于点P时，APB最大.二．试题汇编例1（2023届武汉

9月调研）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足cos3sin2aCaCbc+=+.（1）求角A；（2）D为BC边上一点，DABA⊥，且4BDDC=，求cosC.例2（福建省部分地市2023届高

三第一次质量检测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且34ABACBABCCACB+=．（1）求bc；（2）已知3,1BCc==，求ABC的面积．例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，

b，c．已知2coscoscosABCbcabac=+（1）求A；（2）若3a=，求ABC的周长的取值范围．例4（广东省佛山市2023届高三教学质量检测一）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，CD为CA在CB方向上的投影向量，且满足2sin5cB

CD=.（1）求cosC的值；（2）若3b=，3cosacB=，求ABC的周长.例5（广东省深圳市2023届高三第一次调研）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知π2sin6bcaC+=+．

（1）求A；（2）设AB的中点为D，若CDa=，且1bc−=，求ABC的的面积．例6（广州市2023届高三一模）在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，2,2sin3sin2cbAC==.（1）求si

nC；（2）若ABC的面积为372，求AB边上的中线CD的长.例7（湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）在ABC中，2AB=，D为AB中点，2CD=.（1）若2BC=，求AC的长；（2）若2BACBCD=，求AC的长.例8（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试）在ABC中，

,,ABC的对边分别为(),,,cos2cos2cosabcaBaCcbA−=−.（1）若3ca=，求cosB的值；（2）若1,bBAC=的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围.例9（山东省济南市23届高三上学期期末数学试题）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，2sin

1sin21cos212cosACCA+=+−.（1）若π6B=，求C；（2）若ππ,64B，求cb的取值范围.例10（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）已知ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()(s

insin)sinabABbC+−=．（1）证明：A＝2B；（2）若a＝3，b＝2，求ABC的面积．例11（温州市2023届高三一模）记锐角ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sin()

sin()coscosABACBC−−=．（1）求证：BC=；（2）若sin1aC=，求2211ab+的最大值．例12（长沙市2023届高三上学期新高考适应性考试）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinsinsin3ABCabac−=+−．（1）求角B的值；（

2）若2a=，求ABC的周长的取值范围．