湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】

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【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.docx,共(22)页,986.061 KB,由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

2019—2020学年上学期2018级期末考试数学试卷一、单选题(每小题5分,共60分)1.复数11izi−=+的虚部是()A.iB.1C.i−D.1−【答案】D【解析】分析:化简复数z,写出它的虚部即可.详解:∵复数

z=11ii−+=()2211ii−−=12111i−−+=﹣i,∴z的虚部是﹣1.故选D.点睛:复数的运算,难点是乘除法法则,设()12,,,,zabizcdiabcdR=+=+,则()()()12zzabicdiacbdadbci=++=−++,()()()()(

)()1222abicdiacbdbcadizabizcdicdicdicd+−++−+===++−+.2.抛物线22yx=−的焦点坐标为()A.(12−,0)B.(0,12−)C.(18−,0)D.(0,18−)【答案】D【解析】根据抛物线标准方程

2x2py=−的焦点坐标为p0-2(,)知,21x2y=−的焦点坐标为10-8(,).故选D.3.24x成立的一个充分非必要条件是()A.23xB.2x>C.2xD.3x【答案】D【解析】【分析】根据题意,

找到24x解集的一个真子集即可求解.【详解】由24x解得2x或2x−,所以24x成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)−−+的真子集,因为3+(,)(2)(2,)−−+,所以24x成立的一个充分非必要条件是3x,故选:D【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件,真

子集的概念,属于中档题.4.党的十八提出:倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次..写在六张规格相同的卡片的正反面(无区分),(如“富强、民主”写在同一张卡片的两面),

从中任意抽取1张卡片,则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是()A.13B.16C.56D.23【答案】A【解析】【分析】由题意知,基本事件有6个,其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有2个基本事件,根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意,基本事件为抽到写有富强、民主;文明

、和谐;自由、平等;公正、法治;爱国、敬业;诚信、友善的卡片,共有6个,其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为:抽到写有爱国、敬业的卡片,抽到写有诚信、友善的卡片,共有2个,所以由古典概型概率公式知:2163P==,故选:A【点睛】本题

主要考查了古典概型概率的求法,属于中档题.5.已知数列na满足1(1)1nnaa+−=,且112a=−,则2020a=()A.3B.12−C.23D.13452【答案】B【解析】【分析】根据递推关系式,写出数列的前几项,可知数列具有周期性,利用周期性即可求出2020a.【详解】1(1)

1nnaa+−=,且112a=−,234231,3,2aaa===−,数列的周期3T=,202067331=+,2020112aa==−故选:B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式,数列的周期性,属于

中档题.6.已知等差数列na满足3434aa=,则该数列中一定为零的项为()A.6aB.7aC.8aD.9a【答案】B【解析】【分析】由条件可得34ad=−,进而得na(7)nd=−,从而得解.【详解】3

3a44a=,33a()33444adad=+=+,34da=−na3(3)and=+−4(3)dnd=−+−(7)nd=−70a=,故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等差数列的性质,属于基础题.7.《张丘建算经》有一道题大意为:今有十等人,每等

一人,宫赐金,依等次差(即等差)降之,上三人先入,得金四斤,持出,下四人后入得金三斤,持出,中间三人未到者,亦依等次更给,则每等人比下一等人多得()斤?A.581B.778C.439D.776【答案】B【解析】【分析】根据题意将毎等

人所得的黄金斤数构造等差数列,设公差为d,根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组,求出公差d即可得到答案.【详解】设第十等人得金a1斤,第九等人得金a2斤,以此类推,第一等人得金a10斤,则数列{an}构成等差数列

,设公差为d,则每一等人比下一等人多得d斤金,由题意得1234891034aaaaaaa+++=++=,即114633244adad+=+=,解得778d=,∴每一等人比下一等人多得778金.故选

:B【点睛】本题主要考查了等差数列的定义,前n项和公式在实际问题中的应用,以及方程思想,属于容易题.8.直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为()A.1B.2−C.1或2−D.23−【答案】A【解析】【分析】若直线平行,可得()1210

mm−+=,求解即可【详解】解:∵直线()12xmym++=−和直线280mxy++=平行,∴()1210mm−+=,解得1m=或2−,当2m=−时,两直线重合故选A【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若1l为1110AxByC++=,

2l为2220AxByC++=,当12ll//时,12210ABAB−=9.记“1,2,3,4,5”这组数据的方差为21S,“98,99,100,102,x”这组数据的方差为22S,若2212SS=,则x为()A.97B.101C.101

或98.5D.103【答案】B【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数,那么这组数据的波动情况不变,即方差不变,即可得出答案.【详解】因为一组数据中的每一个数据都加上(或都减去)

同一个常数后,它的平均数都加上(或都减去)这一个常数,两数进行相减,方差不变,因此若2212SS=,则“1,2,3,4,5”这组数据与“98,99,100,102,x”这组数据相差同一个常数,因此相差的常数为97,故x为497101+=,故选:B【点睛】本题主要考查了方差的概念,一组数

据都加上同一个非零常数,方差不变,属于中档题.10.空间四点()(1,0,0)010(0,0,1)(,2,3)ABCDx、,,、、共面,则x=()A.4−B.1−C.1D.4【答案】A【解析】【分析】由于四点A,B,C,D共面,可得存在实数λ,

μ使得ADABAC=+,解出即可.【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)ABACADx=−=−=−,∵四点A,B,C,D共面,存在实数λ,μ使得ADABAC=+,(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x−=−+−123x−=−−

==解得4x=−故选:A【点睛】本题主要考查了向量共面定理,考查了计算能力,属于容易题.11.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)1111ABCDABCD−所有棱长都为1,且1160,45,AADAABDAB===则1BD=()A.31−B.21−C.

32−D.32−【答案】C【解析】【分析】由11,BDADABAA=−+平方,根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD.【详解】如图:由11,BDADABAA=−+2211()BDADABAA=−+2

22111222ABADAAABADABAAADAA=++−−+21111211cos45cos60c12161os0−=+++−32=−,13||2BD=−,故选:C【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量积运算性质

、向量模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.椭圆与双曲线共焦点1F,2F,它们的交点为P,且123FPF=.若椭圆的离心率为32,则双曲线的离心率为()A.1336B.324C.3

D.2【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.【详解】不妨设P为第一象限的点,在椭圆中:1212PFPFa+=①,在双曲线中:1222PFPFa−=②,联立①②解得,112212,P

FaaPFaa=+=−,在12PFF△中由余弦定理得:2221212(2)2cos3cPFPFPFPF=+−即()()()()222121212121422caaaaaaaa=++−−+−即()()2222222

121212423caaaaaa=+−−=+222221243cccee=+2212134ee+=椭圆的离心率132e=,双曲线的离心率2324e=,故选:B【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质,考查离心率的求法,考

查三角形的三边关系,考查运算能力,属于中档题.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知数列na的前n项和2,nSnn=+则na=____________________【答案】2n【解析】【分析】根据数列中nS与na的关系,即可求出通项公式.【详解】当1n=时

,112aS==,当2n时,221[(1)(1)]nnnaSSnnnn−=−=+−−+−2n=,1n=时,12a=也适合2nan=,综上,2nan=,(*nN),故答案为:2nan=【点睛】本题主要考查了数列前n项和与通项间

的关系,属于容易题.14.对任意的实数k,直线2(1)20kxky+−−=被圆222240xyxy+−−−=截得的最短弦长为____________【答案】25【解析】【分析】由直线2(1)20kxky+−−=可

知,直线过定点1,2M(),可判断点在圆内,当圆心C与M连线与直线垂直时,直线截得弦长最短,利用半弦长、半径、弦心距构成直角三角形即可求解.【详解】由直线2(1)20kxky+−−=可得(2)220kxyx−+−=,故直线过定点1,2

M(),由圆C:222240xyxy+−−−=,可得:22(1)(1)6xy−+−=,圆心(1,1)C,半径6R=,由圆的性质知,当直线与CM垂直时,直线所截得弦长最短,设圆心到直线的距离为d,弦长为l,因为1dCM==,6R

=所以222()2lRd=+,解得25l=,故答案为:25【点睛】本题主要考查了过定点的直线系,圆的方程,圆的几何性质,属于中档题.15.若复数z满足4zizi++−=,则z在复平面内对应点的轨迹方程是__________(结果要求化简)【答案】22143yx+=【

解析】【分析】设复数z对应的点为Z,由4zizi++−=,知点Z到点A(0,1)、点B(0,-1)的距离和大于|AB|,由此可得结论,求出方程即可.【详解】设复数z对应的点为Z,则zi−表示点Z到点A(0,1)的距离,zi+表示点Z到点B(0,1)−的距离,又|AB|=2,由4z

izi++−=知点Z到点A、B的距离和大于|AB|,z在复平面内对应点的轨迹为椭圆,所以a=4,c=1,则3b=,椭圆的焦点就是A,B,所以z在复平面内对应的点的轨迹方程是:22143yx+=,故答案为:22143yx+=【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几

何意义,正确理解复数的几何意义是解题关键,属于中档题.16.12FF、分别为椭圆2214xy+=的左、右焦点,P为该椭圆上一点,且1260FPF=,则12FPF的内切圆半径等于___________【答案】2313

−【解析】【分析】由题意知12124,23FPPFFF+==,由余弦定理可得1243FPPF=‖,由面积公式12121211sin|)2602(SFPPFFPPFFFr=+=‖+|即可求解.【详解

】因为12FF、分别为椭圆2214xy+=的左、右焦点,P为该椭圆上一点,所以12124,23FPPFFF+==,则由余弦定理得,2221212122cos60FFFPPFFPPF=+−‖,()2121212122cos602FPPFFPPFFPPF=+−−,即1

212163FPPF=−‖,所以1243FPPF=‖,故12PFF的面积121sin602SFPPF=‖33=,设12FPF的内切圆半径为r,则121213|)(423122()3FPPFFFrrS+=+==+|,解得2313r=−故答案为:2313−【

点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的简单几何性质,余弦定理,面积公式,属于中档题.三、解答题17.某校高二年级800名学生参加了地理学科考试,现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学

生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组)4050,;第二组)5060,;……;第六组90100,,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求每个学生的成绩被抽中的概率;(2)估计这次考试地理成绩的平均分和中位数;(3)估计这次地理考试全年级

80分以上的人数.【答案】(1)120(2)6866.67(3)120【解析】【分析】(1)根据共有800个学生,抽取40个学生的成绩可知,每个学生成绩被抽取的机会均等,即可计算(2)由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在[80,90)的学生频率

,再估计这次月考数学成绩的平均分和中位数(3)由频率直方图可知成绩80分以上的频率,即可计算全年级80分以上的人数.【详解】(1)根据共有800个学生,抽取40个学生的成绩,每个学生成绩被抽取的机会均等,故40180020P==(2)由频率分布直方图得成绩在区间[80,90

)内的频率为:1-(0.005+0.015+0.045+0.020+0.005)×10=0.1,所以平均分=0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68由频率分布直方图得:[40,60)的频率为:(0.005+0.

015)×10=0.2,[60,70)的频率为:0.045×10=0.45,∴估计这40名学生成绩的中位数为:0.50.2601066.670.45−+(3)由(1)及频率分布直方图可知,学生成绩80分以上的频率为:0.1+0.05=0.15

,故地理考试全年级80分以上的人数为8000.15120=人.【点睛】本题主要考查了频数、平均数、中位数的估计,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.18.已知等差数列na满足1473690,18,a

aaaaa++=++=−前n项和为nS.(1)求9S(2)记nnba=,求数列nb的前9项和9T.【答案】(1)27−(2)63【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式及等差中项,求和公式计算即可(2)根据nnba=,转化为用nS来表示9T即可.【详解】(1)1473

690,18,aaaaaa++=++=−,4630,318aa==,即460,6aa==−,4626aad=+=−,3d=−,4(4)312naann=+−=−+,()()19469992722a

aaaS++===−(2)由(1)知|312|nnban==−+,9123456949449()()2TaaaaaaaSSSSS=+++−+++=−−=−(90)4(915)9222+−=−63=【点睛】本题主要考查了等差

数列的通项公式,等差中项,前n项和公式,考查了计算能力,属于中档题.19.已知圆C:()()221+11xy−−=(1)求过点A()24,且与圆C相切的直线方程.(2)若(),Pxy为圆C上的任意一点,求()()2223xy+++的取值范围.

【答案】(1)2x=或4340xy−+=(2)[16,36]【解析】【分析】(1)设过点A()24,的直线l与圆C:()()221+11xy−−=相切,当直线斜率不存在时,显然成立,当直线斜率存在时设直线l为4(2)ykx−

=−,利用圆心到直线距离等半径即可求解(2)()()2223xy+++可以看作圆上动点(,)xy与定点(2,3)−−距离的平方,利用圆的性质即可求解.【详解】(1)圆C:()()221+11xy−−=的圆心为(1,1)C,半径1r=,当经过点A()24,的直线l与x轴垂直时,方程为x=2,恰好到圆

心C到直线的距离等于半径,此时直线l与圆相切,符合题意;当经过点A()24,的直线l与x轴不垂直时,设直线l为4(2)ykx−=−,即240kxyk−−+=,由圆C到直线的距离d=r,得2|124|11kkk−−+=+,解得43k=,

此时直线的方程为44(2)3yx−=−,化简得4340xy−+=,综上圆的切线方程为2x=或4340xy−+=,(2)()()2223xy+++可以看作圆上动点(,)xy与定点(2,3)−−距离的平方,设圆心与点(2,3)−−的距离为d,则22(12)(13)5d=+++

=,所以圆上动点与定点(2,3)−−距离的最大值为6dr+=,最小值为4dr−=,故()()2223xy+++的最大值为36,最小值为16,即()()2223xy+++的取值范围[16,36].【点睛】本题主要考查了圆的切线

方程,圆的标准方程,点到直线的距离,两点间距离公式,属于中档题.20.在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为菱形,60BAD=,PAPB⊥,2PAPB==,且平面PAB⊥平面ABCD,M为CD中点.(1)求证APPM⊥;(2)求二面角BPCD−−的正弦值的大小.【答案】(1)证明见解

析(2)427【解析】【分析】(1)取AB中点E,连接PE,EM,AM,根据题目所给的条件,利用勾股定理判定直线垂直即可(2)分别以,,EAEDEP为,,xyz轴建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的大小即可.【详解】取AB中点E

,连接PE,EM,AM,2,PAPBPAPB==⊥,1PEABPE⊥=,2AB=平面PAB⊥平面ABCD,AB是交线,PE⊥平面ABCD,PEEM⊥,在RtPEM中,由222PEEMPM+=知25PM=,在DAM中,

由余弦定理可得:222222cos12021221cos1207AMADDMADDM=+−=+−=,故有222AMAPPM=+,APPM⊥(2)连接ED,在AED中,由余弦定理得:22212601421232EDAEADAEADCOS=+−=+−=,所以222AEED

AD+=,所以EDAB⊥,如图,分别以,,EAEDEP为,,xyz轴建立空间直角坐标系,则(1,0,0),(0,0,1),(2,3,0),(0,3,0)BPCD−−,(1,0,1)(2,3,1)(2,0,0)BPCPCD==−

=,设平面BPC与平面PCD的法向量分别为111(,,)nxyz=,222(,,)mxyz=,则nBPnCP⊥⊥,即111110230xzxyz+=−+=,令11x=,则113,13yz==−,3(1,,1)3n=−,由mCPmCD⊥⊥

,得222220230xxyz=−+=,令21y=,则220,3xz==,(0,1,3)m=,设二面角BPCD−−的大小为,则2373cos7723mnmn−===−,42sin7=

,故二面角BPCD−−的正弦值的大小为427.【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质,二面角的求法,向量的运算,属于中档题.21.已知双曲线C的焦点在y轴上,虚轴长为4,且与双曲线22143xy−=有相同渐近线.(1)求双曲线C的方程.(2)过点()20M,的直线l与双曲

线的异支相交于AB、两点,若415AOBS=,求直线l的方程.【答案】(1)22134yx−=(2)20xy−−=或20xy+−=【解析】【分析】(1)根据有相同的渐近线可设所求双曲线为2243xy−=,再利用焦点位置及虚轴长即可求出双曲线方程(2)

根据题意知直线不能为x轴,设直线方程为2xmy=+,联立双曲线方程,根据直线与双曲线的位置关系及三角形面积公式121||||2SOMyy=−可求出m,写出直线方程即可.【详解】(1)与双曲线22143xy−=有相同渐近线,设所求双曲线为2243xy

−=,即22143xy−=,焦点在y轴上,虚轴长为4,44−=,解得1=−,故双曲线C的方程为22134yx−=(2)由题意知直线斜率不为0,设直线方程为2xmy=+,联立221342yxxmy−==+,消元得:()224312240mymy−−−=,直线

l与双曲线的异支相交于AB、两点,()2214496930mm=+−,设()()1122,,AxyBxy,则1212221224,4343myyyymm+==−−−,且12224043yym=−−,即2430m−

,AOBAOMBOMSSS=+,1212|2|yy=−,()21212124yyyyyy=−=+−,()2222(12)964154343mmm=+=−−,()2222129616154343mmm+=−−,化简得:()

22283543mm−=−,()222443543mm+−=−,令243tm=−,则2540tt−−=,得:1t=或45t=−,由12224043yym=−−,即2430m−知,45t=−不符合题意,1t=,即2413m−=解得:1m=,此时21

m=满足,120yy,故所求直线方程为20xy−−=或20xy+−=.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,标准方程,直线与双曲线的位置关系,三角形的面积公式,考查了运算能力,属于难题.22.已知椭圆C:22221xyab+=

(0)ab经过点13,2且离心率为32.(1)求椭圆方程;(2)是否存在直线ykx2(k0)=−,使椭圆C上存在不同两点AB、关于该直线对称?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2214xy+=(2)存在,(,)4545,)5(5k−−+

【解析】【分析】(1)由题意知椭圆的离心率为32,可得222241,33acbc==,故椭圆方程为22223314xycc+=,代入点13,2,即可求解(2)假设,AB存在,设出点的坐标,利用点差法可得AB的中点M的坐标,根据M在椭圆内,建立不等式,即可求得k的取值范围.【

详解】(1)由椭圆离心率32,可得2234ca=,所以2243ac=,因为222abc=+,所以2213bc=,所以椭圆方程为22223314xycc+=,由椭圆过点13,2,可得2293144cc+=,解得23c=,所以椭圆方程为2214xy+=(2)假设,AB存在,设

1(Ax,1)y、2(Bx,2)y,AB的中点0(Mx,0)y,则221122221414xyxy+=+=两式相减可得2222212104xxyy−+−=021122112011144xyyxxxxyyyk−+=−=−=−−+

004kyx=002ykx=−,083xk=,023y=M在椭圆内,220014xy+28()43149k+2165k455k−或455kk的取值范围是(,)(4545,)55−−+.【点睛】本题考

查椭圆的标准方程,考查椭圆的对称性,考查点差法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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