【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.docx，共(22)页，986.061 KB，由管理员店铺上传

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2019—2020学年上学期2018级期末考试数学试卷一、单选题（每小题5分，共60分）1.复数11izi−=+的虚部是（）A.iB.1C.i−D.1−【答案】D【解析】分析：化简复数z，写出它的虚部即可．详解：∵复数z=11ii−+=()2211ii−−=12111i−−+=﹣i，∴z的

虚部是﹣1．故选D．点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,zabizcdiabcdR=+=+，则()()()12zzabicdiacbdadbci=++=−++，()()()()()()

1222abicdiacbdbcadizabizcdicdicdicd+−++−+===++−+.2.抛物线22yx=−的焦点坐标为()A.(12−,0)B.(0,12−)C.(18−,0)D.(0,1

8−)【答案】D【解析】根据抛物线标准方程2x2py=−的焦点坐标为p0-2（，）知，21x2y=−的焦点坐标为10-8（，）.故选D.3.24x成立的一个充分非必要条件是（）A.23xB.2x>C.2xD.3x【答案】D【解析】【分析】根据题意，找到24x解集的一个真子集即可求解.【

详解】由24x解得2x或2x−，所以24x成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)−−+的真子集，因为3+（，）(2)(2,)−−+，所以24x成立的一个充分非必要条件是3x，故选：D【点睛】

本题主要考查了充分条件、必要条件，真子集的概念，属于中档题.4.党的十八提出：倡导“富强、民主、文明、和谐、自由、平等、公正、法治、爱国、敬业、诚信、友善”社会主义核心价值观.现将这十二个词依次．．写在六张规格相同的卡片的正反面（无区分），（如“富强、民主”写在同一

张卡片的两面），从中任意抽取1张卡片，则写有“爱国”“诚信”两词中的一个的概率是（）A.13B.16C.56D.23【答案】A【解析】【分析】由题意知，基本事件有6个，其中抽取到含有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件有2个基本事件，根据古典概型概率公式计算即可.【详解】由题意

，基本事件为抽到写有富强、民主；文明、和谐；自由、平等；公正、法治；爱国、敬业；诚信、友善的卡片，共有6个，其中抽到写有“爱国”“诚信”两词中的一个的事件为：抽到写有爱国、敬业的卡片，抽到写有诚信、友善的卡片，共有2个，所以由古典概型概率

公式知：2163P==，故选：A【点睛】本题主要考查了古典概型概率的求法，属于中档题.5.已知数列na满足1(1)1nnaa+−=，且112a=−，则2020a=（）A.3B.12−C.23D.13452【答案】B【解析】【

分析】根据递推关系式，写出数列的前几项，可知数列具有周期性，利用周期性即可求出2020a.【详解】1(1)1nnaa+−=，且112a=−，234231,3,2aaa===−，数列的周期3T=，202067331=+，2020112aa==−故选：B【点睛】

本题主要考查了数列的递推关系式，数列的周期性，属于中档题.6.已知等差数列na满足3434aa=，则该数列中一定为零的项为（）A.6aB.7aC.8aD.9a【答案】B【解析】【分析】由条件可得34ad=−,进而得na(7)nd=−,从而得解.【详解】33a44a=,33a()3

3444adad=+=+,34da=−na3(3)and=+−4(3)dnd=−+−(7)nd=−70a=,故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题.7.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等

差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（）斤？A.581B.778C.439D.776【答案】B【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的

黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．【详解】设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一

等人多得d斤金，由题意得1234891034aaaaaaa+++=++=,即114633244adad+=+=，解得778d=，∴每一等人比下一等人多得778金．故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列

的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题．8.直线x+（1+m）y=2-m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为（）A.1B.2−C.1或2−D.23−【答案】A【解析】【分析】若直线平行,可得()1210mm−+=,求解即可【详解】解：∵直线()

12xmym++=−和直线280mxy++=平行,∴()1210mm−+=,解得1m=或2−,当2m=−时,两直线重合故选A【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系,需要注意两直线重合的情况,若1l为1110AxByC++=,2l为2220AxByC++=,当12ll//时,12210ABAB

−=9.记“1，2，3，4，5”这组数据的方差为21S，“98，99，100，102，x”这组数据的方差为22S，若2212SS=，则x为（）A.97B.101C.101或98.5D.103【答案】B【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上

或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】因为一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，

因此若2212SS=,则“1，2，3，4，5”这组数据与“98，99，100，102，x”这组数据相差同一个常数，因此相差的常数为97，故x为497101+=，故选：B【点睛】本题主要考查了方差的概念，一组数据都加上同一个非零常数，方差不变，属于中档题.10.空间四点()(1,0,0)010(0,

0,1)(,2,3)ABCDx、，，、、共面，则x=（）A.4−B.1−C.1D.4【答案】A【解析】【分析】由于四点A，B，C，D共面，可得存在实数λ，μ使得ADABAC=+，解出即可．【详解】(1,1,0),(1,0,1),(1,2,3)A

BACADx=−=−=−，∵四点A，B，C，D共面，存在实数λ，μ使得ADABAC=+，(1,2,3)(1,1,0)(1,0,1)x−=−+−123x−=−−==解得4x=−故选：A

【点睛】本题主要考查了向量共面定理，考查了计算能力，属于容易题．11.平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCDABCD−所有棱长都为1，且1160,45,AADAABDAB===则1BD=（）A.31−B.21−

C.32−D.32−【答案】C【解析】【分析】由11,BDADABAA=−+平方，根据向量的数量积运算法则及性质可求出1||BD.【详解】如图：由11,BDADABAA=−+2211()BDADABAA=−+222111222ABADAAABADABAAA

DAA=++−−+21111211cos45cos60c12161os0−=+++−32=−,13||2BD=−,故选：C【点睛】本题主要考查了向量的加法法则、向量数量

积运算性质、向量模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.椭圆与双曲线共焦点1F，2F，它们的交点为P，且123FPF=.若椭圆的离心率为32，则双曲线的离心率为（）A.1336B.324C.

3D.2【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.【详解】不妨设P为第一象限的点，在椭圆中：1212PFPFa+=①,在双曲线中:1222PFPFa−=②,联立①②解得,112212,PFaaPFaa=+=−,在12PFF△

中由余弦定理得：2221212(2)2cos3cPFPFPFPF=+−即()()()()222121212121422caaaaaaaa=++−−+−即()()2222222121212423caaaaaa=+−−=+222221243cccee=+2212134

ee+=椭圆的离心率132e=，双曲线的离心率2324e=，故选：B【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．二、填空题(每小题5分，共20

分)13.已知数列na的前n项和2,nSnn=+则na=____________________【答案】2n【解析】【分析】根据数列中nS与na的关系，即可求出通项公式.【详解】当1n=时，112aS==，当2n时，221[(1)(1)]nnna

SSnnnn−=−=+−−+−2n=，1n=时，12a=也适合2nan=，综上，2nan=，（*nN），故答案为：2nan=【点睛】本题主要考查了数列前n项和与通项间的关系，属于容易题.14.对任意的实数k，直线2(1)20kxky+−−=被圆222240xyxy+−−−=截

得的最短弦长为____________【答案】25【解析】【分析】由直线2(1)20kxky+−−=可知，直线过定点1,2M（），可判断点在圆内，当圆心C与M连线与直线垂直时，直线截得弦长最短，利用半弦长、半径、弦心距构成直角三

角形即可求解.【详解】由直线2(1)20kxky+−−=可得(2)220kxyx−+−=，故直线过定点1,2M（），由圆C：222240xyxy+−−−=，可得：22(1)(1)6xy−+−=，圆心(1,1)C，半径6R=,由圆的性质知，当直线

与CM垂直时，直线所截得弦长最短，设圆心到直线的距离为d，弦长为l，因为1dCM==，6R=所以222()2lRd=+，解得25l=，故答案为：25【点睛】本题主要考查了过定点的直线系，圆的方程，圆的几何性质，属于中档题.15.若复数

z满足4zizi++−=，则z在复平面内对应点的轨迹方程是__________（结果要求化简）【答案】22143yx+=【解析】【分析】设复数z对应的点为Z，由4zizi++−=，知点Z到点A（0，1）、点B（0，-1）的距离和大于|AB|，由此可得结论，

求出方程即可．【详解】设复数z对应的点为Z，则zi−表示点Z到点A（0，1）的距离，zi+表示点Z到点B(0,1)−的距离，又|AB|=2，由4zizi++−=知点Z到点A、B的距离和大于|AB|，z在复平面内对应点的轨迹

为椭圆，所以a=4，c=1，则3b=，椭圆的焦点就是A，B，所以z在复平面内对应的点的轨迹方程是：22143yx+=，故答案为：22143yx+=【点睛】本题主要考查了复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属于中档题．16.12FF、分别为椭圆2214xy+

=的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且1260FPF=，则12FPF的内切圆半径等于___________【答案】2313−【解析】【分析】由题意知12124,23FPPFFF+==，由余弦定理可得1243FPPF=‖，

由面积公式12121211sin|)2602(SFPPFFPPFFFr=+=‖+|即可求解.【详解】因为12FF、分别为椭圆2214xy+=的左、右焦点，P为该椭圆上一点，所以12124,23FPPFFF+==，则由余弦

定理得，2221212122cos60FFFPPFFPPF=+−‖，()2121212122cos602FPPFFPPFFPPF=+−−，即1212163FPPF=−‖，所以1243FPPF=‖，故12PFF

的面积121sin602SFPPF=‖33=，设12FPF的内切圆半径为r，则121213|)(423122()3FPPFFFrrS+=+==+|，解得2313r=−故答案为：2313−【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，余

弦定理，面积公式，属于中档题.三、解答题17.某校高二年级800名学生参加了地理学科考试，现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组

)4050，；第二组)5060，；……；第六组90100，，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）求每个学生的成绩被抽中的概率；（2）估计这次考试地理成绩的平均分和中位数；（3）估计这次地理考试全

年级80分以上的人数.【答案】（1）120（2）6866.67（3）120【解析】【分析】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩可知，每个学生成绩被抽取的机会均等，即可计算（2）由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在

[80，90）的学生频率，再估计这次月考数学成绩的平均分和中位数（3）由频率直方图可知成绩80分以上的频率，即可计算全年级80分以上的人数.【详解】（1）根据共有800个学生，抽取40个学生的成绩，每个学生成绩被抽取的机会均等，故40180020P==（2）由频率分布直方图得成绩在

区间[80，90）内的频率为：1-（0.005+0.015+0.045+0.020+0.005）×10=0.1，所以平均分=0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68由

频率分布直方图得：[40，60）的频率为：（0.005+0.015）×10=0.2，[60，70）的频率为：0.045×10=0.45，∴估计这40名学生成绩的中位数为：0.50.2601066.670.45−+（3）由（1）及频率分布直方

图可知，学生成绩80分以上的频率为：0.1+0.05=0.15，故地理考试全年级80分以上的人数为8000.15120=人.【点睛】本题主要考查了频数、平均数、中位数的估计，考查频率分布直方图的性质等基础知识

，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知等差数列na满足1473690,18,aaaaaa++=++=−前n项和为nS.（1）求9S（2）记nnba=，求数列nb的前9项和9T.【答案】（1）27−（2）

63【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差中项，求和公式计算即可（2）根据nnba=，转化为用nS来表示9T即可.【详解】（1）1473690,18,aaaaaa++=++=−，4630,318aa==，即460,6

aa==−，4626aad=+=−，3d=−，4(4)312naann=+−=−+，()()19469992722aaaaS++===−（2）由（1）知|312|nnban==−+，9123456949449()()2

TaaaaaaaSSSSS=+++−+++=−−=−(90)4(915)9222+−=−63=【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差中项，前n项和公式，考查了计算能力，属于中档题.19.已知圆C：()()221+11xy−−=

（1）求过点A()24，且与圆C相切的直线方程.（2）若(),Pxy为圆C上的任意一点，求()()2223xy+++的取值范围.【答案】（1）2x=或4340xy−+=（2）[16,36]【解析】【分析】（1）设过点A()24，的直线l与圆C：()()221+11

xy−−=相切，当直线斜率不存在时，显然成立，当直线斜率存在时设直线l为4(2)ykx−=−，利用圆心到直线距离等半径即可求解（2）()()2223xy+++可以看作圆上动点(,)xy与定点(2,3)−−距离的平

方，利用圆的性质即可求解.【详解】（1）圆C：()()221+11xy−−=的圆心为(1,1)C，半径1r=，当经过点A()24，的直线l与x轴垂直时，方程为x=2，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线l与圆相切，符合题意；当经过点A()24，的直线l与x轴不垂直时,设直线l为4(2

)ykx−=−,即240kxyk−−+=，由圆C到直线的距离d=r，得2|124|11kkk−−+=+，解得43k=，此时直线的方程为44(2)3yx−=−，化简得4340xy−+=，综上圆的切线方程为2x=或4340xy

−+=，（2）()()2223xy+++可以看作圆上动点(,)xy与定点(2,3)−−距离的平方，设圆心与点(2,3)−−的距离为d，则22(12)(13)5d=+++=，所以圆上动点与定点(2,3)−−距离的最大值为6dr+=，最小值为4dr−=，故

()()2223xy+++的最大值为36，最小值为16，即()()2223xy+++的取值范围[16,36].【点睛】本题主要考查了圆的切线方程，圆的标准方程，点到直线的距离，两点间距离公式，属于中档题.20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60BAD=，PAP

B⊥,2PAPB==,且平面PAB⊥平面ABCD，M为CD中点.（1）求证APPM⊥；（2）求二面角BPCD−−的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2）427【解析】【分析】（1）取AB中点E，连接

PE,EM,AM，根据题目所给的条件，利用勾股定理判定直线垂直即可（2）分别以,,EAEDEP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小即可.【详解】取AB中点E，连接PE,EM,AM,2,PAPBPAPB==⊥,1P

EABPE⊥=,2AB=平面PAB⊥平面ABCD,AB是交线，PE⊥平面ABCD，PEEM⊥，在RtPEM中，由222PEEMPM+=知25PM=，在DAM中，由余弦定理可得：222222cos12021221

cos1207AMADDMADDM=+−=+−=，故有222AMAPPM=+,APPM⊥（2）连接ED，在AED中，由余弦定理得：22212601421232EDAEADAEADCOS=+−=+−=，所以222AEEDAD

+=,所以EDAB⊥，如图，分别以,,EAEDEP为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,1),(2,3,0),(0,3,0)BPCD−−,(1,0,1)(2,3,1)(2,0,0)BPCPCD==−=,设平面

BPC与平面PCD的法向量分别为111(,,)nxyz=，222(,,)mxyz=，则nBPnCP⊥⊥,即111110230xzxyz+=−+=，令11x=，则113,13yz==−，3(1,,1)3n

=−，由mCPmCD⊥⊥,得222220230xxyz=−+=，令21y=，则220,3xz==，(0,1,3)m=，设二面角BPCD−−的大小为，则2373cos7723mnmn−=

==−，42sin7=，故二面角BPCD−−的正弦值的大小为427.【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质，二面角的求法，向量的运算，属于中档题.21.已知双曲线C的焦点在y轴上，虚轴长为4，且与双曲线2

2143xy−=有相同渐近线.（1）求双曲线C的方程.（2）过点()20M，的直线l与双曲线的异支相交于AB、两点，若415AOBS=，求直线l的方程.【答案】（1）22134yx−=（2）20xy−−=或20xy+−=【解析】【分析】（1）根据有相同的渐近线可设所求双

曲线为2243xy−=，再利用焦点位置及虚轴长即可求出双曲线方程（2）根据题意知直线不能为x轴，设直线方程为2xmy=+，联立双曲线方程，根据直线与双曲线的位置关系及三角形面积公式121||||2SOMyy=−可求

出m,写出直线方程即可.【详解】（1）与双曲线22143xy−=有相同渐近线，设所求双曲线为2243xy−=，即22143xy−=，焦点在y轴上，虚轴长为4，44−=，解得1=−，故双曲线C的方程为22134yx−=（

2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为2xmy=+，联立221342yxxmy−==+,消元得：()224312240mymy−−−=，直线l与双曲线的异支相交于AB、两点，()2214496930mm=+−，设()()1122,,AxyB

xy，则1212221224,4343myyyymm+==−−−，且12224043yym=−−，即2430m−，AOBAOMBOMSSS=+，1212|2|yy=−，()21212124yyyyyy

=−=+−，()2222(12)964154343mmm=+=−−，()2222129616154343mmm+=−−,化简得：()22283543mm−=−，()222443543mm+−=−，令243tm=−,则2540tt−−=，得：1t=或45t=−，由122240

43yym=−−，即2430m−知，45t=−不符合题意，1t=，即2413m−=解得：1m=，此时21m=满足，120yy,故所求直线方程为20xy−−=或20xy+−=.【点睛】本题主要考查了双曲线的

简单几何性质，标准方程，直线与双曲线的位置关系，三角形的面积公式，考查了运算能力，属于难题.22.已知椭圆C:22221xyab+=(0)ab经过点13,2且离心率为32.（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线ykx2(k0)=−，使椭圆C上存在不同两点A

B、关于该直线对称？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）存在，(,)4545,)5(5k−−+【解析】【分析】（1）由题意知椭圆的离心率为32，可得222241,33a

cbc==，故椭圆方程为22223314xycc+=，代入点13,2，即可求解（2）假设,AB存在，设出点的坐标，利用点差法可得AB的中点M的坐标，根据M在椭圆内，建立不等式，即可求得k的

取值范围．【详解】（1）由椭圆离心率32，可得2234ca=，所以2243ac=，因为222abc=+，所以2213bc=，所以椭圆方程为22223314xycc+=，由椭圆过点13,2，可得2293144cc+=，解得23c=，所以椭圆方程为2214xy+=（

2）假设,AB存在，设1(Ax，1)y、2(Bx，2)y，AB的中点0(Mx，0)y，则221122221414xyxy+=+=两式相减可得2222212104xxyy−+−=021122112011144xyyxxxxyyy

k−+=−=−=−−+004kyx=002ykx=−，083xk=，023y=M在椭圆内，220014xy+28()43149k+2165k455k−或455kk的取值范围是(,)(4545,)55−

−+．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的对称性，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com