【文档说明】浙江省温州市新力量联盟2023-2024学年高二上学期期中联考试题+数学+含解析.docx，共(28)页，1.700 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二年级数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写

在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线l：220xy++=在y轴上的截距是（）A.1−B.1C.2−D.22.圆()221:44Cxy−+=与圆()2

22:316Cxy+−=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切3.若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.,,bcbbc+−B.,,aabab+−C.,,ababc+−D.,,aba

bcc+++4.正方体1111,,ABCDABCDEF−分别为111,DCBB的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（）A.515B.2515C.1515D.415155.直线l：21yx=−+在椭圆2212y

x+=上截得的弦长是（）A.103B.253C.859D.5236.点P是圆()()22:121Cxy++−=上的动点，直线():120lmxmy−++=是动直线，则点P到直线l的距离的最大值是（）A4B.5C.6D.77.已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12

PFPF⊥，且2160PFF=，则C的离心率为A312−B.23−C.312−D.31−8.已知,EF是圆22:2410Cxyxy+−−+=的一条弦，且CECF⊥，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线:30lxy−−=

上存在两点,AB，使得π2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是（）A.22B.42C.62D.82二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选

对的得2分）9.已知直线l的方向向量是a，两个平面,的法向量分别是,mn，则下列说法中正确的是（）A.若//am，则l⊥B.若0am=，则l⊥C若//mn，则⊥D.若0mn=rr，则⊥10.已知点M椭圆22:4

936Cxy+=上一点，椭圆C的焦点是12,FF，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C的长轴长是9B.椭圆C焦距是25C.存在M使得1290FMF=D.三角形12MFF的面积的最大值是2511.已知两点()5,1A−−，()0,4B点P是直线l：21yx=−上的动点，则

下列结论中正确的是（）A.存在()1,1P使PAPB+最小B.存在1,02P使22PAPB+最小C.存在()5,9P使PAPB−最小D.存在()0,1P−使PAPB−最小12已知曲线()()22:118Cxy−+−=，则（）....A.曲线C上两点间距离

的最大值为42B.若点(),Paa在曲线C内部（不含边界），则33a−C.若曲线C与直线yxm=+有公共点，则66−mD.若曲线C与圆()2220xyrr+=有公共点，则332r选择题部分三、填空题（

本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线l：320xy++=的倾斜角是______.14.如图，圆1C和圆2C的圆心分别为()11,2C，()23,4C，半径都为2，写出一条与圆1C和圆2C都相切的直线的方程：__________.15.正四面体ABCD的所有棱长都是2，,EF分别是BC

，DC的中点，则AEBF=______.16.如图，三角形ABC中，4ABBC==，90B??，D为AC中点，E为BC上的动点，将CDE沿DE翻折到CDE位置，使点C在平面ABC上的射影H落在线段AB上，则当E变化时，二面角CDEA−−的余弦值的最小值是__

____.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线2310xy−−=和直线30xy+−=的交点为P.（1）求过点P且与直线210xy−−=平行的直线1l的方程；（2）求线段OP（O为原点）的垂直平

分线2l的方程.18.已知圆C的圆心C在直线2yx=上，且经过()1,0A−，()3,0B两点.（1）求圆C的方程；（2）直线l：310mxym+−−=与圆C交于,EF两点，且23EF=，求实数m的值.19.如图，已知四

棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，//ADBC，22PAABADBC====，E为PD中点.（1）求证：//CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PAC所成角的正弦值.20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在

某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为6海里和()0mm海里，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区（如图）.（1）以

O为坐标原点，1海里为单位长度，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m的取值范围.21.如图，三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的等边三角形，12C

C=，160ACC=，点,DE分别是线段AC，1CC的中点，二面角1CACB−−为直二面角.的（1）求证：1AC⊥平面BDE；（2）若点P为线段11BC上的动点（不包括端点），求锐二面角PDEB−−的余弦值的取值范围.22.如图，已知

椭圆C的焦点为()11,0F−，()21,0F，离心率为22，椭圆C的上、下顶点分别为,AB，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴，点Q在椭圆C上（且在第一象限），直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M.（1）求椭圆C的标准方程；（2）判定AOM（O

为坐标原点）与ADN△的面积之和是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.2023学年第一学期温州新力量联盟期中联考高二年级数学试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写

在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.直线l：220xy++=在y轴上截距是（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式方程化为斜

截式方程可得结果.【详解】将220xy++=变形为112yx=−−，所以l在y轴上的截距是1−，故选：A.2.圆()221:44Cxy−+=与圆()222:316Cxy+−=的位置关系是（）A相离B.相交C.内切D.外切【答案】B【解析】【分析】根据圆的方程确定出

两圆的圆心距和半径的关系，由此确定出两圆的位置关系.【详解】因为()()221240035CC=−+−=，两圆的半径分别为122,4rr==，所以121212rrCCrr−+，所以12,CC相交，故选：B.3.若,,abc构成空间的一个基底，则下列向量不共面

的是（）的.A.,,bcbbc+−B.,,aabab+−C.,,ababc+−D.,,ababcc+++【答案】C【解析】【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解.【详解】对于A，()()1122bbcbc=++−，所以,,bcbbc+−共面，

故A错误；对于B，()()1122aabab=++−rrrrr，所以,,aabab+−共面，故B错误；对于C，假设,,ababc+−共面，则存在,Rxy，使得()()()()cxabyabxyaxyb=++−=++−，则,,abc共面，这与,,abc

可构成空间的一个基底矛盾，所以,,ababc+−不共面，故C正确；对于D，()abcabc++=++，所以,,ababcc+++共面，故D错误.故选：C.4.正方体1111,,ABCDABCDEF−分别为11

1,DCBB的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（）A.515B.2515C.1515D.41515【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以D的原点

，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A，()0,1,2E，()0,2,0C，()2,2,1F，()2,1,2AE=−，()2,0,1FC=−−，225cos,1535AEFCAEFCAEFC===，所以

异面直线AE与FC所成角的余弦值为2515.故选：B5.直线l：21yx=−+在椭圆2212yx+=上截得的弦长是（）A.103B.253C.859D.523【答案】D【解析】【分析】联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理1212,

xxxx+以及弦长公式()22121214kxxxx++−可求解出结果.【详解】设l与椭圆交于()()1122,,,AxyBxy，联立222112yxyx=−++=可得26410xx−−=，且()()244610=−−−，121221,36xxxx+==−，所

以()22121242521414933ABkxxxx=++−=++=，故选：D.6.点P是圆()()22:121Cxy++−=上的动点，直线():120lmxmy−++=是动直线，则点P到直线l的距离的最大值是（）A.4B.

5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】先求解出直线所过的定点坐标，然后将问题转化为圆上点到圆外定点距离的最大值，最后根据圆心到定点的距离结合圆的半径求解出结果.【详解】因为():120lmxmy−++=，所

以():20lxxym++−=，令020xyx+=−=，所以22xy==−，所以l过定点()2,2Q−，又因为()()2221221++−−，所以Q在圆C外，因为点P到直线l的距离的最大值即为P到Q的距离，又因为点P是圆C上的动点，所以()()()22max1

22216PQCQr=+=−−+−−+=，所以点P到直线l的距离的最大值为6，故选：C.7.已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF⊥，且2160PFF=，则C的离心率为A.312−B.23−C.312−D.31−【答案】D【解析】【详解】分

析：设2||PFm=，则根据平面几何知识可求121,FFPF，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在12FPF中，122190,60FPFPFF==设2||PFm=，则1212||2,||3cFFmPFm===，又由椭圆定义

可知122||||(31)aPFPFm=+=+则离心率22312(31)ccmeaam====−+，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长

、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.8.已知,EF是圆22:2410Cxyxy+−−+=的一条弦，且CECF⊥，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动

时，直线:30lxy−−=上存在两点,AB，使得π2APB恒成立，则线段AB长度的最小值是（）A.22B.42C.62D.82【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得点P的轨迹方程为22:(1)(2)2Pxy−+−=，结合得到AB为直径的圆要包含圆P，利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】

由圆22:2410Cxyxy+−−+=，可得22:(1)(2)4Cxy−+−=，所以圆C的圆心为(1,2)C，半径为2r=，因为CECF⊥，且P是EF的中点，所以122CPEF==，所以点P的轨迹方程为22:(1)(2)2Pxy−+−=,可其圆心为(1,2)

C，半径为2r=，若直线:30lxy−−=上存在两点,AB，使得π2APB恒成立，则以AB为直径的圆要包含圆P，又由圆心(1,2)C到直线l的距离为22123221(1)d−−==+−，所以AB的长度的最小值为2(2)62d+=.故选：C.二、多项选择题（本大题共4

小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知直线l的方向向量是a，两个平面,的法向量分别是,mn，则下列说法中正确的是（）A.若//am，则l⊥B.若0am=，则l⊥C若//mn，

则⊥D.若0mn=rr，则⊥【答案】AD【解析】【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系.【详解】若am∥，则l⊥，故A正确；若0am=rur，则l∥或l在内，故B错；若mn∥，则∥，故C错；若0mn=，则⊥，故D正确.故选：AD.10.已知点M椭圆22:493

6Cxy+=上一点，椭圆C的焦点是12,FF，则下列说法中正确的是（）A.椭圆C的长轴长是9B.椭圆C焦距是25C.存在M使得1290FMF=D.三角形12MFF的面积的最大值是25【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的

几何性质逐个判断即可..【详解】22224936194xyxy+=+=，所以229,43,2,5ababc=====，对于A：因为3a=，所以长轴为26a=，A错误；对于B：因为5c=，所以焦距为225c=，B正确；对于C：当M取到上顶点时此时12FM

F取到最大值，此时123MFMFa===，12225FFc==，所以()2221233251cos02339FMF+−==−，所以此时12FMF为钝角，所以存在M使得1290FMF=，C正确；对于D：当M取到上顶点时此时三

角形12MFF的面积取到最大值，此时12252Scb==，D正确，故选：BCD11.已知两点()5,1A−−，()0,4B点P是直线l：21yx=−上的动点，则下列结论中正确的是（）A.存在()1,1P使PAPB+最小B

.存在1,02P使22PAPB+最小C.存在()5,9P使PAPB−最小D.存在()0,1P−使PAPB−最小【答案】ABD【解析】【分析】A：先求B关于l的对称点C，根据AC与l的交点坐标即可判断；B：设出P点坐标，根据二次函数的性质求解出取最小值时P点坐标；C：结合图示进行

分析判断；D：根据绝对值的特点先判断出取最小值时P点的位置，然后联立对应直线方程求解出P点坐标.【详解】对于A：设点B关于直线l的对称点为(),Cmn，所以4021224210nmnm++=−−=−−，所以42mn==，所以()4,2C，所以PAPBAC+，当且仅当P为A

C与l交点时满足题意，又因为()12:2454ACyx−−−=−−−，即12:33ACyx=+，所以123321yxyx=+=−，所以11xy==，所以()1,1P，故A正确；对于B：设(),21Pxx−，所以()()()2222225211

214PBxxPxxA=++−+−+++−，所以2221191024PxAPB=−++，当且仅当12x=时22PAPB+有最小值，此时210x−=，所以1,02P，故B正

确；对于C：如下图，根据,AB与l的位置关系可判断出PAPB−有最大值，无最小值，故C错误；对于D：因为0PAPB−，取等号时PAPB=，即P为AB垂直平分线与l的交点，因为AB垂直平分线方程为()()14150412205yx−+−+−=−−−−

−−，即=1yx−−，所以121yxyx=−−=−，所以01xy==−，所以()0,1P−，故D正确；故选：ABD.12.已知曲线()()22:118Cxy−+−=，则（）A.曲线C上两点间距离的最大值为42B.若点(),Paa在曲线C内部（不含边界），则33a−C.若曲

线C与直线yxm=+有公共点，则66−mD.若曲线C与圆()2220xyrr+=有公共点，则332r【答案】BC【解析】【分析】A：作出C的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值；B：根据直线yx=与C交点坐标进行判断；C：根据直线yxm=+与C相切时

m的取值进行判断；D：分析临界情况：()2220xyrr+=经过C与坐标轴的交点、()2220xyrr+=与C在四个象限相切，由此求解出r的范围.【详解】当0,0xy时，()()22:118Cxy−+−

=，圆心()11,1C；当0,0xy时，()()22:118Cxy−++=，圆心()21,1C−；当0,0xy时，()()22:118Cxy++−=，圆心()31,1C−；当0,0xy时，()()22:118Cxy+++=，圆心()41

,1C−−；当0x=时，()71y=+；当0y=时，()71x=+作出C在平面直角坐标系下的图象如下图：对于A：C上任意两点距离的最大值为()()()()22142111122262CCr+=−−+−−+=，故A

错误；对于B：因为(),Paa在直线yx=上，所以()()22118xyyx−+−==，所以33xy=−=−或33xy==，若点(),Paa在曲线C内部（不含边界），则有33a−，故B正确；对于C：当直线yxm=+与C相切时，如下图所示：的若yx

m=+与C在第二象限相切时，则3C到yxm=+的距离等于圆的半径，所以11222m−−+=，所以6m=或2m=−（舍），若yxm=+与C在第四象限相切时，则2C到yxm=+的距离等于圆的半径，所以()11222m−−+=，所以6m=−或2m=（舍），结合图象可知曲线C与直

线yxm=+有公共点时有66−m，故C正确；对于D：如下图所示：因为C与坐标轴的交点坐标为()()()()71,0,0,71++，所以当()2220xyrr+=刚好经过C与坐标轴的交点时，此时71r=+，当()2220xyrr+=刚好与C在四个象限都相切时，122232

rOCr=+=+=，所以曲线C与圆()2220xyrr+=有公共点时7132r+，故D错误；故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的综合运用，难度较大.数形结合是处理本题的高效方法，通过在图象上对临界位置的分析，得到直线与C相切

以及圆与C相切时参数的取值.选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.直线l：320xy++=的倾斜角是______.【答案】2π3【解析】【分析】求出斜率，根据斜率可求得倾斜角.【详解】因为直线l：320xy++=，斜率3k=−，故倾

斜角为2π3.故答案为：2π3.14.如图，圆1C和圆2C的圆心分别为()11,2C，()23,4C，半径都为2，写出一条与圆1C和圆2C都相切的直线的方程：__________.【答案】3yx=+（或1yx=−或5yx=−+，答案不唯一，写出一个即可）.【

解析】【分析】由圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求解即可.【详解】由已知，圆1C和圆2C的半径122rr==，圆心距为()()221212314222CCrr=−+−==+，∴圆1C和圆2C相外切.如图易知与圆1C和圆2C都相切的直线斜率存在

，设其方程为ykxb=+，即0kxyb−+=，则()11,2C到直线0kxyb−+=的距离12221kbdk−+==+，①()23,4C到直线0kxyb−+=的距离223421kbdk−+==+，②由①、②得，234kbkb−+=−+即1k

=或()234kbkb−+=−−+即32bk=−，∴解得13kb==或11kb==−或15kb=−=，∴与圆1C和圆2C都相切的直线的方程为3yx=+或1yx=−或5yx=−+.故答案为：3yx=+（或1yx=−或5yx=−

+，答案不唯一，写出一个即可）.15.正四面体ABCD的所有棱长都是2，,EF分别是BC，DC的中点，则AEBF=______.【答案】12−##0.5−【解析】【分析】以向量,,ABACAD为空间向量的基底，求出,AEBF，再利用

空间向量的数量积运算即得.【详解】正四面体ABCD的所有棱长都是2，,EF分别是BC，DC的中点，则11(),()22AEACABBFAFABACADAB=+=−=+−，122cos602ABACACADABAD====，因此221

1()(2)(2)44AEBFACABACABADACABABACACADABAD=+−+=−−++2211(222222)42=−−++=−.故答案为：12−16.如图，三角形ABC中，4ABBC==，90B??，D为AC中点，E为BC上的动点，将CDE沿DE翻折到

CDE位置，使点C在平面ABC上的射影H落在线段AB上，则当E变化时，二面角CDEA−−的余弦值的最小值是______.【答案】425−##542−+.【解析】【分析】作出图示，根据位置关系分析出二面角的平面角为CGH，然后根据,,CGH三点共线将问

题转变为平面直角坐标系中的坐标问题，通过计算对应纵坐标的比值结合基本不等式求解出二面余弦值的最小值.【详解】过点H作HGDE⊥交DE于G点，连接,CGCG，如下图所示：因为C在平面ABC内的射影为H点，所

以CH⊥平面ABC，所以CHDE⊥，又因为HGDE⊥，CHHGH=，所以DE⊥平面CHG，所以DECG⊥，所以二面角CDEA−−的平面角为CGH，且cosHGCGHCG=，又因为DECG⊥，所以DECG⊥，易知,,CGH三点共线，且=CG

CG，则cosHGCGHCG=，在平面ABC中建立平面直角坐标系如下图所示：设()0,Em，因为C在平面ABC内的射影为H点，所以可知()0,2m，又()()2,2,0,4DC−，所以2:2mDEyxm−=+，2:42CH

yxm=−+−，所以22242myxmyxm−=+=−+−，()()222224484121648mmxmmmmymm−−=−+−+=−+，所以()()22222441216,4848mmmmGmmmm−−−+−+−+，所

以222222412160412163448cos412161644448GHCGmmyyHGmmmmmmCGHmmCGyymmmm−+−−−+−+−+=====−+−−−−−+，设()42,4mt−=，所以()()2243445888cos525425t

tttCGHtttttt−−−+−+===+−−=−，当且仅当8tt=，即22t=，即422m=−时取等号，所以()mincos425CGH=−，故答案为：425−【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何法求解二面角的余弦值，解答问

题的关键在于将空间中线段长度比值转化为平面中坐标的比值，通过利用基本不等式求解出对应最值，难度较大.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知直线2310xy−−=和直线30xy+−=的交点为P.（1）求过点P且与直线210x

y−−=平行的直线1l的方程；（2）求线段OP（O为原点）的垂直平分线2l的方程.【答案】（1）230xy−−=（2）4250xy+−=【解析】【分析】（1）先求解出交点P的坐标，然后设出1:20lxym−+=，代入点P的坐标求解出参数m，则结果可知；（2）先确定出OPk以及O

P中点坐标，则OP的垂直平分线方程可求.【小问1详解】因为231030xyxy−−=+−=，所以21xy==，所以()2,1P，设1:20lxym−+=，代入()2,1P，所以410m−+=，所以3m=−，所以1:230lxy−−=

.【小问2详解】因为101202OPk−==−且OP中点坐标为11,2，所以OP的垂直平分线方程为()1212yx−=−−，即为4250xy+−=.18.已知圆C的圆心C在直线2yx=上，且经过()1,0A−，()3,0B两

点.（1）求圆C的方程；（2）直线l：310mxym+−−=与圆C交于,EF两点，且23EF=，求实数m的值.【答案】（1）22(1)(2)8xy−+−=；（2）2−.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再求出圆的半径即得.（2）由给定弦长，结合圆的弦长公式求

出弦心距，再利用点到直线距离公式计算即得.【小问1详解】圆C过点()1,0A−，()3,0B，则点C在线段AB的中垂线1x=上，由12xyx==，得点(1,2)C，圆C的半径||22rAC==，所以圆C的方程为22(1)(2)8xy−+−=.【小问2详解】直

线l被圆C所截弦长23EF=，则点C到直线l的距离221(||)52drEF=−=，因此22|231|51mmm+−−=+，解得2m=−所以实数m的值为2−.19.如图，已知四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ABAD⊥，//ADBC，22PAABADBC====，E为PD中点.

（1）求证：//CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到BFCE，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）根据BFCE得到直线CE与平面PA

C所成角和直线BF与平面PAC所成角相等，根据线面角的定义得到BFH为直线BF与平面PAC所成角，然后求正弦值即可.【小问1详解】取PA中点F，连接,EFBF，因为,FE分别为,PAPD的中点，所以EFAD∥，1

2EFAD=，因为ADBC∥，2ADBC=，所以FEBC∥，EFBC=，所以四边形EFBC为平行四边形，BFCE，因为BF平面PAB，CE平面PAB，所以CE∥平面PAB.【小问2详解】过点B作BHAC⊥于点H，连接FH，因为BFCE，所以直线CE与平面PAC所成角和直线

BF与平面PAC所成角相等，因为PA⊥平面ABCD，BH平面ABCD，所以BHPA⊥，因为PAACA=，,PAAC平面PAC，所以BH⊥平面PAC，所以BFH为直线BF与平面PAC所成角，22215BF=+=，2215AC=+=，122555BH==，所以2525sin55BHBFHBF

===，所以直线CE与平面PAC所成角的正弦值为25.20.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为

6海里和()0mm海里，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区（如图）.（1）以O为坐标原点，1海里为单位长度，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的方

程；（2）海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求m取值范围.【答案】（1）曲线C的方程为：()22216xy++=（2）m的取值范围为23m【解析】【分析】利用已知条件结合两

点间距离公式列出方程并化简求得曲线方程.，利用直线与圆相切确定m取值范围.【小问1详解】根据已知条件设(),Pxy且()6,0A，()0,0O，的由2PAPO=，有()222262xyxy−+=+，()()222264xyxy−+=+，2222123644xxyxy−

++=+，223312360xyx++−=，整理有()22216xy++=，是以()2,0−为圆心，4为半径的圆.，所以曲线C的方程为：()22216xy++=.【小问2详解】()6,0A，()0,Bm过

AB的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线AB截距式方程为16xym+=()0m，化为一般式方程为660mxym+−=()0m，根据题意，临界情况下直线与圆相切，圆心到直线距离为圆的半径4，226436mmm−−=+且()0m，解得23m=，所以综上可知m的取值范围

为23m.21.如图，三棱柱111ABCABC-的底面是边长为2的等边三角形，12CC=，160ACC=，点,DE分别是线段AC，1CC的中点，二面角1CACB−−为直二面角.（1）求证：1AC⊥平面BDE

；（2）若点P为线段11BC上的动点（不包括端点），求锐二面角PDEB−−的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）20,2【解析】【分析】（1）根据中位线和菱形的性质得到1ACDE⊥，根据二面角1CACB

−−为直二面角和BDAC⊥得到1BDAC⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求二面角余弦值的范围即可.【小问1详解】连接1AC，因为,DE分别为1,ACCC中点，三角形ABC为等边三角形，所以1DEAC∥，BDAC⊥，因为111ABCABC-为三棱柱，1

ACCC=，所以四边形11ACCA为菱形，11ACAC⊥，则1ACDE⊥，因为二面角1CACB−−为直二面角，BD平面ABC，所以BD⊥平面11ACCA，因为1AC平面11ACCA，所以1BDAC⊥，因为BDDED=，,BDDE平面BDE，所以1AC⊥平

面BDE.【小问2详解】连接1DC，因为四边形11ACCA为菱形，160ACC=，所以1ACC△为等边三角形，因为D为AC中点，所以1CDAC⊥，因为1CD平面11ACCA，所以1BDCD⊥，所以1,,CDAC

BD两两垂直，以D为原点，分别以1,,DCDBDC为,,xyz轴建立空间直角坐标系，()1,0,0C，()0,3,0B，()0,0,0D，()12,0,3A−，13,0,22E，()10,0,3C，()1,3,0CB=

−，13,0,22DE=，()13,0,3AC=−uuur，()10,0,3DC=uuur，设()111,3,0CPCBCB===−uuuruuuuruur，()0,1，则()11,3,3DPDCCP=+=−uuuruuu

ruuur，设平面PDE的法向量为(),,mxyz=，则33013022mDPxyzmDExz=−++==+=，令3x=，则1z=−，1y+=，所以13,,1m+=−ur，因为1AC⊥平面BDE，所以()13,0,3AC=−uuur可以作为平

面BDE的一个法向量，设锐二面角PDEB−−为，则112213332coscos,11319341mACmACmAC+====++++++uruuururuuururuuur，因为()0,1，所以()11,

+，()2114,++，2220,2141++，所以锐二面角PDEB−−的余弦值得范围为20,2.22.如图，已知椭圆C的焦点为()11,0F−，()21,0F，离心率为22，椭圆C的上、下顶点分别为,AB，右顶点

为D，直线l过点D且垂直于x轴，点Q在椭圆C上（且在第一象限），直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M.（1）求椭圆C的标准方程；（2）判定AOM（O为坐标原点）与ADN△的面积之和是否为定值？若

是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=（2）面积和为定值，定值为22【解析】【分析】（1）根据题意求,,abc即可得到椭圆方程；（2）设()00,Qxy，分别求出点N，M坐标，

然后求三角形面积即可.【小问1详解】设椭圆C方程为22221xyab+=，焦距为2c，则1c=，22ca=，所以2a=，2221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2212xy+=.【小问2详解】由题意得()

0,1A，()0,1B−，直线l：2x=，设点()00,Qxy，002x，001y，则220012xy+=①，直线AQ：0011yyxx−−=，令2x=，则()00211yyx−=+，所以()00211yNDx−

=+，直线BQ：0011yyxx++=，令0y=，则001xxy=+，所以001xOMy=+，()00002111112212AOMADNyxSSyx−+=+++VV()220000222212xyxy+−=

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