【文档说明】广西2024届高三下学期新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学 含解析.docx，共(14)页，790.393 KB，由管理员店铺上传

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2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金卷（四）数学注意事项：1.本卷共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．为了得到函数1cos3y

x=−的图象，只需将正弦函数sinyx=图象上各点（）A．横坐标向右平移123−个单位长度，纵坐标不变B．横坐标向左平移123−个单位长度，纵坐标不变C．横坐标向左平移6个单位长度，

纵坐标不变D．横坐标向右平移6个单位长度，纵坐标不变2．如图1，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量,ij作为基底，若3a=，6=，则向量a的坐标为（）图1A．33,22B．33,22C．33,22

D．33,223．某高中科技课上，老师组织学生设计一个圆台状的器皿材料，其厚度忽略不计，该器皿下底面半径为3cm，上底面半径为10cm，容积为3556cm，则该器皿的高为（）A．5cmB．12c

mC．15cmD．20cm4．抛物线2yax=绕其顶点顺时针旋转90之后，得到的图象正好对应抛物线22yx=，则a=（）A．14−B．14C．12D．12−5．已知有限集X，Y，定义集合|,XYxxXxY−=且，X表示集合X中的元素个数．若1,2,

3,4X=，3,4,5Y=，则()()XYYX−−=（）A．3B．4C．5D．66．“6n=”是“21nxx+的二项展开式中存在常数项”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件

7．在某电路上有C，D两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.3，需要更换D元件的概率为0.2，则在某次通电后C，D有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（）A．310B．913C．1

219D．348．定义：设二元函数(),zfxy=在点()00,xy的附近有定义，当y固定在0y而x在0x处有改变量x时，相应的二元函数(),zfxy=有改变量()()0000,,zfxxyfxy=+−

，如果0limxzx→存在，那么称此极限为二元函数(),zfxy=在点()00,xy处对x的偏导数，记作()00,xfxy．若(),zfxy=在区域D内每一个点(),xy对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数(),zfxy=对自变

量x的偏导函数，记作(),xfxy．已知()22,Fxyxyxy=+−，若(),1Fxy=，则()(),,xyFxyFxy+的取值范围为（）A．(,2−B．2,2−C．(0,2D．)2,+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18

分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（）A．自来水管的横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积．B．在b克盐水中含有a克盐（0ba），

再加入n克盐，全部溶解，则盐水变咸了．C．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率等于2ab+．D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种

物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．用第一种方式购买一定更实惠。10．复数izxy=+（,xyR，i为虚数单位）在复平面内内对应点(),Zxy，则下列为真命题的是（）A．若1

1zz+=−，则点Z在圆上B．若114zz−++=，则点Z在椭圆上C．若112zz+−−=，则点Z在双曲线上D．若11xz+=−，则点Z在抛物线上11．若数列nanb满足12nnnaab+=+，12n

nnbba+=+，且11a=，10b=，则下列结论中正确的是（）A．414a=B．32nnnab+=−C．5158iib==D．若nnab+为等比数列，则1=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，

共15分．把答案填在答题卡的相应位置．12．已知函数()tanfxx=，则曲线()yfx=在x=处的切线方程为______．13．点P为圆22215xy+=上一点，点()53,0A，()0,5B，记P到A，B两点的距离分别为l与m．则22lm+的最大值为______．14．已

知双曲线C的方程为221169xy−=，其左右焦点分别为1F，2F，已知点P坐标为()4,2，双曲线C上的点()00,Qxy（00x，00y）满足11211121QFPFFFPFQFFF=，设12Q

FF△内切圆半径为r，则r=______，1212FPQFPQPFFSSS−+=△△△______．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知()2sinsinsinsinsinBCABC+=+．（1）求A；（2）若3a=，BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值．16．（本小题满分15分）在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在1BB，1DD上，

且1AFAD⊥，1AABD=．图2（1）求证：平面1ACD⊥平面AEF；（2）当3AD=，4AB=，求平面11DBBD与平面1ACD的夹角的余弦值．17．（本题满分15分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累

积分布函数为()()FxPXx=．已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成（如图3），在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．图3（1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布()40

,4N，且X的积累分布函数为()Fx，求()()4236FF−；（2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累计分布函数为()0,011,04

ttGtt=−．设120tt，证明：()()1212|PTtTtPTtt=−；附：若随机变量Y服从正态分布()2,N，则()0.6827PY−=，()20.9545PY−=

，()30.9973PY−=．18．（本小题满分17分）已知椭圆2222:1xyCab+=()0ab的离心率为12，A，B，O分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点D为椭圆C上异于A，B的一动点，DAB△面积的最大值为23．图4（1）求椭圆

C的方程；（2）过右焦点F的直线交椭圆C于M、N两点，直线:4lx=交x轴于P，过M、N分别作l的垂线，交l于S、T两点，H为l上除点P的任一点．（ⅰ）证明：24MPNMPSNPTSSS=△△△；（ⅱ）设直线HM、HN、HF的斜率分别为1k

、2k、3k，求123kkk+的值．19．（本小题满分17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：23e12!2!!nxxxxxn=++++++以上公式成为泰勒公式．设()ee2xxfx−−=，()ee2xxgx−+=，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题．（

1）证明：e1xx+；（2）设()0,x+，证明：()()fxxgx；（3）设()()212xFxgxa=−+，若0x=是()Fx的极小值点，求实数a的取值范围．2024学年新教材新高考桂柳信息冲刺金

卷（四）数学参考答案1．B（把sincos2yxx==−上的所有点向左平移123−个单位长度，得到函数1cos3yx=−的图象．故应选B．）2．A（由题意得，333cos3sin,6622aij

=+=．故应选A．）3．B（由题意得，1(910030)5563h++=，解得12h=．故应选B．）4．D（抛物线22yx=即212xy=的开口向上，将其绕顶点逆时针方向旋转90，得到的抛物线开口向左，其方程为22xy=−，所以2xxa−=，则1

2a=−，故应选D．）5．A（∵1,2,3,4X=，3,4,5Y=∴1,2XY−=，5YX−=，∴()()1,2,5XYYX−−=，∴()()3XYYX−−=故应选A．）6．A（21nxx+展开式的通项为：()22311CC(0,)rnrrrnrrnnT

xxrnrx−−+==N；当6n=时，取4r=，则4056C15Tx==，故充分性成立；当230nr−=时，1nxx+展开式中存在常数项，如128nr==，故必要性不成立；所以“6n=

”是“1nxx+的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件．故应选A．）7．C（记事件E：在某次通电后C，D有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换，则()0.3(10.2)(10.3)0.20.38PE=−+−=，()0.3(10.2)0.24PEF=−=

由条件概率公式可得()()0.2412|()0.3819PEFPFEPE===．故应选C．）8．B（依题意，222200()()(,)limlimxxxzxxyxxyxyxyFxyxx→→++−+−−+==0lim(2)2xxyxxy→=−+

=−同理可求得(,)2yFxyyx=−，所以(,)(,)xyFxyFxyxy+=+，设zxy=+，则yxz=−+，由22(,)1Fxyxyxy=+−=，得22()()10xxzxxz+−+−−+−=，223310xzxz−+−=，此方程有

解，所以()22291213120zzz=−−=−+，24z，22z−．故应选B．）9．AB对于选项A：设周长为0l，则圆的面积为2224llS==圆，正方形的面积为22416llS==正方形，因为11

416，20l，可得22416ll，即SS圆正方形，故A正确；对于选项B：原盐水的浓度为ab，加入0n克盐，盐水的浓度为anbn++，则()()ananbabnbbbn+−−=++，因为0ba，0n，可得0ba−，0bn+，所以()

0()ananbabnbbbn+−−=++，即anabnb++，故B正确；对于选项C：设这两年的平均增长率为x，则2(1)(1)(1)AabAx++=+，可得(1)(1)1xab=++−，因为(1)(1)1(1)(1)122ababxab++++=++=+，即2abx+，当

且仅当11ab+=+，即ab=时，等号成立，即这两年的平均增长率不大于2ab+，故C错误；对于选项D：按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p元/kg，购nkg，第二次购物时的价格为2p元/kg，购nkg，两次购物的平均价格为121222pnpnppn++=；若

按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购1mpkg物品，第二次仍花m元钱，能购2kgmp物品，两次购物的平均价格为12122211mmmpppp=++．比较两次购的平均价格：()()()()22121212121212121212124220112222

pppppppppppppppppppp+−−++−=−==++++，当且仅当12pp=时，等号成立，所以第一种策略的平均价格不低于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，故D错误；故应选AB．）10．BD（22|1|(1)zxy+=++表示点(,)xy与(1,0)−之间的距离，22

|1|(1)zxy−=−+表示点(,)xy与(1,0)之间的距离，记1(1,0)F−，2(1,0)F，对于A，|1||1|zz+=−，表示点(,)Zxy到1F、2F距离相等，则点Z在线段12FF的中垂线上，故A错误；或由2222(1)

(1)xyxy++=−+，整理得0x=，所以点Z在0x=，故A错误；对于B，由|1||1|4zz−++=得12122ZFZFFF+=，这符合椭圆定义，故B正确；对于C，若|1||1|2zz+−−=，12122ZFZFFF−=

=，这不符合双曲线定义，故C错误；对于D，若|1||1|xz+=−，则222(1)(1)xxy+=−+，整理得24yx=，为抛物线，故D正确．故应选BD．）11．ACD（依题意，112,2nnnnnnaabbba++=+=+，则()113nnnnabab+++=+，而111ab

+=，因此数列nnab+是首项为1，公比为3的等比数列，13nnnab−+=，B错误．又11nnnnabab++−=−，因此111nnabab−=−=，于是1312nna−+=，1312nnb−−=，对于A，3431142a+==，A正确；对于C，51014134058iib=

=++++=，C正确；对于D，111ab+=，222ab+=+，3354ab+=+，由nnab+为等比数列，得2(2)54+=+，解得1=或1=−，当1=时，13nnnab−+=，显然数列nna

b+是等比数列，当1=−时，1nnab+=，显然数列nnab+是等比数列，因此当数列nnab+是等比数列时，1=或1=−，D正确．故应选ACD．）12．yx=−（由已知2sin1()coscosxfxxx==，则21()

1cosf==，又()tan0f==，即切点为(,0)，所以曲线()yfx=在x=处的切线方程为yx=−．故答案为：yx=−．）13．850（(53,0)A，(0,5)B，设(15cos,15sin),PR，则2222

22(15cos53)(15sin)(15cos)(15sin5)lm+=−+++−2252100150(3cossin)=+−+550300sin3=−+，故最大值为850．）14

．218（设12QFF△内切圆与三边的切点分别为D，E，G，如图，则1122||||,|,|||QDQGFDFEFEFG===∣，Q在双曲线右支上，由双曲线定义得1228QFQFa−==，则()12121

2||||QDDFQGGFDFGFEFEF+−+=−=−2a=，又122EFEFc+=，故1EFac=+，即E点横坐标为a，即12QFF△内切圆的圆心横坐标为a，由11212111QFPFFFFFPFQF=，得11112112121coscosFFQFPF

PFQPFPFFQFFF=，即112PFQPFF=，即1PF为12QFF的角平分线，由于点P坐标为(4,2)，12QFF△内切圆的圆心横坐标为4a=，则P即为12QFF△内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为||2PE=；()()121212121112(22)281

018222FPQFPQPFFSSSrQFQFFFac−+=−+=+=+=△△△，故答案为：2；18．）15．（1）由题设及正弦边角关系可得：22()bcabc+=+，则222bcabc+−=−，而2221cos22bcaAbc+−==−，且(0,)A，则23A

=．（2）因为23,3aA==，所以由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即223bcbc=++，所以22323bcbcbcbcbc=+++=，即1bc（当且仅当1bc==时，等号成立），因为ABCABDACDSSS=+△△△，所以1211sinsinsin2

32323cbcADbAD=+，解得bcADbc=+，因为2bcbc+（当且仅当1bc==时，等号成立），所以11222bcbcADbcbcbc==+（当且仅当1bc==时，等号成

立），所以AD长度的最大值为12．16．（1）证明：1111ABCDABCD−为长方体CD⊥平面11AADDAF平面11AADD∴CDAF⊥又1AFAD⊥，且1CDADD=∴1AFACD⊥平面AF平面AEF平面AEF⊥

平面1ACD（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC，1DD分别为x，y，z轴的空直角坐标系，15AABD==则11(3,0,0),(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5)ABCAD，则111(0,0,5),(3,4,0),(3,4,5),(3,0,5)D

DDBACAD===−−=−−设平面1ACD的法向量为n．则1100nAnACD==，即3450350xyzxz−+=+=令5x=，则3z=−．(5,0,3)n=−．设平面11DBBD的法向量为(,,)mxyz=，则134050mDBxymDDz=+===，

令4x=，则3,0yz=−=，所以平面11DBBD的法向量为(4,3,0)m=−，设平面1ACD与平面11DBBD的夹角为，则20234cos|cos,|17||||345mnmnmn====，所以平面1ACD与平面11DBBD的夹角的余弦值为2341717．（1）由题设

得(3842)0.6827,(3644)0.9545PXPX==，所以(42)(36)(42)(36)(4042)(3640)FFPXPXPXPX−=−=+1(0.68270.9545)0.81862=+=（2）由题设得：()()()()()()()()()()121

111222221111PTtTtPTtPTtGtPTtTtPTtPTtPTtGt−−====−−∣1121221111444111144tttttt−−−===−−()()()21121212114ttPTttP

TttGtt−−=−−=−−=，所以()()1212PTtTtPTtt=−∣．18．（1）由题意知2221212232abccaab=+==，解得2a=，3b=，所以C的方程为22143xy+=；（2）ⅰ解：易知点(4,

0)P、(1,0)F，若直线MN与x轴重合，则M、P、N重合，则MPN△不存在，不合乎题意，设直线MN的方程为1xmy=+，设点()11,Mxy、()22,Nxy，联立2213412xmyxy=++=可得()2234690mymy++−=，()()2223636431

4410mmm=++=+，由韦达定理可得122634myym+=−+，122934yym=−+，所以，()()()2212112211143444222MPNMPSNPTSSSyyyxyx−

=−−−−△△△()()()21212121294334yyyyyymymy=+−+−−()()22121212121294394yyyyyymyymyy=+−+−++()222222229363693

(6)9943434343434mmmmmmmmm−=+−−−+++++()()222222936362736189034mmmmm+−−−+==+．ⅱ解：设点(4,)Ht，其中0t，则12121212312443333ytytkkxxytyttk

tmymy−−++−−−−==+−−()()()()()()12211233333ytmyytmytmymy−−+−−=−−()()1212212122(3)6339myymtyyttmyymyy−+++=−++()()2222222226342(9)(6)(3)334343

493493(6)343434tmmmmtmmmtmmmmmmm+−−+−++++=+−−−++++()()2222222721318186241829183627361mmmmtttmtmm

mm+−++++===−++++．19．（1）设()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−．当0x时，()0hx；当0x时，()0hx，所以()hx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增．因此，()(0)0hxh=，即e1xx+．

（2）由泰勒公式知2345e12!3!4!5!!nxxxxxxxn=++++++++，①于是2345e1(1)2!3!4!5!!nxnxxxxxxn−=−+−+−++−+，②由①②得3521ee()23!5!(21)!xxnx

xxfxxn−−−==+++++−，2422ee()122!4!(22)!xxnxxxgxn−−+==+++++−，所以2422()13!5!(21)!nfxxxxxn−=+++++−24221()2!4

!(22)!nxxxgxn−+++++=−．即()()fxxxgx．（3）22ee()()11222xxxxFxgxaa−+=−+=−+，则ee()2xxFxax−−=

−，设ee()2xxGxax−−=−，ee()2xxGxa−+=−．由基本不等式知，ee12ee122xxxx−−+=，当且仅当0x=时等号成立．所以当1a时，()10Gxa−，所以()Fx在R上单调递增．又因为()Fx是奇函数，且(0

)0F=，所以当0x时，()0Fx；当0x时，()0Fx．所以()Fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增．因此，0x=是()Fx的极小值点．下面证明：当1a时，0x=不是()Fx的极小值点．当1a时，lnlnee1111(ln)0222aaGaaaaaaa−+

=−=+−=−，又因为()Gx是R上的偶函数，且()Gx在(0,)+上单调递增，所以当(ln,ln)xaa−时，()0Gx．因此，()Fx在(ln,ln)aa−上单调递减．又因为()Fx是奇函数，且(0)0F=，所以当ln0ax−时，()0Fx；

当0lnxa时，()0Fx．所以()Fx在(ln,0)a−上单调递增，在(0,ln)a上单调递减．因此，0x=是()Fx的极大值点，不是()Fx的极小值点．综上，实数a的取值范围是(,1]−．