【文档说明】【精准解析】浙江省温州市普通高中2020届高三下学期4月适应性测试数学试题.doc，共(19)页，1.833 MB，由小赞的店铺上传

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2020年4月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题选择题部分（共40分）一、选择題：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}Ax

Rx=，2|1BxRx=，则()AB=Rð()A.(1,3]−B.[1,3]−C.(,3)−D.(,3]−【答案】A【解析】【分析】化简集合B,求出其补集，再利用并集的定义求解即可.【

详解】因为()2|1,11,BxRx==−−+，，所以()1,1B=−Rð，又因为{|13}1,3AxRx==，所以()AB=Rð(1,3]−，故选：A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两

集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A或不属于集合B的元素的集合.2.已知复数()()1iai++为纯虚数(i为虚数单位)，则实数a=（）A.-1B.1C.0D.2【答案】B【解析】【分析】化简得到()11zaai=−++，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】()()()11

1iaaiiza==−++++为纯虚数，故10a−=且10a+，即1a=.故选：B.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.设实数,xy满足条件202300xyxyxy+−−+−„…„则

1xy++的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，1zxy=++，即1yxz=−+−，z表示直线在y轴的截距加上1，根据图像知，当

2xy+=时，且1,13x−时，1zxy=++有最大值为3.故选：C.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这

样的试验中成功次数X的期望为（）A.13B.12C.1D.2【答案】C【解析】【分析】每一次成功的概率为2163p==，X服从二项分布，计算得到答案.【详解】每一次成功的概率为2163p==，X服从二项分布，故()1313EX==.故选：C.【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考

查学生的计算能力和应用能力.5.设()(),0,11,ab+，则"ab="是"ablogbloga="的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析

】【分析】根据题意得到充分性，验证12,2ab==得出不必要，得到答案.【详解】()(),0,11,ab+，当"ab=时，loglogabba=，充分性；当loglogabba=，取12,2ab==，验证成立，

故不必要.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.6.若()2019200119201xaaxaxax+=++++，则01910aaaa++++的值为（）A.192B.191020122C−C.191020122C

+D.1910202C+【答案】C【解析】【分析】计算20nnaC=，根据对称性得到答案.【详解】()201x+展开式的通项为：120rrrTCx+=，故20nnaC=，()2019200119201xaaxaxax+=++++，根据对称性知：1

0200110191020019102020202021...2222CaaaaCCCC++++=+++=+=+.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.已知双曲线22221(0,0xyabab−=)，其右焦点F的坐标为(),0c，点A是第一象限内双曲

线渐近线上的一点，O为坐标原点，满足2||cOAa=，线段AF交双曲线于点M.若M为AF的中点，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.233D.43【答案】C【解析】【分析】计算得到,bcAca，,2bcMca

，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为byxa=，A是第一象限内双曲线渐近线上的一点，2||cOAa=，故,bcAca，(),0Fc，故,2bcMca，代入双曲线化简得到：22314c

a=，故233e=.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.如图，在ABC中，点M是边BC的中点，将ABM沿着AM翻折成'ABM，且点B不在平面AMC内，点P是线段

'BC上一点.若二面角PAMB−−与二面角PAMC−−的平面角相等，则直线AP经过ABC的（）A.重心B.垂心C.内心D.外心【答案】A【解析】【分析】根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到'PBMPCMSS

=，得到答案.【详解】二面角PAMB−−与二面角PAMC−−的平面角相等，故P到两个平面的距离相等.故'PABMPACMVV−−=，即'APBMAPCMVV−−=，两三棱锥高相等，故'PBMPCMSS=，故'BPCP=，故P为'CB中点.故选：A.【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在

考查学生的计算能力和空间想象能力.9.定义在R上的函数()yfx=满足()12xfx−，且()1yfx=+为奇函数，则()yfx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据()1yfx=+为奇函数，得到函

数关于()1,0中心对称，排除AB，计算()21.5f排除C，得到答案.【详解】()1yfx=+为奇函数，即()()11fxfx+=−−+，函数关于()1,0中心对称，排除AB.()1.5112.52f−=，排除C.故选：D.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于()1,0中心

对称是解题的关键.10.已知数列na满足：()*1212,5N1,6nnnanaaan−=−.若正整数(5)kk使得2221212kkaaaaaa+++=成立，则k=()A.16B.17C.18D.19【答案】B【解析】【分析】由题意可得12345

2aaaaa=====，56123512131aaaaa=−=−=，6n…时，1211nnaaaa−=+，将n换为1n+，两式相除，211nnnaaa+=−+，6n…，累加法求得22267165kkaaaaak++

++=−+−即有2221216120516kkkaaaaakak+++++=+−+−=+−，结合条件，即可得到所求值．【详解】解：1212,5(*)1,6nnnanNaaan−=−„…，即123452

aaaaa=====，56123512131aaaaa=−=−=，6n…时，1211nnaaaa−=+，1211nnaaaa+=+，两式相除可得111nnnaaa++=+，则211nnnaaa+=−+，6n…，由26761aaa

=−+，27871aaa=−+，，211kkkaaa+=−+，5k…，可得22267165kkaaaaak++++=−+−2221216120516kkkaaaaakak+++++=+−+−=+−，且1211kkaaaa+=+，正整数(5)kk…时，要使得2221212kkaaa

aaa+++=成立，则11161kkaka+++−=+，则17k=，故选：B．【点睛】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.非选择题部分（共110分

）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_______日当天新增治愈人数

超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多________人.【答案】(1).8(2).11【解析】【分析】直接观察图像得到答案.【详解】根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊

人数，2月8日新增确诊人数为：44843810−=，新增治愈人数704921−=，故多11人.故答案为：8；11.【点睛】本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解能力和应用能力.12.已知向量,ab满足2,1,1ab

ab===，则ab+=________，b的a上的投影等于________.【答案】(1).7(2).12【解析】【分析】计算()227abab+=+=，得到7ab+=，再根据投影公式计算得到答案.【详解】()222227abababab+=

+=++=，故7ab+=；b的a上的投影等于12aba=.故答案为：7；12.【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）为________，最长棱的长度（单位：cm）为________.【答

案】(1).23(2).5【解析】【分析】根据三视图可得原几何体（如图所示），根据三视图中的数据可求三棱锥的体积及最长棱的长度.【详解】由三视图可得几何体如图所示：由三视图可得BCD为直角三角形，90BCD=

，AD⊥平面BCD.边BD上的高为3，4BD=，棱锥的高为3AD=，故体积为113432332=,因为BC平面BCD，故BCAD⊥，而BCCD⊥，ADCDD=，AD平面ACD，CD平面ACD，故BC⊥平面ACD，因为AC

平面ACD，故BCAC⊥，所以三棱锥最长棱为AC，且22345AC=+=.故答案为：（1）23；（2）5.【点睛】本题考查三视图、三棱锥的体积以及最长棱的计算，复原几何体时要注意三视图中的点线的关系与几何体中点线面的关系的对应，本题属于基础题.14.在ABC中，D为BC的中点，若1B

D=，4B=，3cos5ADB=−，则AB=________，sinCAD=________【答案】(1).25(2).2525【解析】【分析】计算4sin5ADB=，2sin10BAD=，根据正弦定理得到42A

B=，5AD=，再利用余弦定理计算得到25AC=，再根据正弦定理计算得到答案.【详解】3cos5ADB=−，,2ADB，故4sin5ADB=，222sinsinsincos42210BADADBADBADB=+=+=

.根据正弦定理：sinsinsinABBDADADBBADB==，即42AB=，5AD=.3coscos5ADCADB=−=，4in5sADC=.根据余弦定理：2222cos20ACADCDADCDADC=+−=，故25AC=.根据

正弦定理：sinsinCDACCADADC=，解得2in255sCAD==.故答案为：25；2525.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.15.已知实数,xy满足()22241,xyy−+=则2xy+的最大值为________.【答案】2

【解析】【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：()()222222412xyyxyy−+−+=，故22xy+，当22xyy−=，即328x=，24y=时等号成立.故答案为：2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用

均值不等式，三角换元求得答案.16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________

种不同的放法.【答案】20【解析】【分析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案.【详解】当四个盒子有球时：246C=种；当三个盒子有球时：1112222212CCC+=种；当两个盒子有球时：222A=种.故共有20种，故答案为：20.【点睛】

本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.17.已知点P是直线1yx=+上的动点，点Q是抛物线2yx=上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则OM的最小值为________.【答案】3216【解析】【分析】过点Q作直线平行于1yx=+，则M在两条平行线的

中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【详解】如图所示：过点Q作直线平行于1yx=+，则M在两条平行线的中间直线上，2yx=，则'21yx==，12x=，故抛物线的与直线平行的切线为14yx=−.

点M为线段PQ的中点，故M在直线38yx=+时距离最小，故3328162d==.故答案为：3216.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文宇说

明、证明过程或演算步骤.18.设函数f()sin(2)sin(2),63xxx=−++xR.(I)求()fx的最小正周期；(II)若(,)6且1()22f=，求sin(2)6+的值.【答案】(I)；(II)74−【解析】【分析】(I)化简得到()2sin212fx

x=+，得到周期.(II)1()2si1n222f=+=，故2124sin+=，根据范围判断4cos1124+=−，代入计算得到答案.【详解】(I)()sin2sin2sin2co

s26366fxxxxx=−++=−+−12sin22x=+，故22T==.(II)1()2si1n222f=+=，故2124si

n+=，4cos1124+=，(,)6，故13,12412+，12cossin12++，故3,412+，故4cos1124+=−，17sin(2

)2sinco6412s2+=++=−.【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.在三棱锥SABC−中，90,45,60,BACSBASCASABSAC

D=====为棱AB的中点，2SA=(I)证明：SDBC⊥；(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析；(II)15【解析】【分析】(I)过D作DEBC⊥于E，连接SE，根据勾股定理得到SEBC⊥，DE

BC⊥得到BC⊥平面SED，得到证明.(II)过点D作DFSE⊥于F，证明DF⊥平面SBC，故ESD为直线SD与平面SBC所成角，计算夹角得到答案.【详解】(I)过D作DEBC⊥于E，连接SE，根据角度的垂直关系易知：1AC=，2ABSB==，3CSCB==，故3c

os3BEBDCBD==，6sin6DEBDCBD==，233CE=.根据余弦定理：221423333232233SESESESE+−+−=−，解得253SE=，故222SBSEBE=+，故SEBC⊥，DEBC

⊥，SEDEE=，故BC⊥平面SED，SD平面SED，故SDBC⊥.(II)过点D作DFSE⊥于F，BC⊥平面SED，DF平面SED，故DFBC⊥，DFSE⊥，BCSEE=，故DF⊥平面SBC，故ESD为

直线SD与平面SBC所成角，22252SDSBBD=+=，根据余弦定理：22226cos25SESDDEESDSESD+−==，故1sin5ESD=.【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.已知等差数列,na和等比数列

nb满足：311249351,*,3,330.nbabbNaaabab==++==−(I)求数列{}na和nb的通项公式；(II)求数列21nnnaa+的前n项和nS.【答案】(I)21nan=−，13nnb−=；(II)()2221nnn++【解

析】【分析】(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)211111482121nnnaann+==+−−+，利用裂项相消法计算得到答案.【详解】(I)311249351,3,330babaaabab==++==

−，故()224312331130dqqdq+=+−=−，解得23dq==，故21nan=−，13nnb−=.(II)()()()()22221111212141442121nnnnnaannnnn+===+−+

−−+1111482121nn=+−−+，故()21114821221nnnnSnn+=+−=++.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21.如图，已知椭圆22:14xCy+=，F为其右焦点，直线()0:kyxml

mk+=与椭圆交于1122(,),(,)PxyQxy两点，点,AB在l上，且满足,,PAPFQBQFOAOB===.(点,,,APQB从上到下依次排列)(I)试用1x表示PF：(II)证明：原点O到直线l的距离为定值.【答案

】(I)13||22FPx=−；(II)证明见解析【解析】【分析】(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设()33,Axy，()44,Bxy，联立方程得到2121222844,4141kmmxxxxkk−−+==++，34221kmxxk−+

=+，代入化简得到221mk=+，计算得到证明.【详解】(I)椭圆22:14xCy+=，故()3,0F，()()222221111111133||3312342442FPxyxxxxx=−+=−+−=−+=−.(II)设()33,Axy，

()44,Bxy，则将ykxm=+代入2214xy+=得到：()222418440kxkmxm+++−=，故2121222844,4141kmmxxxxkk−−+==++，2221244141kmxxk+−−=+，OAOB

=，故()3434343421kxxmyyxxxxk+++==−++，得到34221kmxxk−+=+，PAPF=，故21313122kxxx+−=−，同理：24223122kxxx+−=−，由已知得：3124

xxxx或3124xxxx，故()()2123421312kxxxxxx++−+=−，即222222824112341141kmkmkmkkkk−+−++=+++，化简得到221mk=+.故原点O到直线l的距离为211

mdk==+为定值.【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知,abR，设函数2()1xfxeaxbx=−−+(I)若0b=，求()fx的单调区间：(II)当)0,x+时，()f

x的最小值为0，求5ab+的最大值.注：2.71828e=…为自然对数的底数.【答案】(I)详见解析；(II)2e【解析】【分析】(I)求导得到'()xfxea=−，讨论0a和0a两种情况，得到答

案.(II)1125022eabf−−=，故52abe+，取34ea=，54eb=，求导得到单调性，得到()min102fxf==，得到答案.【详解】(I)()xfxeax=−，'()xfxea=−，当0a时，'()0xfxea=−

恒成立，函数单调递增；当0a时，'()0xfxea=−=，lnxa=，当(),lnxa−时，()'0fx函数单调递减；当()ln,xa+时，()'0fx函数单调递增.综上所述：0a时，()fx在R上单调递增；0a时，(

)fx在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.(II)2()10xfxeaxbx=−−+在)0,x+上恒成立；1125022eabf−−=，故52abe+，现在证明存在,ab，52abe+=，

使()fx的最小值为0.取34ea=，54eb=，（此时可使1'02f=），()222'()e,''()e111xxbxbfxafxxxx=−−=−+++，514eb=，故当)0,x+上时，()22111,e1xxx++，故''()0fx，()'fx在)0,x+上

单调递增，1'02f=，故()fx在10,2上单调递减，在1,2+上单调递增，故()min102fxf==.综上所述：5ab+的最大值为2e.【点睛】本题考查了函数单调性

，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.