【文档说明】新疆阿图什市克孜勒苏柯尔克孜自治州第一中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.457 MB，由小赞的店铺上传

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克州一中2022-2023学年第一学期期中考试试卷高二年级数学（考试时间120分钟满分150分）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线310xy++=的倾斜角是（）A.34B.23C.4D.56【答案】B【解析】【分析】

设直线的倾斜角为，根据直线方程求得斜率，然后利用tank=求解.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线方程为310xy++=，所以直线的斜率为3−，所以tan3=−，因为[0,)，所以23=.故选：B2

.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),Cxy，则()()2234

1xy−+−=，化简得()()22341xy−+−=，所以圆心C的轨迹是以(3,4)M为圆心，1为半径的圆，所以||1||OCOM+22345=+=，所以||514OC−=，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.3.已知空间四点(

)1,2,1A−，()2,1,1B−，()3,1,1C−−，(),0,1Dm共面，则m=（）A.0B.2C.4D.6【答案】D【解析】【分析】根据四点共面推出向量共面，再根据共面向量定理列式可求出结果.【详解】因为()1,2

,1A−，()2,1,1B−，()3,1,1C−−，(),0,1Dm，所以(1,3,2)AB=−，(1,2,2)ADm=−−，(4,1,0)AC=−−因为空间四点()1,2,1A−，()2,1,1B−，()3,1,1C−−，

(),0,1Dm共面，所以AB、AC、AD共面，所以存在实数,xy使得ADxAByAC=+，所以(1,2,2)(1,3,2)(4,1,0)mxy−−=−+−−，所以142322mxyxyx−=−−=−−=，解得116xym=

=−=.故选：D4.已知圆过(1,2)A−，(1,0)B，(3,0)C−三点，则圆的方程是（）A.22490xyx+−−=B.22450xyx++−=C.22270xyx+−−=D.22230xyx++−=【答案】D【解析】

【分析】设圆的方程为220xyDxEyF++++=，解方程组142010930DEFDFDF+−++=++=−+=即得解.【详解】设圆的方程为220xyDxEyF++++=，由题意得142010930

DEFDFDF+−++=++=−+=，解得2D=，0E=，3F=−．圆的方程是22230xyx++−=．故选：D．【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.5.如图，在平行六面体ABCDA

BCD−中，点M为AC与BD的交点，若ABa=，ADb=，AAc=，则下列向量中与BM相等的向量是（）.A.1122abc−+−B.1122abc++C.1122abc−+D.1122abc−−

+【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到1122BMABADAA=−+−，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得12BMBBBMAABD=+=+1111111()2222222A

AADABAAADABABADAAabc=+−=+−=−+−=−+−.故选：A.6.若过点(1,0)P−的直线与以点(1,2),(2,3)AB−为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（）A.2,43B.,43C.20,,43

D.20,,423U【答案】A【解析】【分析】先在直角坐标系中作出,,PAB三点，再求出,PAPB的斜率，进而求出对应的倾斜角，结合图象可知直线的倾斜角的取值范围.【详解】如图所

示，设PA的倾斜角为，PB的倾斜角为，则所求直线的倾斜角的取值范围为,，易得20tan111PAk−===+，30tan321PBk−===−−+，又因为0,0，所以2,43==，所以所求直线的倾斜角的取值范围为2,43.故选：A.7.若

圆2221:240Oxymxm+−+−=与圆2222:24480Oxyxmym++−+−=相切，则实数m的取值集合是（）A.12,25−B.2,05−C.122,,255−−D.122,,0,255−−【答案】D【解析】【分析】

将圆的方程化为标准式，即可求出圆心坐标与半径，再分两圆相内切与外切两种情况讨论，分别得到方程，解得即可；【详解】解：圆2221:240Oxymxm+−+−=，即圆221:()4Oxmy−+=，圆心为()1,0Om，半径12r=，圆2222:24480Oxyxmym+

+−+−=，即222:(1)(2)9Oxym++−=，圆心为()21,2Om−，半径23r=；当两圆相外切，则圆心距等于半径之和，22(1)(2)5mm++=，解得2m=或125m=-，当两圆相内切，

则圆心距等于半径之差，22(1)(2)1mm++=，解得0m=或25m=−，综上可得122,,0,255m−−；故选：D8.已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，P

B=5，BC=3，PC=2，则该球的表面积为（）A.6πB.8πC.12πD.16π【答案】A【解析】【分析】首先利用补体，将三棱锥补体在长方体中，然后根据条件求长方体的外接球的半径和该球的表面积.【详解】如图，三棱锥−PABC补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接

球的直径()()()22222222222PAABABACPAACRPAABAC+++++=++=22262PBBCPC++==，即62R=，则该球的表面积246SR==.故选：A【点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力

，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为,,abc，那么外接球的直径2222Rabc=++，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立R的方程.二、选择题；本题共4小题

，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知空间向量()211a=−−，，，()345b=，，，则下列结论正确的是（）A.()56aab⊥+B.53ab=C.()2//aba+D.a在b上的投影

向量为3211052−−−，，【答案】ABD【解析】【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示可判断AC；直接求向量的模可判断B；分别求出a在b上的投影和与b同向的单位向量，然后根据投影向量的定义计算可判断D.【详解】因为56(10,5,5)(18,24

,30)(8,19,35)ab+=−−+=所以(56)(2,1,1)(8,19,35)1619350aab+=−−=−−+=，所以(56)aab⊥+，A正确；因为5541156a=++=，339162556

b=++=，所以B正确；2(1,2,7)ab+=−，因为211127−−−，所以2ab+与a不平行，故C错误；a在b上的投影6452252abb−−+==−，与b同向的单位向量为345525252bb=，，，所以a在b上的投影向量为2345321(,

,)(,,)21052525252−=−−−，D正确.故选：ABD10.下列选项正确的是（）A.过点(1,2)−且和直线3270xy+−=垂直的直线方程是2380xy−+=B.若直线l的斜率[1,3]k−，则直线倾斜角的取值范围是3,,3224C

.若直线1:210lxy−+=与2:220lxay+−=平行，则1l与2l的距离为255D.已知点(3,4)A−−，则点A关于原点对称点的坐标为(3,4)【答案】ACD【解析】【分析】对于A，结合直线垂直的性质，即可求解，对于B，结合直线

斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于C，结合直线平行的性质，即可求解，对于D，根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解．【详解】对于A，设与直线3270xy+−=垂直的直线方程为：230xyc−+=，把点(1,2)−代入230x

yc−+=，解得8c=，过点(1,2)−，且与直线3270xy+−=垂直直线方程是2380xy−+=，故正确；对于B，tan[1,3]=−k，且[0，)，当tan[1−，0)时，3[,)4，当

tan[0,3]时，[0,]3，直线倾斜角的取值范围是3[0,][,]34，故错误；对于C，若直线1:210lxy−+=与2:220lxay+−=平行，则22121a−=−，解得4a=−，的故1:210lxy−+

=与2:210lxy−−=的距离是：225514d==+，故正确；对于D，点A关于原点对称点的坐标为(3,4)，故正确．故选：ACD．11.过点()2,4P作圆()()22111xy−+−=的切线，则切线方程为（）A.3440xy+−=B

.4340xy−+=C.=2xD.=4y【答案】BC【解析】【分析】根据题意分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程．【详解】根据题意知圆22(1)(1)1xy−+−=的圆心为(1,1)，半

径=1r，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为=2x，符合题意；若切线的斜率存在，设切线方程为4(2)ykx−=−，即240kxyk−−+=，则有2|3|11kk−=+，解可得43k=，所以切线方程为4340xy−+=，综上可知，切线方程为=2x或4340xy−+=.故选：BC．12

.已如函数()3exfxx=，则以下结论正确的是（）A.函数y＝f（x）存在极大值和极小值B.()()()2e1lnπfff−C.函数y＝()fx存在最小值D.对于任意实数k，方程()fx＝kx最多有3个实数解【答案】BC【解析】【分析】利用导数证明函数在x＝－3

处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；利用函数的单调性证明B正确；证明()fx＝kx有4个实数解，故D错误.【详解】解：()()322e3ee3xxxfxxxxx=+=+，当x＞－3时，()0fx¢>，函数()

fx单调递增，当x＜－3时，()0fx，函数()fx单调递减，函数在x＝－3处取得极小值，也是最小值，没有极大值，A错误，C正确；当x＞－3时，函数()fx单调递增，且23e1lnπ−−，所以()2ef−()1f()lnπf，B正确：由()fx＝kx

得3exxkx=有一零点x＝0，令()2exhxx=，则()()e2xhxxx=+，如图，当x＞0或x＜－2时，()0hx，函数()hx单调递增，当－2＜x＜0时，()0hx，函数()hx单调递减，又()242e

h−=，h（0）＝0，当240ek时，()hx与y＝k有3个交点，此时()fx＝kx有4个实数解，故D错误，故选：BC.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13.在正方体1111ABCDABCD−中，二面角1ABDC−−的余弦值为______．【答案】12−##0.5−【解

析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−

棱长为1，则()1,0,0A，()1,1,0B，()0,1,0C，()10,0,1D，()0,1,0AB=，()11,0,1AD=−，()1,0,0CB=，()10,1,1CD=−．设平面1ABD和平面

1CBD的法向量分别为()1111,,nxyz=和()2222,,nxyz=，则11111100ABnyADnxz===−+=，取11x=，得()11,0,1n=，22122200CBnxCDnyz===−+=，取21y=，得()20,1,1n=，则12121

21cos,2nnnnnn==，显然二面角1ABDC−−是钝二面角，所以其余弦值为12−．故答案为：12−14.已知点,PQ分别是圆22:(2)(1)1Cxy++−=及直线:340lxy−=上的动点，O是坐标原点则||OPOQ−最小值为_____.【答案】1【解析】【分析

】因为||||−=OPOQQP，表示圆上的点到直线上点的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.【详解】因为||||−=OPOQQP，表示两点间的距离，又因为,PQ分别是圆22:(2)(1)1Cxy++−

=及直线:340lxy−=上的动点，所以||||−=OPOQQP的最小值为圆心到直线的距离减半径，圆心到直线的距离1025d==所以圆上的点到直线的最小值为1dr−=所以||OPOQ−最小值为1故答案为：1【点睛】本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合

的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.ABC中，A为动点，()2,0B−，()2,0C且满足sinsin2sinCBA+=，则A点的轨迹方程为______．【答案】221(0)1612xyy+=.【解析】【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.【详解】根

据正弦定理，由sinsin2sin28CBAABACBCABACBC+=+=+=，所以点A点的轨迹是以()2,0B−，()2,0C为焦点的椭圆，不包括两点(4,0),(4,0)−，由2228,244,223acacbac=====−=，所以A点的轨迹方程为221(0)1

612xyy+=，故答案为：221(0)1612xyy+=.16.已知空间向量()2,3,4a=，()1,0,1b=−，那么a在b上的投影向量为___________.【答案】()1,0,1−【解析】【分析】根据向量的数量积的概念与几何意义，结合投影向量的计算方法，即可求解.【详

解】由题意，空间向量()2,3,4a=，()1,0,1b=−，可得()()1,02,3,42,,12bab=−−==，所以a在b上的投影向量为()()21,0,11,0,1212abbbb−−=−=，故答案为：()1,0,1−.四、解答题；本题

共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知圆22:(1)9Cxy−+=内有一点()2,2P，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦AB的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线3410xy−−=平行，求弦AB的长.【答案】（1）260xy+−=（2）4

2【解析】【分析】（1）由题意，1lPCkk=−，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.【小问1详解】解：由题意

，圆心()1,0C，P为弦AB的中点时，由圆的性质有lPC⊥，又20221PCk−==−，所以112lPCkk=−=−，所以直线l的方程为()1222yx−=−−，即260xy+−=；【小问2详解】解：因为直线l与

直线3410xy−−=平行，所以34lk=，所以直线l方程为()3224yx−=−，即3420xy+=−，因为圆心()1,0C到直线l的距离30215d−+==，又半径3r=，所以由弦长公式得22229142ABrd=−=−=.18.如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H

为空间的9个点，且OEkOA=，OFkOB=，的OHkOD=，ACADmAB=+，EGEHmEF=+，0k，0m．（1）求证：A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；（2）求证：平面//ABCD平面EFCH；（3）求证：OGkOC=．【答案】（

1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用空间向量共面定理即可求证；（2）由空间向量线性运算可得EGkAC=，由空间向量共线定理可证明//ACEG，再由线面平行的判定定理可得//EG平面AB

CD，同理可证明//FH平面ABCD，由面面平行的判定定理即可求证；（3）由（2）知EGkAC=，再利用空间向量的线性运算即可求证.【小问1详解】因为ACADmAB=+，0m，所以AC，AD，AB共面，即A，

B，C，D四点共面．因为EGEHmEF=+，0m，所以EGuuur，EH，EF共面，即E，F，G，H四点共面．【小问2详解】连接HF，BD，()()()EGEHmEFOHOEmOFOEkODOAkmOBOA=+=−+−=−+−()kADkmAB

kADmABkAC=+=+=，所以//ACEG，又因为EG平面ABCD，AC平面ABCD，所以//EG平面ABCD．因为()FHOHOFkODOBkBD=−=−=，所以//FHBD，又FH平面ABCD，BD平面ABCD，所以//FH平面ABCD，因

为EG与FH相交，所以平面//ABCD平面EFGH．【小问3详解】由（2）知EGkAC=，所以()OGOEEGkOAkACkOAACkOC=+=+=+=．19.已知直线1:280()lkxykkR−+−=，2:210lxy++=．（Ⅰ）若12ll//，求1l，2l间的距离；

（Ⅱ）求证：直线1l必过第三象限．【答案】（Ⅰ）5；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据12ll//，求出参数4k=−，再根据平行线间的距离公式求出距离；（Ⅱ）求出直线1l恒过定点，该定点在第三象限即可．详解】（Ⅰ

）若12ll//，直线1:280()lkxykkR−+−=，2:210lxy++=，则有28211kk−−=，求得4k=−，故直线1l即：260xy++=，故1l，2l间的距离为|61|55−=．（Ⅱ）证明：直线1:280()

lkxykkR−+−=，即(1)280kxy+−−=，必经过直线10x+=和直线280y−−=的交点(1,4)−−，而点(1,4)−−在第三象限，直线1l必过第三象限．【点睛】两直线平行求参数时，要注意检验直线是否有重合的情况.

20.如图，在三棱锥−PABC中，底面ABC是等腰直角三角形，8ABBC==，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且PAAC⊥，6PA=，5DF=．【（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）求直线PB与平面DEF所成角的正弦值．【答案

】（1）见解析（2）45．【解析】【分析】（1）推导出DEEF⊥，PAEF⊥，PAAC⊥，由此能证明PA⊥平面ABC．（2）推导出PA⊥平面ABC，//DEPA，DE⊥平面ABC，以E为原点，EA，EB，ED为x，y，z轴，建立空间直角坐标

系，利用向量法能求出直线PB与平面DEF所成角的正弦值．【详解】（1）证明：D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，132DEPA==，//DEPA，142EFBC==，5DF=，222DEEFDF+=，即DEEF⊥，//DEPA，PAE

F⊥，PAAC⊥，ACEFE=，AC，EF平面ABC，PA⊥平面ABC．（2）解：由（1）知PA⊥平面ABC，//DEPA，DE⊥平面ABC，又ABC是等腰直角三角形，E是AC中点，BEAC⊥，以E为原点，EA，EB，ED为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

(0,42,0),(0,0,3),(0,0,0),(22,22,0),(42,0,6)BDEFP则(42,42,6),(0,0,3),(22,22,0)PBDEEF=−−=−=设平面DEF的法向量(mx=，y，)z，则·30·22220mDEzmEFxy=−==+

=，取1x=，得(1m=，1−，0)，824cos,5||||1002PBnPBmPBn−===−，直线PB与平面DEF所成角的正弦值为45．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求

法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启

迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或

曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”.鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体PACB−中，PA⊥平面ACB.（1）如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE//平面ABC；（2）如图2

，若BCAC⊥，垂足为C，且3032PBAABAC===，，，求直线PB与平面APC所成角大小；（3）如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体PACB−为鳖臑.【答案】（1）证明见解析（2）30（3）证明见解

析【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理去证明DE//平面ABC；（2）先作出直线PB与平面APC所成角，再去的求其大小即可解决；（3）先证明BC⊥平面APC，进而得到四面体PACB−四个面均为直角三角形，则四面体PACB−为鳖臑.【小问1详解】由D、E分别

是PC、PB边的的中点，可得//DEBC，又DE平面ABC，BC平面ABC则DE//平面ABC【小问2详解】由PA⊥平面ACB，BC平面ABC，可得PABC⊥又BCAC⊥，PAACA=,PA平面APC，AC平面APC则BC⊥平面APC，则BPC为直线PB与平面AP

C所成角.又=30=3=2PBAABAC，，，可得21PBBC==，则RtPBC△中，BCPC⊥，21PBBC==，，则30BPC=则直线PB与平面APC所成角为30【小问3详解】在RtPAC△中，过点A作AGPC⊥于G，又平面APC⊥平面BP

C，平面APC平面BPCPC=则AG⊥平面BPC，又BC平面PBC，则AGBC⊥，由PA⊥平面ACB，BC平面ABC，可得PABC⊥又PAAGA=，PA平面APC，AG平面APC则BC⊥平面APC，又PC平面APC，AC

平面APC则BCAC⊥,BCPC⊥，则PBCABC△、△为直角三角形又PABPAC△、△为直角三角形，则四面体PACB−为鳖臑.22.在平面直角坐标系xOy中，圆C：222420xyxaya++−+=（1）若

圆C与x轴相切，求实数a的值；（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线12,ll，若1l与2l相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足60MON=，若直线1l：60xy−−=上存在唯

一的一个点T，使得2TPOC=，求实数a的值.【答案】（1）2a=；（2）442a=.【解析】【分析】（1）根据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与x轴相切求得a的值.（2）求得P的轨迹方程，结合直线l：60xy−−=上

一存在唯一点T，使得2TPOC=列方程，解方程求得a的值.【详解】（1）圆C的方程可以化为：22(2)()4xya++−=，所以圆心(2)Ca−，，半径为2，因为圆C与x轴相切，所以||2a=，所以2a=.（2

）因为点MN，在圆C上，且60MQN=o，所以120MCN=o，因为PMPN，分别是圆C的切线，所以4PC=，即点P在以C为圆心，4为半径的圆上，所以点P的轨迹方程为22(2)()16xya++−=，设00()Txy，，Pmn(，)，由2TPOC=得，00()2(

2)mxnya−−=−，，所以0042mxnya−=−−=，即0042mxnya=−=+，所以2200(2)()16xya−++=，因为直线l：60xy−−=上一存在唯一点T，使得2TPOC=，所以(

)()22000021660xyaxy−++=−−=只有一组解，所以|26|42a+−=，所以442a=【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题..获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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