【文档说明】山西省2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.747 MB，由小赞的店铺上传

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2020年1月山西省高二年级期末调研测试数学（文科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“()01

,x+，00222xx+”的否定是（）A.()01,x+，00222xx+B.()01,x+，00222xx+C.()01,x+，00222xx+D.()01,x+，00

222xx+【答案】C【解析】【分析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．【详解】命题“()01,x+，00222xx+”的否定是“()01,x+，00222xx+”．故选：C．【点睛】本题考查命题的否定，命题的

否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．2.已知直线l过点()2,1−，且在y轴上的截距为3，则直线l的方程为（）A.230xy++=B.230xy+−=C.240xy−−=D.260xy−+=【答

案】B【解析】【分析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．【详解】由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为13220k−−==−−，直线方程为y=-2x+3

，即2x+y-3=0，故选：B.【点睛】本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．3.函数321()13fxxx=−+在区间0,3的最小值是（）A.0B.2

C.13−D.1【答案】C【解析】【分析】利用导数求得函数()fx的极值点，求得()fx在区间0,3上的最小值.【详解】依题意()()'222fxxxxx=−=−，所以()fx在0,2上递减，在2,3上递增，所以()fx在2x=处取得极小值也即是最

小值为()8124133f=−+=−.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数在闭区间上的最小值，属于基础题.4.刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九

斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（）正视图侧视图俯视图A.60B.63C.84D.126

【答案】C【解析】【分析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．【详解】由三视图，棱台体积为222214(3366)843V=++=．故选：C.【点睛】本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解

题基础．5.抛物线2:2Cypx=的准线经过双曲线221124xy−=的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为（）A.()4,0B.()4,−0C.()0,4−D.()0,4【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得

抛物线焦点坐标．【详解】双曲线221124xy−=中，1244c=+=，∴双曲线的左焦点为(4,0)−，右焦点(4,0)就是抛物线的焦点．故选：A．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．6.若函数()32236fxx

mxx=−+存在极值点，则m的取值范围是（）A.(,2)(2,)−−+B.(,2][2,)−−+C.(2,2)−D.[2,2]−【答案】A【解析】【分析】通过研究()fx的导函数()'fx零点，结合判别式，求得m的取值范围.【详解】依题意函数()32

236fxxmxx=−+存在极值点，其导函数()'2666fxxmx=−+的2361440m=−，解得2m−或2m.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查二次函数的判别式的运用，属于基础题.7.设aR，则“1a=”是“直线

10axya+++=与直线0xaya++=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】直线10axya

+++=与直线0xaya++=平行，则210a−=，1a=，1a=时，两直线方程分别为20,10xyxy++=++=，平行，1a=−时，两直线方程分别为0,10xyxy−+=−−=，平行，∴直线10axya+++=与

直线0xaya++=平行的充要条件是1a=，则“1a=”是“直线10axya+++=与直线0xaya++=平行”的充分不必要条件．故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．8.设m，n

是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（）A.若⊥，⊥，则//B.若⊥，m，则m⊥C.若//m，n，则//mnD.若//，m=，n=，则//mn【答案】D【解析】【分析】根据面面

垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．【详解】若⊥，⊥，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；若⊥，m，但m不与，的交线垂直时，m不与垂直，还可以平行，B错；若//m，n，m与n可能异面，可能平行，C错

；若//，m=，n=，则//mn，这是面面平行的性质定理，D正确．故选：D.【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．9.若圆：()22:21Cxy++=关于直线

:0lxym−+=对称，1:420lxy−+=，则l与1l间的距离是（）A.1B.2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．【详解】由题意(2,0)

C−，圆()22:21Cxy++=关于直线:0lxym−+=对称，则200m−−+=，2m=，即l方程为20xy−+=，所求距离为2224231(1)d−==+−．故选：D.【点睛】本题考查两平行线间的距离，解

题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．10.《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑PABC−中，PA⊥平面ABC，4PA=，

2ABBC==，鳌臑PABC−的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（）A.16B.20C.24D.64π【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由ABBC=得ABBC⊥，然后证明BCPB⊥，这样PC中点O，就是PABC−外接球球心，易

求得其半径，得面积．【详解】四棱锥PABC−的四个面都是直角三角形，∵2ABBC==，∴ABBC⊥，又PA⊥平面ABC，∴AB是PB在平面ABC上的射影，PACA⊥，∴BCPB⊥，取PC中点O，则O是

PABC−外接球球心．由2ABBC==得22AC=，又4PA=，则81626PC=+=，6OP=，所以球表面积为224()4(6)24SOP===．故选：C．【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外

心且与此面垂直的直线上．11.设函数()fx¢是奇函数()()fxxR是导函数，(1)0f−=，当0x时，()()0xfxfx+，则使()0fx成立的x的取值范围是（）A.(,1)(0,1)−−B.(1,0)

(1,)-??C.(,1)(1,0)−−−D.(0,1)(1,)+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()Fxxfx=，根据题意求得()'Fx的符号，结合函数的奇偶性，求得使()0fx成立的x的取值范围

.【详解】构造函数()()Fxxfx=，当0x时，()'()()0xfxFxfx+=，即()Fx在()0,+上递增.由于()fx是奇函数，所以()Fx是偶函数，所以()Fx在(),0−上递减.而()()110ff=−=，所以当1x−或1x时，()()0Fxxfx=；当1

0x−或01x时，()()0Fxxfx=.所以当10x−或1x时()0fx.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于基础

题.12.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5，过左焦点1F引渐近线的垂线，垂足为P，12PFF的面积是2，则双曲线C的方程为（）A.22128xy−=B.2214yx−=C.221416xy−=D

.2214xy−=【答案】B【解析】【分析】离心率为5可得225ca=，1FP与渐近线垂直，则有1FPb=，从而OPa=，由12PFF的面积是2，可得2ab=，这样可求得,ab，得双曲线方程．【详解】如图，渐近线OP方程是byxa=−，即0bxay+=，由

于1FPOP⊥且1(,0)Fc−，所以122bcFPbba−==+，所以22OPcba=−=，11211121222FPOFPFSabS====，2ab=，又5cea==，即225ca=，∴22224b

caa=−=，2ba=，∴222aba==，1,2ab==，双曲线方程为：2214yx−=．故选：B.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于,,abc的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加

方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为b.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()sin2fxxx=+，则()yfx=在点,22f处的切线方程为_.【答案】20xy−+=【解析】【分析】利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.【

详解】依题意()'sincosfxxxx=+，'π12f=，切点坐标为ππ,222+，由点斜式得ππ222yx−+=−，即20xy−+=.故答案为：20xy−+=【点睛】本小题主要考查利

用导数求切线方程，属于基础题.14.以()1,2-为圆心，且与圆()()22:319Cxy−++=外切的圆的标准方程是__________.【答案】()()22124xy++−=【解析】【分析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径

．【详解】设所求圆半径为r，则由题意22(13)(21)3r−−++=+，2r=，所以所求圆方程为：()()22124xy++−=．故答案为：()()22124xy++−=．【点睛】本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．15.倾斜角是45，且过点()1

,4的直线l交圆22:230Cxyy+−−=于A，B两点，则直线l的一般式方程__________，=AB__________.【答案】(1).30xy−+=(2).22【解析】【分析】由点斜式写出直

线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．【详解】由题意直线l的方程为：41yx−=−，即30xy−+=，圆标准方程为：22(1)4xy+−=，圆心为(0,1)C，半径为2r=，圆心到直线l的距离为01322d−

+==，∴2222222(2=22ABrd=−=−）．故答案为：30xy−+=；22．【点睛】本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．16.给出下列命题：（1）若函数21()

ln22fxxmx=−++在(1,)+上是减函数，则1m；（2）直线()2ykx=−与线段AB相交，其中()1,1A，()4,2B，则k的取值范围是1,1−；（3）点()1,0P关于直线210xy−+=的对称点为0P，则0P的坐标为76,55−；（4）直线1yx=−

与抛物线24yx=交于A，B两点，则以AB为直径的圆恰好与直线1x=−相切.其中正确的命题有__________.（把所有正确的命题的序号都填上）【答案】（3）（4）【解析】【分析】对四个命题逐一分析，由此确定命题正确

的选项.【详解】对于（1），依题意()2'0mxmfxxxx−+=−+=在区间()1,+上恒成立，所以()2minmx，所以1m£，故（1）错误.对于（2），直线()2ykx=−过()2,0C，而点,AB在直线2x=的两侧，所以k的取值范围是(),,ACBCkk−+，即(),

11,−−+，故（2）错误.对于（3）直线210xy−+=的斜率为2，060157215PPk−==−−−，1212−=−；0PP的中点为13,55−，点13,55−满足直线210xy−+=.所以（3）正确.对于（4），抛物线24yx=的焦点为()1,0，

准线为1x=−，直线1yx=−过焦点()1,0.直线1yx=−与抛物线相交与,AB两点，根据抛物线的定义可知，AB中点到抛物线准线距离等于AB一半，所以AB为直径的圆恰好与抛物线的准线1x=−相切，故（4）正确.故答案为：（3

）（4）【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查直线的斜率，考查点关于直线对称轴问题，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题p：直线:340lxym−−

=与圆()22:11Cxy−+=相交，命题:q方程22182xymm+=−−表示焦点在x轴上的椭圆.（1）若命题p为真，求m的取值范围；（2）若命题pq为真，求m的取值范围.【答案】（1）()2,8−（2）()2,25,8−【解析】【分析】（1）由圆心到直线的距离

小于半径求得p为真时m的范围．（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且q为真得结论．【详解】解：（1）因为直线:340lxym−−=与圆()22:11Cxy−+=相交，所以223134m−+，解得28m−

，即m的取值范围为()2,8−.（2）椭圆焦点在x轴上，所以80,20,82,mmmm−−−−25mpq为真，p真q假.2528,mmm−或22m−或58m

.所以m的取值范围为()2,25,8−.【点睛】本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真18.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F到准线的距离为2，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于A，

B两点.（1）求抛物线C的方程；（2）求OAB面积.【答案】（1）24yx=（2）22【解析】【分析】（1）根据焦点到准线的距离求得p，由此求得抛物线的方程.（2）求得直线l的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理求得弦长AB，结合点到直线的距离公式以及三角形的

面积公式，求得OAB的面积.【详解】（1）由题意可知2p=，所以抛物线C的方程为24yx=.（2）直线l的方程为y=x-1.设直线k与抛物线C交于()11,Axy，()22,Bxy.联立方程21,4,yxyx=−=得2610xx−+=.12

6xx+=.1228ABxx=++=.点O到直线l的距离12211d==+，所以1282222OABS==.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，考查与抛物线有关的三角形面积的计算，属于基础题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是平行四边形，且9

0BAPCDP==.（1）证明：平面PDC⊥平面PAD；（2）若2PAPDAB===，60APD=o，求四棱锥PABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】【分析】（1）由ABCD∥及90

BAPCDP==得CDDP⊥，CDAP⊥，从而有CD⊥平面PAD，于是可得面面垂直．（2）取AD的中点O，连接PO，证明PO⊥平面ABCD，同时说明底面是正方形，即可求体积．【详解】（1）四边形

ABCD是平行四边形，ABCD∥.又90BAPCDP==，即ABAP⊥，CDDP⊥，CDAP⊥，DP平面PAD，AP平面PAD，从而CD⊥平面PAD.又CD平面PCD，所以平面PDC⊥平面PAD.（2）如图，取AD的中点O，连接PO.2PAPD==，60APD=o，POA

D⊥，3PO=.又因为CD⊥平面PAD，PO平面PAD，AD平面PAD，CDPO⊥，CDAD⊥，四边形ABCD为正方形，又POAD⊥，PO⊥平面ABCD，1143223333PABCDABCDVPOS−==

=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．20.已知直线:310laxya−−+=恒过定点P，过点P引圆()22:14Cxy−+=的两条切线，设切点分别为A

，B.（1）求直线AB的一般式方程；（2）求四边形PACB的外接圆的标准方程.【答案】（1）260xy+−=（2）()2215224xy−+−=【解析】【分析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，过

圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由PCAB⊥可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标

．（2）由切线性质知PC是四边形PACB的外接圆的直径，外接圆方程易求．【详解】（1）直线():13lyax−=−，直线l恒过定点()3,1P.由题意可知直线3x=是其中一条切线，且切点为()3,0.101==312PCk−−，2ABk=−，所以直

线AB的方程为()23yx=−−，即260xy+−=.（2）()()22=3110=5PC−+−PAAC⊥，PBBC⊥所以四边形PACB的外接圆时以PC为直径的圆，PC的中点坐标为12,2，所以四边形PACB

的外接圆为()2215224xy−+−=【点睛】本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，

本题直线AB方程可以由四边形PACB的外接圆方程与已知圆方程相减可得．21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的短半轴长为1，离心率为22.（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，若1OAOB=−，求直线l的方程.【答案】

（1）2212xy+=（2）直线l的方程为310xy−−=或310xy+−=【解析】【分析】（1）由短半长求得b，结合离心率和222abc=+求得a，由此求得椭圆C的方程.（2）当直线l与x轴垂直时，直接求得,AB两点的坐标，得到1

2OAOB=，不符合题意.当当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，利用1OAOB=−列方程，解方程求得l的斜率，进而求得直线l的方程.【详解】（1）由题意得1b=.又因

为22ca=，222abc=+，所以2a=，所以椭圆C的方程为2212xy+=.（2）当直线l与x轴垂直时，直线:1lx=，得21,2A，21,2B−.12OAOB=，不符合题意.当直线l与

x轴不垂直时，设直线l的方程为()1ykx=−，()11,Axy，()22,Bxy，把直线l的方程代入2212xy+=，得()2222214220kxkxk+−+−=，则2122421kxxk+=+，21222221kxxk−=

+，()()12121212OAOBxxyyxxkxkkxk=+=+−−()()22212121kxxkxxk=+−++()222222222412121kkkkkkk−=+−+++222121kk

−==−+，所以33k=.故直线l的方程为310xy−−=或310xy+−=.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数211()ln(1)22fxxaxax=++++.（

1）当1a=−时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx有零点，求a的取值范围.【答案】（1）()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+（2）[1,)−+【解析】【分析】（

1）当1a=−时，利用导数求得()fx的单调区间.（2）求得()fx的定义域为导函数()'fx，对a分成0,0,0aaa=三种情况，结合()fx的单调性、零点存在性定理，分类讨论求得a的取值范围.【详解】（1）()fx的定义域为(0)+.当1a=−时，21()ln22xf

xx=−+，所以211()xfxxxx−=−=，所以()fx的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为(1,)+.（2）()fx的定义域为(0,)+.21(1)1(1)(1)()1axaxxaxfxaxaxxx+++++=+++==.（i）若

0a=时，1()ln2fxxx=++.10ef，(1)0f，()fx在1,1e有零点.（ii）若0a时，则当(0,)x+时，()0fx，故()fx在(0,)+上单调递增

，33(1)022af=+.取2(1)0e1ax−+=，()2000111112(1)(1)2(1)1(1)022222fxaaxaxaaaa=−+++++−+++++=−+„，所以()fx在()0,1x有零点.（iii）若0a时，当10,x

a−时，()0fx.当1,xa−+时，()0fx，故()fx在10,a−上单调递增，在1,a−+上单调递减.此时2111()lnln22

2fxxxaxaxxx=++++++.取01ex=，则()01110e2fx−++，只需满足10fa−即可，1111ln22faaa−=−−−.令1()ln22

xgxx=+-，11()02gxx=+，即()gx在(0,)+单调递增，且(1)0g=.所以要保证()0gx，只需满足1x.故只需满足11a−，即10a−.综上所述a的取值范围是[1,)−+.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的零

点，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.