【文档说明】江苏省扬州中学2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题含解析.doc，共(26)页，2.202 MB，由小赞的店铺上传

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扬州中学高一年级2020-2021学年春学期开学考试高一数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1M=−，0,1,2N=，则MN=（）A.1,0,1−B.1,0,1,2−C

.1,0,2−D.0,12.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A.任意一个无理数，它的平方不是有理数B.任意一个无理数，它的平方是有理数C.存在一个无理数，它的平方是有理数D

.存在一个无理数，它的平方不是有理数3.将函数()sin2fxx=的图像向左平移π6个单位后，与函数()gx的图像重合，则函数()gx=（）．A.πsin26x−B.πsin26+xC.πsin23x−D.πsin23x+4.函数f（

x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()2,45.已知函数(1)fx+为偶函数，()fx在区间[1,)+上单调递增，则满足不等式(21)(3)fxfx−的x的解集是（）A.31,5−B.3(,1),5−

−+C.1(,1),5−−+D.11,5−6.给出下列四个命题：①若||||ab=，则ab=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC=”是“四边形ABCD为

平行四边形”的充要条件；③若ab=,bc=，则ac=；④ab=的充要条件是||||ab=且//ab.其中正确命题的序号是（）A.②③B.①②C.③④D.②④7.如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x

轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（）A.B.C.D.8.已知()fx是定义在1,1−上的奇函数，且()11f−=−，当[],1,1ab?且0ab+时()()0fafbab++.已知,22−，若()243sin2cosfx+−对

1,1x−恒成立，则的取值范围是（）A.,62−B.,23−−C.,32−D.,26−二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知幂函数()fx图像经过点()4,2，则下列命题正确的有（）A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若9x，则()3fxD.若210xx，则()()121222fxfxxxf++

10.下列结论正确的是（）A.若0ab，则2baab+B.若11x−，则()22112xx−C.若0ab，则22baabab++D.函数()()220xxfxx−=+有最小值211.某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提

高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,xDxx=为有理数为无理数关于函数

()Dx有以下四个命题，其中真命题有（）A.()Dx既不是奇函数也不是偶函数B.()(),rQDxrDx+=C.()(),D1xRDx=D.()()(),,xyRDxyDxDy+=+三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分.13.求值2338lglg31000+−=___________.14.若1,abab+=⊥，则||ab−=__________．15.若函数()fx为定义在R上的偶函数，且在(0,)+内是增函数，又()20f=，则不等式sin()0xfx，[,]x−的解集为_________

.16.已知函数()2,011,1xxfxxx=，若关于x的方程()()20fxfm−−=在0,4上有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是___________.四､解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.

在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角终边与单位圆交于点34(,)55A−，角的终边落在射线(0)yxx=上.（1）求sintanαβ的值；（2）求()223sinsin22+sin3si

n3sincos−−++的值.18.已知函数1()9283243xxfx+=−+，222()loglog82xxgx=.（1）设集合R()0Axfx=∣，求集合A；（2）当xA时，求()gx的最大值和最小值.19.在①2,2x−，②

1,3x这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数()24fxxax=++.（1）当2a=−时，求()fx在22−,上的值域；（2）若______，()0fx，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分

别解答，则按第一个解答计分.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间.（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）

在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？21.已知函数()1112xfxa=+−（0a且1a），()11xgxx−=+．（1）判断函数()fx的奇偶性并说明理由；（2）当1a，1x时，求证：()()12fxgx+−；

（3）若不等式()()()12fxgxfx−−对满足1x的任一个实数x都成立，求实数a的取值范围．22.已知函数()13xmfx−=，其中mR.（1）当函数()fx为偶函数时，求m的值；（2）若0m=，函数()()()3

1xgxfxk=+−，2,0x−，是否存在实数k，使得()gx的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（3）设函数()2327mxhxx=+，()()(),39,3hxxgxfxx=，若对每一个不小于3的实数1x，都有小于3的实数2x，使得()()

12gxgx=成立，求实数m的取值范围.扬州中学高一年级2020-2021学年春学期开学考试高一数学（解析版）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,

1M=−，0,1,2N=，则MN=（）A.1,0,1−B.1,0,1,2−C.1,0,2−D.0,1【答案】B【解析】试题分析：由题意知1,0,1,2MN=−，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2.命题“存在一个无理数，它的平

方是有理数”的否定是（）A.任意一个无理数，它的平方不是有理数B.任意一个无理数，它的平方是有理数C.存在一个无理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词否结论【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数

”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A3.将函数()sin2fxx=的图像向左平移π6个单位后，与函数()gx的图像重合，则函数()gx=（）．A.πsin26x−B.πsin26+xC.πsin23x−D.πsin23x

+【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得()gx解析式.详解：由题意可知πππ()sin2sin2663gxfxxx=+=+=+，故选D．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，

但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言.4.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()2,4【答案】B【解析

】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数()fx的零点所在的区间．【详解】解：函数()34fxlnxx=+−在其定义域上单调递增，f（2）2234220lnln=+−=+，f（1）3410=−=−，f（2）f（1）0．根据函数零点的判定定理可得函数()fx

的零点所在的区间是(1,2)，故选B．【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．5.已知函数(1)fx+为偶函数，()fx在区间[1,)+上单调递增，则满足不等式(21)(3)fxfx−的x的解集是（）A.31,5−B.3(,1),5−

−+C.1(,1),5−−+D.11,5−【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得()fx的图象关于直线1x=对称，结合函数的单调性可得(21)(3)fxfx−等价于|22||31|xx−−，两边平方解得x的取值范围

，即可得答案．【详解】因为函数(1)fx+为偶函数，所以(1)yfx=+的图象关于直线0x=对称，因为(1)yfx=+的图象向右平移1个单位得到()yfx=的图象，则()yfx=的图象关于直线1x=对称，又因为()fx在区间

[1，)+上单调递增，所以()fx在区间(,1−上单调递减，所以()fx的函数值越大，自变量与1的距离越大，()fx的函数值越小，自变量与1的距离越小，所以不等式(21)(3)fxfx−等价于|22||31|xx−−，两边平方()()()()2222315310xxxx−−

−+，解得315x−，即不等式的解集为31,5−．故选：A．【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，函数

的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．6.给出下列四个命题：①若||||ab=，则ab=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“ABDC=”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若ab=,b

c=，则ac=；④ab=的充要条件是||||ab=且//ab.其中正确命题的序号是（）A.②③B.①②C.③④D.②④【答案】A【解析】【分析】对于①，根据向量相等的概念分析可知不正确；对于②，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知正

确；对于③，根据向量相等的概念分析可知正确；对于④，根据向量相等的概念以及充要条件的概念分析可知不正确.【详解】对于①，两个向量的长度相等，不能推出两个向量的方向的关系，故①错误；对于②，因为A，B，C，D是不共线的四点，且ABDC=等价于//A

BDC且ABDC=，即等价于四边形ABCD为平行四边形，故②正确；对于③，若ab=,bc=，则ac=；显然正确，故③正确；对于④，由ab=可以推出||||ab=且//ab，但是由||||ab=且//ab可能推出ab=−，故“||||ab=且

//ab”是“ab=”的必要不充分条件，故④不正确,故选：A【点睛】关键点点睛：掌握向量相等的概念和充要条件的概念是解题关键.7.如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析当单位

圆向x轴正向滚动个单位长度时A的纵坐标，由此判断出A点形成的轨迹.【详解】如图所示，记,,BCD为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为2，所以2ABBCCDAD====，且圆上点的纵坐标最大值

为2，当圆逆时针滚动单位长度时，此时,AC的相对位置互换，所以A的纵坐标为2，排除BCD，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过特殊位置（向右滚动个单位长度）分析对应A点的纵坐标，通过排除法判断出轨迹.8.已知()fx是定义在1,1−上的奇函数，且()11f−=−，当[],1,

1ab?且0ab+时()()0fafbab++.已知,22−，若()243sin2cosfx+−对1,1x−恒成立，则的取值范围是（）A.,62−B.,23

−−C.,32−D.,26−【答案】A【解析】【分析】由奇偶性分析条件可得()fx在1,1−上单调递增，所以()max1fx=，进而得2143sin2cos+−，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为()fx是定

义在1,1−上的奇函数，所以当[],1,1ab?且0ab+时()()()()00()fafbfafbabab+−−+−−，根据,ab的任意性，即,ab−的任意性可判断()fx在1,1−上单调递增，所以(

)max(1)(1)1fxff==−−=，若()243sin2cosfx+−对1,1x−恒成立，则2143sin2cos+−，整理得(sin1)(2sin1)0++，所以1sin2−，由,22−，可得,62−，故选：

A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用()()()()00()fafbfafbabab+−−+−−，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知幂函数()fx图像经过点()4,2，则下列命题正确的有（）A.函数为增函数B.函数为偶函数C.若9x，则()3fxD.若210xx，则()()121222fxf

xxxf++【答案】AC【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式12()fxx=，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由9x时，可得3x可判断C，利用()()2221212212122222fxfxxxxxxxf+++

+−−=展开和0比即可判断D.【详解】设幂函数()fxx=将点(4,2)代入函数()fxx=得：24=，则12=.所以12()fxx=，显然()fx在定义域[0,)+上为增函数，

所以A正确.()fx的定义域为[0,)+，所以()fx不具有奇偶性，所以B不正确.当9x时，3x，即()3fx，所以C正确.当若120xx时，()()2221212212122222fxfxxxxxxxf++++−−

=121212242xxxxxx+++=−()21212122044xxxxxx−−−==−.即()()121222fxfxxxf++成立，所以D不正确.故选：AC【点睛】关键点睛：本题主要考

查了幂函数的性质，解答本题的关键是由()()2221212212122222fxfxxxxxxxf++++−−=，化简得到()2124xx−−，从而判断出选项D的正误，属于中档题.10.下列结论正确的是（）A.若

0ab，则2baab+B.若11x−，则()22112xx−C.若0ab，则22baabab++D.函数()()220xxfxx−=+有最小值2【答案】ABC【解析】【分析】根据基本不等式可判断A，B，C正确；D中等号取不到，错误．【详解】对于A，

因为0ab，所以0,0abba，故2baab+，当且仅当ab=时取等号，正确；对于B，因为11x−，易知1x=不等式显然成立，当11x−时，()()222211122xxxx+−−=，当且仅当212x=时取等

号，正确；对于C，因为0ab，所以22baba+，22abab+，当且仅当ab=时取等号，而0ab，所以22baabab++，正确；对于D，()122222xxxxfx−=+=+，当且仅

当0x=时取等号，而0x，所以函数()()220xxfxx−=+没有最小值，错误．故选：ABC．【点睛】本题主要考查基本不等式的理解和应用，属于基础题．易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”，（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是

要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这

也是最容易发生错误的地方．11.某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元【答案】BC

【解析】【分析】设每册杂志定价为x(2)x元，根据题意由2100.50.2xx−−22.4，解得x的范围，可得答案.【详解】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(2)x元，则发行量为2100.5

0.2x−−万册，则该杂志销售收入为2100.50.2xx−−万元，所以2100.50.2xx−−22.4，化简得268.960xx−+，解得2.83.2x，故选：B

C【点睛】关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(2)x元时的发行量是解题关键.12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,xDxx=为有理数为无理数关于函数()Dx有以下四个命题，其中真命题有（）A.()Dx既不是奇函

数也不是偶函数B.()(),rQDxrDx+=C.()(),D1xRDx=D()()(),,xyRDxyDxDy+=+【答案】BCD【解析】【分析】根据自变量x是有理数和无理数进行讨论，可判定A、B、C，举特例根据2x=和3x=可判断D

即可得到答案.【详解】对于A，当x为有理数时，则x−为有理数，则()()1DxDx−==．当x为无理数时，则x−为无理数，则()()0DxDx−==．故当xR时，()()DxDx−=，∴函数为偶函数，若自变量x是有理数，则x−也是有理数，可得()()112DxDx+−=+=，所以()Dx不

是奇函数，所以A不是真命题；对于B，rQ，当x是有理数时，xr+是有理数，()()1DxrDx+==，当x是无理数时，xr+是无理数，()()0DxrDx+==，所以B是真命题；对于C，若自变量x是有理数，则()(1)1DDxD==，若自变量x是无理数，则()(0)1DDxD==

，所以C是真命题；对于D，当2x=是无理数，3y=是无理数，则23xy+=+是无理数，则()0,()()000DxyDxDy+=+=+=，满足()()()DxyDxDy+=+，所以D是真命题.故选：BCD.【点睛】本题考查了特殊函

数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.求值2338lglg31000+−=___________.【答案】1【解析】【分析】根据指数

幂和对数的运算性质可得结果.【详解】原式()2332lg33lg3=+−−43=−1=.故答案为：1.14.若1,abab+=⊥，则||ab−=__________．【答案】1【解析】222222220()211()21ababababababababab⊥=+=++=+=−=+−=,故

答案为1.15.若函数()fx为定义在R上的偶函数，且在(0,)+内是增函数，又()20f=，则不等式sin()0xfx，[,]x−的解集为_________.【答案】()()2,02,−【解析】【分析】

设()()singxxfx=，先分析出()gx的奇偶性，然后分类讨论()gx在0,上的取值情况，最后根据()gx的奇偶性求解出()0gx在,−上的解集.【详解】设()()singxxfx=，因为sinyx=为奇函数，()fx为偶函数，所以()()()()()sinsingxxf

xxfxgx−=−−=−=−，且定义域为R关于原点对称，所以()gx为奇函数，因为()fx在()0,+上单调递增，且()20f=，当0x=时，sin0x=，所以sin()0xfx=，当()0,2x时，()sin0,0xfx，所以sin()0xfx

，当2x=时，()20f=，所以sin()0xfx=，当()2,x时，()sin0,0xfx，所以sin()0xfx，所以当0,x时，若()0gx，则()2,x，又因为()gx为奇函数，且,x−，根据对称性可知：若()0gx，则()()2

,02,x−，故答案为：()()2,02,−.【点睛】方法点睛：已知()fx的单调性和奇偶性，求解不等式()()00fx在指定区间上的解集的常用方法：（1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间

分成几段，分别考虑每一段上()fx的正负，由此求解出不等式的解集；（2）数形结合法：根据题意作出()fx的草图，根据图象直接写出不等式()()00fx的解集.16.已知函数()2,011,1xxfxxx

=，若关于x的方程()()20fxfm−−=在0,4上有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是___________.【答案】11(,]42【解析】【分析】数形结合，由条件得()12fxm=在0,4上有3个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解

即可.【详解】作出函数图象如图所示：由()()20fxfm−−=，得()12fxm−=，所以0m，且()12fxm=，若()()20fxfm−−=，即()12fxm=在0,4上有3个不相等的实数根，则112211142mm+−或1102411142mm

−+，解得1142m.故答案为：11(,]42【点睛】方法点睛：判定函数()fx的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0fx=，将函数()fx的零

点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.四､解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角终边与单位圆交于点34(,)55A−，角的终边落

在射线(0)yxx=上.（1）求sintanαβ的值；（2）求()223sinsin22+sin3sin3sincos−−++的值.【答案】（1）45（2）1【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出sin和tan，可得sintanαβ

的值；（2）利用诱导公式化简后，代入,的正余弦值可求得结果.【详解】（1）依题意可得4sin5=，3cos5=−，2sin2=，2cos2=，tan1=，所以sintanαβ44155==.（2）原式2

2coscossinsin3sincos=+−+3152412235222−=+−+1=.18.已知函数1()9283243xxfx+=−+，222()loglog82xxgx=.（1）设集合R()0Axfx=∣，求集合A；（2）当xA时，求()gx的最大值和最

小值.【答案】（1）[1,4]A=；（2）最大值为3，最小值为116−.【解析】【分析】（1）由()0fx可得3381x剟，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合A；（2）把()gx变形，再由x的范围求得2logx的范围，结合二次函数的性质可得答案．【详解】

（1）由1()92832430xxfx+=−+„，得()238432430xx−+„，即(33)(381)0xx−−„，则3381x剟，求得14x剟．[1A=，4]；（2）222221()loglo

g(2log3)log1822xxgxxx==−−()2222271loglog3log16724xxx=−+=−−．[1x，4]，2log[0,2]x，当2log0x=时，()3maxgx=，当27log4x=时，

1()16mingx=−．故()gx的最大值为3，最小值为116−．【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出3381x剟，解答（2）的关键是先求出2log[0,2]x，再利用配方法求解.19.在①

2,2x−，②1,3x这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题.已知函数()24fxxax=++.（1）当2a=−时，求()fx在22−,上的值域；（2）若______，()0fx，求实数a的取值范

围.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）3,12；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）2a=−时，判断该二次函数在()2,1−上单调递减，在()1,2上单调递增，则可

求出最小值()13f=，再求出()2f−和()2f比较大小，其中较大的数即为()fx最大值；（2）若选择条件①2,2x−，()0fx，则该题为不等式的恒成立问题，可转化为()min0fx；若选择条件②1,3x，()0fx，则该题为

不等式有解的问题，可转化为()max0fx.均可通过二次函数在闭区间上的最值问题求解，其中需要讨论所给区间与对称轴的相对位置关系，从而判断函数的单调性求最值.【详解】解：（1）2a=−时，()()222413fxxxx=−+=−+，求()fx在()2,1−上单调递减，在()1,2

上单调递增，∴()()min13fxf==，()()()maxmax2,2max12,412fxff=−==，∴()fx的值域为3,12.（2）选择条件①的解析：若4a，则()fx在()2,2

−上单调递增，∴()()min2820fxfa=−=−；又∵4a，∴4a=.若44a−，则()fx在2,2a−−上单调递减，在,22a−上单调递增，∴()2min404424aafxaf=−=−−.若4a−，则()fx在(

)2,2−上单调递减，∴()()min2820fxfa==+又∵4a−，∴4a=−.综上所述：44a−.选择条件②的解析：∵1,3x，()0fx，∴()max0fx，即()()max1,30ff.∴()10f或()30f，即

5a−或133a−.∴5a−.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题和有解问题，均可转化为最值问题.()fxM恒成立()minfxM,()fxM恒成立()maxfxM，()fxM有解()maxfxM，()fxM有解()minfxM

.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计算时间.（1）将点P距离水面的距离z（单位：米，在水面以下，则

z为负数）表示为时间t（单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P位于水面上方？【答案】（1）()4sin20306tzt=−+；（2）40秒.【解析】【分析】（1）以圆心为原点建立

平面直角坐标系，根据O距离水面的高度计算出0P坐标，再利用三角函数表示出P点坐标，将P的纵坐标加2即可得到z关于t的函数；（2）根据条件可知0z，解对应的不等式求解出t的范围，由此确定出有多长时间点P位于水面上方.【详解】（1）建立如图所示平面直角坐标系，由题意可知：()

023,2P−，则3tan3=，所以6π=，因为水轮每分钟逆时针转动1圈，所以t秒可转动的角度为26030tt=，所以P的坐标为4cos,4sin306306tt−−，且P的纵坐标加上2即为P到水面的距

离，所以()4sin20306tzt=−+；（2）因为110,60,,30666tt−−，令4sin20306t−+，所以1sin3062t−

−，所以763066t−−，所以040t，所以在水轮转动1圈内，有40秒时间点P位于水面上方【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过建立合适平面直角坐标系结合三角函数定义求解出z关于t的函数，其中着重去分析P点的纵坐标值得注意.21.已知函数(

)1112xfxa=+−（0a且1a），()11xgxx−=+．（1）判断函数()fx的奇偶性并说明理由；（2）当1a，1x时，求证：()()12fxgx+−；（3）若不等式()()()12fxgxfx−−对满足1x的任一个实数x都成立，求

实数a的取值范围．【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）()()0,13,+.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的定义域，计算()()0fxfx+−=，由此可得出结论；（2）令()()()121112xFxfxgxax=+=+−−+，利用不等式的基本性质可证得结论成立；

（3）由题意得出12121xaxx−−对满足1x的任一实数x都成立，可得出11112xxxa−−且11112xxxa−−−，然后分1a和01a两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数

a的取值范围.【详解】（1）函数()fx为奇函数，理由如下：由10xa−可得0x，所以，函数()fx的定义域为0xx.因为()()()11111111012121111xxxxxxxxxafaaaxfxaaaaa−−+−=+−++=++=++=−−−−−,()()fxfx−=

−，所以函数()fx为奇函数；（2）证明：()()()21111111121121121121xxxxxfxgxaxaxax−+−+=++=++=++−−+−+−+121112xax=+−−+，令()12

1112xFxax=+−−+，因为1a，1x时，所以10xa−，10x+，所以()()12fxgx+−；（3）由()()()12fxgxfx−−得1121121212xxxaxa−+−−−−，所以12121xaxx−−对满足1x的任一实数x

都成立，即11112xxxa−−且11112xxxa−−−，即11112xxxa−−−且11112xxxa−−−−.①当1a时，因为()11xhxxa=−−在)1,+为减函数，在(

,1−−为减函数，所以只要()112h−且()112h−−，可得11111211112aa−−−−+−−，即()3021aa−−，解得3a，所以3a；②当01a时，因为1x时，10102xax−−

，所以11112xxxa−−显然成立；因为1x−时，10210xxa−−，所以11112xxxa−−−显然成立.综上所述，()()0,13,a+．【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域

不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断()fx−与()fx之间的关系；（3）下结论.22.已知函数()13xmfx−=，其中mR.（1）当函数()

fx为偶函数时，求m的值；（2）若0m=，函数()()()31xgxfxk=+−，2,0x−，是否存在实数k，使得()gx的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；（3）设函数()2327mxhxx=+，()()(),39,3hxxgxfxx=，若

对每一个不小于3的实数1x，都有小于3的实数2x，使得()()12gxgx=成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）0m=；（2）83k=；（3）06m【解析】【分析】（1）由()()fxfx=−可得m的值；（2）当2,0x−时，

()()()()2331xxgxk=+−，令()13,13xt=，则()2221124kkgttktt=+−=+−−，分类讨论求出()gt的最小值，列方程即可求解；（3）将题目的条件转化为：对于任意一条直线yk=，如果yk=与()gx图象

中满足3x的部分图象有交点，则yk=必然与()gx的图象中满足3x的部分图象也有交点，分四种情况讨论即可得实数m的取值范围.【详解】（1）当函数()fx为偶函数时，()()fxfx=−，所以xmxm−=−−，解得：0m

=，经检验，0m=符合，故0m=；（2）当2,0x−时，()()()()()21313313xxxxgxkk=+−=+−，令()13,13xt=，则()2221124kkg

ttktt=+−=+−−，当123k−即23k−时，()gt在1,13上单调递增，所以2111033k+−=，解得：83k=，符合；当1132k−即223k−−时，2104k−−=无解；当12k−即2k−时

，()gt在1,13上单调递减，所以110k+−=，解得：0k=，应舍去；综上，83k=；（3）()193mhxxx=+，将题目的条件转化为：对于任意一条直线yk=，如果yk=与()gx图象中满足3x的部分图象有交点，则yk=必然与()gx的图象中满

足3x的部分图象也有交点.当3x时，9yxx=+是单调递增的，所以当0m时，()hx是单调函数，分四种情况讨论：①当0m时，()gx在)3,+上符号是负，而在(),3−上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当0m=时，当3x

时，()0gx=，而当3x时，()1303xgx=，所以也不符合条件；③当03m时，要满足条件只需()()93fmh即162m，所以03m；④当3m时，要满足条件只需()()933fh即732mm−，即3l

og702mm+−，令()3log72mtmm=+−，因为()tm在)3,+上单调递增，且()60t=，所以解()()06tmt=得6m，所以36m，综上，实数m的取值范围为06m.【点睛】关键点睛：本题的关

键是能够将题目的条件转化为：对于任意一条直线yk=，如果yk=与()gx图象中满足3x的部分图象有交点，则yk=必然与()gx的图象中满足3x的部分图象也有交点，结合图象就能求解出实数m的取值范围；当然再分析当3m情况时，需要构造函数()3log72mtmm=+−，利用单调性求解不等式.