【文档说明】黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校2020届高三上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.643 MB，由小赞的店铺上传

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哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期末考试高三理科数学考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填

写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷

（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知复数321izi=+，则z=（）A.1i−−B.1i−C.132i+D.13i+【答案】A【解析】【分析】根据复数的代数运算法则，计算即可．【详解】∵3

21izi=+()()()212111iiiiii−−−===++−1i−−．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数运算问题，是基础题．2.已知集合2{|20,}AxxxxZ=−，集合{1,0,1,2}B=−，

则集合()ZABð的子集个数为（）A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】【分析】运用二次不等式的解法化简集合∁ZA，再由交集和补集的定义求解（∁ZA）∩B，进而求得子集的个数（n个元素的集合的子集为2n）．

【详解】集合A＝{x|x2﹣2x<0，x∈Z}＝{1}，又{1,0,1,2}B=−，则集合（∁ZA）∩B＝{-1，0，2}，又n个元素的集合的子集为2n可得集合（∁ZA）∩B的子集个数为23＝8，故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，主要是交集和补集的

运算，考查二次不等式的解法，以及集合子集的个数问题，属于基础题．3.已知函数2()(2cos1)sin2xfxx=−，则函数()fx的最小正周期和最大值分别为（）A.和1B.2和1C.和12D.2和12【答案】C【解析】【分析】利用二倍角的正、余弦公式

化简函数f（x），通过周期公式及三角函数的性质求解即可.【详解】因为2()(2cos1)sin=cossin2xfxxxx=−122sinx=∴T22==，函数的最大值为：12．故选：C.【点睛】本题考查二倍角的余弦函数正弦函数的应用

，三角函数的周期与最值的求法，属于基础题．4.已知向量(,2)ax=，(2,1)b=−，若()abb+⊥，则实数x的值为（）A.12B.32C.52D.72【答案】D【解析】【分析】先求出ab+=（﹣2+x

，3），再由()abb+⊥，能求出实数x的值．【详解】∵向量(,2)ax=，(2,1)b=−，∴ab+=（﹣2+x，3），∵()abb+⊥，∴()bab+=﹣2（﹣2+x）+3＝0，解得x72=．∴实数x的值是72．故选：D．【点睛】本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为

前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第2天走了()A.24里B.48里C.96里D.192里【答案】C【解析】【分析】将问题转化为数列问题，得到一个等比数列，然后再求解【详解】由题意可知此人每天走的步数

构成12为公比的等比数列由题意和等比数列的求和公式可得：61112378112a−=−解得1192a=此人第二天走的步数为：1192962=里故选C【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和前n项和公式与通项公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．6.已知函数1()

1xefxx−=+，则函数()fx在1x=处的切线方程为（）A.410xy−+=B.410xy++=C.0xy−=D.430xy−+=【答案】A【解析】【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．【详解】由题意1()1xefxx−

=+，12()(1)xxefxx−=+，∴f′（1）＝14，又f（1）＝12，则切点为（1，12），∴所求的切线方程为：y﹣12＝14（x﹣1），化简得x﹣4y+1＝0，故选：A．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．7.设函数3log,0()2

1,0xxxfxx−=+，若()2fa=，则实数a的值为（）A.9B.0或9C.0D.1−或9【答案】B【解析】【分析】分段讨论，代入求值即可【详解】∵f（a）＝3当2﹣a+1＝2时，解得a＝0，符合题意，当3loga＝2时，解得a＝9，符合题意综上：a＝0或a＝9，

故选：B.【点睛】本题考查了分段函数的应用，以及指数对数方程的解法，关键是分段讨论，属于基础题．8.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点分别为12,FF，点P是双曲线C右支上一点，若122||||FFPF=，123

0PFF=,则双曲线C的离心率为（）A.31+B.312+C.51+D.512+【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义及已知数据可得||PF1|＝23c＝2c+2a，从而可求双曲线的离心率的值．【

详解】因为|PF2|＝|F1F2|＝2c，1230PFF=，所以△PF1F2为等腰三角形，21120PFF=，所以||PF1|＝23c＝2c+2a，即（3﹣1）c＝a，解得e131231ca+===﹣．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几

何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．9.某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该

市直属高中学校共有（）种选派方法A.160B.80C.40D.20【答案】C【解析】【分析】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3162CC种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，即可得到结果.【详解】先给一所学校派3名教师和1名中层干部，则有3

162CC种选派方法，剩余的3名教师和1名中层干部直接去另一所学校，只有1种方法，∴共有316240CC=种选派方法，故选：C.【点睛】本题考查了分步计数原理与组合的应用，属于基础题.10.已知,EF分别为矩形ABCD的边AD与BC的中点，M为

线段EF的中点，把矩形ABFE沿EF折到11ABFE，使得190AED=,若2=ADAB，则异面直线1AM与1BD所成角的余弦值为（）A.1515B.1510C.155D.55【答案】A【解析】【分析】分别以ED、EF、E1A所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，得到向量1AM，1BD的坐标，利用空间两个向量夹角公式，由此能求出异面直线1AM与1BD所成角的余弦值．【详解】由题意可得EFCD，可得EF⊥ED，EF⊥E1A，又190AED=，∴ED、EF、E1A所在直线两两垂直，分别以ED、EF、E1A所在直线为

x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设24==ADAB，则1A（0，0，2），D（2，0，0），M（0，1，0），1B（0，2，2）∴()1222BD=−−，，，()1012AM=−，，，设1AM与1BD所成的角为θ，则21515235cos==

，∴异面直线1AM与1BD所成角的余弦值为1515．故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查了空间向量的应用，是基础题．11.已知圆22:1Oxy+=,过直线:20+−=lxy上第一象限内的一动点M作圆O的两条切线，切点分别为,AB,过,AB两点的直线与坐标轴分别交于,PQ

两点，则OPQ面积的最小值为（）A.1B.12C.14D.18【答案】B【解析】【分析】由切线的性质，结合四点共圆判断可得O，A，M，B四点共圆，求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦AB方程，由题意可得OPQ面积，结合基本不等式求得最值.【详解】因为AB为切点，所以OA⊥AM，OB⊥BM，

所以O，A，M，B四点共圆，设M（0x，0y），则其圆心O'（02x，02y），方程为（x02x−）2+（y02y−）222004xy+=，整理得x2+y2﹣xx0﹣yy0＝0，与圆O：x2+y2＝1的方程作差得x0x+y0y＝1，又AB是圆O与圆O'的公共弦，即直线AB的方程

为x0x+y0y＝1，又过,AB两点的直线与坐标轴分别交于,PQ两点，得P（01x，0）Q（0，01y），又0x+0y＝2002xy，∴001xy，当且仅当0x=0y＝1等号成立，则OPQ面积为00111122Sxy=，∴OPQ面积的最小值为12故选：B.【点睛

】本题考查圆的标准方程及圆的切线问题，考查基本不等式的运用，考查分析问题解决问题的逻辑推理能力，属于中档题．12.已知定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx+=，且[0,1]x时，()fxx=，则函数()()cos=−gxfxx在[2,4]x−上的所有零

点之和为（）A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】把函数g（x）=f（x）﹣cosπx的零点转化为两函数y＝f（x）与y＝cosπx图象交点的横坐标，再由已知可得函数f（x）的对称轴与周期，作出函数y＝f（x）与y＝cosπx

的图象，数形结合得答案．【详解】函数g（x）=f（x）﹣cosπx的零点，即方程f（x）﹣cosπx＝0的根，也就是两函数y＝f（x）与y＝cosπx图象交点的横坐标．由f（x）是定义在R上的偶函数，且(2)()fxfx+=可得函数周期为2．又当[0,1]x时，()fxx=，作出函数y＝f（x）

与y＝cosπx的图象如图：由图可知，函数g（x）=f（x）﹣cosπx在区间[﹣2，4]上的所有零点之和为﹣12+12+32＝6．故选：C．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法

，是中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

将答案填在机读卡上相应的位置．13.62()xx+的展开式中，3x项的系数是___________(用数字作答）．【答案】60【解析】通项为36621662()2rrrrrrrTCxCxx−−+==，令3632r−=，2r=，所以所求系数为226260C

=．点睛：用二项式定理求某一项的系数，首先要掌握二项式定理展开式通项公式：1CrnrrrnTab−+=（0rn），解题时，写出通项后把常数与字母了分离，令字母的幂指数为指定幂指数，求得r，代入后可得此项系数．14.已知水平放置的底面

半径为20cm，高为100cm的圆柱形水桶，水桶内水面高度为50cm，现将一个高为10cm圆锥形铁器完全没入水桶中（圆锥的底面半径小于20cm）,此时水桶的水面高度上升了2.5cm,则此圆锥形铁器的侧

面积为_______2cm.（忽略水桶壁的厚度）【答案】2003【解析】【分析】根据水面上升高度求出圆锥的底面半径，再利用侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，则圆锥的体积V＝π×202×

2.5＝1000π21103r=，∴211003r=，2300r=∴母线长为221020r+=∴圆锥形铁器的侧面积为S12=×2r×20=2003，故答案为：2003．【点睛】本题考查了圆锥的

结构特征和体积、侧面积公式，属于基础题．15.已知,ab均为正实数，若abab+=，则4baa+的最小值为_______.【答案】5【解析】【分析】由已知可得1aba=−，代入所求4baa+中可得414baaaa=+

−+，配凑基本不等式求解即可.【详解】由已知abab+=及,ab均为正实数，则1ababba+=且1aba=−，∴41444411215111(1)baaaaaaaaaaaa+=+=+−+−=++=−−−−，当且仅当411aa−=−，即1

2,3aa−==时等号成立，故答案为：5.【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查减元思想和等号成立的条件，关键是配凑基本不等式的形式，属于中档题．16.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交

于,AB两点，若2AFFB=，且弦AB的中点纵坐标为22，则抛物线C的方程为_______.【答案】24yx=【解析】【分析】设出直线l为x＝my+2p，与抛物线C的方程联立，消去x，利用AF=2FB，及韦达定理得出yA与yB的关系式，结合条件从而求出p的值．【详解】设过F的直线l为x＝my+2

p，与抛物线C：y2＝2px联立，得：222pxmyypx+=＝，消去x，得y2＝2p（2pmy+），整理，得y2﹣2pmy﹣2p＝0，∴yAyB2p=−又∵AF=2FB，∴yA＝﹣2yB；∴yAyB222Bpy=−=−，由弦AB的中点纵坐标为202，∴A在x轴

上方，B在x轴下方，∴yB＝22p−，yA＝2p，yA+yB=22p＝2∴p=2，∴抛物线C的方程为24yx=，故答案为：24yx=．【点睛】本题考查了直线与抛物线的应用问题，考查了向量坐标及韦达定理的应用

，考查转化能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，设边,,abc所对的角分别为,,ABC，coscos2AaCbc=−

+.（1）求角A的大小；（2）若2,bc=ABC的周长为37+，求a的值.【答案】（1）23A=（2）7a=【解析】【分析】（1）利用正弦定理可将原式边化角，整理得1cos2A=−，进而可得A的大小；（2）利用余弦定理结合已知数据，直接可得解．【详解】（1）因为c

oscos2AaCbc=−+由正弦定理得cossincos2sinsinAACBC=−+sincoscossin2cossin0ACACAB++=sin()2cossin0ACAB++=sin2coss

in0BAB+=,(0,)B,1cos2A=−,(0,)A,23A=（2）由余弦定理得2222222cos2abcbcAabc=+−=++因为周长37abc++=+，又222abc=+−（），所

以22372aa=+−−（），所以7a=【点睛】本题考查正、余弦定理的综合运用，考查了逻辑推理能力，考查了方程思想，属于中档题．18.如图所示,四棱锥SABCD−的底面是直角梯形，SA⊥平面ABCD，//,ABCDABAD⊥,E为AB中点，且4,2ABADCD===.（1）求证：BC⊥平面SAC

；（2）若SC与底面ABCD所成角为45，求二面角BSCE−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）推导出SABC⊥及ACBC⊥，则可证明BC⊥平面SAC.（2）由已知线面角可得22SAAC==，以A为坐标原点，,,ABADAS分别为x

轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面SBC的法向量和平面SCE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】（1）因为SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以SABC⊥在直角梯形AB

CD中，2222ACADDCBC=+==,∴222ACBCAB+=，∴ACBC⊥，又ACSAA=,所以BC⊥平面SAC.（2）因为SA⊥平面ABCD，所以SCA是SC与底面ABCD所成角，45SCA

=，所以22SAAC==以A为坐标原点，,,ABADAS分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得B（4，0，0），E（2，0，0），C（2，2，0），S（0，0，22），设平面SCE的法向量为n=（x，y，z），∴()()202020

SEEC=−=，，，，，．所以00SEnECn==，即22200xzy−==，面SCE的法向量(2,0,1)n=，同理得面SBC的法向量(1,1,2)m=6cos,3nm=二面角11CADC−−的余弦值为63【点睛】本题考查直线与平面垂直的判

定定理，考查二面角的平面角的向量的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.19.已知正项数列{}na的前n项和为nS，若11a=,12nnnSaa+=.（1）证明：当2n时，112nnaa+−−=；（2）求数列{}na

的通项公式；（3）设2212nannba−=，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（1）证明见解析（2）nan=（3）12065499nnnT+−=+【解析】【分析】（1）运用已知12nnnSaa+=将n换为n﹣1，作差化简可得证.（2）结合等差数列的定义和通项公式，分

奇偶分别求通项，合并即可得到所求；（3）求得数列{bn}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．【详解】（1）2n时，1-1122nnnnnnSaaSaa+−==作差得11122

nnnnnnSSaaaa−+−−=−112nnnnnaaaaa+−=−，又0na，所以有112nnaa+−−=（2）因为2n时，112nnaa+−−=，所以{}na的奇数项是以11a=为首项，2为公差的等差数列；偶数数

项是以22a=为首项，2为公差的等差数列；所以2112(1)21nann−=+−=−；222(1)2nann=+−=所以nan=（3）2212nnbn=−（），∴Tn＝b1+b2+…+bn﹣1+bn＝1•4+3•42+…+

（2n﹣3）•4n-1+（2n﹣1）4n①()234143423nTn=+++−4n+（2n﹣1）4n+1②①﹣②得：﹣3()23244444nnT=++++−−（2n﹣1）4n+1解得：()()12

4204206542099nnnnnT+−+−+==∴12065499nnnT+−=+【点睛】本题考查数列的通项的求法，考查了数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式的

运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知动点M到定点()1,0F的距离与到定直线2x=的距离之比为22.（1）求动点M轨迹C的方程；（2）过F的直线l交轨迹C于,AB两点，若轨迹C上存在点P，使32OPOAOB=+,求直线l的方程.【答案】（1）2212xy+=（2）6(1)6yx=

−【解析】【分析】（1）设,Mxy（），由题意得222MFx=−，坐标化后，平方化简可得结果.（2）设:(1)lykx=−与轨迹C的方程联立，结合韦达定理及P的坐标解得k，可得直线方程.【详解】（1）设,Mxy（），因为M到定点1,0F

（）的距离与到定直线2x=的距离之比为22，所以有222MFx=−，即2222112xyx−+=−（）（），化简得2212xy+=（2）由题意直线l斜率存在，设1122:(1),(,),(,)lykxAxyBxy

=−联立方程得，2212(1)xyykx+==−，2222(21)4210kxkxk+−+−=，∴恒成立∴212221224212221kxxkkxxk+=+−=+，32OPOAOB=+,所

以121233,,22ppxxxyyy=+=+代入椭圆有221212332222xxyy+++=（）（），又221122xy+=，222222xy+=得22221122121293224xyxyxxyy+++++=（）（）（）12123202xxyy++=，得22212123212()202kxx

kxxk++−++=（）代入得216k=直线方程l：6(1)6yx=−【点睛】本题考查了轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系及向量的坐标与韦达定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．21.已知函数2()2(ln)8

fxxxa=−++，aR.（1）证明：当1a=时，函数()fx在区间()0+，上单调递增；（2）若1x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）函数()fx在区间()0+，上单调递增（2）1042ln2a−−【解析】【分析】（1）求

出f（x）的导数，求出函数的单调区间即可证明；（2）求出函数的导数，问题转化为研究()lnuxxxa=−−的单调性及最值，从而借助于f（x）的最小值大于等于0得到00lnxxa=+，利用零点代换法求得0x的范围，则可求出a的范围．【详解】（1）2(ln)'()xxafxx−−=当1a=时，2(

ln1)'()xxfxx−−=()ln1hxxx=−−，1'()xhxx−=，当01x时，'()0hx，当1x时，'()0hx所以()hx在区间(1,)+增，在区间为(0,1)上减所以()(1)

0hxh=，即'()0fx，所以函数()fx在区间（0，+）上单调递增（2）设2(ln)'()xxafxx−−=()lnuxxxa=−−1'()0xuxx−=，所以()ux在(1,)+上单调递增,()1uxa−（1）当10a−，即1a时，()fx在[1,)

+上是单调递增的，()(1)0fxf，1010a−所以101a−（2）当10a−，即1a时，(1)0,,()uxux→+→+，故存在唯一的0(1,)x+，使000()ln0uxxxa=−−=，所以当01xx

时，()0ux，当0xx时，()0ux，所以()fx在区间0(,)x+增，在区间为0(1,)x上减所以0()()0fxfx，2000()2(ln)80fxxxa=−++，又00lnxxa=+得200028014xxx−

+，又00lnaxx=−，令l(n)txxx−=，则()110txx−=在14x上恒成立，可得00lnaxx=−是随0x增大而增大的，所以142ln2a−综上：1042ln2a−−【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考

查导数的应用以及分类讨论思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．22.已知曲线1C的参数方程为1cossinxy=+=（为参数

），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为23sin=.（1）写出曲线1C的极坐标方程，并求出曲线1C与2C公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若射线02=（）与曲线1C交于,OA两点，与曲线2C交于,OB点，且||2AB=，求tan的值.【答

案】（1）曲线1C的极坐标方程为2cos=，公共弦所在直线的极坐标方程6R=（）（2）tan3=【解析】【分析】（1）先得到C1的一般方程，再由极坐标与直角坐标的互化公式得到极坐标方程，将23sin

=，2cos=联立，得到公共弦所在直线的极坐标方程；（2）先求得|OA|，|OB|，可得||2AB==|OA|-|OB|，化简可得到3=.【详解】（1）曲线1C的直角坐标方程为2211xy−+=（），将极坐标与直角坐标的互化公式：cos,sinxy==代入2

211xy−+=（），可得曲线1C的极坐标方程为2cos=.联立23sin=与2cos=，得3tan3=∴曲线1C与2C公共弦所在直线的极坐标方程6R=（）,（或6=和76=）（2）把0=（），代入23sin=，2cos

=，得||2cosOA=；||23sinOB=又||2AB=，则23sin2cos−=2，可得1sin62663−=−−（），（，）所以3=，tan3=【点睛】本题考查了参数方程化

为普通方程的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些，是中档题．23.设1()fxxaxa=−++（0a）（1）证明：()2fx；

（2）若(2)3f，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）515322a++【解析】【分析】（1）直接由绝对值三角不等式得证.（2）将(2)3f去绝对值化简得到11121aaa−−−，解分式不等式即可．【详解】（1）111()||

||2fxxaxxaxaaaa=−++−−−=+；（2）11(2)|22321faaaa=−++−−11515312122aaaa++−−−【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，属于中档题

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