【文档说明】陕西省西安中学2021届高三上学期第四次月考数学（文）试卷 含解析.doc，共(22)页，1.982 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学高2021届高三第四次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.定义{|,}ABxxAxB−=，若{1,2,3,4,5},{2,3,6}MN==，则MN−=（）．A.MB.NC.{1,4,5}D.{6}————C分析：根据题中的新定义,找出属于M不属

于N的元素.即可确定出MN−.解答：解:集合{1,2,3,4,5},{2,3,6}MN==.{1,4,5}MN−=故选C点拨：此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.2.已知i为虚数单位，复数12,2()izzaiaRi

−==+.若12zz，则a的取值范围是（）A.(2,2)−B.(0,2)C.(2,)+D.(,2)−————A分析：对1z进行整理得112zi=−−，进而可求出12,zz，结合12zz可得251a+，进而可求出a的取值范围.解答：解：()122212ii

iziii−−===−−，则()()221125z=−+−=，221za=+，因为12zz，所以251a+，解得22a−.故选:A.点拨：本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z进行整理是本题

的关键.3.已知单位向量a与b的夹角为3，若xab+与a垂直，则实数x的值为（）A.12B.12−C.32D.32−————B分析：根据xab+与a垂直，利用()0xaba+=求解.解答：因为xab+与a垂直，所以()2102xabaxaabx+=+=+=，所以

12x=−，故选：B.点拨：本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.4.下列选项中，说法正确的是（）A.“20000xRxx−，”的否定是“2000xRxx−，”B.若向量ab，满足0ab，则a与b的夹角为钝角C.若22a

mbm，则abD.“()xABU”是“()xAB”的必要条件————D分析：对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量ab，满足0ab，则a与b的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤b

m2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．解答：选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；选项B若向量ab，满足0ab，则a与b的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但

是a≤b不一定成立，因此不正确；选项D若“()xAB”，则xA且xB，所以一定可以推出“()xABU”，因此“()xABU”是“()xAB”的必要条件，故正确.故选：D.点拨：本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集

合性质等，属于简单题.5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A.12B.56C.76D.712————B分析：初始化数值1,1ks==，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值1,1ks==循环结果执行如下：第一次：1111(1),2,2322skk=+−===不成立；第二次：21

15(1),3,33236skk=+−===成立，循环结束，输出56s=，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要

注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.6.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中矩形的高为4，俯视图是一个半圆内切于边长为4的正方形，则该几何体的体积为（）A.8643+B.4643+C.2643+D.16643+————A分析：该组合体上面是球

体的四分之一，球直径是4，下面是棱长为4的正方体，各部分体积易求.解答：解：由三视图知几何体的下部是边长为4正方体，上部是14球，且球的半径为2，几何体的体积33114842644433VVV=+=+=+正方

体球．故选：A．点拨：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量，属于基础题．7.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，

y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么1ab−＝（）A.0B.1C.12D.2————A分析：由题意得1221(,),(,)3333MN，代入函数解析式，进而利用指对互化即可得解.解答：BM＝MN＝NA，点A(1

，0)，B(0，1)，所以1221(,),(,)3333MN，将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，得1221(),()3333ab==所以123321log,log33ab==，所以1113332312122logloglog01333log3ab−=−=−=.故选：A.点拨：本题主要考查了幂函

数的图像及对数的运算，涉及换底公式，属于基础题.8.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为O，始边与x轴正半轴重合，终边过点()2,y−，且14sin4=，则cos4+=（）A.174−B.174

+−C.714−D.174+————B分析：通过三角函数定义求y，并且一定注意终边所过点的取值范围．再利用两角和余弦公式进行化简，求值．解答：由终边过点()2,y−，得214sin42yy==+，解得14y

=即终边过点(2,14)−，142sin,cos44==−17cos()coscossinsin4444++=−=−故选B．点拨：使用三角函数定义，需注意sin,cosyxrr==，其中22

0,,,rrxyxRyR=+．9.函数tan42yx=−的部分图象如图所示，则()OAOBAB+=()A.－6B.－4C.4D.6————D试题分析：由tan42yx=−的图象可知A

(2,0),B(3,1)所以(5,1)OAOB+=,(1,1)AB=所以()6OAOBAB+=.考点：向量数量积，向量的坐标表示.10.在底边边长为2的正四棱锥PABCD−中，异面直线PC与AD所成角的正切值为3，则四棱锥PABCD−外接球

的表面积为（）A.254B.252C.2528D.92————B分析：可知异面直线PC与AD所成角即为PCB∠，可以求出3PH=，进而求出'PO，根据外接球性质建立勾股定理可求出球半径，即可得解.解答：//ADBC，

异面直线PC与AD所成角即为PCB∠，作PHBC⊥于H，则3PHHC=，1HC=，3PH=，设P在底面的投影为'O，则'9122hPO==−=，如图，设球心为O，半径为R，则222''OBOOOB=+,()22222RR=−+，522R=，22542

SR==故选:B.本题考查外接球的相关计算，属于基础题.11.函数21xaxye−=存在极值点，则实数a的取值范围为（）A.1a−B.0aC.1a−或0aD.1a−或0a————D分析：求导函数，由导函数的零点确定存在极值点的条件.解答

：221=xaxaxye−++，0y=，212xxa=−当直线1ya=与二次函数22yxx=−有两个不同交点时，函数21xaxye−=存在极值点，而()222111yxxx=−=−−−，所以11a−，解得10aa−或.故选:D12.正方

体1111ABCDABCD−的棱长为2，E，F，G分别为BC，1CC，1BB的中点，则（）A.直线1DD与直线AF垂直B.直线1AG与平面AEF不平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点C与点G到平面AEF的距离相等——

——C分析：由1DDAF⊥，得出1DD⊥平面AEF，进而得出1CCEF⊥，可判定A错误；取11BC的中点Q，连接1,AQGQ，利用线面平行的判定定理，得到1//AG平面AEF，可判定B错误；连接11,DFDA，延长1,DFAE

交于点S，得到截面即为梯形1AEFD，求得梯形的面积，可判定C正确；记点C与点G到平面AEF的距离分别为12,hh，根据体积公式列出方程，得到12hh，可判定D错误.解答：对于A中，若1DDAF⊥，因为1DDAE⊥且A

EAFA=，所以1DD⊥平面AEF，所以1DDEF⊥，所以1CCEF⊥，此时不成立，所以A错误；对于B中，如图所示，取11BC的中点Q，连接1,AQGQ，由条件可知：1//,//GQEFAQAE，且1,GQAQQEFAEE==,所

以平面1//AGQ平面AEF，又因为1AG平面1AGQ，所以1//AG平面AEF，所以B错误；对于C中，如图所示，连接11,DFDA，延长1,DFAE交于点S，因为,EF为1,BCCC的中点，所以1//EFA

D，所以1,,,AEFD四点共面，所以截面即为梯形1AEFD，又因为22114225,22DSASAD==+==,所以12212222(25)()622ADSS=−=,所以梯形139642AEFDS==，所以

C正确.对于D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为12,hh，因为11111123323CAEFAEFACEFVShV−−====,又因为21122223323GAEFAEFAGEFVShV−−====,所以12hh，所以D错误.故选

：C.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.方程sinx＝lgx的解有________个．————3作出函数sinyx=与lgyx=的图象如图所示：则两个图象的交点的个数为3个故答案为314.等差数列na的前n项和为n

S，111a=−，466aa+=−，则当nS取最小值时，n等于________.————6分析：求出等差数列na的公差，可求得nS关于n的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当nS取最小值时对应的正整数n的值.解答：设等差数列na的公差为d，则46128228

6aaadd+=+=−+=−，解得2d=，()()2221111126362nnndSnannnnnn−=+=−+−=−=−−，当6n=时，nS取得最小值36−.故答案为：6.点拨：本题考查利用二次函数的基本性质求nS的最小值，考查计算能力，属于基础题.15.如图，一辆汽车在一条水

平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北75的方向上，山顶D的仰角为30°，则此山的高度CD=______m．————1006分析

：在ABC中由正弦定理解出BC，在RtBCD中由正切的定义求出CD．解答：在ABC中，30BAC=，600AB=，18075105ABC=−=，45ACB=，sinsinABBCACBBAC=，即600sin45

sin30BC=，解得3002BC=．又在RtBCD中，30CBD=，3tan300210063CDBCCBD===，即山高CD为1006m．故答案为：1006点拨：结论点睛：解三角形需要三个条件，且

至少有一个为边长，对于未知的几何元素（边和角），可以放到其它三角形中求解.16.关于函数()()21lg0xfxxx+=，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x0时，()fx是增函数；当x0时，()fx是减函数；③()fx的最小值是lg2；④()fx在区间()10−，、()2+，上是

增函数；⑤()fx无最大值，也无最小值．其中所有正确命题的序号是__________．————①③④分析：根据偶函数定义确定①成立，根据对勾函数性质得②错误，根据对勾函数性质以及偶函数性质得③成立，⑤错误；根据复合函数性质得④成立.解答：定义域关于原点对称，又满足()()fxfx−=，所以函数的图

象关于y轴对称，故①正确；令1txx=+（0x），在(01，上是减函数，在)1+，上是增函数，②不正确；12txx=+，又是偶函数，所以函数()fx的最小值是lg2，③正确；当10x−或1x时函数1txx=+是增函数，根据复合函数

知()fx是增函数，④正确；由③知，⑤不正确．故答案为：①③④．三、解答题：(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．)17.已知等比数列na的前n项和为nS，22743

aaa=，且3−，4S，39a成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设()11nnbann=++，求数列nb的前n项和nT————（1）3nna=；（2）133221nnnTn+=−++.分析：（1）设等比

数列na的公比为q，由等比数列的通项公式可得()6231113aqaqaq=，进而可得q，再由等差数列的性质、等比数列的知识列方程可得1a，即可得解；（2）由1131nnbnn=+−+，结合等比数列前n项和公式、裂项相消法及分组求和法即可得

解.解答：（1）在比数列na中，设等比数列na的公比为q，由22743aaa=，得2726113aqaq=，∴3q=，∵3−，4S，39a成等差数列，∴43293Sa=−，从而有()41212139

3313aa−=−−，得13a=，∴113nnnaaq−==；（2）由3nna=，且()11nnbann=++，得()1113311nnnbnnnn=+=+−++，∴()121111133312231nnTnn=++++−+−++−+，

()121111133312231nnn=++++−+−++−+()13131331131221nnnnn+−=+−=−+−++.点拨：本题考查了等差等比数列的综合应用，数列求和的方法技巧有：（1）倒序相加：用于等差数列、与二

项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.18.某公司为确定下一年度

投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.x（万元）24536y（单位：t）2.544.536（1）根据表中数据

建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程；（2）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为20.051.85zyx=−−，根据（1）中的结果回答下列问题：①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？②估算该公司应该投入

多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.附：问归方程ˆˆˆybxa=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1111112221111ˆnniinniixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−，ˆˆaybx=−.参考数据：11188.5Six

y==，21190Six==.————（1）ˆ0.850.6yx=+；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元分析：（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）①先求得年利润z关于x的表达式，然后将10x=分别代入回归直线方程和年利润的函数表

达式，由此求得年销售量及年利润的预报值②求得年利润与年宣传费的比值w的表达式，利用基本不等式求得5x=时，年利润与年宣传费的比值最大.解答：（1）由题意2453645x++++==，2.54.543645y++++==，21222188.

554ˆ0.859054niiiniixynxybxnx==−−===−−，ˆˆ40.8540.6aybx=−=−=，0.80.ˆ56yx=+（2）①由（1）得220.051.850.050.851.25zyxxx=+−−=−−，当10x=时，0.8510

0.ˆ69.1y=+=，20.05100.85101.252.25z=−−=+.即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.②令年利润与年宣传费的比值为w，则()1.250.050.850wxxx=−−+，1.251.250.050.850.050.

85wxxxx=−−+=−++−1.2520.050.850.35xx+=.当且仅当1.250.05xx=即5x=时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.点拨：本小题主要考查回归直线方程的计算

，考查利用回归直线方程进行预测，考查利用基本不等式求最值，属于中档题.19.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且22coscaBb−=.（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积为34,且22cos4cabCa++=,求

a.————（1）3A=；（2）72a=．试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得cosA的值，从而求得角A的大小；（2）首先根据条件等式结合

余弦定理得到,,abc的关系式，然后根据三角形面积公式求得bc的值，从而求得a的值．试题解析：（1）由22coscaBb−=及正弦定理可得2sin2sincossinCABB−=,()sinsinsinsincoscossin,cossin2BCABABABAB=+=+

=,1sin0,cos2BA=,又因为0,3AA=.（2）22cos4cabCa++=①,又由余弦定理得222cos2abcabC+−=,代入①式得22283bca+=−,由余弦定理222222cosab

cbAbcbc=+−=+−．2213sin,1,83124ABCSbcAbcaa====−−,得72a=.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．20.如图所示的多面体中，四边形ABCD是正方形，平面AED⊥平面ABCD，//E

FDC，112EDEFCD===，30EAD=∠°.（1）求证：AEFC⊥；（2）求点D到平面BCF的距离.————（1）证明见解析；（2）2217分析：（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明；（2）利用等体积法求解即可.解答：（

1）四边形ABCD是正方形，CDAD⊥又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，CD平面ABCDCD\^平面ADE又AE平面ADECDAE⊥在ADE中，2,1,30ADDEEAD===由余弦定理得，3AE=，∴222AEDEAD+=，∴AEED⊥.又CDEDD=，,

CDED平面EFCD∴AE⊥平面EFCD.又FC平面EFCD∴AEFC⊥.（2）连结DF，由（1）可知，AE⊥平面CDEF四边形ABCD是正方形，∴//ABDC又DC面CDEF，AB面CDEF∴//AB面CDEFA到CDEF的距离等于B到CDEF的距离.即B到面DFC的

距离为AE.在直角梯形EFCD中，1,1,2EFDEDC===∴2FC=∴112CDFSDCDE==△，1333BCDFCDFVSAE−==△在直角梯形EFBA中，1,3,2EFAEAB===可得2BF=在等腰BFC△中，2BCBF==，2FC=∴11472222BF

CS==△，设点D到平面BFC的距离为d，DBCFBCDFVV−−=，即1333DBCFBFCVSd−==△，3221=7BFCdS=点D到平面BCF的距离为2217.点拨：本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.21.已知函数1()ln(0,)fxaxaaRx

=+．（1）若1a=，求函数()fx的极值和单调区间；（2）若在区间(0,e上至少存在一点0x，使得()00fx成立，求实数a的取值范围．————（1）()fx取得极小值为1，()fx的单调递增区间为(1,)+，单调递减区间为(0,1)；（2）a()1,,ee−−+

.分析：（1）求函数()1lnfxxx=+的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数()fx的导数和驻点，然后列表讨论，求函数()fx的单调区间和极值；（2）若在区间(0,e上存在一点0x，使得()00fx成立

，其充要条件是()fx在区间(0,e上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在区间(0,e上的最小值，先求出导函数()fx，然后讨论研究函数在(0,e上的单调性，将()fx的极值点与区间(0,e的端点比较，确定其最小的极值点．解

答：解：1()ln(0,)fxaxaaRx=+的定义域为(0,)+，因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，（1）当1a=时，()'21xfxx−=，令()'0fx=，得1x=，又()fx的定义域为()0,+

，()'fx，()fx随x的变化情况如下表:x()0,11()1,+()'fx−0+单调递减极小值单调递增所以1x=时，()fx取得极小值为1．()fx的单调递增区间为(1,)+，单调递减区间为(0,1)．（2）因为()'2211aaxfxxxx−=−+=，且0a

．令()'0fx=，得1xa=，若在区间(0,e上存在一点0x，使得()00fx成立，其充要条件是()fx在区间(0,e上的最小值小于0即可．()i当10xa=，即0a时，()'0fx对()0,x+成立，所以，()fx在区间(

0,e上单调递减，故()fx在区间(0,e上的最小值为()11lnfeaeaee=+=+，由10ae+，得1ae−，即1,ae−−．()ii当10xa=，即0a时，若1ea，则()'0fx对(0,xe成立，所以()fx在区间(0

,e上单调递减，所以，()fx在区间(0,e上的最小值为()11ln0feaeaee=+=+，显然，()fx在区间(0,e上的最小值小于0不成立．若10ea，即1ae时，则有x10,a1a1,

a+()'fx−0+()fx单调递减极小值单调递增所以()fx在区间(0,e上的最小值为11lnfaaaa=+．由()11ln1ln0faaaaaa=+=−，得

1ln0a−，解得ae，即(),ae+．综上，由()i()ii可知a()1,,ee−−+符合题意．点拨：本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两

侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力；较难．22.已知直线l的参数方程2312txty==+(t为参数)，曲线C的参数方程为2cos{sinxy=+=(为

参数)．（1）若在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为4,3，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最小值

与最大值．————（1）点P不在直线l上；（2）最小值为2312−，最大值为2332+．分析：（1）将P的极坐标化为直角坐标，直线l的参数方程转化为普通方程，即可验证P与直线l的位置关系；（2）根据参数方程设()2cos,sinQ+，结合点线距离公式知Q到直线l

的距离为2sin23132d−++=，进而求最值.解答：（1）将点4,3P化为直角坐标得()2,23P，而直线l的普通方程为31yx=+，显然点P不满足直线l的方程，∴点P不在直线l上．（2）∵点Q在

曲线C上，可设()2cos,sinQ+，点Q到直线l：31yx=+的距离为2sin231233cossin13231d−+++−+==+，∴当sin13−=−时，min2312d−=；当s

in13−=时，max2332d+=．故点Q到直线l的距离的最小值为2312−，最大值为2332+．点拨：关键点点睛：极坐标、参数方程分别转化为直角坐标、普通方程，根据点是否满足直线方程判断点线位置关系，应用

参数方程设点坐标，结合点线距离公式求最值.23.已知函数()221fxmx=−−，mR，且102fx+的解集为11xx−.（1）求m的值；（2）若,,abc都为正数，且11124mab

c++=，证明：249abc++.————（1）1m=（2）证明见解析分析：(1)由题设条件得出220mx−，解得mxm−，根据102fx+的解集求出m的值；(2)将1代换为11124abc++，利用基本不等式证明不

等式即可.解答：（1）由102fx+得220mx−得mxm−，因为102fx+的解集为11xx−，所以1m=.（2）由（1）得111124abc++=，∴()1112442241119242424ba

cacbabcabcabacbc++++=++++++++.当且仅当24abc==时，等号成立.所以249abc++成立.点拨：本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.