【文档说明】山东省济宁市2021届高三上学期学分认定数学试卷【精准解析】.doc,共(21)页,2.152 MB,由管理员店铺上传
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高三学分认定数学试题一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合|21xAx=,2|560Bxxx=+−,则AB=()A.()1,0−B.()0,6C.()0,1D.()6,1−【答案】C【解
析】【分析】分别解出集合A、B,利用集合基本运算求交集即可.【详解】0|21|22=|0xxAxxxx==,2|560|(6)(10|61Bxxxxxxxx=+−=+−=−),∴AB=()0,1.故选:C.2.若512izi=−(i是虚
数单位),则z的共轭复数为()A.2i−B.2i+C.2i−−D.2i−+【答案】C【解析】【分析】由复数除法法则计算出z,再由共轭复数概念写出共轭复数.【详解】55(12)212(12(12)iiiziiii+===−+−−+,∴2zi=
−−.故选:C.【点睛】本题考查复数的除法运算,考查共轭复数的概念,属于基础题.3.设xR,则“38x”是“2x>”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答
案】A【解析】分析:求解三次不等式和绝对值不等式,据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解:求解不等式38x可得2x,求解绝对值不等式2x>可得2x或2x−,据此可知:“38x”是“||2x
”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设nS是等差数列na(*nN)的前n项和,且141,16aS==,则7a=()A.7B.10C.13D.16【答案】
C【解析】【分析】由题建立关系求出公差,即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d,141,16aS==,41464616Sadd=+=+=,2d=,71613aad=+=.故选:C5.已知tan2=,则sin21cos2
=+()A.12B.2C.12−D.2−【答案】B【解析】【分析】对sin21cos2+利用二倍角公式化简即可求值.【详解】2sin22sincostan21cos22cos===+.故选:B6.如图所示,在
正方体1111ABCDABCD−中,E,F分别是11ABBC,的中点,则异面直线EF与1CD所成的角为()A.30°B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】利用11//EFAC,将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,即11ACD为所求角,在11ACD中求解.【详解】连结1A
B,11AC,1AD因为11ABBA为正方形,所以E既是1AB中点,又是1AB的中点,所以11//EFAC,所以EF与1CD所成的角为11ACD,而11ACD为等边三角形,所以01160ACD=.故
选:C【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)
计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是0,2,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.7.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆上一动点,则MAMB的取值范围是()A.1,0−B.1
,3−C.0,3D.1,4−【答案】B【解析】【分析】建立坐标系如图所示,设()cos,sinM,利用坐标求出MAMB,即可根据三角函数的性质求出范围.【详解】建立坐标系如图所示,设()cos,sinM,其中()()1,1,1,1AB−−−,易知MAMB=()()cos1,
sin1cos1,sin1++−+22cos1sin2sin12sin1=−+++=+,13MAMB−.故选:B.【点睛】关键点睛:本题考查数量积范围的求解,解题的关键是建立恰当的直角坐标系,将数量积的运算转化为坐标运算,将M设
为()cos,sin更便于利用三角函数的性质求范围,这也是解决几何与向量结合的问题中常用的方法.8.已知过球面上,,ABC三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半,且2ABACBC===,则球O的半径为()A.1B.43C.34D.2【答案】B【解析】【分析】根据2ABACB
C===,利用正弦定理求得其所外接圆半径为r.然后根据截面和球心O的距离等于球半径的一半,由222Rdr=+求解.【详解】因为2ABACBC===,所以ABC的外接圆半径为012232sin603r==.设球半径为R,则22221443RdrR=+=+,所以43R=.故选:B二
、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知函数()()sin322fxx=+−的图象关于直线4x=对称,则()A.4=−B.若()()122fxfx−=,则12xx−的最小值为3C.将
()fx图象向左平移12个单位得到()5sin312gxx=+的图象D.若函数()fx在0m,单调递增,则m的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】由题可得34+=()2kkZ+,则可求得4
=−,然后利用三角函数的性质即可判断.【详解】因为直线4x=是()()sin322fxx=+−的对称轴,所以34+=()2kkZ+,则()4kkZ=−+,当0k=
时,4=−,则()sin34fxx=−,故A正确;对于B,若()()122fxfx−=,12min23Txx−==,故B正确;对于C,()sin3124gxx=+−sin3x=,故C错误;对于D,因
为()fx在04,单调递增,在7412,递减,所以m的最大值为4,故D正确.故选:ABD.【点睛】关键点睛:本题考查三角函数的性质,解题的关键是根据直线4x=是()()s
in322fxx=+−的对称轴,得出34+=()2kkZ+,求得4=−.10.下列不等式正确的是()A.当xR时,1xex+B.当0x时,ln1−xxC.当xR时,xeexD.当xR时,sinxx【答案】ABC【解析】【分析】构建函数,
利用导数研究其单调性和最值,可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A:设()1xfxex=−−,则()1xfxe=−,令()0fx=,解得0x=,当(,0)x−时函数单调递减,当(0,)x+时,函数单调递增,所以函数在0x=时,函数取得最小值()(0)0minfxf==,故当x
R时,1xex+…,故A正确;对于B:设()ln1fxxx=−+,所以1(1)()1−−=−=xfxxx,令()0fx=,解得1x=,当(0,1)x时,函数单调递增,当(1,)x+时,函数单调递减,所以在1x=时,max()
fxf=(1)0=,故当0x时,1lnxx−„恒成立,故B正确;对于C:设()xfxeex=−,所以()xfxee=−,令()0fx=,解得1x=,当(,1)x−时,函数单调递减,当(1,)x+时,函数单调递增,所以当1x=时,min()fxf=(1)0=,所以当xR时,xee
x…,故C正确;对于D:设函数()sinfxxx=−,则()1cos0fxx=−…,所以()fx是定义在R上单调递增的奇函数,所以0x时,sinxx…成立,0x时,()0fx,故D错误.故选:ABC11.定义在R上的偶函数()fx满足()()2fxfx+=−
,且在20−,上是减函数,下面关于()fx的判断正确的是()A.()0f是函数的最小值B.()fx的图像关于点()1,0对称C.()fx在2,4上是增函数D.()fx的图像关于直线2x=对称.【答案】ABD【解析】【分析】A,()()2fxfx+=−()()fxfx=−可判断;B,由偶
函数的定义和条件()()20fxfx++−=可判断;C,利用()fx在20−,上是减函数、是偶函数、周期函数可判断;D,()()2fxfx+=−,()()fxfx=−可判断.【详解】A,()()()2fxfxfx+
=−=−−,()()()()42fxfxfxfx+=−+==−,()fx是周期为4的周期函数,又()fx在20−,上是减函数,在R上是偶函数,所以在02,是增函数,所以()0f是函数的最小值,正确;B,由()()20fxf
x++−=,所以关于点()1,0中心对称,正确;C,又()fx在20−,上是减函数,在R上是偶函数,所以在02,是增函数,()fx是周期为4的周期函数,所以()fx在2,4上是减函数,错误;D,()()2f
xfx+=−,()()()()42fxfxfxfx+=−+==−,()fx的图像关于直线2x=对称,正确.故选:ABD.【点睛】对于抽象函数,要灵活掌握并运用函数的图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质,还应该学会解决的基本方法与技巧,如对于选择题,可选用特殊值法、赋值
法、数形结合等,应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.12.如图,在四棱锥PABCD−中,底面ABCD为菱形,且60DAB=,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是()A.在棱AD上
存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角PBCA−−的大小为45D.BD⊥平面PAC【答案】ABC【解析】【分析】取AD的中点M,连接,PMBM,证明AD⊥平面PMB可判断AB;证明BC⊥平面PMB,BCPB⊥,
BCBM⊥,可求出PBM是二面角PBCA−−的平面角求出角的大小可判断C;假设BD⊥平面PAC,则BDPA⊥,推出PA⊥平面ABCD,与PM⊥平面ABCD矛盾可判断D.【详解】如图,取AD的中点M,连接,PMBM,∵侧面PAD为正三角形,PMAD⊥,又底面ABCD是菱
形,60DAB=,ABD是等边三角形,ADBM⊥,又PMBMM=,,PMBM平面PMB,AD⊥平面PMB,ADPB⊥,故A,B正确;对于C,∵平面PBC平面ABCDBC=,//BCAD,BC⊥平面PMB,BCPB⊥,BCBM⊥,PBM是二
面角PBCA−−的平面角,设1AB=,则32BM=,32PM=,在RtPBM△中,tan1PMPBMBM==,即45PBM=,故二面角PBCA−−的大小为45,故C正确;对于D,假设BD⊥平面PAC,则BDPA⊥,又依题意平面PAD⊥平面ABCD,ADBM⊥
,则BM⊥平面PAD,故BMPA⊥,而BD,BM相交,且在平面ABCD内,故PA⊥平面ABCD,与PM⊥平面ABCD矛盾,因此BD与平面PAC不垂直,故D错误.故选:ABC.【点睛】本题考查线面垂直的判
定,异面直线夹角及二面角的求解,必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下,再利用已知来进行证明,对于一些证明,有时也可以考虑反证法,本题综合性较强.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知
140,0,1mnmn+=,若不等式24mnxxa+−++对已知的,mn及任意实数x恒成立,则实数a最大值为_________.【答案】5【解析】【分析】先利用基本不等式求得mn+的最小值是9,然后将不等式24mnxxa+−++对,mn恒成立
,转化为()224925axxx−+=−+对任意实数x恒成立求解.【详解】()14459nmmnmnmnmn+=++=++,当且仅当1414mnnmmn+==,即3,6mn==时,取等号,因为不等式24mnxxa+−++对,mn恒成立,所以249xxa−++
对任意实数x恒成立,即()224925axxx−+=−+对任意实数x恒成立,令()2255tx=−+,5a.故答案为:514.已知数列na的前n项和为nS,且12a=,()112nnaSn−=+,则4a=_________.【答案
】12【解析】【分析】求出2a的值,推导出数列na是从第二项开始成以2为公比的等比数列,由此可求得4a的值.【详解】当2n=时,2113aS=+=;当3n时,由11nnaS−=+可得121nnaS−−=+,两式相减得11nnnaaa−−
−=,即12nnaa−=,所以,数列na是从第二项开始成以2为公比的等比数列,24223412aa===.故答案为:12.【点睛】给出nS与na的递推关系,求na,常用思路是:一是利用1nnnSSa−−=转化为na的递推关系,再求其通项公式;二是转化为nS的递推关系,先
求出nS与n之间的关系,再求na.15.在ABC中,角,,ABC所对的边分别为,,ABC,若ABC的周长为1027+,且sin:sin:sin2:3:7ABC=,则ABC的面积为_________.【答案】63【解析】【分析】由正弦定理可得::2:3:
7abc=,再根据三角形的周长求出a、b、c,再利用余弦定理求出cosC,即可求出sinC,最后利用面积公式计算可得;【详解】解:由sin:sin:sin2:3:7ABC=得::2:3:7abc=,设2,ak=则3bk=,7ck=,所以()2375710
27kkkk++=+=+,所以2k=,4,6,ab==27c=,所以163628241cos246482C+−===,所以3sin2C=,所以ABC的面积为113sin4663222abC==.故答案为
:6316.已知函数1ln()1()xkxfxekx−+=−−R在(0,)+上存在唯一零点0x,则下列说法中正确的是________.(请将所行正确的序号填在梭格上)①2k=;②2k;③00lnxx=−;④0112xe.【答案】①③【
解析】【分析】将问题转化为eln10xxxxk−−−+=的根为0x,令()eln1xgxxxxk=−−−+,利用导数判断出函数的单调性,从而可得()00gx=,代入得002,ln0kxx=+=,令()lnhxxx=+,利用导数判断函数的单调性,可判断④.【详解】由题意知()0fx
=有唯一解0x,即eln10xxxxk−−−+=的根为0x.令()eln1xgxxxxk=−−−+,11()(1)e(1)exxxgxxxxx+=+−=+−,令0gx=()得1exx=,当0x时,1exx
=有唯一解t,满足e1tt=,故()gx在(0,)t上单调递减,(,)t+上单调递增.又因为0x→,();,()gxxgx→+→+→+,因此0tx=,即()00gx=,即0000eln1=0xxxxk−−−+,整理可得00+ln=2xxk−
故002,ln0kxx=+=.另外,令1()ln,()10hxxxhxx=+=+,故hx()在(0,)+上单调递增,11111e10,ln2ln0ee2224hh=−+=−+=,故④错误.故答案为:①③.【点睛】本题考查
了利用导数研究函数的零点,考查了转化与化归的思想,属于中档题.四.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()1,1a=,()2,bm=,(1)若//ab,求实数m的值;(2)若ab⊥,求实数m的值;(3)若a与b夹角为锐角,求实数
m的取值范围.【答案】(1)2m=;(2)2m=−;(3)2m−且2m.【解析】【分析】(1)根据向量共线的坐标表示,列出方程,即可求出结果;(2)根据向量垂直的坐标表示,列出方程,即可求出结果;(3)根据向量夹角为锐角,列出不等式求解,再注意向量不共线,即可
得出结果.【详解】因为()1,1a=,()2,bm=,(1)若//ab,则121m=,解得2m=;(2)若ab⊥,则1210m+=,解得2m=−;(3)若a与b夹角为锐角,则1210amb+=,且a与b不
同向共线,即2m,所以实数m的取值范围为2m−且2m.18.已知数列na是公差为2的等差数列,它的前n项和为nS,且137,,aaa成等比数列.(1)求na的通项公式;(2)求数列12nSn−的前n项和nT.【答案】(1)22nan=
+;(2)1nn+.【解析】【分析】(1)根据条件求出数列的首项,即可写出通项公式;(2)求出nS,即可得12nSn-,利用裂项相消法可求解.【详解】(1)数列na是公差为2的等差数列,且137,,aaa成等比数列
137,,aaa成等比数列,2317aaa\=?,则()()2111412aaa+=+,解得14a=,()41222nann\=+-?+;(2)由(1)可得()242232nnnSnn++==+,()211111211nSnnnnnnn===-+\++-,因此11112
2111111131nnTnnnn=−+−++−=−=+++.【点睛】结论点睛:裂项相消法求数列和的常见类型:(1)等差型111111nnnnaadaa++=−,其中na是公差为()0dd的等差
数列;(2)无理型1nknknnk+−=++;(3)指数型()11nnnaaaa+−=−;(4)对数型11logloglognaanannaaaa++=−.19.已知:在ABC中,内角,,ABC的对边分别为,,abc,且2coscos3aBbAc+−=.(1)求角A;(2)设
3a=,求ABC周长的取值范围.【答案】(1)3A=;(2)(6,9].【解析】【分析】(1)根据已知条件结合正弦定理,将条件等式化边为角,再由三角恒等变换化简,即可求出角A;(2)要求ABC周长范围,即求bc+范围,由a边和A角,结合正弦定理,将,bc边化成角,再把C用B表示,由三角
恒等变换把bc+化为关于B的正弦型函数,根据正弦函数的性质,即可求出结论.【详解】(1)由正弦定理得2sincossincossin3ABBAC+−=,即2sincossincossin(
)3ABBAAB+−=+sincossincosABBA=+,0,sin0BB,∴2coscos3AA−=,1333cossincos,sincos2222AAAAA−+==,∴tan3A=,∵(0,)A
,∴3A=.(2)∵3a=,3A=,sinsinsinabcABC==,∴23sinbB=,23sincC=,∵23BCA+=−=,∴323(sinsin)abcBC++=++33os33sinBB=++36sin6B=++.又∵20,3B
,∴5,666B+,∴1sin,162B+,∴(6,9]abc++?,ABC周长取值范围是(6,9].【点睛】本题考查正弦定理解三角形,三角恒等变换以及三角函数性质的应用是解题的关键,考查计算求解能力,属于中档题.20.已知在四棱柱
1111ABCDABCD−中,底面ABCD为菱形,2AB=,14AA=,60BAD=,E为BC的中点,1C在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点.(1)求证:1BDAH⊥;(2)求直线1AH与平面11BCCB所成角的
正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)105.【解析】【分析】(1)连接11AC、11BD,推导出11BD⊥平面11ACH,可得出111BDAH⊥,进而可得出1BDAH⊥;(2)连接1CD,推导出四边形11CHCD为平行四边形,然后以点C为坐标原点,CH、1CD所在直线分别为y、z轴建立空间直角
坐标系,利用空间向量法可求得直线1AH与平面11BCCB所成角的正弦值.【详解】(1)四棱柱1111ABCDABCD−中,底面ABCD为菱形,连接11AC、11BD,则1111ACBD⊥,在四棱柱1111ABCDABCD−中,11//BBDD且11BBDD=,则四边形11BBDD为平行
四边形,11//BDBD,由1C在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点,可得1CH⊥平面ABCD,又平面//ABCD平面1111DCBA,则1CH⊥平面1111DCBA,11BDQ平面1111DCBA,则111BDCH⊥,1111ACCHC=,11BD⊥平面11ACH,1A
H平面1ACH,111BDAH⊥,1BDAH⊥;(2)连接1CD,//ABCDQ,即//ABCH,又E为BC的中点,则BECE=,ABEHCE=,AEBHEC=,ABEHCE△△,ABCH=,CDAB
=,CDCH=,在四棱柱1111ABCDABCD−中,四边形11CCDD为平行四边形,则11CDCD=且11//CDCD,11//CHCD且11CHCD=,所以四边形11CHCD为平行四边形,11//C
DCH,1CH⊥平面ABCD,1CD⊥平面ABCD,以C为原点,在平面ABCD中过点C作CD的垂线为x轴,CD为y轴,1CD为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()0,0,0C、()3,1,0B−、()0,2,0H、()10,2
,23C、()10,0,23D,由于()()()111113,1,00,2,233,3,23AHADDHBCDH=+=+=−+−=−−,设平面1BCC的一个法向量(),,nxyz=,()3,1,0CB=−,()10,2,23CC=,由1302
230nCBxynCCyz=−==+=,令1x=,得()1,3,1n=−,设直线1AH与平面1BCC所成的角为,则1110sin5AHnAHn==.【点睛】求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面
角与向量1nur、2nuur的夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点.21.如图,点C为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD为海岸线,4BAC=,BDAB⊥,BC是以A为圆心,半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线CPPQ−,其中P为BC上异
于,BC的一点,PQ与AB平行,设04PAB=.(1)证明:观光专线CPPQ−的总长度随的增大而减小;(2)已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时,观光
专线CPPQ−的修建总成本最低?请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)6=时,观光专线CPPQ−的修建总成本最低,理由见解析.【解析】【分析】(1)先由题意得到4CAP=−,所以CP4=−,得出观光专线的总长度()1coscos1,044
4f=−+−=−−++,再由导数的方法判定其单调性,即可证明结论成立;(2)设翻新道路的单位成本为()0aa,总成本为()g,由(1),根据题中条件,得到()2cos24ga=−−++,
04,对其求导,根据导数的方法求出最值,即可得出结果.【详解】(1)由题意,4CAP=−,所以CP4=−,又cos1cosPQABAP=−=−,所以观光专线的总长度()1coscos1,0444f=−+
−=−−++,因为当04时,()1sin0f=−+,所以()f在04,上单调递减,即观光专线CPPQ−的总长度随的增大而减小.(2)设翻新道路的单位成本为()0aa
,总成本为()g,由题意可得,()22cos2cos244gaa=−+−=−−++,04,()()12singa=−+,令()0g=,得1sin2
=,因为04,所以6=,当06时,()0g,当64时,()0g.所以,当6=时,()g最小.故当6=时,观光专线CPPQ−的修建总成本最低.【点睛】思路点睛:导数的方法求函数最值的一般思路:(1)先对函数求导,根据导数的方法判定函数在给定
区间的单调性;(2)由函数在给定区间的单调性,即可求出最值.22.(1)设0ba,证明:lnlnbaabba−−;(2)若函数()1lnsin12fxxxx=+−−,120xx,使()()12fxfx=,请证明:124xx.【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)不等式等价于1lnbbaaba−,令,bta=可得()1lntfttt−=−,通过导数求出其单调性,即可证明;(2)方程等价于()1212121sinsinlnln2xxxxxx−−−=−,设()singxxx=−,可得()gx在()0+,上递增,
则得1212sinsinxxxx−−,进而得出12122lnlnxxxx−−,再利用(1)中结论即得证.【详解】(1)0ba,所以lnln0ba−,要证明lnlnbaabba−−,只需证明lnlnbabaab−−,即证明1lnbbaaba−,
设,bta=则1t,()1lntfttt−=−,()112tttfttt−−=−()2111210,222ttttttttttt−+−−=−==−()ft在()1+,单调递减,()()10ftf=,命题得证.(2)存在120xx,使()()12fxfx=,即1111
lnsin12xxx+−−=2221lnsin12xxx+−−,()1212121sinsinlnln2xxxxxx−−−=−,设()singxxx=−,则()1cos0gxx=−,()gx在()0,+上递增,则()()12gxgx,即11sinxx−22si
nxx−,1212sinsinxxxx−−,()12121sinsin2xxxx−−−()()1212121122xxxxxx−−−=−,即()12121lnln2xxxx−−,12122lnlnxxx
x−−,由(1)可得121212lnlnxxxxxx−−,可得122xx,124xx.【点睛】关键点睛:第一问考查不等式证明,解题的关键是将不等式等价为1lnbbaaba−,利用导数求出()1lntfttt−=−的单调性进行证明
;第二问的方程等价于()1212121sinsinlnln2xxxxxx−−−=−,通过()singxxx=−的单调性得出1212sinsinxxxx−−,得出12122lnlnxxxx−−,利用(1)中结论求解.