【文档说明】山东省济宁市2021届高三上学期学分认定数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，2.152 MB，由小赞的店铺上传

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高三学分认定数学试题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合|21xAx=，2|560Bxxx=+−，则AB=（

）A.()1,0−B.()0,6C.()0,1D.()6,1−【答案】C【解析】【分析】分别解出集合A、B，利用集合基本运算求交集即可.【详解】0|21|22=|0xxAxxxx==，2|560|(6)(10|61Bxxx

xxxxx=+−=+−=−），∴AB=()0,1．故选：C.2.若512izi=−（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）A.2i−B.2i+C.2i−−D.2i−+【答案】C【解析】【分析】由

复数除法法则计算出z，再由共轭复数概念写出共轭复数．【详解】55(12)212(12(12)iiiziiii+===−+−−+，∴2zi=−−．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3.设xR，则“38x”是“2x>”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x可得2x，求解绝对值不等式2x

>可得2x或2x−，据此可知：“38x”是“||2x”的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.

设nS是等差数列na（*nN）的前n项和，且141,16aS==，则7a=（）A.7B.10C.13D.16【答案】C【解析】【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列na的公差为d，141,1

6aS==，41464616Sadd=+=+=，2d=，71613aad=+=.故选：C5.已知tan2=，则sin21cos2=+（）A.12B.2C.12−D.2−【答案】B【解析】【分析】对sin21cos2+利用二倍角公式化简即可求值.【详解】2sin22s

incostan21cos22cos===+.故选：B6.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是11ABBC，的中点，则异面直线EF与1CD所成的角为（）A.30°B.45C.60D.90【答案

】C【解析】【分析】利用11//EFAC，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即11ACD为所求角，在11ACD中求解.【详解】连结1AB，11AC，1AD因为11ABBA为正方形，所以E既是1AB中点

，又是1AB的中点，所以11//EFAC，所以EF与1CD所成的角为11ACD，而11ACD为等边三角形，所以01160ACD=.故选：C【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平

移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．7.已知点M是边长为2的

正方形ABCD的内切圆上一动点，则MAMB的取值范围是（）A.1,0−B.1,3−C.0,3D.1,4−【答案】B【解析】【分析】建立坐标系如图所示，设()cos,sinM，利用坐标求出MAMB，即可根据三角

函数的性质求出范围.【详解】建立坐标系如图所示，设()cos,sinM，其中()()1,1,1,1AB−−−,易知MAMB=()()cos1,sin1cos1,sin1++−+22cos1sin2sin12sin1=−+++=+，13MAMB−

.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查数量积范围的求解，解题的关键是建立恰当的直角坐标系，将数量积的运算转化为坐标运算，将M设为()cos,sin更便于利用三角函数的性质求范围，这也是解决几何与向量结合的问题中常用的方法.8.已知过球面上,,ABC三点的截面和球心

O的距离等于球半径的一半，且2ABACBC===，则球O的半径为（）A.1B.43C.34D.2【答案】B【解析】【分析】根据2ABACBC===，利用正弦定理求得其所外接圆半径为r．然后根据截面和球心O的距离等于球半径的一半，由222Rdr=+求解

.【详解】因为2ABACBC===，所以ABC的外接圆半径为012232sin603r==．设球半径为R，则22221443RdrR=+=+，所以43R=.故选：B二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.已知函数()()

sin322fxx=+−的图象关于直线4x=对称，则（）A.4=−B.若()()122fxfx−=，则12xx−的最小值为3C.将()fx图象向左平移12个单位得到()5sin3

12gxx=+的图象D.若函数()fx在0m，单调递增，则m的最大值为4【答案】ABD【解析】【分析】由题可得34+=()2kkZ+,则可求得4=−，然后利用三角函数的性质即可判断.【详解】因为直线4x=是()()sin3

22fxx=+−的对称轴,所以34+=()2kkZ+,则()4kkZ=−+,当0k=时,4=−,则()sin34fxx=−，故A正确；对于B，若()()122fxfx−=,12min23Txx−=

=，故B正确；对于C，()sin3124gxx=+−sin3x=，故C错误；对于D，因为()fx在04，单调递增，在7412，递减，所以m的最大值为4，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根

据直线4x=是()()sin322fxx=+−的对称轴，得出34+=()2kkZ+，求得4=−.10.下列不等式正确的是（）A.当xR时，1xex+B.当0x时，ln1−xxC.当xR时，xe

exD.当xR时，sinxx【答案】ABC【解析】【分析】构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.【详解】对于A：设()1xfxex=−−，则()1xfxe=−，令()0fx=，解得0x=，当(,0)x−时函数单调

递减，当(0,)x+时，函数单调递增，所以函数在0x=时，函数取得最小值()(0)0minfxf==，故当xR时，1xex+…，故A正确；对于B：设()ln1fxxx=−+，所以1(1)()1−−=−=xfxxx，令()0fx=，解得1x=，当(0,1)x

时，函数单调递增，当(1,)x+时，函数单调递减，所以在1x=时，max()fxf=（1）0=，故当0x时，1lnxx−„恒成立，故B正确；对于C：设()xfxeex=−，所以()xfxee=−，令()0fx=，解得1x=，当(,1)x−时，函数单调递

减，当(1,)x+时，函数单调递增，所以当1x=时，min()fxf=（1）0=，所以当xR时，xeex…，故C正确；对于D：设函数()sinfxxx=−，则()1cos0fxx=−…，所以()fx是定义在R上单调递增的奇函数，所以0x时，sinxx…成立

，0x时，()0fx，故D错误．故选：ABC11.定义在R上的偶函数()fx满足()()2fxfx+=−，且在20−，上是减函数，下面关于()fx的判断正确的是（）A.()0f是函数的最小值B.()fx的图像关于点()1,0对称C.(

)fx在2,4上是增函数D.()fx的图像关于直线2x=对称.【答案】ABD【解析】【分析】A，()()2fxfx+=−()()fxfx=−可判断；B，由偶函数的定义和条件()()20fxfx++−=可判断；C，

利用()fx在20−，上是减函数、是偶函数、周期函数可判断；D，()()2fxfx+=−,()()fxfx=−可判断.【详解】A，()()()2fxfxfx+=−=−−,()()()()42fxfxfxfx+=−+==−，()fx是周期为4的周期函数，又()fx在20−，上是

减函数，在R上是偶函数，所以在02，是增函数，所以()0f是函数的最小值，正确；B，由()()20fxfx++−=，所以关于点()1,0中心对称，正确；C，又()fx在20−，上是减函数，在R上是偶函数，所以在02，是增函数，()fx是周期为4的周期函数，所以()f

x在2,4上是减函数，错误；D，()()2fxfx+=−,()()()()42fxfxfxfx+=−+==−，()fx的图像关于直线2x=对称，正确.故选：ABD.【点睛】对于抽象函数，要灵活掌握并运用函数的图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，还

应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.12.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，且60DAB=，侧面PAD为正三角形，且

平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90C.二面角PBCA−−的大小为45D.BD⊥平面PAC【答案】ABC【解析】【分析】取AD的中点M，连接

,PMBM，证明AD⊥平面PMB可判断AB；证明BC⊥平面PMB，BCPB⊥,BCBM⊥，可求出PBM是二面角PBCA−−的平面角求出角的大小可判断C；假设BD⊥平面PAC，则BDPA⊥，推出PA⊥平面ABCD，与PM⊥平面ABCD矛盾可判断D.【详解】如图，取AD的中点M，连接,PMBM，

∵侧面PAD为正三角形，PMAD⊥，又底面ABCD是菱形，60DAB=，ABD是等边三角形，ADBM⊥，又PMBMM=，,PMBM平面PMB，AD⊥平面PMB，ADPB⊥，故A，B正确；对于C，∵平面PBC平面ABCDBC=，//BCAD，BC⊥平面PMB，BCPB⊥,BC

BM⊥，PBM是二面角PBCA−−的平面角，设1AB=，则32BM=，32PM=，在RtPBM△中，tan1PMPBMBM==，即45PBM=，故二面角PBCA−−的大小为45，故C正确；对于D

，假设BD⊥平面PAC，则BDPA⊥，又依题意平面PAD⊥平面ABCD，ADBM⊥，则BM⊥平面PAD，故BMPA⊥，而BD，BM相交，且在平面ABCD内，故PA⊥平面ABCD，与PM⊥平面ABCD矛盾，因此BD与平面PAC不垂直，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考

查线面垂直的判定，异面直线夹角及二面角的求解，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于一些证明，有时也可以考虑反证法，本题综合性较强.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13.已知140,0,1mnmn+=，若不等式24mnxxa+−++对已知的,mn及任意实数x恒成立，则实数a最大值为_________．【答案】5【解析】【分析】先利用基本不等式求得mn+的最小值是

9，然后将不等式24mnxxa+−++对,mn恒成立，转化为()224925axxx−+=−+对任意实数x恒成立求解.【详解】()14459nmmnmnmnmn+=++=++，当且仅当1414mnnmmn+=

=，即3,6mn==时，取等号，因为不等式24mnxxa+−++对,mn恒成立，所以249xxa−++对任意实数x恒成立，即()224925axxx−+=−+对任意实数x恒成立，令()2255tx=−+，5a.故答案为：514.

已知数列na的前n项和为nS，且12a=，()112nnaSn−=+，则4a=_________．【答案】12【解析】【分析】求出2a的值，推导出数列na是从第二项开始成以2为公比的等比数列，由此可求得4a的值.【详解】当2n=时，2113aS=

+=；当3n时，由11nnaS−=+可得121nnaS−−=+，两式相减得11nnnaaa−−−=，即12nnaa−=，所以，数列na是从第二项开始成以2为公比的等比数列，24223412aa===.故答案为：12.【点睛】

给出nS与na的递推关系，求na，常用思路是：一是利用1nnnSSa−−=转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关系，再求na.15.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,ABC,若

ABC的周长为1027+，且sin:sin:sin2:3:7ABC=，则ABC的面积为_________．【答案】63【解析】【分析】由正弦定理可得::2:3:7abc=，再根据三角形的周长求出a、b、c，再利用余弦定理求出cosC，即可求

出sinC，最后利用面积公式计算可得；【详解】解：由sin:sin:sin2:3:7ABC=得::2:3:7abc=，设2,ak=则3bk=，7ck=，所以()237571027kkkk++=+=+，所以2k=，4,6,ab==2

7c=，所以163628241cos246482C+−===，所以3sin2C=，所以ABC的面积为113sin4663222abC==.故答案为：6316.已知函数1ln()1()xkxfxekx−+=−

−R在(0,)+上存在唯一零点0x，则下列说法中正确的是________.（请将所行正确的序号填在梭格上）①2k=；②2k；③00lnxx=−；④0112xe.【答案】①③【解析】【分析】将问题转化为eln10xxxxk−−−+=的根为0x，令()e

ln1xgxxxxk=−−−+，利用导数判断出函数的单调性，从而可得()00gx=，代入得002,ln0kxx=+=，令()lnhxxx=+，利用导数判断函数的单调性，可判断④.【详解】由题意知()0f

x=有唯一解0x，即eln10xxxxk−−−+=的根为0x.令()eln1xgxxxxk=−−−+，11()(1)e(1)exxxgxxxxx+=+−=+−，令0gx=（）得1exx=，当0x

时，1exx=有唯一解t，满足e1tt=，故()gx在(0,)t上单调递减，(,)t+上单调递增.又因为0x→，();,()gxxgx→+→+→+，因此0tx=，即()00gx=，即0000eln1=0xxxxk−−−+，整理可得00+ln=

2xxk−故002,ln0kxx=+=.另外，令1()ln,()10hxxxhxx=+=+，故hx（）在(0,)+上单调递增，11111e10,ln2ln0ee2224hh=−+=−+=，故④错误.故答案为：①③．【

点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了转化与化归的思想，属于中档题.四．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()1,1a=，()2,bm=，（1）若//ab，求实数m的值；（2）若ab⊥，求实数m的值；（3）若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围.【答

案】（1）2m=；（2）2m=−；（3）2m−且2m.【解析】【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不

共线，即可得出结果.【详解】因为()1,1a=，()2,bm=，（1）若//ab，则121m=，解得2m=；（2）若ab⊥，则1210m+=，解得2m=−；（3）若a与b夹角为锐角，则1210

amb+=，且a与b不同向共线，即2m，所以实数m的取值范围为2m−且2m.18.已知数列na是公差为2的等差数列，它的前n项和为nS，且137,,aaa成等比数列.（1）求na的通项公式；（2）求

数列12nSn−的前n项和nT.【答案】（1）22nan=+；（2）1nn+.【解析】【分析】（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式；（2）求出nS，即可得12nSn-，利用裂项相消法可求解.【详解】（1）数列

na是公差为2的等差数列，且137,,aaa成等比数列137,,aaa成等比数列，2317aaa\=?，则()()2111412aaa+=+，解得14a=，()41222nann\=+-?+；（2）由（1）可得()242232nnnSnn++==+，()211111211

nSnnnnnnn===-+\++-，因此111122111111131nnTnnnn=−+−++−=−=+++.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111nnnnaadaa++

=−，其中na是公差为()0dd的等差数列；（2）无理型1nknknnk+−=++；（3）指数型()11nnnaaaa+−=−；（4）对数型11logloglognaanannaaaa++=−.19.已知：在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc,且2coscos3

aBbAc+−=．（1）求角A；（2）设3a=，求ABC周长的取值范围．【答案】（1）3A=；（2）(6,9]．【解析】【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理，将条件等式化边为角，再由三角恒等变换化简，即可求出角A；（2）要求ABC周长范围，即

求bc+范围，由a边和A角，结合正弦定理，将,bc边化成角，再把C用B表示，由三角恒等变换把bc+化为关于B的正弦型函数，根据正弦函数的性质，即可求出结论.【详解】（1）由正弦定理得2sincossincossin3ABBAC+−=

，即2sincossincossin()3ABBAAB+−=+sincossincosABBA=+，0,sin0BB，∴2coscos3AA−=，1333cossincos,sincos2222AAAAA−+==，∴

tan3A=，∵(0,)A，∴3A=．（2）∵3a=，3A=，sinsinsinabcABC==，∴23sinbB=，23sincC=，∵23BCA+=−=，∴323(sinsin)abcBC++=

++33os33sinBB=++36sin6B=++．又∵20,3B，∴5,666B+，∴1sin,162B+，∴(6,9]abc++?，ABC周长取值范围是(6,9]．【点睛】本题考查正弦定理

解三角形，三角恒等变换以及三角函数性质的应用是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.20.已知在四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱形，2AB=，14AA=，60BAD=，E为BC的中点，1C在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点.

（1）求证：1BDAH⊥；（2）求直线1AH与平面11BCCB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）连接11AC、11BD，推导出11BD⊥平面11ACH，可得出111BDAH⊥

，进而可得出1BDAH⊥；（2）连接1CD，推导出四边形11CHCD为平行四边形，然后以点C为坐标原点，CH、1CD所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1AH与平面11BCCB所成角的正弦值.【详解】（1）四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD为菱

形，连接11AC、11BD，则1111ACBD⊥，在四棱柱1111ABCDABCD−中，11//BBDD且11BBDD=，则四边形11BBDD为平行四边形，11//BDBD，由1C在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点，可得1CH⊥平面

ABCD，又平面//ABCD平面1111DCBA，则1CH⊥平面1111DCBA，11BDQ平面1111DCBA，则111BDCH⊥，1111ACCHC=，11BD⊥平面11ACH，1AH平面1ACH，111

BDAH⊥，1BDAH⊥；（2）连接1CD，//ABCDQ，即//ABCH，又E为BC的中点，则BECE=，ABEHCE=，AEBHEC=，ABEHCE△△，ABCH=，CDAB=，CDCH=，在四棱柱1111ABCDABCD−中，四边形

11CCDD为平行四边形，则11CDCD=且11//CDCD，11//CHCD且11CHCD=，所以四边形11CHCD为平行四边形，11//CDCH，1CH⊥平面ABCD，1CD⊥平面ABCD，以C为原点，在平面ABCD中过点C作CD的

垂线为x轴，CD为y轴，1CD为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C、()3,1,0B−、()0,2,0H、()10,2,23C、()10,0,23D，由于()()()111113,1,00,2,233,3,2

3AHADDHBCDH=+=+=−+−=−−，设平面1BCC的一个法向量(),,nxyz=，()3,1,0CB=−，()10,2,23CC=，由1302230nCBxynCCyz=−==+=，令1x=，得()1,3,1n=−，设直线1AH

与平面1BCC所成的角为，则1110sin5AHnAHn==.【点睛】求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量1nur、2nuur的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.21.如图，点

C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，4BAC=，BDAB⊥，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线CPPQ−，其中P为BC上异于,BC的一点，PQ与AB平行，设04PAB=.（1）证明：观光专线CPPQ

−的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线CPPQ−的修建总成本最低？请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）6=时，观光专线CPPQ−的修建总成本最低，理由见解析.【解析】【分析】（1）先由题意

得到4CAP=−，所以CP4=−，得出观光专线的总长度()1coscos1,0444f=−+−=−−++，再由导数的方法判定其单调性，即可证明结论成立；（2）设翻新道路的单位成本为()0aa，总成本为()g，由

（1），根据题中条件，得到()2cos24ga=−−++，04，对其求导，根据导数的方法求出最值，即可得出结果.【详解】（1）由题意，4CAP=−，所以CP4=−，又cos1cosPQABAP=−=−，所以观光专线的总长度()1cos

cos1,0444f=−+−=−−++，因为当04时，()1sin0f=−+，所以()f在04，上单调递减，即观光专线CPPQ−的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为()0aa，总成本为()g，由题意可得，()

22cos2cos244gaa=−+−=−−++，04，()()12singa=−+，令()0g=，得1sin2=，因为04，所以6=，当06时，()0g，当64

时，()0g.所以，当6=时，()g最小.故当6=时，观光专线CPPQ−的修建总成本最低.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般思路：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给

定区间的单调性；（2）由函数在给定区间的单调性，即可求出最值.22.（1）设0ba，证明：lnlnbaabba−−；（2）若函数()1lnsin12fxxxx=+−−，120xx，使()()12fxfx=，请证明：124xx.【答案】（1）证明

见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）不等式等价于1lnbbaaba−，令,bta=可得()1lntfttt−=−，通过导数求出其单调性，即可证明；（2）方程等价于()1212121sinsinlnln2xxxxxx−−−=−，设()si

ngxxx=−，可得()gx在()0+，上递增，则得1212sinsinxxxx−−，进而得出12122lnlnxxxx−−，再利用（1）中结论即得证.【详解】（1）0ba，所以lnln0ba−，要证明lnlnbaabba−−，只需证明lnl

nbabaab−−，即证明1lnbbaaba−，设,bta=则1t，()1lntfttt−=−，()112tttfttt−−=−()2111210,222ttttttttttt−+−−=−==−()ft在()1+，单调递减

，()()10ftf=，命题得证.（2）存在120xx,使()()12fxfx=，即1111lnsin12xxx+−−=2221lnsin12xxx+−−，()1212121sinsinlnln2xxxxxx

−−−=−，设()singxxx=−，则()1cos0gxx=−，()gx在()0,+上递增，则()()12gxgx,即11sinxx−22sinxx−，1212sinsinxxxx−−，()12121sinsin2

xxxx−−−()()1212121122xxxxxx−−−=−，即()12121lnln2xxxx−−，12122lnlnxxxx−−，由（1）可得121212lnlnxxxxxx−−，可得122xx，124xx.【

点睛】关键点睛：第一问考查不等式证明，解题的关键是将不等式等价为1lnbbaaba−，利用导数求出()1lntfttt−=−的单调性进行证明；第二问的方程等价于()1212121sinsinlnln2xxxxxx−−−=−，通过()singxxx=−的单调性得出1212sinsi

nxxxx−−，得出12122lnlnxxxx−−，利用（1）中结论求解.