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第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于()A.4√6B.4√5C.4√3D.223答案A解析∵A+B+C=180°,又B=60°,C=7

5°,∴A=180°-B-C=45°.由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得b=𝑎sin𝐵sin𝐴=8sin60°sin45°=4√6.故选A.2.(2021江苏玄武校级月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,

c,若A=π4,a=√2,b=1,则B=()A.π3或2π3B.π3C.π6D.π6或5π6答案C解析因为A=π4,a=√2,b=1,由正弦定理得𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,即√2√22=1sin�

�,所以sinB=12.因为a>b,所以A>B.因为B为三角形内角,所以B=π6.故选C.3.在△ABC中,AB=2,BC=5,△ABC的面积为4,则cos∠ABC等于()A.35B.±35C.-35D.±25答案B解析由S=12AB·BC·sin∠ABC,得4=12×2

×5sin∠ABC,解得sin∠ABC=45,从而cos∠ABC=±35.4.在△ABC中,角A,C的对边分别为a,c,C=2A,cosA=34,则𝑐𝑎的值为()A.2B.12C.32D.1答案C解

析由正弦定理,得𝑐𝑎=sin𝐶sin𝐴=sin2𝐴sin𝐴=2sin𝐴cos𝐴sin𝐴=2cosA=2×34=32.5.(2021福建福州期中)在△ABC中,a=4√3,b=12,A=π6,则此三角形()A.无解B.有两解C.有一解D.

解的个数不确定答案B解析在△ABC中,a=4√3,b=12,A=π6,则bsinA=12×12=6,可得bsinA<a<b,可得此三角形有两解.故选B.6.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案B解析由已知,得𝑎sin𝐴=b=𝑏sin𝐵,所以sinB=1,所以B=90°,故△ABC一定是直角三角形.7.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的长等于.答案√63解析由三角形

内角和定理,得A=75°.由三角形的边角关系,得B所对的边b为最短边.由正弦定理𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶,得b=𝑐sin𝐵sin𝐶=1×√22√32=√63.8.在△ABC中,ab=60,S△ABC=15√3,△ABC的外接圆半径为√3,则边c的长为.答案3解析∵S△ABC=12abs

inC=15√3,ab=60,∴sinC=√32.由正弦定理,得𝑐sin𝐶=2R,则c=2RsinC=3.9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=37a.(1)求sinC的值;(2)当a=7时,求△ABC的面积.解(1)在△ABC中,因为A=60°,c

=37a,所以由正弦定理,得sinC=𝑐sin𝐴𝑎=37×√32=3√314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=12bcsinA=1

2×8×3×√32=6√3.关键能力提升练10.在△ABC中,A=60°,a=4√3,b=4√2,则B等于()A.45°或135°B.135°C.45°D.以上答案都不对答案C解析∵sinB=𝑏sin𝐴𝑎=4√2×√324√3=√22,∴B=4

5°或135°.又∵a>b,∴B=45°,故选C.11.在△ABC中,A=60°,a=√13,则𝑎+𝑏+𝑐sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶等于()A.8√33B.2√393C.26√33D.2√3答案B解析由a=2RsinA

,b=2RsinB,c=2RsinC得𝑎+𝑏+𝑐sin𝐴+sin𝐵+sin𝐶=2R=𝑎sin𝐴=√13sin60°=2√393.12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=

4csinA,若△ABC的面积S=10,b=4,则a的值为()A.233B.253C.263D.283答案B解析由3acosC=4csinA,得𝑎sin𝐴=4𝑐3cos𝐶.又由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶,得𝑐sin𝐶=4𝑐3cos𝐶,∴tanC=34,

∴sinC=35.又S=12bcsinA=10,b=4,∴csinA=5.根据正弦定理,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=535=253,故选B.13.(2021福建福州期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(a+b

+c)(a+b-c)=3ab,且a2=bc,则𝑏𝑎sin𝐴的值为.答案2√33解析因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,整理得a2+b2-c2=ab,故cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=12.由于0<C<π,故C=π3.a2=bc,由正弦定

理可得sin2A=sinBsinC.故𝑏𝑎sin𝐴=sin𝐵sin2𝐴=sin𝐵sin𝐵sin𝐶=1sin𝐶=1sinπ3=2√33.14.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.解由已知,得a2·sin𝐵cos𝐵=b2·sin𝐴cos𝐴.

又由正弦定理,得sin2A·sin𝐵cos𝐵=sin2B·sin𝐴cos𝐴,即sin𝐴cos𝐵=sin𝐵cos𝐴,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A=2B或2A+2B=180°,所以A=

B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.15.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2R(sin2A-sin2C)=(√2a-b)·sinB,求△ABC面积的最大值.解由正弦定理,得a2-

c2=(√2a-b)b,即a2+b2-c2=√2ab.由余弦定理,得cosC=𝑎2+𝑏2-𝑐22𝑎𝑏=√2𝑎𝑏2𝑎𝑏=√22.∵C∈(0,π),∴C=π4.∴S=12absinC=12×2Rs

inA·2RsinB·√22=√2R2sinAsinB=√2R2sinA(√22cos𝐴+√22sin𝐴)=R2(sinAcosA+sin2A)=R2(12sin2𝐴+1-cos2𝐴2)=R2[√22sin(2𝐴-π4)+12].∵A∈(0,34π)

.∴2A-π4∈(-π4,54π),∴sin(2𝐴-π4)∈(-√22,1],∴S∈(0,√2+12𝑅2],∴△ABC面积的最大值为√2+12R2.16.(2021山东日照模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若2a

sinA=(2sinB+sinC)b+(2sinC+sinB)c.求:(1)A的大小;(2)sinB+sinC的最大值.解(1)因为2asinA=(2sinB+sinC)b+(2sinC+sinB)c,所以由正弦定理可得2a2=(2b+c)

b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc,由余弦定理的推论可得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-𝑏𝑐2𝑏𝑐=-12.因为A∈(0,π),所以A=2π3.(2)由(1)可得sinB+sinC=sinB+sin

π3-B=√32cosB+12sinB=sinπ3+B,故当B=π6时,sinB+sinC取得最大值1.学科素养创新练17.在△ABC中,D是边BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sin𝐵sin𝐶;(2)若AD=1,D

C=√22,求BD和AC的长.解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin𝐵si

n𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵=12.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2DC=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.