【文档说明】《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题74 二次函数在实际应用中的最值问题(解析版).docx，共(16)页，373.058 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题74二次函数在实际应用中的最值问题1、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一

次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最

大？（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】（1）10%；（2）217.7352(19){36080(915)xxyxxx−+=−++，第10天时销售利润最大；（3）0.5．【详解】

解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去）．答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3

x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元）；当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+6

0x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元）．2综上所述，y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式为：217

.7352(19){36080(915)xxyxxx−+=−++，第10天时销售利润最大；（3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元，由题意得：380﹣127.5≤（4﹣a）（120﹣15）﹣（3×15

2﹣64×15+400），252．5≤105（4﹣a）﹣115，a≤0.5．答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．2、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得

部分数据如下表：（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农

经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）【答案】（1）p=﹣30x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a=2．【详解】（1）假设P与x的一次函数关系,设函数关系式pkxb=+,则306

0040300kbkb+=+=,解得301500kb=−=,∴301500px=−+,检验:当35,450xP==,当45,150,xP==当50,0xP==,均符合一次函数解析式∴所求的函数关系式301500px=−+,3（2）设日销售利润()()()30

30150030wPxxx=−=−+−,即()223024004500030403000wxxx=−+−=−−+,当40x=时,w有最大值为3000元,故这批农产口的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大,（3）日获利()()()3030150030wpxaxxa=−−=−+−−,即()()2

30240030150045000wxaxa=−++−+,对称轴这()2400301402302axa+=−=+−,若10a,则当45x=时,w有最大值,即22501502430wa=−（不合题意）,若10a,则当

1402xa=+时,w有最大值,把1402xa=+代入,可得2130101004waa=−+,当2430w=时,21243030101004aa=−+,解得12a=,238a=（舍去）,综上所述,a的值为2.3、

怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售

价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，4那么这两种菜品一天的总利润最多是多少．【答案】（1）60；（2）316．【详解】解：(1)、设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得：()()2018112020141814280

xyxy+=−+−=，解得：2040xy==，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；(2)、设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份，总利润为w元，因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高

0.5a元．则w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）=（6﹣0.5a）（20+a）+（4+0.5a）（40﹣a）=（﹣0.5a2﹣4a+120）+（﹣0.5a2+16a+160）=﹣a2+1

2a+280=﹣（a﹣6）2+316，当a=6，w最大，w=316答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．4、“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出

的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．（1）试求w与x之间的函数关系式；（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获

利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利5润是2024元．【详解】（1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣10

00；（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．5、把函数21:23(0)Cyaxaxaa=−−

的图象绕点(,0)Pm旋转180o，得到新函数2C的图象，我们称2C是1C关于点P的相关函数．2C的图象的对称轴与x轴交点坐标为(,0)t．（1）填空：t的值为（用含m的代数式表示）（2）若1a=−，当12xt时，函数1C的最大值为1y，

最小值为2y，且121yy−=，求2C的解析式；（3）当0m=时，2C的图象与x轴相交于,AB两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90o，得到它的对应线段''AD，若线''AD与2C的图

象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）21m−；（2）22(2)44yxxx=−−=−；（3）103a或1a或13a−【详解】解：（1）221:23(1)4Cyaxaxaaxa=−−=−−顶点(1,4)a−围绕点(,0)Pm旋转180o180°的对称点为(21,4)

ma−，2:(21)24Cyaxma=−−++，函数的对称轴为：21xm=−，21tm=−，故答案为：21m−；（2）1a=−时，621:(1)4Cyx=−−，①当112t时，12x=时，有最小值2154y=，xt=时，有最大值21(1)4yt=−

−+，则21215(1)414yyt−=−−+−=，无解；②312t时，1x=时，有最大值14y=，12x=时，有最小值22(1)4yt=−−+，12114yy−=（舍去）；③当32t时，1x=时，有最大值14y=，xt=时，有最小值22(1)4yt=−−+，212(1)1yyt−=−=

，解得：0t=或2（舍去0），故222:(2)44Cyxxx=−−=−；（3）0m=，22:(1)4Cyaxa=−++，7点'',,,,ABDAD的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3),(0,1),(3,0)aa−−，当0a时，a越大，则OD越大，则点'D越

靠左，当2C过点'A时，2(01)41yaa=−++=，解得：13a=，当2C过点'D时，同理可得：1a=，故：103a或1a；当0a时，当2C过点'D时，31a−=，解得：13a=−，故：13a−；综上，故：103a

或1a或13a−．6、湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购

成本）．（1）设每天的放养费用是万元，收购成本为万元，求和的值；（2）设这批淡水鱼放养天后的质量为（），销售单价为元/．根据以往经验可知：与的函数关系为；与的函数关系如图所示．①分别求出当和时，与的函数关系式；8②设将这批淡水鱼放养天后一次性出售所得

利润为元，求当为何值时，最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30（2）①y=t+15，y=t+30②当t为55天时，W最大，最大值为180250元【详解】（1）由题意得解得答：a的值为0.

04，b的值为30.（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数关系式为y=k1t+n1把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y=k1t+n1，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+15当50＜t≤100时，设y与t的函数关系式为y=k2t+n29把点（5

0，25）和（100，20）的坐标分别代入y=k2t+n2，得解得∴y与t的函数关系式为y=t+30②由题意得，当0≤t≤50时，W=20000×（t+15）-（400t+300000）=3600t∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）当50＜t≤100时，W=（1

00t+15000）（t+30）-（400t+300000）=-10t2+1100t+150000=-10（t-55）2+180250∵-10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250综上所述，当t为55天时，W最大，最大值为180250元.7、某农场拟建一间矩形种牛饲养室

，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“

只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．10【详解】（1）∵=，∴当x=25时，占地面积y最大；（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即

当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．8、铁岭“荷花节”举办了为期15天的“荷花美食”厨艺秀．小张购进一批食材制作特色美食，每盒售价为50元，由于食材需要冷藏保存，导致成本逐日增加，第x天（1≤x≤15且x为整数）时每盒成本

为p元，已知p与x之间满足一次函数关系；第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，每天的销售量为y盒，y与x之间的关系如下表所示：第x天1≤x≤66＜x≤15每天的销售量y/盒10x+6（1）求p与x的函数关系式；（2）若每天的销售利润为w元，求w与x的函数关系式，

并求出第几天时当天的销售利润最大，最大销售利润是多少元？（3）在“荷花美食”厨艺秀期间，共有多少天小张每天的销售利润不低于325元？请直接写出结果．【答案】（1）p=x+18；（2）第13天时当天的销售利润最大，

最大销售利润是361元；（3）第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．【详解】（1）设p=kx+b（k≠0），∵第3天时，每盒成本为21元；第7天时，每盒成本为25元，∴321725kbkb+=+=，解得：118kb==，所以p=x+18；11（2

）1≤x≤6时，w=10[50﹣（x+18）]=﹣10x+320，6＜x≤15时，w=[50﹣（x+18）]（x+6）=﹣x2+26x+192，所以，w与x的函数关系式为210320(16)26192(615)xxwxxx−+=−++，当1≤x≤6时，∵﹣10＜0，∴w随x的增大而减

小，∴当x=1时，w最大为﹣10+320=310，6＜x≤15时，w=﹣x2+26x+192=﹣（x﹣13）2+361，∴当x=13时，w最大为361，综上所述，第13天时当天的销售利润最大，最大销售利润是361元；（3）w=325时，

﹣x2+26x+192=325，x2﹣26x+133=0，解得x1=7，x2=19，所以，7≤x≤13时，即第7、8、9、10、11、12、13天共7天销售利润不低于325元．9、2016年12月29日至31日

，黔南州第十届旅游产业发展大会在“中国长寿之乡”﹣﹣罗甸县举行，从中寻找到商机的人不断涌现，促成了罗甸农民工返乡创业热潮，某“火龙果”经营户有A、B两种“火龙果”促销，若买2件A种“火龙果”和1件B种“火龙果”，共需120元；若买3件A种“

火龙果”和2件B种“火龙果”，共需205元．（1）设A，B两种“火龙果”每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；（2）B种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售B种“火

龙果”100件；若销售单价每上涨1元，B种“火龙果”每天的销售量就减少5件．①求每天B种“火龙果”的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？②求销售单价为多少元时，B种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多

少？【详解】（1）根据题意得：2120{32205abab+=+=，解得：a=35，b=50；（2）①由题意得：y=（x﹣40）[100﹣5（x﹣50）]∴y=﹣5x2+550x﹣14000；12②∵y=﹣5x2+550x﹣14000=﹣5（x﹣55）2+1

125，∴当x=55时，y最大=1125，∴销售单价为55元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是1125元．10、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个

时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，

最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=10x+160；（2）5280元；（3）10000元.【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x

+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，∵-10＜0且x为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=

10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．11、鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销

售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？【答案】（1）y=

10x+160；（2）5280元；（3）10000元.13【详解】（1）依题意有：y=10x+160；（2）依题意有：W=（80﹣50﹣x）（10x+160）=﹣10（x﹣7）2+5290，∵-10＜0且x为偶数，

故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元；（3）依题意有：﹣10（x﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．12、某驻村扶贫小组实施产业扶

贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求

这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y与x的函数解析式为()()20022006102001012xxyx−+=；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【详解】(1)当6x≤10时，由题意设y＝

kx＋b(k＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)，14∴1000620010kbkb=+=+，解得2002200kb=−=，∴当6x≤10时，y＝-200x+2200，当10＜x≤12时，y＝20

0，综上，y与x的函数解析式为()()20022006102001012xxyx−+=；(2)设利润为w元，当6x≤10时，y＝－200x＋2200，w＝(x－6)y＝(x－6)(－200x＋200)＝－2002172x−（）＋1250，∵－20

0＜0，6≦x≤10，当x＝172时，w有最大值，此时w=1250；当10＜x≤12时，y＝200，w＝(x－6)y＝200(x－6)＝200x－1200，∴200＞0，∴w＝200x－1200随x增大而增大，又∵10＜x≤12，∴当x＝12时，w最大，此时w=12

00，1250＞1200，∴w的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.1513、我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合

一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案】（1）2200(3060)yxx=−+；（2）每千克60元，最大获利为

1950元【详解】解：（1）设一次函数关系式为(0)ykxbk=+由图象可得，当30x=时，140y=；50x=时，100y=∴1403010050kbkb=+=+，解得k2b200=−=∴y与x之间的关系式为2200(3060)yxx=−+．（2）设该公司日获利为W元，由

题意得2(30)(2200)4502(65)2000Wxxx=−−+−=−−+∵20a=−；16∴抛物线开口向下；∵对称轴65x=；∴当65x时，W随着x的增大而增大；∵3060x，∴60x=时，W有最大值

；22(6065)200015=90W−−+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．