【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 选择性必修一 2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析.docx，共(24)页，1.245 MB，由小赞的店铺上传

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第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系例1已知直线:360lxy+−=和圆心为C的圆22240xvy+−−=，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无

实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．解法1：联立直线l与圆C的

方程，得22360,240.xyxyy+−=+−−=①②消去y，得2320xx−+=，解得12x=，21x=．所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．把12x=，21x=分别代入方程①，得10y=，23y=．所以，直线l与圆C的两个交点是(2,0)

A，()1,3B．因此22||(12)(30)10AB=−+−=．解法2：圆C的方程22240xyy+−−=可化为22(1)5xy+−=，因此圆心C的坐标为(0,1)，半径为5，圆心(0,1)C到直线l的距离22|3016|5

51031d+−==+．所以，直线l与圆C相交，有两个公共点．如图2.5-1，由垂径定理，得22||210ABrd=−=．图2.5-1例2过点(2,1)P作圆22:1Oxy+=的切线l，求切线l的方程．分析：如图2.5-2，容易知道，点(2,1)P位于圆22:1Oxy+=外，经过圆外一点有

两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为1(2)ykx−=−，k为斜率．由直线与圆相切可求出k的值．图2.5-2解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为1(2)ykx−=−，即120kxyk−+−=．由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的

半径1，得2|12|11kk−=+，解得0k=或43．因此，所求切线l的方程为1y=，或4350xy−−=．解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为1(2)ykx−=−．因为直线l与圆相切，所以方程组221(2),1yk

xxy−=−+=只有一组解．消元，得()()2222124440kxkkxkk++−+−=．①因为方程①只有一个解，所以()2224(12)161(1)0kkkkk=−−+−=，解得0k=或43．所以，所求切

线l的方程为1y=，或4350xy−−=．练习1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系：（1）:10lxy−+=，圆22:3Cxy+=；（2）:3420lxy++=，圆22:20Cxyx+−=；（3）:30lxy++=，圆22:20Cxyy++=．【答案】（1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；

（3）直线与圆相离；【解析】【分析】计算圆心到直线的距离，与半径比较大小，即可判断；【详解】解：（1）圆22:3Cxy+=，圆心坐标为()0,0C，半径3r=；圆心到直线:10lxy−+=的距离()22001

2211dr−+==+−，故直线与圆相交；（2）圆22:20Cxyx+−=，即圆()22:11Cxy−+=，圆心()1,0C，半径1r=，圆心到直线:3420lxy++=的距离223402134dr

++===+，故直线与圆相切；（3）圆22:20Cxyy++=，即圆()22:11Cxy+=+，圆心()0,1C−，半径1r=，圆心到直线:30lxy++=的距离22013211dr−+==+，故直线与圆相离.2.已知直

线43350xy+−=与圆心在原点的圆C相切，求圆C的方程．【答案】2249xy+=【解析】【分析】依题意，利用直线与圆相切的几何特征，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求半径，即可得到圆的方程.【详解】圆心在原点即圆心为(0,0)，因为直线与圆C相切，故圆心

到直线的距离等于半径，则2235357543r−===+，所以圆的方程为2249xy+=.3.判断直线220xy−+=与圆22(1)(2)4xy−+−=的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．【答案】相交，855【解析】【分析】根据题意，求圆心到直线的距离225255d

r===，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可.【详解】解：由圆的方程22(1)(2)4xy−+−=得圆心为()1,2，半径为2r=所以圆心到直线220xy−+=的距离为：225255dr===，所以220xy−+=与圆22(

1)(2)4xy−+−=相交，所以直线被圆截得的弦长为2248522455lrd=−=−=.例3图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度：20mAB=，拱高4mOP=，建造时每间隔4m需要用一根支柱支

撑，求支柱22AP的高度（精确到0.01m）．图2.5-3图2.5-4分析：建立如图2.5-4所示直角坐标系，要得到支柱22AP的高度，只需求出点2P的纵坐标．解：建立如图2.5-4所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆

心在y轴上，由题意，点P，B的坐标分别为(0,4)，(10,0)．设圆心坐标是(0,)b，圆的半径是r，那么圆的方程是222()xybr+−=．下面确定b和r的值．因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(

10,0)都满足方程222()xybr+−=．于是，得到方程组24)2220)220(,10(.bbrr−−+=+=解得10.5b=−，2214.5r=．所以，圆的方程是222(10.5)14.5xy++=．把点2P的横坐标2x=−代入圆的方

程，得222(2)(10.5)14.5y−++=，即2210.514.5(2)y+=−−（2P的纵坐标0y，平方根取正值）．所以2214.5(2)10.514.3610.53.86y=−−−−=（m）．答：支柱22AP的高度约为3.86m．例4一个

小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如图2.5-5，根据

题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．图2.5-5解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2.5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为

单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为224xy+=；轮船航线所在直线l的方程为143xy+=，即34120xy+−=．联立直线l与圆O的方程，得2234120,4.xyxy+−=+=消

去y，得22572800xx−+=．由2(72)425800=−−，可知方程组无解．所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．练习4.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m．求这座圆拱桥的拱圆的方程．【答案】()22220.6827.88xy++=【解析】【分析】根据题

意以拱高所在直线为y，如图建立平面直角坐标系，再求圆的方程.【详解】解：根据题意，以拱高所在直线为y，如图建立平面直角坐标系，根据题意得：7.2OC=，18.7OBOA==，此时圆心在y轴上，圆心为D，半径为r，则7.2ODr

OCr=−=−，所以在RtOBD△中，222BDODOB=+，即()2227.218.7rr=−+，解得：27.88r=，所以7.220.68ODr=−=设所求圆的方程为()22220.6827.88xy++=，即拱圆的方程为：()22220.6827.88xy++=5.某圆拱桥的水面跨度20

m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？【答案】该船可以从桥下通过【解析】【分析】建立适当平面直角坐标系，如图所示，得出ABPDE，，，，各点的坐标，设出圆的标准方程，将ABP，，坐标代入确定出这座圆拱桥的拱圆方程，把D横坐标代入求出纵坐

标，与3比较即可作出判断.【详解】建立如图所示的坐标系.依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).设所求圆的方程是222()(0)=()xaybrr−−+，于是有()()()22

222222210,10,4,abrabrabr++=−+=+−=解此方程组，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x＝

－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m，3＜3.1，所以该船可以从桥下通过.6.在一个平面上，机器人从与点()5,3C−的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点()10,0A−与()0,12B的直线的最近

距离和最远距离分别是多少？【答案】最近距离和最远距离分别是10561961−，10561961+.【解析】【分析】由题意可得机器人的运行轨迹为22(5)(3)81xy−++=，再求出直线AB的方程，求出圆心到直线的距离，即可求出答案．【详解】机器人到与点C(5,3)−距离为9的地方绕C

点顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变，机器人的运行轨迹为22(5)(3)81xy−++=，(10,0)A−与(0,12)B，直线AB的方程为120(10)010yx−=++，即为65600xy−+

=，则圆心C到直线AB的距离为225653601056196165d++==+，最近距离和最远距离分别是10561961−，10561961+．2.5.2圆与圆的位置关系例5已知圆221:2880Cxyxy+++−=，圆222:442

0Cxyxy+−−−=，试判断圆1C与圆2C的位置关系．分析：思路1：圆1C与圆2C的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；思路2：借助图形，可以依据连心线的长与两半径的和12r

r+或两半径的差的绝对值12|rr−∣的大小关系，判断两圆的位置关系．解法1：将圆1C与圆2C的方程联立，得到方程组222228004420xyxyxyxy+++−=+−−−=①②−①②，得210xy+−=，③由③，得12xy−=．把上式代入①，并整理，得2230xx−

+=．④方程④的根的判别式2(2)41(3)160=−−−=，所以，方程④有两个不相等的实数根1x，2x．把1x，2x分别代入方程③，得到1y，2y．因此圆1C与圆2C有两个公共点()11,Axy，()22,Bxy，这两

个圆相交．解法2：把圆1C的方程化成标准方程，得22(1)(4)25xy+++=，圆1C的圆心是(1,4)−−，半径15r=．把圆2C的方程化成标准方程，得22(2)(2)10xy−+−=，圆2C的圆心是(2,2)，半径210r=．圆1C与圆2C

的连心线的长为22(12)(12)35−−+−−=．圆1C与圆2C的两半径之和12510rr+=+，两半径长之差12510rr−=−．因为51035510−+，即121235rrrr−+，所以圆1C与圆2C相交（图2.5-6），它们有两个公共点A，B．图25-6例6已知圆

O的直径4AB=，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍．试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系．分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判

断这个轨迹与圆O的位置关系．解：如图2.5-7，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由4AB=，得(2,0)A−，(2,0)B．.设点M的坐标为(,)xy，||2||MAMB=，得2222(2

)2(2)xyxy++=−+，化简，得221240xxy−++=，即22(6)32xy−+=．所以点M轨迹是以(6,0)P为圆心，半径为42的一个圆（图2.5-7）．因为两圆的圆心距为||6PO=，两圆的半径分别为1

2r=，242r=，又212||rrPOrr−+，所以点M的轨迹与圆O相交．图2.5-7练习7.已知圆221:4Cxy+=，圆222:86160Cxyxy+−−+=，判断圆1C与圆2C的位置关系．【答案】外切【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，计算出圆心距，

即可判断；【详解】解：圆221:4Cxy+=，圆心坐标为()10,0C，半径2r=；圆222:86160Cxyxy+−−+=，即圆()()2229:43Cxy−−=+，圆心坐标为()24,3C，半径3R=

所以2212435CC=+=，125RrCC+==所以两圆相外切；8.已知圆221:2310Cxyxy++++=，圆222:4320Cxyxy++++=，证明圆1C与圆2C相交，并求圆1C与圆2C的公共弦所在直线的方程．【答案】证明见解析，公共弦所

在直线的方程为210x+=.的【解析】【分析】依题意求得圆1C和圆2C的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.【详解】圆1C的标准方程为()2239124xy

+++=，所以圆心为131,2C−−，半径132r=；圆2C的标准方程为()22317224xy+++=，所以圆心为232,2C−−，半径2172r=.两圆圆心距121dCC==，123172

2rr+=+，1217322rr−=−，所以1212rrdrr−+，圆1C和圆2C相交.将圆2C和圆1C的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为210x+=.习题2.5复习巩固9.判断直线4350xy−=与圆22100xy+=的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标．【答案】直线与圆

相切；(8,6)−【解析】【分析】用圆心到直线的距离与半径比较得到位置关系,再联解确定公共点坐标得解【详解】22100xy+=圆心坐标为(0,0)，则圆心到到直线4350=0xy−−的距离为50105dr−===所以直线与圆相切，224350100xyxy−=+=联解得86xy==−所

以公共点坐标为(8,6)−10.求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：（1）圆心为()3,5M−，且与直线720xy−+=相切；（2）圆心在直线yx=上，半径为2，且与直线6y=相切；（3）半径为13，且与直线2360xy−+=相切于点()3,4

．【答案】（1）()()223532xy−++=；（2）()()22444xy−+−=或()()22884xy−+−=；（3）22(5)(1)13xy−+−=或22(1)(7)13xy−+−=.【解析】【分析】（1）根据点到直线的距离求得半径,进而得答案;（2）设圆心

坐标为(),aa，再根据题意得62ra=−=，解得4a=或8a=，进而求得答案；（3）设圆心坐标为(),ab,则224332|236|132(3)baab−=−−−+=+−，解方程得51ab==或17ab==，进而求得答案.【

详解】解：（1）因为圆M与直线720xy−+=相切，所以点()3,5M−到直线720xy−+=的距离即为圆M的半径，所以()()23752040425217r−−+====+−，所以圆M的方程为：()()223532xy−++=，图像如图：（2）因为圆心在直线yx=上，半径为2

，所以设圆心坐标为(),aa，又因为所求圆与直线6y=相切，所以62ra=−=，解得4a=或8a=，所以所求圆的方程为()()22444xy−+−=或()()22884xy−+−=，图像如图：（3）半径为13，且与直线2360xy−+=相切于点()

3,4，所以设圆心坐标为(),ab,则224332|236|132(3)baab−=−−−+=+−，解得51ab==或17ab==，所以所求圆的方程为：22(5)(1)13xy−+−=或22(1)(7)13xy−+−=，图像如下：11.求直

线6:30lxy−−=被圆222:40Cxyxy+−−=截得的弦AB的长．【答案】10【解析】【分析】将一般方程化为标准方程得圆心与半径，再根据几何法求弦长即可.【详解】解：将圆的方程化为标准式，可得22(1)(2)5xy−

+−=，所以圆心坐标为()1,2C，半径为5r=，所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为32610210−−=，所以根据几何法得弦长为525102−=．所以弦AB的长为1012.求与x轴相切，圆心在直线3

0xy−=上，且被直线0xy−=截得的弦长为27的圆的方程．【答案】222610xyxy+−−+=或222610xyxy++++=【解析】【分析】设圆的一般方程是220xyDxEyF++++=，得出圆心坐标和半径，利用直线与x轴相切，令0y=后的二次方程判别式等于0

得,,DEF的一一个等式，求出圆心到直线0xy−=的距离，用勾股定理得弦长，得,,DEF的第二个等式，再由圆心在已知直线上第,,DEF的第三个等式，三式联立解得,,DEF得圆方程．【详解】设所求的圆的方程是2

20xyDxEyF++++=，则圆心为,22DE−−，半径为22142DEF+−.令0y=，得20xDxF++=，由圆与x轴相切，得0=，即24DF=①又圆心,22DE−−到直线0xy−=的距离为222DEd−+=.由已知，得22222(7)2DEr−+

+=，即()222()5624DEDEF−+=+−②又圆心,22DE−−在直线30xy−=上，则30DE−=③联立①②③，解得2,6,1DEF=−=−=或2,6,1DEF===故所求圆的方程是222610xyxy+−−

+=或222610xyxy++++=.13.求与圆22:20Cxyxy+−+=关于直线:10lxy−+=对称的圆的方程．【答案】()2235224xy++−=【解析】【分析】先求出圆22:20Cxyxy+−+=的圆心和半径，利用对称求出对称

圆的圆心，即可写出对称圆的方程.【详解】圆22:20Cxyxy+−+=可化为：()2215124xy−++=，所以其圆心112−，，半径254r=.设对称的圆的圆心(),ab，则有：1·1112112122baab+=−−+−=+，解得：23

2ab=−=，所以对称的圆的方程为：()2235224xy++−=.14.正方形ABCD的边长为a，在边BC上取线段3aBE=，在边DC的延长线上取2aCF=．试证明：直线AE与BF的

交点M位于正方形ABCD的外接圆上．【答案】证明见解析【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，表示出点的坐标，求出直线AE、BF的方程，即可求出交点的坐标，再利用两点的距离公式计算可得；【详解】解：如

图建立平面直角坐标系，则(),0Aa−，()0,0B，()0,Ca，10,3Ea，1,2Faa，11,22Oaa−，所以1133AEaka==，则直线AE方程为1133yxa=+，直线BF的方程为2yx=则21133yxyxa==

+解得525axay==，即2,55aaM，所以222252522aaaaOMa=++−=，即OMOB=，所以点M在圆O上；15.求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的

方程．【答案】x2+y2﹣3x﹣2=0【解析】【详解】试题分析：先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程．解：设过圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为：x2+y2﹣6x+λ（x2+y2﹣4）=0

…①把点M的坐标（2，﹣2）代入①式得λ=1，把λ=1代入①并化简得x2+y2﹣3x﹣2=0，∴所求圆的方程为：x2+y2﹣3x﹣2=0考点：圆系方程．综合运用16.求圆心在直线40xy−−=上，并且经过圆22640xyx++−=与圆226

280xyy++−=的交点的圆的方程．【答案】227320xyxy+−+−=【解析】【分析】设两圆交点系方程为2222+64+(+628)0xyxxyy+−+−=，求得圆心坐标代入直线40xy−−=求得圆的方程.【详解】设经过两圆交点的圆的方程为2222+64+(+628)0xy

xxyy+−+−=，即22(1)(1)+662840xyxy++++−−=，圆心坐标为33(,)11−−++，将其代入直线40xy−−=解得7=−．所以圆的方程为227320xyxy+−+−=．故所求圆方程为：227320xyxy+−+−=17.求圆2240xy+−=与圆22

44120xyxy+−+−=的公共弦的长．【答案】22【解析】【分析】首先两圆方程作差得到公共弦方程，再利用垂径定理、勾股定理求出公共弦长；【详解】解：圆2240xy+−=与圆2244120xyxy+−+−=，两式相减得4480xy−+=，即公共弦方程为20xy−+=，圆2240x

y+−=的圆心坐标为()0,0，半径2r=，圆心到公共弦的距离()22002211d−+==+−，故公共弦()2222222l=−=18.求经过点M（3，﹣1）且与圆C：x2+y2+2x﹣6y+5=0相切于点N（1，2

）的圆的方程．【答案】（x﹣207）2+（y﹣1514）2=845196．【解析】【分析】先利用待定系数法假设圆的标准方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，求出已知圆的圆心坐标与半径，再根据条件圆C过点M（3，﹣1）且与圆x2+y2+

2x﹣6y+5=0相切于点N（1，2），列出方程组可求相应参数，从而可求方程．【详解】解：设所求圆方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2已知圆的圆心：（﹣1，3），半径=5，由题意可得：（3﹣a）2+

（﹣1﹣b）2=r2，（1﹣a）2+（2﹣b）2=r2，（a+1）2+（b﹣3）2=2(5)r+，解得a=207，b=1514，r2=845196∴所求圆：（x﹣207）2+（y﹣1514）2=845196考点：圆的

切线方程．19.如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为200cm，B轮的直径为120cm，C轮的直径为250cm，且45A=．试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1cm）．【答案】260cm【解

析】【分析】根据题意，以点A为坐标原点，AB所在直线为x建立平面直角坐标，进而得直线AC的方程为yx=，故设(),,0Cttt，再结合圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】解：根据题意，以点A为坐标原点，AB所在直线为x建立平面直角

坐标系，如图，则160AB=，()0,0A，()160,0B，由于45CAB=，所以直线AC的方程为yx=，故设(),,0Cttt，则()12501201852BC=+=，由于圆B与圆C相外切，故()22160=18

5BCtt=−+，解方程得183.5t所以2259.5260ACtcm==cm.故A，C两齿轮的中心距离约为260cm.20.已知()2,2A−−，()2,6B−，()4,2C−三点，点P在圆224xy+=上运动，求222PAPBPC++的最大值和最小值．【答案】

最大值为88，最小值为72【解析】【分析】设(),Pxy，利用两点间的距离公式得到222PAPBPC++2233468xyy=+−+，再由点P在圆224xy+=上运动，化简为2233468480xyyy+−

+=−+求解.【详解】设(),Pxy，因为()2,2A−−，()2,6B−，()4,2C−三点，所以222PAPBPC++()()()()()()222222222642xyxyxy=++++++−+−++，2233468xy

y=+−+，因为点P在圆224xy+=上运动，则2240xy=−，解得22y−≤≤，所以2233468480xyyy+−+=−+，当2y=−时，222PAPBPC++取的最大值88，当2y=时，222PAPBPC

++取的最小值72.拓广探索21.已知圆224xy+=，直线:lyxb=+，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？【答案】2b=【解析】【分析】根据题意，只需圆心到直线:lyxb=+的距离为1即可，再结合点到直线的距离求解即可.【详解】解：因为圆的方程为224xy+=，所以圆心

为()0,0，半径为2因为圆224xy+=上恰有三个点到直线l的距离都等于1，所以只需要圆心到直线:lyxb=+的距离为1即可满足条件，直线的一般式方程为：0xyb−+=，所以圆心到直线的距离为：12b=，解得2b=，故当2b=时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1

.22.如图，圆228xy+=内有一点()012P−,，AB为过点0P且倾斜角为的弦．（1）当135=时，求AB的长．（2）是否存在弦AB被点0P平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）30AB=;（2）250xy

−+=.【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率即可写出其点斜式方程，利用勾股定理可求得弦长；（2）当弦AB被点0P平分时，AB与0OP垂直，由此可求出直线AB的斜率，写出其点斜式方程化简即可.【详解】（1）依题

意，直线AB的斜率为1−，又直线AB过点()012P−,，所以直线AB的方程为：()21yx−=−+，圆心()0,0O到直线AB的距离为22d=，则11308222AB=−=，所以30AB=；（2）当弦AB被点0P平分时，AB与0

OP垂直，因为02OPk=−，所以12ABk=，直线AB的点斜式方程为()1122yx=++即250xy−+=.23.已知点()2,3P−−和以点Q为圆心的圆22(1)(2)9xy−+−=．（1）画出以PQ为直径，点Q为圆心的圆，再求出圆Q的方程；（2

）设圆Q与圆Q相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？（3）求直线AB的方程．【答案】(1)221117222xy+++=；(2)证明见解析；(3)3540xy+−=.【解析】【分析】(1)求出PQ中点的坐

标即为圆心Q的坐标，线段PQ长度的一半即为圆Q的半径，从而求出圆Q的方程；(2)根据直径对的圆周角为2来证明垂直关系；(3)两圆相减消去二次项即为公共弦所在的直线方程.【详解】(1)易知()1,2Q，

所以PQ的中点11,22Q−−，又因为()()22213234PQ=−−+−−=，圆Q的半径为342r=，所以圆Q的方程为221117222xy+++=.(2)因为P

Q为直径，,AB在圆Q上，所以,PAAQPBBQ⊥⊥,所以直线PA，PB是圆Q的切线.(3)圆Q的方程221117222xy+++=可化为2280xyxy+++−=，圆Q的方程22(1)(2)9xy−+−=可化为222440

xyxy+−−−=，两圆方程相减，得3540xy+−=，所以直线AB的方程为3540xy+−=.