【文档说明】山东省寿光市圣都中学2021届高三下学期3月收心考试数学试卷 含答案.doc，共(14)页，1.295 MB，由小赞的店铺上传

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2021年03月开学大联考数学试题2021．2一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．若集合A＝2,Rxyyx=，B＝2,Ryyxx=，则A．ABB．ABC．A＝BD．A

B＝2．已知aR，则“0＜a＜1”是“xR，2210axax++”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F，若ACa=，BDb=，则AF＝A．1142ab+B．1124ab+C．2133ab+D．1223ab+4．5名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”，参观结束后5名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排

法共有A．36种B．48种C．72种D．120种5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数2sin()cosxxfxxx+=

+在[−，]的图像大致为ABCD6．已知抛物线28yx=的焦点到双曲线E：22221xyab−=(a＞0，b＞0)的渐近线的距离不大于3，则双曲线E的离心率的取值范围是A．(1，2]B．(1，2]C．[2，+)D．[2，+)7．已知三棱锥P

—ABC中，△ABC是以角A为直角的直角三角形，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝14，O1为△ABC的外接圆的圆心，cos∠PAO1＝277，那么三棱锥P—ABC外接球的体积为A．73B．7143C．2

14D．78．已知定义在[1e，e]上的函数()fx满足1()()fxfx=，且当x[1e，1]时，()ln1fxxx=+，若方程1()02fxxa−−=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A．(13e，11e−]B．(13e，312e−]C．(121e−−，11e−]D．(

121e−−，312e−]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．已知i为虚数单位，则下列结论正确的是A．复数12i1iz+=−的虚数

部为32B．复数25iiz+=−的共轭复数52iz=−−C．复数11i22z=−在复平面对应的点位于第二象限D．复数z满足1zR，则zR10．已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是A．若2ab+=，则1a

bB．若0c，则aacbbc++C．若log2020a＞log2020b＞0，则eabab−D．若142ab+=，则92ab+11．已知231()sincos222xfxx=−+(＞0)，则下列说法正确的是A．若()yfx=的最小正周期为，则2=

B．若()fx在(0，)内无零点，则106C．若()fx在(0，)内单调，则203D．若2=时，直线23x=−是函数()fx图象的一条对称轴12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，P点正东方向12km处有一个城镇，假设一个人驾驶小船的平均行进速

度为3km/h，步行的平均速度为5km/h，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸距P点处的距离．设24uxx=++，24vxx=+−，则A．函数()vfu=为减函数B．15432tuv−−

=C．当1.5x=时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当4x=时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、

《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如果两个埃及分数13与115的和可以表示成25等．从12，13，14，…，1100

，1101这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）14．设2524100125(21)xaaxaxax+=++++，则3a的值为．15．若数列na满足：11a=，21a=，12nnnaaa−−=+(n≥3)

，nN，则称数列na为斐波那契数列．斐波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，如图1中的实线部分（正方形内的数字与na为所在正方形的边长，每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90°的扇形）．自然界中存在

许多这样的图案，比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等（如图2）．若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度，则该圆锥的侧面积为．第15题第16题16．在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市

场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙．某雕刻师计划在底面边长为2m，高为4m的正四棱柱形的石料ABCD—A1B1C1D1中，雕出一个四棱锥O—ABCD和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大

值时，该雕刻师需去除的石料约重kg．（其中≈3.14，石料的密度＝2.4g/cm3，质量mV=）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17

．（本小题满分10分）已知数列na的前n项和为nS，且满足123(1)(2)233nnnnaaana++++++=，nN．（1）求数列na的通项公式；（2）设1nS的前n项和为nT，证

明：119nT．18．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在①b＝c；②2bcosC＋3c＝2a；③sinAsinCsinBsinCbac−+=+．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知a＝1，C＝6，D是边AC

上的一点，∠ADB＝4，若，求△ABD的面积．19．（本小题满分12分）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定．草案提出，国家推行生活垃圾分类制度．

为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人（其中450人为女性）的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：得分[30，40)[40，50)[50，60)[60

，70)[70，80)[80，90)[90，100)男性人数女性人数（1）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(，210)，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正

态分布的知识求P(50.5＜Z＜94)；（2）把市民分为对垃圾分类“比较了解”（不低于60分的）和“不太了解”（低于60分的）两类，请完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关？不太了解比较了解合计

男性女性合计（3）从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名，再从这10人中随机抽取3人，求抽取的3人中男性人数的分布列及数学期望．参考数据：①21014.5；②若X~N(，2)，则P(﹣＜X＜＋)≈0.6827，P(﹣2＜X＜＋2)≈0.954

5，P(﹣3＜X＜＋3)≈0.9973．参考公式：独立性检验统计量22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．临界值表：P(20Kk)0.150.100.050.0250.010

0.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（本小题满分12分）如图，已知平面BCE⊥平面ABC，直线DA⊥平面ABC，且DA＝AB＝AC．（1）求证：DA∥平面EBC；（2）若∠B

AC＝3，DE⊥平面BCE，求二面角A—BD—E的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221xyab+=(a＞b＞0)的离心率为32，点P(263，33)在C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，H(0，12−)，试判断在

椭圆C上是否存在三个不同点Q，M，N（其中M，N的纵坐标不相等），满足1OMONOQ2+=，且直线HM与直线HN倾斜角互补？若存在，求出直线MN的方程，若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(2)fxxa=+(x＞0，a＞0)，曲线()yfx=在点(1，(1)f)处的切线在

y轴上的截距为2ln33−．（1）求a；（2）讨论函数()()2gxfxx=−(x＞0)和2()()21xhxfxx=−+(x＞0)的单调性；（3）设125a=，1()nnafa+=，求证：1521202nnna+−−(n≥2)．