【文档说明】安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考理科数学试题 含答案.docx，共(13)页，606.146 KB，由小赞的店铺上传

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安徽省名校联盟2020－2021学年第二学期期末考试卷高二理科数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选

择题必须使用O．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．3.请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上的答题无效．4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．5.考试结束后

，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U=Z，集合{2,}Ayyy=−∣Z，则UA=ð（）A.{2}yy∣…B.{2,}yyy∣Z…C.{2}yy−∣…D.{

2,}yyy−∣Z…2.已知i为虚数单位，复数z满足（2＋3i）z＝－3＋2i，则z为（）A.iB.－iC.1＋iD.1－i3.若()2,XN，则（）A.()()abPXaPXbB.()()abPXaPXbC.2

()()1abPXaPXb+=+D.2()()1abPXaPXb+=+4.某人在网上购买了100只青岛产的虾，开箱打开发现：虾有白色、灰色两种颜色，统计后并制成下面的表：中小虾大虾白色4015灰色

2025则可以认为大虾与其颜色有关的概率参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中n＝a＋b＋c＋d．()2PKk…0.150.100.050.0250.0100.

0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．至多为99.9%B.至少为99.5%C.至多为0.5%D.至少为0.1%5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A.4B.8C.16D.646.直线l过点（2，1），且与双曲线2214xy

−=有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为（）A.1B.2C.3D.47.在平行四边形ABCD中，设,CBaCDb==，E为AD的靠近D的三等分点，CE与BD交于F，则AF=（）A.3144ab−−B.3144ab−+C.1344ab−−D.1344

ab−8.如图所示，在矩形OABC内，线段AB与圆弧ODC相切于D，已知矩形的长和宽分别为23和1，现在向矩形OABC内随机投一质点，则该质点落在图中阴影部分的概率为（）A.4B.57C.31182+D.23192−9.小张在创业

之初，于2020年1月5号交了30%的首付（30万元），贷款买了一台价格为100万元的大型设备，约定：还款期为10年，月息为千分之六，从2020年的2月5号开始以等额本金的形式还贷，即每月还本金712万元及本次还款前一个月未还的本金产生的利息．假设受

市场影响，小张在2021年的5月5号开始不能如期还款，故小张当天在网上变卖这台设备，结果只卖出50万元，用来一次性还银行贷款以后，则当天小张还差银行（）A.10.3675万元B.11.2500万元C.11.6

175万元D.18.7755万元10.动点P，Q分别在函数()e,()22xfxxgxx=+=−的图象上运动，则||PQ的最小值为（）A.235B.552C.4D.511.定义1,0,sgn()0,0,int()1,0,xxxxx==−为不超

过x的最大整数，例如int(3.1)3,int(1)=1,int(1.6)=−=－2，若区间[,]mn（nm−为正整数）在数轴上任意滑动，则区间[,]mn覆盖数轴上整数的个数为（）A.(1)int(sg

n())nmnn−+−−B.()int(sgn())nmnn−+−C.(1)sgn(int())nmnn−+−−D.(1)sgn(int())nmnn−++−12.235log3,log8,log10的大小关系为（）23

5A.log3log8log10532B.log10log8log3325C.log8log3log10352D.log8log10log3二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分．13.sin117sin243+的值为

．14.已知实数x，y满足不等式组1,121yxyxyx+−−−„……，若13zxy=+，则z的最大值为．15.若()202403836220012202xyaxaxyaxyay−=++++，则200iia=的值为．16.在四棱锥P－ABCD中，若PA＝AB＝AD＝2，∠BCD＝2

∠PAB＝2∠PAD＝2∠BAD＝23，则四棱锥P－ABCD外接球表面积为．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤．17.（10分）在等差数列na中，已知13,aa分别为复数28zi=+的实部与虚部．（1）求na的通项公式；（2）

令13nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nS．18.（12分）在三角形ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，23A=．（1）若c＝2，B＝4，AD平分角A交BC于D，求AD的长；（2）若b，c为函数2()101fxxx=−+的两个不

同的零点，求BC边上的高．19.（12分）小张大学毕业后决定选择自主创业，在进行充分的市场调研下得到如下的两张表格：项目A利润占投入的百分比10%5%－5%频率50%40%10%项目B利润占投入的百分比10%

5%－5%频率40%xy项目B的表格中的两个数据丢失，现用x，y代替，但调研时发现：投资A，B这两个项目的平均利润率相同．以下用频率代替概率，A，B两个项目的利润情况互不影响．（1）求x，y的值；（2）小张在进行市场调研的同时，拿到了200万人民币的风险投资．现在小张与投资方共同決定对A

，B这两个项目分别投资100万元，请预测小张总利润率的概率分布和总利润的数学期望．20.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2PA＝2，对角线AC与BD交于O点

，连接PO．（1）求证：AC⊥PB（2）过B点作一直线l平行于PC，设Q为直线l上除B外的任意点，设直线PQ与平面PAC所成角为，求sin的取值范围21.（12分）已知函数g（x）的图象与函数lnyx=的图象关

于直线y＝x对称，()()ln1fxgxax=−−−，设()fx为函数f（x）的导函数（1）当a＝1时，求()fx的零点；（2）当0＜a＜1时，设()fx的最小值为()ha，求证：()0ha．22.（12分

）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，右焦点为F，过F作x轴的垂线交双曲线224xy−＝1的两条渐近线于E，G，得到三角形OEG的面积为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P，M，N的三个点都在椭圆C上，设MN的中点为Q，且

2POOQ=，试判断△PMN的面积是否为定值，并说明理由．安徽省名校联盟2020－2021学年第二学期期末考试高二理科数学参考答案1.【答案】D【解析】由题意可知，{2,}UAyyy=−∣Zð…，所以选D2.【答案】A【解析】因为(2

3)32izi+=−+，所以32(23)2323iiiziii−++===++3.【答案】A【解析】由正态分布曲线得，()()abPXaPXb，所以A正确，B错．2()abPXb+==()()()()()1PXaPXaPXbPXaPXa+=+=，所以C，D错，所以选A

．4.【答案】B【解析】补成如下的2×2列联表：中小虾大虾合计白色401555灰色202545合计6040100所以22100(40252015)8.2497.87960404555K−=…，所以我们认为

大虾与其颜色有关的概率至少为99.5%．5.【答案】B【解析】最后输出的结果为211228=6.【答案】B【解析】因为点（2，1）在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2，一条与渐近线平行，另外一条（此

时斜率不存在）与双曲线相切．7.【答案】A【解析】如图，在AD上取G点，使得AG＝GE＝ED，在BC上由左到右取K，H，使得BK＝KH＝HC，连接AK，GH，则AK∥GH∥EC，因为DE∥BC且13DEBC=，所以14DFDB=（相似比），所以4DBDF=，所以

131()444AFADDFaabab=+=−+−=−−．8.【答案】D【解析】设圆弧所在圆的圆心为E，因为矩形的长和宽分别为23和1，所以OC＝23，拱高为1，所以∠OEC＝23，EO＝2，所以图中阴影部分的面积2243333S=−=−阴影又矩形OABC的面积为23，所以

质点落在图中阴影部分的概率为432313922323−=−．9.【答案】C【解析】小张在2021年的5月5号这一天差银行贷款本金共计7701561.2512−=万元，当天设备卖了50万还了银行以后还差

银行本金为11.25万，再加上2021年4月5号到5月5号产生的利息为7614770150.3675121000400−==万元，所以小张还差银行11.25＋0.3675＝11.6175万元．10.【答案】B【解析】()e,()e1xxfxxfx=

+=+，设动点()00,Pxy，当()yfx=在P点处切线与g（x）＝2x－2平行，过点P作直线垂线，垂足为点Q时，||PQ取得最小值，即为两平行直线间的距离，亦即点P到直线2x－y－2＝0的距离是||PQ的最小值．令()00e1

2xfx=+=，解得00x=，故P（0，1），所以min|12|35||.55PQd−−===11.【答案】C【解析】因为n－m为整数，所以当n为整数时，m也为整数，所以此时[m，n]覆盖数轴上1nm−+个整数，当n不是整数时，m也不是整数，所以此时[m，n]数轴上覆盖n－

m个整数，可以验证：区间[m，n]覆盖数轴上整数的个数为(1)sgn(int())nmnn−+−−，所以选C．12.【答案】C【解析】24log3log9=，所以只需比较345log8,log9,log10的大小．设()log(5)(2)xfxxx=+，因为x＞2所以22lnln(

5)ln(5)ln(5)5()0ln(5)lnxxxxxxxxfxxxxx+−−+++==+，记()lnxxx=，所以()ln10(2)xxx=+所以()(5)xx+所以()fx在（

2，＋∞）上单调递减，所以选C．13.【答案】0【解析】sin117°＋sin243°＝cos27°＋（－cos27°）＝014.【答案】113【解析】作出不等式组1,111,3321,yxyxzxyyxzyx+−−=+=−+−„……所对应的可

行域如图，其中C（2，3），当且仅当动直线过点C（2，3）时，则z的最大值为113．15.【答案】203【解析】()20240212020(1)(2)(1)2rrrrrrrrrrTCxyCxy−−+=−=−，所以221,0,0iiiaa

−N在()202403836220012202xyaxaxyaxyay−=++++中，令1,1xy==−得，20012319203aaaaaa−+−+−+=，即200iia=的值为203．16.【答案】3【解析】因为∠BAD

＝3，∠BCD＝23，所以A＋C＝，即四边形ABCD四点共圆，四棱锥P－ABCD的外接球与三棱锥P－ABD的外接球为同一个，又PA＝AB＝AD＝2，∠PAB＝∠PAD＝∠BAD＝3所以三棱锥P－ABD为正四面体，如图，构造棱长1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外

接球半径32R=，所以外接球表面积3S=．17.【解析】（1）设公差为d，因为13,aa分别为复数28zi=+的实部与虚部，所以132,8,aa==………………（2分）所以2d＝8－2，所以d＝3，……………………（3分）所以1(1)23(1)31naandnn=+−=+−

=−即na通项公式为31nan=−；……………………（5分）（2）11311nnnnnbaaaa++==−……………………（7分）所以1212231111111nnnnSbbbaaaaaa+=+++=−+−++−

111111323264nnaann+=−=−=++………………（10分）18.【解析】（1）因为sinsinsin234ABDAB=−−=+62sincoscossin34344+=+=，………………（2分）

在三角形ABD中，由正弦定理得，,sinsinADcBBDA=，………………（4分）因为c＝2，B＝4，所以22sin22(31)sin624cBADBDA===−+；…………（6分）（2）因为b，c为函数2101yxx=−+的两个不同

的零点，所以10,1bcbc+==，…………（8分）在三角形ABC中，由余弦定理得，2222cos()2(1cos)3abcbcAbcbcA=+−=+−+=……（10分）设BC边上的高为h，因为11,sin22ABCABCSahSbcA==，所以11sin22

ahbcA=，所以3sin3236bcAha===……………………（12分）19.【解析】（1）投资项目A的平均利润率为10%x50%＋5%×40%－5%×10%＝0.065，……………（2分）投资项目B的平均利润率为10%4

0%5%5%10%40%5%[(60%)]xyxx+−=+−−10%40%5%(260%)x=+−，……………………（4分）因为投资A，B这两个项目的平均利润率相同所以10%×40%＋5%（2x－60%）

＝0.065，解得x＝0.55，y＝0.05，…………（6分）（2）预测小张的总利润率为X，则X的值为10%，7.5%，5%，2.5%，0，－5%，进一步可以预测小张总利润率的概率分布为X10%7.5%5%2.5%0%－5%P20%43.5%22%6.5%7

.5%0.5%………………………………………………（10分）小张总利润为200()200(10%20%7.5%43.5%5%22%2.5%6.5%5%EX=+++−0.5%)13()=万元．…………………………（12分）

20.【解析】（1）延长BA、CD交于一点R，因为AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2DC＝2a，所以△RBC为正三角形，且AD为三角形RBC的中位线，即A为BR边的中点，所以CA⊥BA，……………………………………………………………………（1分）因为PA⊥底面ABCD，A

C⸦平面ABCD，所以PA⊥AC，…………………（2分）因为ABPA＝A，所以AC⊥平面PAB，PB⸦平面PAB，所以AC⊥PB；…………………………（4分）（2）由（1）得，AP，AB，AC两两垂直，故以A为原点，射线AB，AC，AP的方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，………………

…（5分）显然平面PAC的法向量为1(1,0,0)=n，…………………（6分）P（0，0，1），C（0，3，0），B（1，0，0），所以PC＝（0，3，－1），PB＝（1，0，－1），…………………（7分）因为l∥PC，所以可设(1,0,1)(0,3,1)(1,3,

(1))PQPBtPCttt=+=−+−=−+其中,0ttR，…………………（9分）2222|||1|1sin||||4221(3)(1)PQPQtttt===+++++nn……………………（10分）因为,0ttR，所以27422,4tt+++，所以2127si

n0,7422tt=++，当且仅当14t=−时，27sin7=．………………（12分）21.【解析】由已知得，()exgx=，所以()eln1()xafxxa−=−−R，定义域为(0,)+，1()exafxx−=−为(0,)+上的增函数………………………

…（2分）（1）当a＝1时，11111()e,(1)e01xfxfx−−=−=−=，因为11()exfxx−=−为(0,)+上的增函数所以()fx在(0,)+上有唯一的零点1；………………（4分）（2）当0＜a＜1时，1011(1)ee10,()10

1affaa−=−−=−=，……………………（6分）因为1()exafxx−=−为(0,)+上的增函数所以1()exafxx−=−在(0,)+上有唯一的零点0x，且0x为函数f（x）的极小值点，………………（8分）因为()00010,exafxx−==，所

以()000001()eln1ln1xahafxxxx−==−−=−−……………………（10分）因为0(,1)xa，且()0001ln1txxx=−−为(0,)+上的减函数，所以()0(1)0txt=0，即()0ha．…………………………（12分）22.【解析】（1）因为

椭圆C：22221xyab+=（a＞b＞0）的离心率为22，所以2ac=，其中22cab=+，………………（1分）双曲线2214xy−=的两条渐近线的方程为2xy=，设FG＝t，则OF＝2t，因为三角形OEG的面积为1，所以12212tt=，所以22t=

，22,22cOFtac=====，所以椭圆C的方程为22142xy+=；……………………（4分）（2）①当直线MN的斜率不存在时，因为2POOQ=，所以Q（－1，0），此时MN的方程为x＝－1，或Q（

1，0），此时MN的方程为x＝1将x＝－1，代入椭圆方程22142xy+=得661,,1,22MN−−−所以△PMN的面积为1136||||63222MNPQ==，由椭圆轴对称性得：当MN的方程为x＝1时，△PMN的面积也为362；……

………………（6分）②当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为y＝kx＋m，设()()()112233,,,,,MxyNxyPxy，因为MN的中点为Q，且2POOQ=，所以△PMN的重心是坐标原点O，所以12312300xxxyyy

++=++=，联立y＝kx＋m和22142xy+=，得()()22222214240,Δ824kxkmxmkm+++−==+−，当Δ0时，2121222424,2121kmmxxxxkk−−+==++所以()()3312122242,22121km

mxyyykxxmkk==−+=−+−=−++，故224km2,2121mPkk−++，因为点P在椭圆上，所以代入椭圆整理得22212km+=，满足Δ0，因而m与k满足的等式关系为22212km+=①，………………………

…（9分）当Δ0时，()221222824Δ2121kmxxkk+−−==++………………………………（10分因为△PMN的重心是坐标原点O，所以△PMN的面积为△OMN的面积的3倍，设直线l与y轴交与点D，则D（0，m）．那么△PMN的面积为()()2

22122382413||2221mkmODxxk+−−=+，关系式①代入得362S=，综合①②得，△PMN的面积为定值362．……………………（12分）