【文档说明】吉林省长春市2020届高三质量监测（四模）数学（文）试题含答案 .doc，共(9)页，880.000 KB，由小赞的店铺上传

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长春市2020届高三质量监测文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(2)0}Axxx„=−，{1,0,1,2,3}B=−，则AB=A.{0,

1,2}B.{1,3}−C.{1,2}D.{0,1,2,3}2.若1+(1)i(R),||2zaaz=−=，则a=A.0或2B.0C.1或2D.13.下列与函数1yx=定义域和单调性都相同的函数是A.2l

og2xy=B.21log()2xy=C.21logyx=D.14yx=4.已知等差数列{}na中，若5732aa=，则此数列中一定为0的是A.1aB.3aC.8aD.10a5.若单位向量12,ee夹角为60

，122−=aee，则||=aA.4B.2C.3D.16.《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行

了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲7.命题:p存在实数0x，对任意实数x，使得0sin()sinx

xx+=−恒成立；:q0a，()lnaxfxax+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是A.pqB.()()pqC.()pqD.()pq8.已知函数|ln|,0()2(2),0xxfxxxx=−+≤，则函数()3yfx=−的

零点个数是A.1B.2C.3D.49.已知为锐角，且sin()3tan()3sin()3+=+−，则角=A.12B.6C.4D.310.若双曲线22221(0,0)xyabab−=的一条渐近线被圆2240xyy+−=截得的弦长为2，则双曲线的离心率为A.2B.3

C.223D.23311.已知数列{}na的前n项和为nS，且12a=，*12(N)nnnaSnn++=，则nS=A.121n−+B.2nnC.31n−D.123nn−12.在正方体1111ABCDABCD−中，点E,F,G分别为棱11111,,ADDDAB的中点，给

出下列命题：①1ACEG⊥；②//GCED；③1BF⊥平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若,xy满足约束条件222022xyyxy…„

„+−−，则zxy=+的最大值为___________.14.曲线()2sinfxx=在3x=处的切线与直线10axy+−=垂直，则a=_________.15.在半径为2的圆上有,AB两点，且2AB=，在该圆上任取一

点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______.16.三棱锥-ABCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且22BD=，则三棱锥-ABCD体积的最大值为__________；三棱锥-ABCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为____

______.（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一

）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知在△ABC的三个内角分别为,,ABC，2sinsin2cosBAA=，1cos3B=.（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若2AC=，求AB长.18.（本小题满分12

分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：305010

0擅长不擅长合计男性女性合计（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.

7063.8415.0246.6357.87910.828Pkk≥（2(),()()()()nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++其中）19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，底面ABC为等腰直角三角形，ABB

C⊥，124AAAB==，,MN分别为11,CCBB的中点，G为棱1AA上一点，若1AB⊥NG.（Ⅰ）求证：1ABGM⊥；（Ⅱ）求点1A到平面MNG的距离.21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右顶点分别为,AB，焦距为2，点P为椭圆上异于,AB的点，

且直线PA和PB的斜率之积为34−.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作//OMAP交椭圆于点M，试证明2||||||APAQOM为定值，并求出该定值.21.（本小题满分12分）已知函数321()3fxxxmxm=+++.（Ⅰ）若

1x为()fx的极值点，且1212()()()fxfxxx=，求122xx+的值；（Ⅱ）求证：当0m时，()fx有唯一的零点.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数

方程已知曲线1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），曲线2C的参数方程为38cos43sin4xtyt=+=（t为参数）.（Ⅰ）求1C和2C的普通方程；（Ⅱ）过坐标原

点O作直线交曲线1C于点M（M异于O），交曲线2C于点N，求||||ONOM的最小值.23.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数()|1||1|fxaxx=++−.（Ⅰ）若2a=，解关于x的不等式()9fx；（Ⅱ）若当0x时，()1fx恒

成立，求实数a的取值范围.长春市2020届高三质量监测（二）数学（文科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】A【解析】{|02}Axx=„≤所以选A2.【答案】A【解析】22||1+(1)=202zaa=−=∴或故选A3．【答案】

C【解析】1yx=的定义域为(0,)+，单调递减；2log2xyx==大豆油不符；21log()2xyx==−定义域不符；21logyx=符合；14yx=定义域为[0,)+，定义域不符.故选C.4.【答案】A【解析】由5732aa=得1113(4)2(6)0adad

a+=+=故选A5.【答案】C【解析】由12−=aee得22222121122(2)2=3−−==aeeeee+e,故选C6.【答案】D【解析】甲的数据分析素养低于乙;甲的数学建模素养与数学抽象素养相当；乙的六大素养中逻辑推理是最优之一；乙的六大素养整体平均水平优于

甲。7.【答案】A【解析】命题p正确，存在0x使等式成立，如0x=；命题q正确。所以选A8.【答案】B【解析】()fx如图，向下平移3个单位，只在y轴右侧由2个交点，故选B9.【答案】C【解析】由条件得sin()cos()33−=+，代入选项数值得C对.10.【答案】D【解析】圆心为（0

,2），圆心到渐近线距离为3，所以渐近线与y轴夹角为60°，渐近线倾斜角没问30°，所以33ba=所以离心率2231()3bea=+=,故选D.11.【答案】B【解析】法一：排除法：236,16aa==，验证

知B对.法二：由112nnnnnaSSSn+++==−得1=21nnSSnn++所以2nnSn=所以2nnSn=12.【答案】C【解析】①111//ACBDEG⊥对；②//GCED，取11BC的中点P，则//EDPCGCC=错；③1BF与1GC不垂直，错；④EF和1B

B成角为4，对。故选C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13.【答案】4【解析】作图知可行域为三角形内部及边界，代入顶点坐标（2,2）得最大值为4.14.【答案】1【

解析】()2sinfxx=在3x=处的切线斜率为1，所以11aa−=−=15.【答案】16【解析】由1290,90ABPBAP==,当点P位于劣弧12PP之间时，△ABP为锐角三角形，所以其概率为16.16.【答案】22

3，43【解析】设BDC所在球大圆，则CO⊥BD时，此三角形面积最大，AP⊥面BCD时高最大，所以三棱锥体积最大为223，正三角形ABC的边长为2，它的外接圆半径为233，所以截面圆面积为43.三、解答

题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题.【解析】（1）2sinsin2cosBAA=中，223sinB=，22sin3cosAA=，22(1cos)3cosAA−=解得1cos2A=,3A=.(6分)(2)311223+22()=3

2326sinCsinABsinAcosBcosAsinB=+=+=+由正弦定理得sinsinABACCB=,6sin=+1sin4ACABCB=.(12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查用样本估计总体的相关知识，独立性检验问题.【解析】（1）由题意m=0.025;

（4分）(2)2030501040503070100擅长不擅长合计男性女性合计2()100800300=4.762()()()()50503070nadbcabcdacbd−−=++++（）对照表格可知，4.762<6.635,不能再犯错误的概率不超过

0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查立体几何平行垂直位置关系知识.【解析】（1）由题意1111111111AABBABCCBMNABBAMNBBBABBA⊥⊥⊥平面

平面平面平面1111MNABABMNGGNABABMGMGMNG⊥⊥⊥⊥平面平面（2）设1AB与GN交于点E，在△BNE中，可求得455BE=，则1655AE=,可知1A到平面MNG的距离为655.（12分）20.(本小题满分12分)【命题意

图】本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识.(1)已知点P在椭圆上，设00(,)Pxy，即有2200221xyab+=，又200022000APBPyyykkxaxaxa==+−−223=4ba−=−，且22c=，可得

椭圆的方程为22143xy+=.(4分)（2）设直线AP的方程为：(2)ykx=+，则直线OM的方程为ykx=.联立直线AP与椭圆的方程可得：2222(34)1616120kxkxk+++−=，由2Ax=−，可得226834P

kxk−=+，联立直线OM与椭圆的方程可得：22(34)120kx+−=，即2226834Mkxk−=+，所以222|||||2||02|||||2||||||pAQApMMxxxxxAPAQOMxx−−++===.即2||||||APAQOM为定

值，且定值为2.(12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.【解析】（1）由题可知1()(2)fxfx=−，且1()0fx=，又2()2fxxxm=++，即得3232111222211113320xxmxmx

xmxmxxm+++=+++++=，化简并分解因式可得1223xx+=−.(6’)(2)令321()03fxxxmxm=+++=，则321(1)3xxmx+=−+，令321()3hxxx=+，2()

2hxxx=+，可知()hx在(,2)−−和(0,)+上单调递增，在[2,0]−上单调递减，又4(2)3h−=，(0)0h=；(1)mx−+为过点(1,0)−的直线，又0m，则0m−，因此321

(1)3xxmx+=−+有且只有一个交点，即321()3fxxxmxm=+++有唯一的零点.（12分）(本小题满分10分)22.【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【解析】（1）曲线1C的普通方程为22(2)4xy−+=；曲线2C的普通方程为80

xy+−=.(5分)（2）设过原点的直线为3tan()4yx=,在曲线1C中，||4|cos|OM=.而O到直线与曲线2C的交点N的距离为8||sincosON=+，因此8||24sincos||4|cos||sincoscos||2sin214ON

OM+===+++（），即||||ONOM的最小值为442121=−+（）.（10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.【解析】(1)当=2a时，311(

)|21||1|2,1213,2xxfxxxxxxx=++−=+−−−，≤≤，由此可知，()9fx的解集为{|33}xx−.(5分)(2)当0a时，()fx的最小值为(1)1f；当=0a时

，()fx的最小值为(1)=1f；当0a时，()fx的最小值不恒大于1.综上，(0,)a+.