【文档说明】押四川卷23题 几何图形综合（解析版）-备战2022年中考数学临考题号押题（四川专用）.docx，共(30)页，3.738 MB，由管理员店铺上传

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押四川卷第23题几何图形综合近几年四川中考来看，B卷最后一题属于压轴题，难度比较大，通常考查图形的翻折、平移等几何变换，及其最值问题。比如，2021年考查几何图形翻折求值问题，2020年考查最值问题，涉及到隐圆模型。2019年考查图像平移，包含将军饮马问题。总的来说，该题目

涉及面广泛，难度不小。解决该类型问题，需要学生们熟练掌握中学常用的几何模型。此外，熟练运用相似的性质，几何变换的思路，结合数学思想方法进行求解，尤其是熟练的做比较复杂的辅助线，善于寻找各个变量之间的关系1．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，4,8ABAD=

=，点E，F分别在边,ADBC上，且3AE=，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点'A恰好落在对角线AC上，点B的对应点为'B，则线段BF的长为_______；第二步，分别在,'EFAB¢上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为

_______．【答案】15【详解】如图所示，连接AF，设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，3AEAE==∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD∥BC∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC，∴△AOE△A

DC，∴12OECDOAAD==，∴OA=2OE，在直角△AOE中，由勾股定理得：2249OEOE+=，∴OE=355，∴OA=655，在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC=224845+=，∴OC=651454555-=，令BF=x，则FC=8-x，∵AD∥BC，∴△AOE

∽△COF，∴37OAAEOCFC==，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3，解得：1x=,∴BF的长为1．连接NE，NF，如图，根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，设B’N=m，则22222213(4)NFmNEm=+

==+-，解得：m=3，则NF=10，∵EF=222425+=，∴MF=5，∴MN=5，故答案为：1，5．2．（2020·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，E，F分别为AB，CD边的中点．动点P从点E出发沿EA向

点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BHPQ⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为_________，线段DH长度的最小值为_________．【答案】32

132−【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，在Rt△PGQ中，由勾股定理得：()2222223399PQPGQ

Gtt=+=+=+，∴当t最大即EP最大时，PQ最大，由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=9932+=；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴12

FMFQEMPE==，∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴2222BMMEBE=+=，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，∴122OHOBBM===，∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，连接DO，过

点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，2213DODNON=+=，∴DH的最小值=DO－OH=132−．故答案为：32，132−．3．（2019·四川成都·中考真题）如图，在边长为1的菱

形ABCD中，60ABC=，将ABD沿射线BD的方向平移得到ABD，分别连接AC，AD，BC则ACBC+的最小值为____.【答案】3【详解】如图，过C点作BD的平行线l，以l为对称轴作B点的对称点1B，连接

1AB交直线l于点1C根据平移和对称可知11ACBCACBC+=+，当11,,ABC三点共线时11ACBC+取最小值，即1AB，又1AB1BB==，根据勾股定理得，13AB=，故答案为31．（2021·四川南充·一模）

如图，在菱形MNEF中，∠NMF=60°，动点A在对角线ME上，点B是NE边的中点，设AM的长度为x，AN＋AB=y，变量y是变量x的函数，当变量x取最大值时，函数y有对应值为9，当变量x=m时，函数y有对应最小值为n，则m＋

n的值为______．【答案】73【详解】解：如图，连接AF，FN，∵点B是NE边的中点，∴BN=EB=12EN，∵动点A在对角线ME上，∴当点A与点E重合时，AM有最大值，∴y=EN+EB=9，∴EB=3，EN=6，∵四边形ABCD是菱形，∠NMF=60

°，∴EF=EN=6，∠FEN=60°，∠NEM=30°，点F与点N关于EM对称，∴△EFN是等边三角形，∵y=AN+AB=AF+AB=BF，∴当点A，点F，点B共线时，y有最小值，此时，3•sin6332nBFEFFEB====，323cos32EBEANEM===，∴

32cos2623432mAMENNEMAE===−=﹣，∴73mn+=，故答案为：73．2．（2021·四川·成都外国语学校二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时

针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．【答案】622+．【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（S

AS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT

＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=3a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+3a）2＝4，∴a＝622−，∴EK＝2a+3a＝622+，∴AF的最小值为622+．故答案为622+．3．（2021·四

川自贡·一模）如图所示，在矩形ABCD中，23AB=，6BC=，P为矩形ABCD内部的任意一点，则PAPBPC++的最小值为______．【答案】221【详解】如解图，将BPC△绕点C逆时针旋转60，得到EFC△，连接PFAEAC､､，由旋转的性质可知

,,6,60PCCFPBEFBCCEPCFBCE======，∴PFC△是等边三角形，∴PCPF=，∴PAPBPCPAEFPF++=++，∴当A､P､F､E四点共线时，PAPBPC++的值最小，最小值为AE的长，∵四边

形ABCD是矩形，∴90ABC=，∴3tan3ABACBBC==，∴30ACB=，243ACAB==，∵60BCE=，∴90ACE=，∴在RtACE△中，22(43)6221AE=+=．故答案是：221．4．（2021·四川成都·二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，

AD＝3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最大值是___．【答案】3102【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，四边形ABCD是矩形，6ABCD==

，3ADBC==，//CDAB，点E是AB中点，点H是CD中点，3CHAEDHBE====，四边形AECH是平行四边形，//AHCE，点P是DF的中点，点H是CD的中点，//PHEC，点P在AH上，3ADDHCHBC====，45DHADAHCBHCHB====

，32AHBH==，90AHB=，3ADAE==，45ADEHDE==，322AOOH==，当点F与点E重合时，此时点P与点O重合，BP有最大值，22183101842BPBHOH=+=+=，故答案为：3102．5．（2021·四川成都·三模）如图，在

等腰三角形ABC中，50ACBC==，tan3A=，BD为高，M，N分别是BD，CD上的动点，若2DNADDM−=，E是AB的中点，连接EM，MN，则5EMMN+的最小值为______．【答案】582【详解】解：连接CE，过点E作EF⊥BD于点F，∵

在等腰三角形ABC中，50ACBC==，tan3A=，E是AB的中点，∴CE⊥AB，3BDCEADAE==，设CE=3x，则AE=x，∴()222350xx+=，解得：x=510，（负值舍去），∴AB=2AE=1010，同理：AD=10，BD=3AD=30，设DM=m，则DN=2m+10，∴M

N=()22210mm++，∵EF⊥BD，AC⊥BD，∴EF∥AC，∴BFBEDFAE==1，∴F是BD的中点，EF是ABD△的中位线，∴EF=152AD=，DF=1152BD=，∴FM=|15-m|，∴()22515EMm=+−，∴5EMMN+=()225515m+−+()22210mm

++=()()()225152544mm−++++=()()()()()222251505402mm−+−++++，∵()()()()22221505402mm−+−++++可以看作x轴上的动点H（m，0）到点P（15，5）和点Q（-4，-2）的距离之和，又∵H

PHQPQ+=()()2215452410+++=，∴5EMMN+≥5410=582．故答案是：582．6．（2021·四川成都·二模）在ABC中，4ACBC==，120ACB=，CDAB⊥，点P是直线CD上一点，连接PA，将线段PA绕P逆时针旋转120°得

到PA，点M、N分别是线段AC、PA中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．【答案】5217【解析】解：点P在直线CD上移动时，点N的轨迹是一条直线，当MN垂直于N1N2时值最小，如图所示：当P和C重合时N1是CB的中点，当PA′和CD重合时，

N2是PA′的中点，∵AC=CB=4，∠ACB=120°，∴CD⊥AB，CD=2，AD=23，则AB=2AD=43，∵M、N1分别是AC、BC中点，∴MN1∥AB，MN1=23，DE=1∵PA′是PA绕点P逆时

针旋转120°得到的，当PA′和CD重合时，PA′=PA，∠APA′=120°，∴∠APD=60°，∴234sin6032ADAP===，DP=AP•cos60°=4×12=2，∵N2是PA′的中点，∴PN2=2，EN

2=2+2+1=5，∵MN1∥AB，CD⊥AB，∴MN1⊥CD，在△MEN2和△N1EN2中，12122290MENEMENNENENEN====，∴△MEN2≌△N1EN2，N2M=N2N1，在Rt△MN2E中，222232527NMMEEN=+=+=，∴1212

112355322MNNSMNEN===，又∵1212153,2MNNSNNMN==即127532MN=，∴521.7MN=．故答案为：52177．（2021·四川成都·二模）如图，在边

长为6的等边ABC中，点D在边AC上，AD=1，线段PQ在边AB上运动，PQ=1，则四边形PCDQ面积的最大值为_____；四边形PCDQ周长的最小值为_____．【答案】31346+39【详解】解：设AQ=x，则四边形PCDQ的面积=S△ABC﹣

S△ADQ﹣S△BCP131313661(61)6222222xx=−−−−335324x=+，∵x的最大值为6﹣1=5，∴x=5时，四边形PCDQ的面积最大，最大值=3134，如图，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，

以D'Q、PQ为边作平行四边形PQD'M，则DQ=D'Q=MP，DD'=2×AD×sin60°=3，D'M=PQ=1，过C作CH⊥AB，交D'M的延长线于N，则∠N=90°，CH=BCsin60°=33，NH=12DD'=132，∴MN=AH﹣D'M﹣ADc

os60°=ACcos30°﹣1﹣12=3﹣1﹣1322=，17333322CNNHCH=+=+=，当M，P，C在同一直线上时，MP+CP的最小值等于CM的长，即DQ+CP的最小值等于CM的长，此时，Rt△MNC中，222237()(3)3922CMMNCN=+=+=，又∵PQ

=1，CD=6﹣1=5，∴四边形PCDQ周长的最小值为396+．故答案为：3134，6+39．8．（2021·四川·成都市树德实验中学二模）如图，正方形ABCD中，4AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点

，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为_______．【答案】2102−【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF=∠ODM=

90°，∴∠EDO=∠FDM，在△EDO与△FDM中，DEDFEDOFDMDODM===，∴△EDO≌△FDM(SAS)，∴FM=OE=2，∵正方形ABCD中，AB=4，O是BC边的中点，∴OC=2，∴224225OD=+=∴()()222525210OM=+

=∵OF+MFOM，∴2102OF−，∴线段OF长的最小值为2102−故答案为：2102−9．（2021·四川凉山·二模）如图，正方形ABCD的边长为1，点E为BC边上的一动点（不与B，C重合），过点E作EFAE⊥，交CD于F．则线段CF长度的最大值为____

______．【答案】14【详解】由题意知，ABCD是正方形，∴BC=，90BAEBEA+=，∵EFAE⊥，∴90BEACEF+=，∴BAECEF=，∴ABEECF∽△△，∴ABBECECF=．设,BExCFy==，正方形ABCD的边长为

1，则1CEx=−，∴11xxy=−，∴2yxx=−+．∴21124yx=−−+，∴可知抛物线的顶点为11,24开口向下，∴12x=时，函数有最大值，最大值为：14y=，故答案为：14．1．（2022·陕西·西安铁一中滨河学校二模）如图，△ABC为等

腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为_____．【答案】21022−【详解】如图，延长AE交BD于点F，

连接BE，四边形ACDE是平行四边形，,,AECDACEDEACCDE==∥，90,4BACBDCABAC====，4,90,90EDABACBAFCAECDEEDF===+=+=，90AFBCDBDFE===，242BCAB==，BAF

EDF=，在AFB和DFE中，BAFEDFAFBDFEABDE===，()AFBDFEAAS，BFEF=，45BEF=，135AEB=，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB、MA、MC，MC与圆M交于点E，

则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：CE即为CE的最小值，90AMB=，,4AMBMAB==，245,222MBABMAB===，90MBC=，在RtMBC中，22210MCMBBC=+=，21

022CECMME=−=−，即CE的最小值为21022−，故答案为：21022−．2．（2022·四川广元·一模）如图，等边三角形ABC的边长为2，D，E是AC，BC上两个动点，且AD＝CE，AE，BD交于点F，连接CF，

则CF长度的最小值为______．【答案】233【解析】解：∵AD＝CE，∴点F的路径是一段弧，∴当点D运动到AC的中点时，CF长度的最小，即点F为△ABC的中心，过B作BDAC⊥于D¢，过A点作AEBC⊥交BD于点F，∴23CFBFBD==，∵△

ABC是等边三角形，BC＝2，∴332BDBC==，∴233CF=．∴CF长度的最小值是233．故答案为：233．3．（2021·江苏·无锡市江南中学二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，E是边AB的中点

，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到EG，连接DG、CG，则DG+CG的最小值为_____．【答案】7【详解】如图，取AD的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵四边形ABCD是菱

形，∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA

＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GND＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∴D，E关于射线NG对称，∴GD＝GE，∴GD+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△BEH中，∠H＝90°，BE＝1，∠

EBH＝60°，∴BH＝12BE＝12，EH＝32，在Rt△ECH中，EC＝22EHCH+＝7，∴GD+GC≥7，∴GD+GC的最小值为7．故答案为：7．4．（2022·广东佛山·一模）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线A

C上的点F处，连接DF，EF．若MFAB=，则DAF=_________．【答案】18°【详解】解：连接DM，如图：∵四边形ABCD是矩形，90ADC=．∵M是AC的中点，DMAMCM==，FADMDA=，MDCMCD=．∵DF与DC关于DE对称，DFDC=，DFCDCF

=．∵MF=AB，ABCD=，DFDC=，MFFD=．FMDFDM=．∵∠DFC=∠FDM+∠FMD，2DFCFMD=．∵∠DMC=∠FAD+∠ADM，2DMCFAD=．设FADx=，则4DFCx=，4MCDMDCx==．∵∠DMC+

∠MCD+∠MDC=180°，244180xxx++=．18x=．故答案为：18°．5．（2022·河南·模拟预测）如图所示，正方形纸片ABCD的边长为2，点E为AD边上不与端点重合的一动点，将纸片沿过BE的直线折叠点A的落点记为F，连接CF、DF，若△CDF

是以CF为腰的等腰三角形，则AE＝_____．【答案】233或423−【详解】解：当△CDF是以CF为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当FC＝FD时，如图，过F作FM⊥AB于M，交CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴FN⊥CD，∵

FC＝FD，∴MN是正方形的对称轴，如图，连接AF，∴FA＝FB＝2，∵AB＝2，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，由折叠得：∠ABE＝∠EBF12=ABF＝30°，∴AE＝tan30°•AB33=2233=；②当FC＝DC时，如图，过F作

FG⊥AD，交AD于G，交BC于H，∵AD∥BC，∴GH⊥BC，∵AB＝BF，AB＝CD，∴BF＝FC，∴BH＝CH＝1，由勾股定理得：FH2222213BFBH=−=−=，∵∠A＝∠ABG＝∠BGH＝9

0°，∴四边形ABGH为矩形，∴GH＝AB＝2，AG＝BH＝1，∴FG＝GH﹣FH＝23−，设AE＝x，则EF＝x，EG＝AG﹣AE＝1﹣x，由勾股定理得：x2＝（1﹣x）2+（23−）2，∴x＝4﹣23，∴AE＝4﹣23，综上所述，A

E的长为233或4﹣23．故答案为：233或4﹣23．6．（2022·河南焦作·模拟预测）如图，在OAB中，90AOB=，7OA=，点C是线段AB上一动点，连接OC，以OC为直角边在OC左侧构造OCD，使90COD

=，OCDB=，点M为DC的中点，连接AM，在点C运动过程中，线段AM的最小值为______．【答案】72【详解】解：如图，连接OM，取AB的中点N,连接,MNON，OCDB=，设B=90AOB=Q，N为AB的中点，ONNB=NOBB=

=M是CD的中点，90DOC=，OMMC=，MOCOCD==，MCONBO∽，MOOCONOB=,MONMOCCONCONCOBNOBCONCON=+=+=+=+，MONCOB=~MONCOB，M

NOB==MNONOB==，MNOB∥，即M在MN上运动，OAMN⊥当AMMN⊥时，AM取得最小值，当,,AMO共线时，即AMMN⊥，此时MNOB∥，N为AB的中点1AMANMONB==，即1722AMAO==

故答案为：727．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校一模）如图，矩形ABCD中，4AB=，对角线AC，BD交于点O，120AOD=，E为BD上任意一点，F为AE的中点，则FBFO+的最小值为______．【答

案】27【详解】解：过AB的中点M和AD的中点N作直线MN，F为AE的中点，//MFBE，//FNED，M、F、N三点共线，即F点在线段MN上，作B关于MN的对称点H，BH与MN交于点G，连接OH，OH与MN交于点F，则BFHF=，此时，BFOFHFOFOH

+=+=，其值为最小值．120AOD=，60AOB=，四边形ABCD为矩形，OAOB=，OAB为等边三角形，4OBAB==，60ABO=，//MFBE，60GMBMBE==，1sin60sin6032GHBGBMAB====，30HBM=，23BH=，

90HBO=°，2227OHBHOB=+=，故答案为：27．8．（2022·河南南阳·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=33，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点

F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．【答案】92【详解】解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．∵AC=CT，BC⊥AT，∴BA=BT，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=33，∴∠BA

T=60°，AC=BC•tan30°=3，∴AB=2AC=6，∴△ABT是等边三角形，∴BT=AB=6，∵AD=BD=BE，∴BE=3，∵ET≤BT+BE，∴ET≤9，∴ET的最大值为9，∵AC=CT，AF=FE，∴CF=12ET，∴CF的最大值为92．故答案

为：92．9．（2022·江苏·无锡市天一实验学校一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，(,6),(,8)AaBb−，其中,0ab，,OAOBAB⊥与x轴相交于点P．当43ab+取得最小值时，OP的长为__________．【

答案】487【详解】解：如图，过点A，B作ACy⊥轴，BDy⊥轴于点C，D，90ACOBDO==，OAOB⊥，90AOB=∴，90AOCBOD+=，90AOCOAC+=，OACBOD=，OACBOD，

ACOCODBD=，(),6Aa，(),8Bb−，ACa=，6OC=，BDb=，8OD=，68ab=，48ab=，4324343ababab+=，此时等号成立时，有43ab=，43ab=，48ab=，解得6a=，8b=，()6,

6A，()8,8B−，设AB的解析式为ykxb=+，把()6,6A，()8,8B−代入得，6688kbkb+=+=−，解得748kb=−=，AB的解析式为748yx=−+，令0y=，则487x=，48,07P，OP∴的长为

487．故答案为：487．10．（2022·山东济南·一模）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=12，AD=10，点E是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次；如图2，第一次折叠纸片使点A与点E重合，折痕为MN，连接ME、NE；如图3，第二次折叠纸片

使点N与点E重合，点B落在B处，折痕为HG，连接HE，则tanEHG=______．【答案】53【详解】解：由折叠的性质可知90MEN=，AMNEMN=，MEAM=，ENAN=，HG是线段EN的垂直平分线，∴HGEN⊥，HN

HE=，∴MEHG∥∴H是MN的中点，∴EH是RtMEN斜边MN上的中线，∴HMEHEMEHG==，∴EHGAMN=设DMx=，则10AMx=−在RtDEM△中，由勾股定理得222DEMEDM=−即()2

22610xx=−−，解得165x=，∴345AMADDM=−=如图，作NPDC⊥∵90NPEEDMA===，∴四边形ANPD是矩形∵90DMEDEMDEMPEN+=+=，∴DMEPEN=，

∴DEMPNE∽∴DMDEPEPN=即166510PE=，解得163PE=，∴343ANDEPE=+=，∴3453tan3435ANAMNAM===∴5tan3EHG=，故答案为：53．11．（2022·陕西·西安铁一中分校一模）如图，已知RtABC，90C=

，30CAB=，2BC=，点M，N分别为CB，CA上的动点，且始终保持BMCN=，则当AMBN+取最小值时CN=______．【答案】31−【详解】解：如图所示，作BEBC⊥，取BEBC=，连接ME，连接AE交BC于M．在BCN和EBM中，90BMCNMBENCBBEBC=

===，()BCNEBMSAS，BNME=，AMBNAMMEAE+=+，当M点位于AE与BC的交点M时，AMBN+取最小值，EBMACM=，BMECMA=，EBMACM，MBBEMCAC=，,30BEBCCAB

==，3tantan303BEBCCABACAC====，设MBx=，则2MCBCBMx=−=−，323xx=−，解得31x=−,31MB=−，当AMBN+取最小值时CN=31−，故答案为：31−．12．（2022·河南驻马店·一模）如图，在平行

四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，45BCD=，6ABBD==，E为AD上一动点，连接BE，将ABE△沿BE折叠得到FBE，当点F落在平行四边形的对角线上时，OF的长为______．【答案】3或955【详解】解：如图1所示，当点F落在对角线BD上时，由翻

折的性质可得AB=BF，∵AB=BD=6，∴BF=BD，即F与D重合，∵四边形ABCD是平行四边形，∴132OFOBBD===；如图2所示，当点F在AC上时，设AC与BE交于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=4

5°，∵AB=BD，∴∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴2235AOABOB=+=，由折叠的性质可知AG=FG，AF⊥BE，∴∠BGO=∠ABO=90°，又∵∠AOB=∠BOG，∴△AOB∽△BOG，∴OGOBOBOA=∴2355OBOGOA==,∴1255AGFGOAOG==−=

，∴955OFFGOG=−=，故答案为：3或955．13．（2021·河南濮阳·一模）如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5，2BC=,点M，N分别在边AB，CD，CN＝1．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点

B，C分别落在点'B，'C处，在点M从点A运动到点B的过程中，若边'MB与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长___．【答案】352−【详解】解：如图∵四边形ABCD是矩形，ABCD∥，13＝，由翻折的性质可知：12BMMB＝，＝，23

＝，MBNB＝，222''''215NBBCNC=+=+=，'5BMNB==cm（），如图当点M与A重合时，AEEN＝，设AEENx＝＝，在RtADE中，则有22224xx−＝+（），解得52x＝，53422DE−＝＝，如

图当点M运动到MBAB⊥时，DE的值最大，5122DE−−＝＝，如图当点M运动到点B′落在CD时，DB（即DE）515−−＝45=−，∴点E的运动轨迹EEE→→，运动路径：()322452EEEB−+−−＋＝=352−．故答案为：352−14．（2021·江苏

·南通第一初中一模）如图，在RtABC中，90ACB=，3AC=，4BC=直线l经过点B，AEl⊥于点E，CFl⊥于点F，则AECF+的最大值为_________．【答案】73【详解】解：AEl⊥，CFl⊥AECF∥四边形AEFC是梯形如图：取EF、AC的中点M、N，连接MN，

连接BNMN是梯形AEFC的中线()1=2MNAECF+，MNAE∥=2AECFMN+，MNl⊥当MN最大时，AECF+最大在RtNMB△中，MNBN当=MNBN时，MN最大点N是AC的中点，AC=313==22NCAC

2222373==4=22BNBCNC++当73=2MN时，AE+CF最大此时，73=22732AECFMN+==故答案为：73．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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