【文档说明】湖南省长沙市第一中学2021届高三下学期月考（八）数学试题 含答案.docx，共(18)页，958.087 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-bb1e68970f7c816533d6125c630de413.html

以下为本文档部分文字说明：

长沙市一中2021届高三月考试卷（八）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集UR=，若|06AxNx=，2|340Bxxx=−++，则()U

ACB=（）A．(0,4B．(0,1C．1D．1,2,32．设复数202112izi+=−，则z的虚部是（）A．35B．35iC．15D．15i3．函数()3sinfxxxx=++，则1a−是()()120fafa++的（）A．

充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月1日，长沙市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三

个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有（如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们前后左右位置关系不作考虑）（）A．18种B．24种C．36种D．72种5．已知椭圆1C与双曲线2C的焦点相同，离心率分别为12,ee，且满足215ee=，1

2,FF是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若012120FPF=，则双曲线2C的离心率为（）A．2B．3C．2D．3226．《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的.其中有一

首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高.已知1丈等于10尺，则能推算出该葛藤长为（）A．21尺B．25尺C．29尺D．33尺

7．记无穷数列na的前n项12,,,naaa的最大项为nA，第n项之后的各项12,,nnaa++的最小项为nB，令nnnbAB=−，若数列na的通项公式为2276nann=−+，则数列nb的前10项和

为（）A．-169B．-134C．-103D．-788．若lnxaexa−+对一切正实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,e−B．(,1−C．(,2−D．(,e−二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法中正确的是（）A．0ABBA+=B．若ab=且//ab，则ab=C．若,ab非零向量且abab+=−，则ab⊥D．若//ab，则有且只有一个实数，使得ba=

10.已知,xyR，且0xy，则下列说法错误的是（）A．110xy−B．sinsin0xy−C．11022xy−D．lnlnxxyy11.在棱长为2的正四面体ABCD中，点则,,EFG分别为棱,,BCCDDA的中点，则

（）A．//AC平面EFGB．过点,,EFG的截面的面积为12C．异面直线EG与AC所成角的大小为4D．CD与平面GBC所成角的大小为612.将函数()()cos02fxx=−的图象向右平移2个单

位长度后得到函数()gx的图象，且()01g=−，则下列说法正确的是（）A．()gx为奇函数B．02g−=C．当5=时，()gx在()0,上有4个极值点D．若()gx在0,5上单调递增，则

的最大值为5三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在612xx+的展开式中，常数项等于_________.14．写出一个图象关于直线1x=对称的奇函数()fx=_______.15．曲线lnyax=−在点()1,a处的切线与曲线xye=−

相切，则a=____________.16．已知()3,012sin,13xxfxxx=，若存在实数123,,xxx，满足12303xxx，且()()()123fxfxfx==，则2x的取值范围为_____

_____；23164xxx−的最大值为_________.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知,,abc分别是ABC三个内角,,ABC的对边，且3sincosaCcAc=+

.（1）求A；（2）在①ABC的面积为3；②ABC的周长为623+；③13cos2cB−=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：已知2b=，______________.注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）设数列na的前n项和为nS，若满足()1321nnSSn+=++，且12a=.（1）证明：数列1na+是等比数列；（2）判断数

列123nnnaa+的前n项和nT与12的大小关系，并说明理由.19.（本小题满分12分）如图1，在ABV中，1ACBCCV===，ACVB⊥于C.现将ABV沿AC折叠，使VACB−−为直二面角（如图2），D是棱AB的中点，连

接,,CDVBVD.（1）证明：平面VAB⊥平面VCD；（2）若棱AB上有一点E满足14BEBA=，求二面角CVEA−−的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心

率是22，点F是椭圆E的左焦点，点A为椭圆E的右顶点，点B为椭圆E的上顶点，且212ABFS+=.（1）求椭圆E的方程；（2）设点(),0Pm为椭圆E长轴上的一个动点，过点P作斜率为ba的直线l交椭圆E于,ST两点，证明：22PSPT+为定值.21.（本小题

满分12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（.BPascal）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（.CHuygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学

家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢()*1,kkkN局，谁更赢得全部赌注a元.每局甲赢的概率为()01pp，乙赢的概率为1p−，且每局赌博相互独立.在甲赢了()mmk局，乙赢了()nnk局时，赌博意

外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比:PP甲乙分配赌注.（1）甲、乙赌博意外终止，若22

43,4,2,1,3akmnp=====，则甲应分得多少赌注？（2）记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当4,2,1kmn===时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率()fp，并判断当45p时，事件A是否为小概率

事件，并说明理由.规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件.22.（本小题满分12分）已知函数()()()22xxfxeaeaxaR−=−−+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求证：当2

152a时，函数()fx有且只有三个零点.（参考数据：2.72e，27.39e，320.01e）参考答案一、选择题1.D【解析】1,2,3,4,5,6,|14ABxxx==−或，|14

UCBxx=−，所以()1,2,3,4,5,6|141,2,3UACBxx=−=，故选D.2.A【解析】()()()()202145051211113222225iiiiiiiziiiii++++++=====−−−−+，所以z的虚部是35，故选：A3.B【解析】由题意

可得：()2cos310fxxx=++恒成立，所以函数()3sinfxxxx=++在R上递增，又()()()()()()33sinsinfxxxxxxxfx−=−+−+−=−++=−，所以函数()fx是奇函数，当()()120fafa++，即()(

)()122fafafa+−=−，所以12aa+−，解得13a−，当1a−时，则13a−，显然不成立；反之，当13a−，则1a−，成立，所以1a−是()()120fafa++的必要不充分条件，故选：B4.C【解析】根据题

意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C=种选法.之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A种放法；所以不同的摆放方法共有23436636CA==种，故选：C5.C【解析】设11PFr

=，22PFr=，在椭圆2212211:1xyCab+=中，()()()2222201212121211222cos1202crrrrrrrrarr=+−=+−=−，∴2221211444rracb=−=在双曲线2222222:1xyCab−=中，()()()

2222201212121221222cos120323crrrrrrrrarr=+−=−+=+∴22222122212434443brrcabrr=−==，∴2221443bb=即22213bb=，则()2222213acca−=−所以2222

221212222213133444aaaacccee+=+=+=又因为215ee=，所以22221154ee+=，解得22e=，故选：C6.C【解析】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，由题意得：2AB=丈20=尺，圆周长3BE=尺，则葛藤绕圆柱7周后长为()

22227202129BDABBE=+=+=尺，故选：C7.A【解析】数列na的通项公式为2276nann=−+，故从2a起单调递增，且1231,0,3aaa===，所以11112101bABaa=−=−=−=，22213bABaa=−

=−，33334bABaa=−=−，44445bABaa=−=−，…，1010101011bABaa=−=−，又2112117116171a=−+=，所以数列nb的前10项和为：()()()()121013344510111bbbaaaaaaaa+++=+−+−+−++−1111aa=+

−11171=+−169=−，故选A.8.B【解析】设()()ln0xafxexax−=−−，则()ln0xafxexa−=−−，恒成立，由()1xafxex−=−，令()1xahxex−=−，则()210xahxex−=+恒成立，所以()()10x

ahxexx−=−为增函数，令10xaex−−=得()00xxx=，当00xx时，()0hx，当0xx时，()0hx；所以()fx在()00,x递减，在()0,x+递增，故()fx在0xx=处取得最小值.故最小值()000ln0xafxexa−=−−，因为001xaex−=，

则00lnxax−=−，即00lnaxx=+，()000012ln0fxxxx=−−令()()12ln0gxxxxx=−−则()gx在()0,+单调递减，又∵()10g=，∴()00001fxx∴00ln1axx=+故选：B二、选择题9.AC【解析】由,ABBA互为相

反向量，则0ABBA+=，故A正确；由ab=且//ab，可得ab=或ab=−，故B错；由abab+=−，则两边平方化简可是0ab=，所以ab⊥，故C正确；根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除a为零向量，故选：AC10.ABD【解析】∵0xy，选项A，

取11,2xy==，则111210xy−=−=−，A错；选项B，取,2xy==，则sinsinsinsin102xy−=−=−，B错；选项C，()12xfx=在R上是减函数，∴1122xy，∴11022

xy−成立，C正确.选项D，由单调性知，D错.故选：ABD.11.ACD【解析】对A，∵点,FG为棱,CDDA的中点，∴//FGAC，∵FG平面EFG，AC平面EFG，∴//AC平面EFG，故A正确；对B，取AB中点H，则可

得四边形EFGH为截面，由A选项可得1//,2FGACFGAC=，同理可得1//,2HEACHEAC=，则//HEFG，且HEFG=且HEFG=，故四边形EFGH为平行四边形，取BD中点M，则可得,BDAMBDCM⊥⊥，∵AMCMM=，则BD⊥平面AMC，∴BDAC⊥，则EFFG

⊥，故平行四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B错误；对C，异面直线EG与AC所成的角与EGF相等，故C正确；对D，如图，,DAGBDAGC⊥⊥，∴DA⊥平面GBC，则DCG即为CD与平面GBC所成角，易得030DCG=，故D正确.故选：A

CD12.BCD【解析】∵()()cossin02fxxx=−=，∴()sin2gxx=−，且()01g=−，∴()1222kkZ−=−，即

14k=−为奇数，∴()sincos2gxxx=−=−为偶函数，故A错.由上得：为奇数，∴cos022g−=−−=，故B对，由上得：当5=时，()52sin5cos5,25gxxxT=−=−=，由图象可知

()gx在()0,上有4个极值点，故C对.∵()gx在0,5上单调递增，所以052T−=，解得：05，又∵14k=−，∴的最大值为5，故D对，故选：BCD三、填空题13.160【解析】612xx+

的展开项的形式是()6366122rrrrrrCxCxx−−=，若为常数项，可得3r=，故常数项为3362160C=14.sin2x【解析】当()()sin2fxxxR=时，()()sinsin22fxxxfx−=−=−=−，又xR

，所以()fx是奇函数；()sin2fxx=的对称轴方程为,,12,22xkkZxkkZ=+=+，当0k=时，1x=，所以()fx的图象关于直线1x=对称，符合题意，（答案不唯一）15.

-2【解析】由lnyax=−求导得1yx=−，∴曲线lnyax=−在点()1,a处的切线方程为()1yax−=−−，即1yxa=−++，设1yxa=−++与xye=−相切于点()00,xxe−，由xye=−

求导得xye=−，∴01xe−=−，∴00x=，即切点为()0,1−，它在切线1yxa=−++上，∴11a+=−，∴2a=−.16.72,3；991162−【解析】由题意，函数()fx的大致图象如图所示，由图象知，272,3x

，且23125,32sinxxxx+==，所以()223122222266225sin5sin4423xxxxxxxxx−=−−=−−，令()2275sin,2,23gxxxxx=−−，则()252cos2gxxx=−−，因为()22sin2gxx

=−+在72,3上单调递增，所以()768034gxg−=，所以()gx在72,3上单调递减，又因为904g=，所以()gx在92,4

上单调递增，在97,43上单调递减，所以()max99914162gxg==−.四、解答题17.【解析】（1）在ABC中，3sincosaCaAc=+由正弦定理可得3sinsinsincossinACCAC=+∵sin0C，则

3sincos1AA=+即223sincos2cos222AAA=，由0,22A，则3sincos22AA=，所以3tan23A=，所以26A=，解得3A=.（2）选①，ABC的面积为3，2,3bA==，则13sin322ABCSbcAc===

，解得2c=，所以ABC为等边三角形，所以3B=.选②，ABC的周长为623+，由2b=，则423ac+=+，①又22222cos42abcbcAcc=+−=+−②由①②可得23,4ac==，232sinsinsin32abABB==，解得1sin2B=，由因为ab，所以6

B=.选③，13,,2cos23cAbB−===，由余弦定理可得222223413224acbaccacac+−+−−==，③又22222cos42abcbcAcc=+−=+−，④由③④联立，无解，三角形不存在.18.【解析】（

1）由题意()1321nnSSn+=++可得()132,2nnSSnn−=+，两式相减，得132,2nnaan+=+，由2134SS=+得12134aaa+=+，得22324a+=+，得28a=，满足2132aa=+，所以132nnaa+=+对于任意n为正整数都符

合，所以1133nnaa++=+，即()1131nnaa++=+，又1130a+=，故数列1na+是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）可知13nna+=，即31nna=−，故()()11123231131313131nnnnnnnnaa++

+==−−−−−，所以223111111111113131313131312312nnnnT++=−++++−=−−−−−−−−19.【解析】（1）在图2中，∵ACBC=，D是AB的中点，∴CDAB⊥，又VACB−−为直二面角，VCAC⊥

，∴VC⊥底面ABC，而AB平面ABC，∴VCAB⊥，且VCCDC=，所以AB⊥平面VCD，又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD.（2）以CACBCV、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1CABV，所以()0,0,1CV=，因为14BEBA=，所以13,,044E，则13,,044CE=设平面VCE的一个法向量(),,tmnp=，则00CV

tCEt==，即013044pmn=+=，令1n=，则()3,1,0t=−.同理可以求得平面VAB的一个法向量()1,1,1s=.所以()23130cos,15331ststst−+===−+，又二面角CVEA−−为锐角，

所以二面角CVEA−−的余弦值为3015.20.【解析】（1）()()(),0,,0,0,FcAaBb−，则()21122ABFSacb+==+，()21acb+=+，即()2221acac+−=+，又2,22ceaca===，代入上式中得到，()222

221cccc+−=+，1c=，于是2,1ab==，故椭圆E的方程为2212xy+=.（2）设直线()2:2lyxm=−交椭圆于()()1122,,,SxyTxy，由()222222yxmxy=−

+=消去y得，222220xmxm−+−=，因此212122,2mxxmxx−+==，于是()()2222221122PSPTxmyxmy+=−++−+()()()()222212121212333222222xmx

mxxxxmxxm=−+−=+−−++()2222322232mmmm=−+−+=故22PSPT+为定值，且为3.21.【解析】（1）设赌博再继续进行X局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，当2X=时，甲以4：

1赢，所以()224239PX===；当3X=时，甲以4：2赢，所以()1222283133327PXC==−=；当4X=时，甲以4：3赢，所以()21322244133327PXC=

=−=所以，甲赢的概率为48424892727279++==.所以，甲应分得的赌注为82432169=元.（2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，当3Y=时，乙以4：2赢，()()331PYp==−；当4Y=时，乙以4：3赢，()()()3313413

1PYCpppp==−=−；所以，乙赢得全部赌注的概率为()()()()()333131131PAppppp=−+−=+−，于是甲赢得全部赌注的概率()()()31131fppp=−+−，求导，()()()()()()3223113311121fpppppp=−−−

+−−=−，因为415p，所以()0fp，所以()fp在415，上单调递增，于是()min46085625fpf==，故乙赢的概率为6081710.02720.05625625−==，故事件A

是小概率事件.22.【解析】（1）()()()()()222222xxxxxxxxeeaeaeafxeaeaee−−−−++=+−+==，若0a，由20xe−=，得ln2x=；由()0fx得ln2x；由()0fx

得ln2x，所以()fx在(),ln2−上单调递减，在()ln2,+上单调递增；若0a，由()0fx=，得ln2x=或lnxa=，当02a时，由()0fx，得lnln2ax；由()0fx，得ln2x或lnxa，所以()

fx在()ln,ln2a上单调递减，在()(),ln,ln2,a−+上单调递增；当2a=时，()0fx在R上恒成立，所以()fx在(),−+上单调递增；当2a时，由()0fx，得ln2lnxa；由()0fx，

得lnxa或ln2x，所以()fx在()ln2,lna上单调递减，在()(),ln2,ln,a−+上单调递增.（2）由（1）知，当2152a时，()fx在()ln,ln2a上单调递减，在(),lna−，()ln2,+上单调递增，所以()()()ln22lnf

xfaaaa==−−+极大值，()()()()ln222ln21ln222ln2fxfaaa==−−+=−++−极小值，令()()2122ln52gaaaaa=−−+，则()2lnaagaa+=−.令()212ln52maaaa=+，则()221ln

1lnlnln1055emaa=++==，所以()ma在21,52上单调递增.所以()22225282ln2ln2ln05555255mame=+=−−=，所以()0ga，从而()ga在21,52上单调

递减，所以()313515ln23ln32lnln0222222egag−−=−−==，即()ln0fa，又当2152a时，2211lnlnlnln0252ae−=，即()ln1,0a−，又()()()22222222214feaea

eae−−−=−++=−++，该式关于a单调递减，所以()()2222222244125421421405555eeeaeee−−−−−++−++=+=，所以()20f−，因为()fx在(),lna−上单调递增，且()()2ln0ffa−，所以函数()fx

在区间(),lna−上有且只有一个零点，令()()211ln222ln252haaa=−++−，显然()ha单调递减，所以()()()222838822ln21ln21ln81ln0555255hae−−+=−=−

−=，所以()ln20f，因为()fx在()ln,ln2a上单调递减，且()()lnln20faf，所以函数()fx在区间()ln,ln2a有且只有一个零点，()()()22222222214feaeaeae−

−=−−+=−++−，该式关于a单调递减，所以()()2222222211214214515602eaeeeeeee−−−++−−++−=−−−−=−，因为()fx在()ln2,+上单调递增，且()()ln220ff，所以函数()fx在()ln2,+上有且只有一个零点，综上所述：

当2152a时，函数()fx有且只有三个零点.