【文档说明】第二次月考（考试范围：一元二次方程、函数、不等式)（解析版）-2021-2022学年高一数学月考+期中+期末试题抢先看（新教材人教A版必修第一册）.docx，共(10)页，44.117 KB，由管理员店铺上传

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第二次月考：一元二次方程、函数、不等式测试题（解析版）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a＜0＜b，下列不等式错误的是（）A．1𝑎＜1𝑏B．a+c＜b+cC．a2＜ab

D．ac2≤bc2【答案】C【解析】：∵a＜0＜b，∴1𝑎＜0＜1𝑏，故A对，∵a＜b，∴a+c＜b+c，故B对，∵a＜b，且c2≥0，∴ac2≤bc2，故D对，∵a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，故a2＞ab，故C错，故选：C．2．若x＞1，

则函数𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥−1的最小值为（）A．2√2B．2√2+1C．4D．5【答案】B【解析】：：因为x＞1，所以x﹣1＞0，则f（x）＝x+2𝑥−1=𝑥−1+2𝑥−1+1≥2√(𝑥−1)×(2�

�−1)+1=2√2+1，当且仅当x﹣1=2𝑥−1，即x=√2+1时取等号，此时函数f（x）的最小值为2√2+1，故选：B．3．已知正实数a，b满足a+b＝3，则4𝑎+1𝑏的最小值为（）A．1B．3C．3

2D．9【答案】B【解析】：：由a+b＝3，得13（a+b）＝1，又a＞0，b＞0，所以4𝑎+1𝑏=13（a+b）（4𝑎+1𝑏）=13（5+𝑎𝑏+4𝑏𝑎）≥13（5+2√𝑎𝑏⋅4𝑏𝑎）＝3，当且仅当𝑎𝑏=4𝑏𝑎，a＝2b，即

a=29、b=19时，等号成立，所以4𝑎+1𝑏的最小值为3．故选：B．4．设不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为M，下列正确的是（）A．﹣1∉M，4∉MB．﹣1∈M，4∉MC．﹣1∉M，4∈MD．﹣1∈M，4∈M【答案】B【解析】：不等式x2﹣2x﹣8＜0等价于（x﹣4）（x+2）＜0，解

得﹣2＜x＜4，所以不等式的解集为M＝（﹣2，4），所以﹣1∈M；4∉M．故选：B．5．已知不等式x2﹣ax+b＜0的解是2＜x＜3，则a，b的值分别是（）A．﹣5，6B．6，5C．5，6D．﹣6，5【答案】C【解析】：：不等式x2﹣ax+b＜0的解是2＜x＜3，所以2和3是方程x2﹣a

x+b＝0的解，由根与系数的关系知，{2+3=𝑎2×3=𝑏，解得a＝5，b＝6．故选：C．6．设0＜a＜1，则关于x的不等式（a﹣x）（x−1𝑎）＜0的解集为（）A．(𝑎，1𝑎)B．(1𝑎，𝑎)C．（﹣∞，1𝑎）∪（a，+

∞）D．(−∞，𝑎)∪(1𝑎，+∞)【答案】D【解析】：：不等式（a﹣x）（x−1𝑎）＜0可化为（x﹣a）（x−1𝑎）＞0，因为0＜a＜1，所以a＜1𝑎，解得不等式得x＜a或x＞1𝑎，所以该不等式的

解集为（﹣∞，a）∪（1𝑎，+∞）．故选：D．7．若关于x的不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，﹣1）B．（3，4）C．（5，6]D．（6，7]【答案】D【解析】：：不等式x2﹣（m+3）x+3m＜0可变形为（x﹣3）

（x﹣m）＜0，①当m＞3时，不等式的解集为{x|3＜x＜m}，因为解集中恰有3个正整数，故为4，5，6，所以6＜m≤7；②当m＜3时，不等式的解集为{x|m＜x＜3}，因为解集中恰有3个正整数，所以只能有1，2两个整数，故不符合题意；③当m＝3时，不等式无解，不符合题意．综上所述，实数m的取值范

围为（6，7]．故选：D．8．实数a，b满足a＞0，b＞0，a+b＝4，则𝑎2𝑎+1+𝑏2𝑏+1的最小值是（）A．4B．6C．32D．83【答案】D【解析】：：∵a＞0，b＞0，∴4＝a+b≥2√𝑎𝑏，∴0＜ab≤4．∴𝑎2𝑎+1+𝑏2𝑏+1=

𝑎2(𝑏+1)+𝑏2(𝑎+1)(𝑎+1)(𝑏+1)=𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏(𝑎+𝑏)𝑎𝑏+𝑎+𝑏+1=(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏+4𝑎𝑏𝑎𝑏+5=16+2𝑎𝑏𝑎𝑏+5=2(𝑎�

�+5)+6𝑎𝑏+5=2+6𝑎𝑏+5∈[83，165）．∴最小值为83．故选：D．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选

错的得0分．9．若不等式m＜n与1𝑚＞1𝑛（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（）A．m＜n＜0B．0＜m＜nC．m＜0＜nD．mn＞0【答案】ABC【解析】：由1𝑚＞1𝑛，可得1𝑚−1𝑛=𝑛−𝑚𝑚𝑛＞0，又∵m＜n，∴n﹣m＞0，∴m•n＞0，即m，n同号

，∴m＜n＜0或0＜m＜n，故选：ABD．10．已知不等式x2+5x﹣6＜0的解集为A，集合B＝{x|﹣3＜x＜2}，则（）A．∁RA＝{x|﹣6≤x≤1}B．A∩B＝{x|﹣3＜x＜1}C．A∪B＝{x|﹣6＜x＜2}

D．∁RB＝{x|x≤﹣3或x≥2}【答案】BCD【解析】：：不等式x2+5x﹣6＜0可化为（x+6）（x﹣1）＜0，解得﹣6＜x＜1，所以该不等式的解集为A＝{x|﹣6＜x＜1}，所以∁RA＝（x|x≤﹣6或x≥1}，选项A错误；又因为集合B

＝{x|﹣3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|﹣3＜x＜1}，选项B正确；又A∪B＝{x|﹣6＜x＜2}，所以选项C正确；因为集合B＝{x|﹣3＜x＜2}，所以∁RA＝（x|x≤﹣3或x≥2}，选项D正确．故选：BCD．11．已知x＞﹣

3，y＞4，且x+y＝2，则1𝑥+3+1𝑦−4的值可能为（）A．3B．4C．5D．6【答案】BCD【解析】：：因为x+y＝2，所以x+3+y﹣4＝2+3﹣4＝1，则1𝑥+3+1𝑦−4=[(𝑥+3)+(𝑦−4)](1𝑥+3+1𝑦−4)=2+𝑥+3𝑦−4+𝑦−4

𝑥+3．又因为x＞﹣3，y＞4，所以2+𝑥+3𝑦−4+𝑦−4𝑥+3≥4，当且仅当𝑥=−52，𝑦=92时取等号．故B，C，D，都有可能，故选故选：BCD．12．小王从甲地到乙地往返的速度分别为

a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．𝑎＜𝑣＜√𝑎𝑏B．𝑣=√𝑎𝑏C．√𝑎𝑏＜𝑣＜𝑎+𝑏2D．𝑣=2𝑎𝑏𝑎+𝑏【答案】AD【解析】：：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为𝑠𝑎+𝑠𝑏，则全程

的平均速度𝑣=2𝑠𝑠𝑎+𝑠𝑏=2𝑎𝑏𝑎+𝑏，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得√𝑎𝑏＜𝑎+𝑏2，则𝑣=2𝑎𝑏𝑎+𝑏＜2𝑎𝑏2√𝑎𝑏=√𝑎𝑏，同时𝑣=2𝑎𝑏𝑎+𝑏＜2(𝑎+𝑏2)2

𝑎+𝑏=𝑎+𝑏2，𝑣−𝑎=2𝑎𝑏𝑎+𝑏−𝑎=𝑎𝑏−𝑎2𝑎+𝑏＞𝑎2−𝑎2𝑎+𝑏=0，v＞a，则𝑎＜𝑣＜√𝑎𝑏，A正确，故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x、y满足x2

﹣xy＝1，则y2+3xy的最小值为．【答案】-1【解析】：：实数x、y满足x2﹣xy＝1，∴x≠0，y=𝑥2−1𝑥．则y2+3xy=(𝑥2−1𝑥)2+3x•𝑥2−1𝑥=x2﹣2+1𝑥2+3x2﹣3＝4x2+1𝑥2−5≥2√

4𝑥2⋅1𝑥2−5＝﹣1，当且仅当x＝±√22时取等号．∴y2+3xy的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．14．比较大小：√7−√6√8−√7（用＞，＜，＝连接）．【答案】>【解析】：把比较大小的两数作下面转化：√7−√6=1√7+√6，√8−√7=1√8+√7，∵0＜√7+√

6＜√8+√7，∴1√7+√6＞1√8+√7，∴√7−√6＞√8−√7．故答案为：＞．15．若不等式（a+2）x2﹣2（a+2）x+4≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[﹣2，2]【解析】：：当a＝﹣2时，不等式显然成立，a∈R

；当a＞﹣2时，根据二次函数的图象知：△＝[﹣2（a+2）]2﹣16（a+2）≤0，解得﹣2＜a≤2，当a＜﹣2时，二次函数的图象开口向下，不等式不可能恒成立，故答案为：[﹣2，2]16．已知a＞b＞0，且ab=12，则4𝑎2+𝑏2+72𝑎+𝑏的最小值是，此时b＝．【答案】：2√5；√5

−12【解析】由a＞b＞0，且ab=12，4𝑎2+𝑏2+72𝑎+𝑏=(2𝑎+𝑏)2−4𝑎𝑏+72𝑎+𝑏=（2a+b）+52𝑎+𝑏≥2√(2𝑎+𝑏)⋅52𝑎+𝑏=2√5，当且仅当2a+b=√5时，等号成立，故4𝑎2

+𝑏2+72𝑎+𝑏的最小值为2√5，由2a+b=√5，ab=12，解得b=√5−12，或b=√5+12，由a＞b＞0，b=√5+12舍去，故答案为：√5−12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正数a、b满足1𝑎+1𝑏=1．（1）求a+b的最小值；（2）求4𝑎𝑎−1+9𝑏𝑏−1的最小值．【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（1𝑎+1𝑏），展开后结合基本不等式即可求解

；（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．【解答】解：（1）因为a、b是正数，所以𝑎+𝑏=(𝑎+𝑏)(1𝑎+1𝑏)=2+𝑎𝑏+𝑏𝑎≥2+2√𝑎𝑏×𝑏𝑎=4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4

．（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，则4𝑎𝑎−1+9𝑏𝑏−1=4+4𝑎−1+9+9𝑏−1≥13+2√4𝑎−1×9𝑏−1=25，当且仅当𝑎=53、𝑏=52时等号成立，故4𝑎𝑎−

1+9𝑏𝑏−1的最小值为25．18．已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．（1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜0．【分析】（1）由f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，解一元二次不等式即可．（2）把不等式f（x）＜0化为（x﹣a）

（x﹣a3）＜0，再分类讨论a与a3的大小，然后写出解集即可．【解答】解：（1）由f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4，若f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，可得a＜2或a＞8，故实数a的取值范围为（﹣∞，2）∪（8，+∞）．（2）不等式f

（x）＜0可化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，又由a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1），①当a＝0或a＝﹣1或a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为∅，②当a＞0时，若0＜a＜1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），若a＞1时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，

a3），③当a＜0时，若﹣1＜a＜0时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3），若a＜﹣1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a），综上：当a＝0或一1或1时，不等式f（x）＜0的解集为∅，当0＜a＜1或a＜﹣1时，不等式f（x）＜

0的解集为（a3，a），当﹣1＜a＜0或a＞1时，不等式f（x）＜0的解集（a，a3）．19．已知一元二次函数f（x）＝x2+bx+c，满足f（0）＝2，f（﹣1）＝f（1）．（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）≤2ax．【分析】（1）根据题意求出c、b的值即可；（2）不等式化

为x2﹣2ax+2≤0，计算△＝4a2﹣8，讨论a的取值范围，求出不等式对应的方程的解，即可写出对应不等式的解集．【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+bx+c中，由f（0）＝2，得c＝2，因为f（﹣1）

＝f（1），所以1+b+2＝1﹣b+2，解得b＝0；所以f（x）＝x2+2；（2）关于x的不等式f（x）≤2ax可化为x2﹣2ax+2≤0，因为△＝4a2﹣8，所以当△＜0，即−√2＜a＜√2时，原不等式对应的方

程无实数根，又二次函数y＝x2﹣2ax+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当△＝0，即a＝±√2时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，a=√2时，原不等式的解集为{x|x=√2}；a=−√2时，原不等式的解集为{x|x=−√2}；当△＞0，即a＜−√2或a＞√2时，

原不等式对应的方程有两个不等的实数根，分别为x1＝a−√𝑎2−2，x2＝a+√𝑎2−2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a−√𝑎2−2≤a≤a+√𝑎2−2}；综上知，当−√2＜a＜√2时，原不等式的解集为∅；当a=√2时，原

不等式的解集为{x|x=√2}；当a=−√2时，原不等式的解集为{x|x=−√2}；当a＜−√2或a＞√2时，原不等式的解集为{x|a−√𝑎2−2≤a≤a+√𝑎2−2}．20．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩

形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求1𝑥+2𝑦的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．利用基本不等式x+2y≥2√2𝑥𝑦即可得出；（II）由已知得x+2y＝3

0，利用基本不等式（1𝑥+2𝑦）•（x+2y）＝5+2𝑦𝑥+2𝑥𝑦≥5+2√2𝑦𝑥⋅2𝑥𝑦，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得xy＝72，而篱笆总长为x+2y．又∵x+2y≥2√2𝑥𝑦=24，当且仅当x＝

2y，即x＝12，y＝6时等号成立．∴菜园的长x为12m，宽y为6m时，可使所用篱笆总长最小．（Ⅱ）由已知得x+2y＝30，又∵（1𝑥+2𝑦）•（x+2y）＝5+2𝑦𝑥+2𝑥𝑦≥5+2√2𝑦𝑥⋅2𝑥𝑦=9，∴1𝑥+2𝑦≥310

，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝10时等号成立．∴1𝑥+2𝑦的最小值是310．21．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0；（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．【分析】（1）由不等

式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，利用根与系数关系列式求出a的值，把a代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0后直接利用因式分解法求解；（2）代入a得值后，由不等式对应的方程的判

别式小于等于0列式求解b的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的两根，∴{1−𝑎＜041−𝑎=−261−𝑎=−3，解得a＝3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，

解得x＜﹣1或x＞32．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞32}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．22．某建筑工地在

一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米．（1）要是矩形学生公寓ABCD的面积不小

于144平方米，AB的长度应在什么范围？（2）长度AB和宽度AD分别为多少米是矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？【分析】（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三

角形面积函数模型，再由s≥144，得出边AB的长度范围；（2）由二次函数配方求最值求得．【解答】解：（1）依题意设AD＝t，则20−𝑡20=𝑥30，∴t＝20−23x，所以s＝（20−23x）x，又∵s≥14

4，∴x2﹣30x+216≤0，解得12≤x≤18，要使公寓ABCD的面积不小于144平方米，即12≤x≤18，即AB的长度应在[12，18]内；（2）s＝（20−23x）x=−23（x﹣15）2+150，当x＝1

5时，t＝20﹣10＝10，s取得最大值150．答：AB＝15米，AD＝10米时，公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米．