【文档说明】安徽省蚌埠市2021届高三下学期5月第四次教学质量检查数学（文）试题 扫描版含答案.pdf，共(8)页，476.044 KB，由小赞的店铺上传

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蚌埠市２０２１届高三年级第四次教学质量检查考试数学（文史类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的１已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ＞１｝，Ｎ＝｛

ｘ｜ｌｏｇ２ｘ＞１｝，则ＡＭ∩Ｎ＝｛ｘ｜ｘ＞１｝ＢＭ∪Ｎ＝｛ｘ｜ｘ＞１｝Ｃ瓓ＭＮ＝（１，２）ＤＭ＝Ｎ２设１－ｘｉ＝（１－ｉ）ｙ，其中ｘ，ｙ∈Ｒ，则｜ｘ－ｙｉ｜＝槡Ａ２Ｂ１Ｃ１２Ｄ槡２２３若ａ－ｂ＞０

，则下列不等式一定成立的是Ａａ２＞ｂ２Ｂｔａｎａ＞ｔａｎｂＣｌｇ（ａ－ｂ）＞０Ｄ２ａ＞２ｂ４记Ｓｎ为等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和若ａ１＋ａ２＝３，Ｓ５＝１５，则数列｛ａｎ｝的公差为Ａ－１Ｂ－２Ｃ１Ｄ２５已知ｔａｎα＝－１２，则１ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α＝Ａ－５４

Ｂ－５８Ｃ５８Ｄ５４６已知实数ｘ，ｙ满足约束条件ｘ－ｙ－５≤０，ｘ＋２ｙ－５≥０，３ｘ－ｙ－３≥０{，则ｚ＝－ｘ－４ｙ的最大值为Ａ－５９７Ｂ２５Ｃ－２５Ｄ－５７已知直线ｌ１：ａｘ－ｙ＋１＝０，直线ｌ２：ｘ－ａｙ＋ａ２－１＝０，则“ｌ１∥ｌ

２”是“ａ＝１”的Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充要条件Ｄ既不充分也不必要条件８在△ＡＢＣ中，ＡＭ→＝３ＭＢ→，则ＣＭ→＝Ａ１４ＣＡ→＋３４ＣＢ→Ｂ３４ＣＡ→＋１４ＣＢ→Ｃ２３ＣＡ→＋１３ＣＢ→Ｄ

１３ＣＡ→＋２３ＣＢ→）页４共（页１第卷试）文（学数级年三高市埠蚌９已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ１３，ｘ≤１，ｅｘ，ｘ＞１{，则满足ｆ（１ｘ）＞ｅ２的ｘ的取值范围是Ａ０，()１２Ｂ１２，()１Ｃ（０，１）Ｄ（０，＋∞）１０《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长１尺，

蒲生日自半，莞生日自倍意思是：“今有蒲第一天长高３尺，莞第一天长高１尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的２倍”请问当莞长高到长度是蒲的５倍时，需要经过的天数是（结果精确到０１参考数据：ｌｇ２＝０３０，ｌｇ３＝０４８）Ａ２

９天Ｂ３９天Ｃ４９天Ｄ５９天１１设抛物线ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ，直线ｌ：ｘ＝－２，Ｐ为抛物线上一点，ＰＭ⊥ｌ，Ｍ为垂足，如果直线ＭＦ的斜率为槡３３，那么｜ＰＦ｜等于Ａ１５４Ｂ９４Ｃ７４Ｄ３４１２已知函数ｙ

＝ｃｏｓωｘ－π()４（ω＞０）在区间π４，()π内有且仅有一个极大值点，则ω的最大值为Ａ１１４Ｂ１３４Ｃ１５４Ｄ１７４二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分１３已知直线ｘ槡＋３ｙ－１＝０与圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－３＝０交于Ａ，Ｂ两点，则｜ＡＢ｜＝１４已知曲线ｙ＝ｘｅｘ

＋ａｌｎｘ（ａ∈Ｒ）在１，１()ｅ处切线的斜率为１，则ａ＝１５已知双曲线Ｃ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点为Ｆ，右顶点为Ａ，虚轴上顶点为Ｂ若双曲线Ｃ的离心率是槡５＋１２，则∠ＡＢＦ＝１

６有四个半径为１的小球，球Ｏ１，球Ｏ２，球Ｏ３放置在水平桌面上，第四个小球Ｏ４放在这三个小球的上方，四个小球两两外切在四个小球之间有一个小球Ｏ，与这四个小球均外切．则球Ｏ的半径为三、解答题：共７０分解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分１７（１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，其外接圆半径为

Ｒ，已知２（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉｎ２Ｂ）ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ＝ｃＲ（１）求角Ｂ；（２）若边ＢＣ的长是该边上高的槡３倍，求ｃｏｓＡ的值）页４共（页２第卷试）文（学数级年三高市埠蚌１８（１２分）如图，四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面ＡＢＣＤ是边长为２的菱形，ＰＤ

⊥底面ＡＢＣＤ（１）求证：平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＤ；（２）若ＰＤ＝ＢＤ＝ＡＤ，ＰＡ中点为Ｍ，求点Ｍ到平面ＰＢＣ的距离．１９（１２分）２０２１年４月２０日，博鳌亚洲论坛２０２１年年会开幕式在海南博鳌举行，国家主席习近平以视频方式发表

题为《同舟共济克时艰，命运与共创未来》的主旨演讲，某校政治老师为了解同学们对此事的关注情况，在一个班级进行了调查，发现在全班４０人中，对此事关注的同学有２４人，该班在上学期期末考试中政治成绩（满分１００分）的茎叶图如下：（１）求对此事不关注者的政治期末考

试成绩的中位数与平均数；（２）若成绩不低于６０分记为“及格”，从对此事不关注者中随机抽取１人，求该同学及格的概率；（３）若成绩不低于８０分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量，请补充下列的２×２列联表，并判断能否在犯错概率不超过００５

的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系？政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注者２４对此事不关注者１６合计４０附：ｋ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄＰ（ｋ２＞ｋ０）０１５００１００００５０００２５

００１００００５０００１ｋ０２０７２２７０６３８４１５０２４６６３５７８７９１０８２８）页４共（页３第卷试）文（学数级年三高市埠蚌２０（１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率为槡３２，过点Ｐ１，槡３()２（１）

求椭圆Ｃ的标准方程；（２）设点Ａ，Ｂ分别是椭圆Ｃ的左顶点和上顶点，Ｍ，Ｎ为椭圆Ｃ上异于Ａ，Ｂ的两点，满足ＡＭ∥ＢＮ，记ＯＭ，ＯＮ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，求证：ｋ１·ｋ２为定值２１（１２分）已知函数ｆ（ｘ

）＝ｘ３－ａｘ＋１，ａ∈Ｒ（１）讨论函数ｆ（ｘ）的单调性，（２）设ｇ（ｘ）＝｜ｆ（ｘ）｜，ｇ（ｘ）在区间［０，１］上的最大值为Ｍ（ａ），求Ｍ（ａ）的最小值（二）选考题：共１０分请考生在第２２、２３题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分２２［选修４—４：坐标系与参数方程］

（１０分）在直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝－槡２２ｔ，ｙ＝ｍ＋槡２２{ｔ（ｔ为参数）以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ－２ｃｏｓθ＝０（１）求曲线Ｃ与直线ｌ的直角坐标方程；（２）若直线θ＝π４与直线ｌ和曲线Ｃ分别交于点Ｐ

，Ｑ（均异于原点Ｏ），且｜ＰＱ槡｜＝２，求实数ｍ的值２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）已知ａ，ｂ，ｃ为正数，且满足ａ＋ｂ＋ｃ＝１证明：（１）ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１３；（２）１６ａ＋４ｂ＋１ｃ≥４９）页４共（页４第卷试）文（学数级年三高市埠蚌蚌埠市２０２１届高三

年级第四次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＡＤＣＢＤＢＡＡＣＣＤ二、填空题：槡１３２３１４１１５π２１６槡６２－１三、解答题：１７（１２分）（１）由已知条件２（ｓｉｎ２Ａ－ｓｉ

ｎ２Ｂ）ｓｉｎＡ－ｓｉｎＣ＝ｃＲ及正弦定理得，ａ２－ｂ２＝ｃ（ａ－ｃ），即ｂ２＝ａ２＋ｃ２－ａｃ，２分……………………………………………由余弦定理可得ｃｏｓＢ＝１２，４分…………………………………………………………而０＜Ｂ＜π，于是Ｂ＝π３６分…………………………

…………………………………（２）记ＢＣ边上的高为ＡＤ，不妨设ＢＤ＝１，则∠ＢＡＤ＝π６，ＡＢ＝２，ＡＤ槡＝３，ＢＣ＝３由余弦定理得ｂ槡＝７，８分………………………………………………………………在Ｒｔ△ＡＣＤ中，记∠ＣＡＤ＝θ，

则ｃｏｓθ＝槡３槡７，ｓｉｎθ＝２槡７，１０分……………………………所以ｃｏｓＡ＝ｃｏｓ（π６＋θ）＝ｃｏｓπ６ｃｏｓθ－ｓｉｎπ６ｓｉｎθ＝槡７１４１２分…………………………１８（１２分）（１）证明：由ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ，且ＡＣ平面ＡＢＣＤ，故ＡＣ⊥ＰＤ，２分………………………

因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，故ＡＣ⊥ＢＤ，又ＢＤ∩ＰＤ＝Ｄ，所以ＡＣ⊥平面ＰＢＤ，４分………………………………………………因为ＡＣ平面ＰＡＣ，所以平面ＰＡＣ⊥平面ＰＢＤ６分…………………………………（２）设点Ｍ到平面ＰＢＣ的距

离为ｄ，因为点Ｍ是线段ＡＰ的中点，所以点Ａ到平面ＰＢＣ的距离为２ｄ故ＶＭ－ＰＢＣ＝１２ＶＡ－ＰＢＣ＝１２ＶＰ－ＡＢＣ＝１４ＶＰ－ＡＢＣＤ，又ＶＰ－ＡＢＣＤ＝１３Ｓ菱形ＡＢＣＤ×ＰＤ＝１３×２×１２×ＡＤ２×ｓｉ

ｎπ３×２＝槡４３３８分………………由ＰＤ⊥平面ＡＢＣＤ可知，△ＰＣＤ≌△ＰＢＤ，且△ＰＣＤ和△ＰＢＤ均为直角三角形，故ＰＣ＝ＰＢ槡＝２２，）页４共（页１第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌于是易得Ｓ△ＰＢＣ槡＝７１０分……………………………

……………………………………又ＶＭ－ＰＢＣ＝１３×Ｓ△ＰＢＣ×ｄ＝１３槡×７×ｄ所以１３槡×７×ｄ＝１４×槡４３３，即ｄ＝槡２１７故所求点Ｍ到平面ＰＢＣ的距离为槡２１７１２分…………………………………………１９（１２分）（１）对此事不关注的１６名同学，成绩从低到高依次为４６，５２，５

３，５６，６３，６３，６４，６６，６８，７２，７４，７６，７８，７８，８４，９２中位数为６６＋６８２＝６７；２分………………………………………………………………平均数为１１６（４６＋５２＋５３＋５６＋６３＋６３＋６４＋６６＋６８＋７２＋７４＋７６＋７８＋７８＋８４＋９２）＝

６７８１２５；４分……………………………………………………………………………（２）因为对此事不关注的１６个人中共有１２人及格，所以所求概率Ｐ＝１２１６＝３４，６分……（３）政治成绩优秀政治成绩不优秀合计对此事关注１０１４２４对此事不关注２１４１６合计１２２８４０９分…………………………

………………………………………………………………ｋ２＝４０×（１０×１４－２×１４）２１２×２８×２４×１６≈３８８９＞３８４１所以能在犯错概率不超过００５的前提下，认为“对此事是否关注”与“政治期末成绩是否优秀”有关系１２分……………………………………

……………………………２０（１２分）（１）由ｅ＝槡３２可得，ａ＝２ｂ，２分…………………………………………………………………点Ｐ１，槡３()２代入椭圆方程ｘ２４ｂ２＋ｙ２ｂ２＝１，解得ａ＝２，ｂ＝１，４分…………………………即椭圆Ｃ的标准方程为ｘ

２４＋ｙ２＝１；５分…………………………………………………（２）设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），由题意ＡＭ，ＢＮ的斜率存在，设直线ＡＭ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）……①设直线ＢＮ：ｙ＝ｋｘ＋１……②由（１）

椭圆方程Ｃ：ｘ２４＋ｙ２＝１……③联立①③得（４ｋ２＋１）ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－４＝０，）页４共（页２第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌解得ｘ１＝－２（４ｋ２－１）４ｋ２＋１，即Ｍ－２（４ｋ２－１）４ｋ２＋１，４ｋ４ｋ２()＋１８分………………………………联立②

③，可得ｘ２＝－８ｋ４ｋ２＋１，即Ｎ－８ｋ４ｋ２＋１，－（４ｋ２－１）４ｋ２()＋１，１０分…………………………故ｋ１·ｋ２＝４ｋ４ｋ２＋１－２（４ｋ２－１）４ｋ２＋１·－（４ｋ２－１）４ｋ２＋１－８ｋ４ｋ２＋１＝－１４，即ｋ１·ｋ２为定值－１４１２分………

……………………………………………………２１（１２分）（１）由题意ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－ａ１分…………………………………………①若ａ≤０，则ｆ′（ｘ）≥０，所以ｆ（ｘ）在Ｒ上为单调递增函数；３分……………………②若

ａ＞０，由ｆ′（ｘ）＝３ｘ２－ａ＝０解得ｘ１＝－３槡ａ３，ｘ２＝３槡ａ３，ｆ′（ｘ）＞０的解为ｘ＜－３槡ａ３或ｘ＞３槡ａ３，ｆ′（ｘ）＜０的解为－３槡ａ３＜ｘ＜３槡ａ３，即ｆ（ｘ）的增区间为－∞，－３槡ａ()３，３槡ａ３，＋()∞，减区间为－３槡ａ３，３槡ａ()３６分…………………

………………………………………………………………（２）①若ａ≤０，则ｇ（０）＝ｆ（０）＝１，ｇ（１）＝ｆ（１）＝２－ａ＞ｇ（０），又由（１）知ｆ（ｘ）在［０，１］上为增函数，故Ｍ（ａ）＝ｍａｘ｛ｇ（０），ｇ（１）｝＝２－ａ；８分……………………………………………②若ａ＞０，易知ｆ

（０）＝１，ｆ３槡ａ()３＝１－２ａ３槡ａ９，ｆ（１）＝２－ａ，ｇ（０）＝１，ｇ３槡ａ()３＝１－２ａ３槡ａ９，ｇ（１）＝｜２－ａ｜，?若０＜ａ＜３，则０＜３槡ａ３＜１，且ｆ３ａ槡()３＝１－２ａ３槡ａ９∈（－１，１），故ｇ３槡ａ()３＜ｇ（０），所以

Ｍ（ａ）＝ｍａｘｇ（０），ｇ３槡ａ()３，ｇ（１{}）＝ｍａｘ｛ｇ（０），ｇ（１）｝＝ｍａｘ｛１，｜２－ａ｜｝则Ｍ（ａ）＝２－ａ，０＜ａ＜１，１，１≤ａ{＜３１０分……………………………………………………?若ａ≥３，

则ｇ（１）＝ａ－２＞１，且３槡ａ３＞１，故ｆ（ｘ）在［０，１］上为减函数，则Ｍ（ａ）＝ｍａｘ｛ｇ（０），ｇ（１）｝＝ａ－２综上，Ｍ（ａ）＝２－ａ，ａ＜１，１，１≤ａ≤３，ａ－２，ａ＞３{，所以Ｍ（ａ）ｍｉｎ＝１１２分…

…………………………）页４共（页３第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌２２（１０分）解：（１）由直线ｌ的参数方程ｘ＝－槡２２ｔｙ＝ｍ＋槡２２{ｔ（ｔ为参数），消去ｔ得直线ｌ的直角坐标方程为ｘ＋ｙ－ｍ＝０；２分………………

………………………………………………………由曲线Ｃ的极坐标方程为ρ－２ｃｏｓθ＝０，两边同时乘以ρ得ρ２－２ρｃｏｓθ＝０∵ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｃｏｓθ＝ｘ，ρｓｉｎθ＝ｙ，∴曲线Ｃ的直角坐标方程为（ｘ－１）２＋ｙ２＝１５分…………………………………（２）直线

ｌ的极坐标方程为ρ（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＝ｍ，联立θ＝π４，ρ（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）＝ｍ{，解得Ｐ（槡２ｍ２，π４）（ｍ≠０）７分……………………………联立θ＝π４，ρ－２ｃｏｓθ＝０{，解得Ｑ（槡２，π４），

９分……………………………………………由｜ＰＱ｜＝槡２－槡２２ｍ槡＝２，解得ｍ＝４１０分………………………………………２３（１０分）解：（１）∵（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２≥０，∴２（ａ２＋

ｂ２＋ｃ２）≥２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ∴ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ２分………………………………………………………当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，等号成立，因为ａ，ｂ，ｃ为正数，且满足ａ＋ｂ＋ｃ＝１，∴１＝（ａ＋ｂ＋ｃ）２＝ａ２

＋ｂ２＋ｃ２＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ａｃ∴１≥３（ａｂ＋ｂｃ＋ａｃ），即ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１３５分………………………………………（２）∵ａ＋ｂ＋ｃ＝１∴１６ａ＋４ｂ＋１ｃ＝（１６ａ＋４ｂ＋１ｃ）（ａ＋ｂ＋ｃ）＝２１＋（１６

ｂａ＋４ａｂ）＋（１６ｃａ＋ａｃ）＋（４ｃｂ＋ｂｃ）７分……………………………………≥２１＋２１６ｂａ·４ａ槡ｂ＋２１６ｃａ·ａ槡ｃ＋２４ｃｂ·ｂ槡ｃ＝２１＋１６＋８＋４＝４９当且仅当ａ＝４７，ｂ＝２７，ｃ＝１７时，上式等号成立１０分……………………………（以上

答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分））页４共（页４第案答考参）文（学数级年三高市埠蚌