【文档说明】浙江省2021届高三下学期4月高考模拟数学试题 含解析.docx，共(15)页，458.129 KB，由小赞的店铺上传

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2021年浙江省高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|y＝1x−}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则（∁RA）∪B＝（）A．（1，2）B．（0，1）C．（0，+∞）D．（﹣∞，

2）2．设复数z的共轭复数为z．若z＝1﹣i（i为虚数单位），则2zzz+的值为（）A．iB．﹣iC．0D．3i3．已知a，b∈R，则“|a|+|b|＜2”是“|ab|＜1”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．即不充分也不必要条件4．设平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P

∈α，且P∉l，则下列命题中真命题的是（）A．过点P且垂直于α的直线平行于lB．过点P且垂直于α的直线平行于βC．过点P且垂直于α的平面平行于lD．过点P且垂直于α的平面平行于β5．函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b＝g（a）的

图象可以是（）A．B．C．D．6．已知等差数列{an}前n项和为Sn，且4813SS=，则816SS等于（）A．18B．19C．13D．3107．国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事．某电视台计划在奥运会期间某段

时间连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种8．已知

实数x，y满足不等式组1023610xyxyy−+++…„…．设z＝2|x|﹣y，则z的取值范围为（）A．[﹣1，10]B．[﹣1，1]C．[﹣10，1]D．[﹣1，5]9．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1与C2在第二

、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则8e1+e2的最小值为（）A．6+322B．6432+C．5102D．55210．三棱锥D﹣ABC中，∠ACD＝2∠ACB＝120°，CD＝2BC，则异

面直线AC与BD所成的角可能是（）A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有

（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱，人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是，物价是（钱）．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图，则这个几何体的表面积为cm2，其体积为cm3．13．已知bxn+1＝a0+a1（x﹣1）+

a2（x﹣1）2+…+an（x﹣1）n对任意x∈R恒成立，且a1＝9，a2＝36，则b＝；a1+2a2+…+nan＝．14．由1，2，3，4，5组成的可重复数字的三位数构成的集合记为M，现从M中任取一个数．设组成

此三位数的数字中不同的偶数字的个数为ξ，例如：若取出的数为212，即ξ＝1；若取出的数为214，即ξ＝2．则概率P（ξ＝0）＝，数学期望E（ξ）＝．15．已知实数x，y满足x2+xy＝1，则y2﹣2xy的最小值为．16．已知点O是△ABC的外心，∠BAC＝60°，设AOmAB

AC=+，且实数m，n满足m+4n＝2，则mn的值是．17．设圆O：x2+y2＝1上两点A（x1，y1），B（x2，y2）满足12OAOB=−，则|x1﹣2y1|+|x2﹣2y2|的取值范围是．三、解答题（本

大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且btanA＝（2c﹣b）tanB．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若向量m＝（cosB，2cosA），n＝（0，cos22C），求|m﹣2n|的取值范围．19．如图，三棱锥P

﹣ABC中，底面ABC为正三角形，PA⊥平面ABC，AG⊥平面PBC，垂足为G．（Ⅰ）问G是否可能是△PBC的垂心？说明你的理由；（Ⅱ）若G恰是△PBC的重心，求直线BC与平面ABG所成的角．20．已知数列{an}前n项和为Sn满足S1＝2，Sn+

1＝3Sn+2（n∈N*）．（Ⅰ）求通项公式an；（Ⅱ）设bn＝nnaS（n∈N*），求证：13≤b1+b2+…+bn﹣23n≤12．21．已知点P（2，1）到抛物线C：y2＝ax（a＞0）的准线的距离

为52，设过点P的直线与C相交于两点A，B（异于坐标原点O）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求cos∠AOB的取值范围．22．设函数f（x）＝alnx﹣1ax2+x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）求f（x）的极

值；（Ⅱ）已知a＞0．若存在实数b，使得e≤af（x）≤e2+1对x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）参考答案一、选择题（共10小题）.1．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}，∴∁RA＝{x|x＞1}，∴（∁

RA）∪B＝（0，+∞）．故选：C．2．解：因为z＝1﹣i（i为虚数单位），所以2zzz+＝11ii+−+（1﹣i）2＝2(1)(1)(1)iii+−+﹣2i＝22i＝i﹣2i＝﹣i，故选：B．3．解：由“|a|+|b|＜2”，得||ab≤||||2ab+＜1，所以|

ab|＜1，充分性成立；由|ab|＜1，不能得出|a|+|b|＜2成立，例如：15,6ab==时，满足|ab|＜1，但|a|+|b|＝516＞2，所以必要性不成立；是充分不必要条件．故选：B．4．解：对于A：过点P且垂直于α的直线垂直于α

内的所有直线，则垂直于l，故A错；对于B：在β内作一直线l1垂直于l，由平面α⊥平面β，α∩β＝l，可得l1⊥α，从而有过点P且垂直于α的直线平行于l1，进而平行于β，故B正确；对于C，D，过点P且垂直于α的平面可以围绕过点P

且垂直于α的直线旋转，则过点P且垂直于α的平面与l不一定平行，与β也不一定平行，故C，D均错误．故选：B．5．解：根据选项可知a≤0a变动时，函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，∴2|b|＝16，b＝4

故选：B．6．解：等差数列{an}前n项和为Sn，且41814613828SadSad+==+，∴a1＝52d，则8116158288283251612010161202ddsaddSadd++===++，故选：D．7．解：根据题意，分3步进行分析：①先将一条奥

运宣传广告放在最后，有2种情况，②将3个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有336A=种情况，③另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种情况，则有2×3×6＝36种播放方式，故选：C．8．解：由z＝2|x|﹣y得y＝2|x|﹣z，画出y＝2|x|的折线图象，当该折线图像沿y轴向上平

移经过点B（0，1）时，﹣z取最大值为1；当该折线图像沿y轴向下平移经过点9,12C−时，﹣z取最小值为﹣10，即﹣10≤﹣z≤1，即﹣1≤z≤10，故选：A．9．解：连接AF2，BF2，则由对称性及AF1⊥BF1，得矩形

AF1BF1，故22212(2)AFAFc+=．由1122ceAFAF=+,2212ceAFAF=−，得2212112ee+=．令21(1)ette=，则2112tet+=，2121(8)18(8)2tteetet+++=+=．设2(8)1(

)2ttftt++=，由3228()021tfttt−==+，得t＝2，当1＜t＜2时，f′（t）＜0，函数是减函数，t＞2时，f′（t）＞0，函数是增函数，t＝2时，函数取得最小值，故min510()(2)

2ftf==，故选：C．10．解：设CD＝2BC＝2m．3()||||cos60||||cos60||2ACBDACBCCDACBCACCDmAC=+=+=．由于∠ACB+∠ACD＝180°，将侧面ACD沿AC展开到平面ABC，则三点B、C、D共线，又此三棱锥可

看成将△ACD沿直线AC翻折而成的，故不难得3||3mBDm．设异面直线AC与BD所成的角为θ，则||313cos,22||||2||ACBDmACBDBD==，即θ∈（30°，60°），故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空

题每题4分，共36分）11．7，5．解：人数是x，物价是y（钱），则由题意，得8374xyyx−=−=，解得753xy==，所以人数是7，物价是53钱．故答案为：7，53．12.1223+cm2，23cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面边长为2的为等边三角形，高

为2的三棱柱体；如图所示：所以该几何体的体积为：V＝1232232=，该几何体的表面积为：1S2232222222=+++＝12+23．故答案为：1223,23+．此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱．1

3．1；2304．解：设x﹣1＝t，则20121(1)1nnnnbxbtaatatat+=++=++++，由此得11229,36,nnabCabC====，解得1,9.bn==另一方面，等式两边对t求导，得112(1)2nnnbntaatnat−−+=+++，再

令t＝1，得181222922304nnaanabn−+++===．故答案为：1；2304．14．27125，122125．解：M中元素有53＝125个，这125个三位数（可重复数字）可分以下三类：①ξ＝0，即全有奇数字组成的三位数（可重复数字）有33＝27个；P（ξ＝0）＝2

7125，②ξ＝1即只有一个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有3×3×2×3+3×3×2+2＝74个，P（ξ＝1）＝74125，（注意不要遗漏形如252，344，222等三位数）；③ξ＝2即只有两个不

同的偶数字的三位数（可重复数字）有13333324CA++=个，P（ξ＝2）＝24125，（注意不要遗漏形如242，244等三位数）．所以ξ的分布列如下：ξ012P271257412524125所以7

424122()2125125125E=+=．故答案为：27125，122125．15．234−．解：由x2+xy＝1，得1yxx=−，所以，2222211234234234yxyxxxx−=+−−=−…，这里等号能成立．故答案为：234−．16．0

．解：由AOmABnAC=+，得22221||,21|,|2ABAOABmABACABACAOACmABACnAC==+==+又∠BAC＝60°，即有11,2211,22ccmbnbcmbn=+=+解得

2,332.33bmccnb=−=−101424233bcmncb=+=−+„，由取等号条件知b＝2c，从而10,2mn==．mn＝0．故答案为：0．17．15,152．解：由12OAOB=−，得∠AOB＝120°．设11222255xyxyh−

−=+表示两点A，B分别到直线x﹣2y＝0的距离之和．取直线x﹣2y＝0为x轴重新建立直角坐标系后，则h表示两点A，B分别到x轴的距离之和．在新的直角坐标系下，设A（cosθ，sinθ），B（cos（θ+120°），sin（θ+120°））

，则有h＝|sinθ|+|sin（θ+120°）|，由对称性，不妨设点B在x轴上或上方，即﹣120°≤θ≤60°．所以()()sinsin120,060sinsin120,00,12h++=−++−剟„①当

0°≤θ≤60°时，h＝sinθ+sin（θ+120°）＝sin（θ+60°），∵0°≤θ≤60°，∴60°≤θ+60°≤120°，∴sin（θ+60°）∈[32，1]，∴h∈[32，1]，②当﹣120°≤θ＜0°时，h＝﹣sinθ+sin（θ+120°）＝3cos（θ+60°），∵﹣120°

≤θ＜0°，∴﹣60°≤θ+60°＜60°，∴cos（θ+60°）∈[12，1]，∴h∈[32，3]，综上得332h剟，从而得112215225,152xyxyh−+−=．故答案为：15,152．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解

答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18．解：（I）由btanA＝（2c﹣b）tanB，及正弦定理，得sinsinsin(2sinsin)coscosABBCBAB=−，即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，即sin（A+B）＝2sinCcosA，所

以1cos2A=，A＝60°．（II）()(22cos,12cos(cos,cos)cos,cos1202CmnBBCBB−=−==−，可得()222cos?cos120mnBB−=+−所以，()()()2221cos24021cos212cosc

os1201sin230222BBmnBBB+−+−=+−=+=−−．由于0°＜B＜120°，得()1sin230,12B−−，所以252,22mn−．19．解：（I）设G是△PBC的垂心，则BG⊥PC，由AG⊥

平面PBC，得AG⊥PC，所以PC⊥平面ABG，即PC⊥AB，又由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，所以，AB⊥平面PAC，从而AB⊥AC，这与正三角形ABC矛盾．所以，G不可能是△PBC的垂心．（II）延长BG交PC于E，连AE，则E是PC中点．延长PG交BC于F，连AF，则F是BC中点，由

G恰是△PBC的重心，得PG＝2GF．不妨设AB＝2．正三角形ABC中，3AF=，BC⊥AF．由AG⊥平面PBC，可得AG⊥PF，AG⊥BE．由PA⊥平面ABC，得PA⊥AF．在RT△PAF中，由AF2＝FG⋅FP＝3FG2，得FG＝1，进而3,2,6PFAGPA===．从而2210PB

PCPAAB==+=，在△PBC中，由2（BE2+CE2）＝PB2+BC2，得322BE=．设BC与平面ABG所成的角为θ，点C到平面ABG的距离为h，则sinhBC=．由E是PC中点，可得12CABEPABCVV−−=，即有12

hAGBEPAAFBC=，所以1632223222h==，从而2sin,452==，即BC与平面ABG所成的角为45°．20．【解答】（I）解：由Sn+1＝3Sn+2（n∈N*），得Sn＝3Sn﹣1+2

（n≥2），两式相减，得an+1＝3an（n≥2）．由S2＝3S1+2＝a1+a2，S1＝a1＝2，得a2＝6＝3a1，所以，()*13nnaanN+=，即数列{an}是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有123nna−=．（II）证明：由（I）知31nnS=−，从而

122222322333133138331nnnnnnb−−−==+=+−−+−，所以，当n≥2时，212222133383343nnnb−−+=+剟，从而有11211112322211(1)1(1)1333213nnnbbb

nn−−+−+++−++−剟?；当n＝1时，不等式显然成立．综上，有12121332nbbbn+++−剟成立．21．解：（I）抛物线C：y2＝ax（a＞0）的准线方程为4ax=−

，所以点P到准线的距离为5242a+=，得a＝2．…………（II）设221212,,,22yyAyBy，并设AB方程为t（y﹣1）＝x﹣2，将x＝ty+2﹣t代入抛物线方程y2＝2x，得

y2﹣2ty+2t﹣4＝0，进而有y1+y2＝2t，y1y2＝2t﹣4．由于A，B异于坐标原点O，所以y1y2＝2t﹣4≠0，即t≠2．所以，()()()()21212121244222212121212144cos4

444yyyyyyyyAOByyyyyyyy++==++++＝2(2)(2)|2|5816tttttt−−−+，①当t（t﹣2）＞0，即t＞2或t＜0时，2221cos5816111644tAOBttt==−+−+，由t＞2或t＜0，得1110,0

2tt或，所以110cos,cos25AOBAOB且„；②当t（t﹣2）＝0（t≠2），即t＝0时，cos∠AOB＝0；③当t（t﹣2）＜0，即0＜t＜2时2221cos5816111644tAOBttt=−=−−+

−+，由0＜t＜2，得12t，所以1cos05AOB−；综上，cos∠AOB的取值范围5551,,5552−．22．解：（I）a≠0，x＞0，()(2)()xaxafxax−−+=，①当a＞

0时，当0＜x＜a时，f'（x）＞0；当x＞a时，f'（x）＜0．所以f（x）的增区间为（0，a]，减区间为[a，+∞），所以f（x）有极大值为f（a）＝alna+b，无极小值；②当a＜0时，当02ax−

时，f'（x）＞0；当x＞﹣2a时，f'（x）＜0．所以f（x）的增区间为0,2a−，减区间为,2a−+，所以f（x）有极大值为3aln224aafab−=−−+，无极小值．综上可知，当a＞0时，f（x）的极大值为f（a）＝alna+b，无

极小值；当a＜0时，f（x）的极大值为3aln224aafab−=−−+，无极小值．（II）若0＜a≤1，则由（I）知f（x）在[1，e]上单调递减，故要使得e≤af（x）≤e2+1对[1，e]

恒成立，只要存在实数b，使得2211(1)1()efbaaeefeaebaa+=−+=−++„…成立，即要2221eeeaebaa++−−−剟，从而只要2221eeeaeaa++−−−„，又0＜a≤1，解得271212eeea−−++剟．若1＜a＜e，则由小题（I）知f（

x）在[1，a]上单调递增，在[a，e]上单调递减，故要使得e≤af（x）≤e2+1对[1，e]恒成立，只要存在实数b，使得221()ln1(1)1()efaaabaefbaaeefeaebaa+=+=−+=−++„……成立，即要122211ln1lneebaaa

aeeeaebaaaa++−−++−−−剟剟，从而只要2222lnl1neaeaeaaeaaa−−−−−„„，即222ln0(*)(1ln)(1)10(**)eeaaaaaae−+−−+−+……由于1＜a＜e，可知e2﹣e+a﹣a2lna≥e2﹣e+a

﹣a2＝（e﹣a）（e+a﹣1）≥0成立，从而（*）式成立；由于1＜a＜e，可知（**）式显然成立．所以，当1＜a＜e时，符合题意．若a≥e，则由（I）知f（x）在[1，e]上递增，故要使得e≤af（x）≤e2+1对[

1，e]恒成立，只要存在实数b，使得221(1)11()efbaaeefeaebaa=−++=−++…„成立，即要21211eebaeaa++−−−剟，从而只要21211eeaeaa++−−−„，解得1﹣2e≤a≤e，又a≥e，所以a＝e；综上所述，a的

取值范围是27122eeeae−−++剟．