【文档说明】【精准解析】专题31等差数列及其前n项和-（文理通用）【高考】.docx，共(23)页，904.705 KB，由小赞的店铺上传

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专题31等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.基础知识融会贯通1．等差数列的定义一般地，如果一个

数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最

简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{

an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是

公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．5．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝n(a1＋an)2或Sn＝na1＋n(n－1)2d.6．等差数列的前n项和公

式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法

：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项

和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．重点难点突破【题型一】等差数列基本量的运算【典型例题】已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（）A．﹣5B．﹣11C．﹣12D．3【解答】解：∵{}是等差数列，且a1，a4

＝1，∴，即，解得d，∴9d，解得a10＝﹣11．故选：B．【再练一题】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为（）A．﹣2B．2C．4D．7【解答】解：∵a1＝3，S5＝35，∴5×335，解得d＝2．故选：B．思维升华等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．【题型

二】等差数列的判定与证明【典型例题】设数列{an}满足关系式：a1＝﹣1，an试证：（1）试求数列{an}的通项公式．（2）bn＝lg（an+9）是等差数列．（3）若数列{an}的第m项的值，试求m【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，an，∴，∴，令Tn＝an+9，则Tn是公比为的等比数列，，∴

，（2）∵bn＝lg（an+9），＝lg12+（lg2﹣lg3）n．由数列{bn}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2﹣lg3）的等差数列．（3）若数列数列{an}的第m项的值，化简得am＝（29﹣38）÷3612由an通

项公式可知，am＝a7，m＝7．【再练一题】已知数列{an}、{bn}满足：a1，an+bn＝1，bn+1．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；（3）设Sn＝a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒

成立．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴，∴，即an﹣an+1＝anan+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴Sn＝a1a2+a2a3+

…+anan+1．∴，要使4λSn＜bn恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）＝（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴nf（n）在[

1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）＝（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＝（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8＝4λ﹣15＜0∴，∴λ≤1时4λSn＜bn恒成立．综上知：λ≤1时，4λSn＜bn恒成立．思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(

2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{

an}为等差数列．【题型三】等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质【典型例题】．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）A．10B．12C．11D．﹣4【解答】解：等差数列{an}中

，a1+3a8+a15＝60，可得：5a8＝60，解得a8＝12，则a2﹣a8+a14＝a8＝12，故选：B．【再练一题】已知等差数列{an}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{an}的公差d≠0，且a2，a3，a9成

等比数列，∴a2•a9，∴（a1+d）（a1+8d），a1d≠0．则．故选：B．命题点2等差数列前n项和的性质【典型例题】已知等差数列{an}，a1＝﹣2018，前n项和为Sn，，则S2019＝（）A．0B．1C．2018D．

2019【解答】解：因为数列{an}为等差数列，所以，又因为，所以{}是为首项是﹣2018，公差为1的等差数列，所以2018+（2019﹣1）×1＝0，所以S2019＝0．故选：A．【再练一题】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使Sn取得最大值

时n的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，∴2a1+12d＝6，3a1+21d＝3，联立解得：a1＝15，d＝﹣2，∴an＝15﹣2（n﹣1）＝17﹣

2n．令an＝17﹣2n≥0，解得n≤8．则使Sn取得最大值时n的值为8．故选：D．思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数

列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.基础知识训练1．【西省太原市2019届高三上学期期末考试】已知数列{an}为等差数列，，若，则＝()A．−22019B．22020C．−22017

D．2201【答案】A【解析】数列为等差数列，且，则，又，则，，，同理，以此类推，又，所以。故答案选A。2．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知数列na为等差数列，nS为其前n项和，5632aaa+=+

，则7S=（）A．2B．7C．14D．28【答案】C【解析】5632aaa+=+44422adadad++=++−，解得：42a=()177477142aaSa+===本题正确选项：C3．【山西省晋城市2

019届高三第三次模拟考试】记等差数列{}na的前n项和为nS.若616a=，535S=，则{}na的公差为（）A．3B．2C．-2D．-3【答案】A【解析】由等差数列性质可知，155355352aaSa+===，解得37a=，故63363aad−==−.故选：A.4．【

内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】等差数列na中，1510aa+=，47a=，则数列na前6项和6S为（）A．18B．24C．36D．72【答案】C【解析】∵等差数列na中，1510aa+=，∴3210a=，即35a=，∴163465766636222aaaaS++

+====，故选C.5．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】记nS为等差数列na的前n项和，若11a=，34222SaS=+，则8a=（）A．8B．9C．16D．15【答案】D【解析】由题意，因为11a=，34222SaS=+

，即111322(3)2(3)22adadad+=+++，解得2d=，所以81717215aad=+=+=，故选D．6．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺

，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（）A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【解析】因为每一尺的重量构成等差数列

na，14a=，52a=，156aa+=，数列的前5项和为155553152aaS===+．即金锤共重15斤，故选D．7．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】等差数列{na}的前n项和为nS

，若82a=,798S=，则39aa+=()A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】因为等差数列{na}的前n项和为nS，且798S=，所以17747()7982aaSa+===，解得414a=；又82a=，所以394814216aaaa+=+=+=

.故选A8．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷)】已知等比数列na中，若12a=，且1324,,2aaa成等差数列，则5a=（）A．2B．2或32C．2或-32D．-1【答案

】B【解析】解：设等比数列na的公比为q（q0），1324,,2aaa成等差数列，321224aaa=+，10a，220qq−−=，解得：q=2q=-1或，451a=aq，5a=232或，故选B.9．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试

】等差数列{}na，等比数列nb，满足111ab==，53ab=，则9a能取到的最小整数是（）A．1−B．0C．2D．3【答案】B【解析】等差数列{}na的公差设为d，等比数列nb的公比设为q，0q，

由111ab==，53ab=，可得214dq+=，则2291812(1)211adqq=+=+−=−−，可得9a能取到的最小整数是0．故选：B．10．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知等差数列na的公差不为零，nS为其前n项和，39S=，且21a−，31a−，51a−构成等

比数列，则5S=（）A．15B．-15C．30D．25【答案】D【解析】解：设等差数列na的公差为()0dd，由题意，()()()1211133921141adadadad+=+−=+−+−，解得112ad==．∴5

54251252S=+=．故选：D．11．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试】在等差数列{}na中，3a，9a是方程224120xx++=的两根，则数列{}na的前11项和等于（）A．66B．132C．-66D．-132【答案】D【解析】因为3a，9a是方程224120

xx++=的两根，所以3924aa+=−，又396242aaa+=−=，所以612a=−，61111111211()13222aaaS+===−，故选：D.12．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最

后一模】已知公差d≠0的等差数列na满足a1＝1，且a2、a4－2、a6成等比数列，若正整数m、n满足m－n＝10，则am－an＝（）A．30B．20C．10D．5或40【答案】A【解析】解：设等差数列的公差为d，因为a2、a4－2、a6成等比数列，所以()242

6a2aa−=•，即()()()2111a3d2ada5d+−=+•+，即()()()23d11d15d−=+•+，解得0d=或3d=，因为公差d≠0，所以3d=，所以()()()mn11aaam1dan1dmnd10d30−=+−−−−=−==，故选

A.13．【天津市耀华中学2019届高三第二次月考】记nS为等差数列na的前n项和，若3243SSS=+，12a=，则5a=__________.【答案】10−【解析】∵3243SSS=+，∴()111333246adadad+=+++，整理，得132da=−，∴

3232d=−=−，∴()()5235110a=+−−=−.故答案为：10−.14．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】已知数列{}na满足11a=，11lglg2nnaa+=+，则9a=______．【答案】10000【解析】解：数列{}na满足11a=，11lglg

2nnaa+=+，可得11lg2nnaa+=，可得110nnaa+=，数列是等比数列，则89110000aq==.故答案为：10000．15．【2018-2019学年北京师大附中高三（下)月考】设数列n

a的前n项和为nS，121nnaan++=+，且2019nS=，若22a，则n的最大值为______．【答案】63【解析】由数列na的前n项和为nS，n1naa2n1++=+，又nn1aa2n1n2−+=−（），故n1n1aa2+−−

=，则na的偶数项成等差数列，则22naan=+−,（n为偶数）又12aa3+=，34aa7+=，2n12naa−+为等差数列，首项为3，公差为4，当n为偶数时，设数列nb的前n项和为nT，n2n12nbaa−=+可得，()2nn33n14T2n2n++−==+，*nN

则nS=2222nnT=+2,22nnn+=若2nS20192nn+==，无解舍去当n为奇数时，2n1111S2nnnnSa（）+++++=−=-(21)an+−=22420192nna++−=,又2a2，

所以2n40380,n+−解1161532−−<n116153,2−+又*nN则n的最大值为63，故答案为：63．16．【山东省济南市2019届高三3月模拟考试】已知一族双曲线22:2019nnExy−=（*nN，且2019n），设直线2x=与nE在第一象限内的交点

为nA，点nA在nE的两条渐近线上的射影分别为nB，nC.记nnnABC的面积为na，则1232019aaaa++++=__________.【答案】5052【解析】设()00,nAxy，双曲线22:2019nnExy−=的渐近

线为0,0xyxy+=−=，互相垂直.点()00,nAxy在两条渐近线上的射影为,nnBC，则0000,22nnnnxyxyABAC−+==易知nnnABC为直角三角形，220000001=242019422nnnABCxyxyxy

nS−+−==即20194nna=为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222aaS++==17．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷（新课标

I)】已知等比数列{}na的首项为2，等差数列nb的前n项和为nS，且126aa+=，1342bab+=，323Sa=.（1）求{}na，nb的通项公式；（2）设nnbca=，求数列{}nc的前n项和.【答案】（1）2,32nnnabn==−；（2）2(81)7nnT=−

.【解析】（1）设数列na的公比为q，数列nb的公差为d由12a=，126aa+=得：24a=2q=112nnnaaq−==.由1343223babSa+==得1112833312bbdbd+

=++=，解得：113bd==()1132nbbndn=+−=−（2）由（1）知2nna=，32nbn=−32321284nnnnbncaa−−====数列nc的前n项和()()81812814187nnnT−==−−18．【河南省八市重点高中联盟“领

军考试”2019届高三压轴】已知nS是等差数列na的前n项和，公差2d=−，且1a，3a，4a成等比数列.（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）设12nnTaaa=+++，求nT.【答案】（Ⅰ）102nan=−（Ⅱ）229,5940,5

nnnnTnnn−+=−+【解析】（Ⅰ）由题意得2314aaa=，得()()111232adaad=++，代入2d=−，解得18a=，所以数列na的通项公式为102nan=−.（Ⅱ）因为102nan=

−，可知50a=，当5n时，0na；当5n时，0na.所以当5n时，29nnTSnn==−+，当5n时，()125652nnnTaaaaaSS=+++−++=−+2940nn=−+.综上，229,5940,5nnnnTnnn−+=−+.19

．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)】在等差数列{}na中，已知132412,18aaaa+=+=,nN.（I）求数列{}na的通项公式；（II）求3693...naaaa++++.【答案】（Ⅰ）3nan=（Ⅱ）29()2nn+【解析】（I）因为{}na是等差数列，1

32412,18aaaa+=+=,所以112212,2418.adad+=+=解得13,3da==.则3(1)33nann=+−=,nN.（II）3693,,,...,naaaa构成首项为3=9a,公差为9的等差数列.

则36931...=9(1)92naaaannn+++++−29=()2nn+20．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（5月三模)考试】已知数列{}na是以3为首项，(0)dd为公差的等差数列，且2a，35，4a成等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）

设2nnnba=−，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）21nan=+；（2）12222nnSnn+=−+++【解析】（1）因为2a，35，4a成等比数列，所以2445aa=，即()()11345adad++=.因为13a=，所以(3)

(1)15dd++=，即24120dd+−=，所以2d=或-6（舍去），所以21nan=+.（2）由（1）知，(21)2nnbn=+−，所以12nnSbbb=+++()35(21)242nn=++++−+++()212321212nnn−++=−−()1(2)22nnn+=+

−−12222nnn+=−+++.21．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模)】已知等差数列{}na的公差是1，且1a，3a，9a成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}2nnaa的前n项和nT．【答案】（1）nan=；（

2）222nnnT+=−.【解析】（1）因为{}na是公差为1的等差数列，且1a，3a，9a成等比数列，所以2319aaa=，即2111(2)(8)aaa+=+，解得11a=.所以1(1)naandn=+−=.（2）12311111232222nnTn=++++

，2311111112(1)22222nnnTnn+=+++−+，两式相减得1231111111222222nnnTn+=++++−

，所以111111112211222212nnnnnnTn+++−=−=−−−.所以222nnnT+=−.22．【2019年北京市高考】设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a

3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）212nan=−；（Ⅱ）30−.【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，因为234+10+8+6aaa，，成等比数列，所以2324(+8)(+10)(+6)

aaa=，即2(22)(34)ddd−=−，解得2d=，所以102(1)212nann=−+−=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）知212nan=−,所以22102121112111()224nnSnnnn−+−==−=−−；当5n=或者6n=时，nS取到最

小值30−.能力提升训练1．【福建省龙岩市2019年5月高中毕业班教学质量检查（漳州三模)】在等差数列na中，157913100aaaaa++++=，6212aa−=，则1a=（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为157913100aaaaa+

+++=，所以75100a=，即720a=，设等差数列na的公差为d，又6212aa−=，所以412d=，故3d=，所以17620182aad=−=−=故选B．2．【安徽省1号卷�A10联盟2019届高考最后一卷】等差数列na的前n项和为nS，若2

163S=，则31119aaa++=（）A．12B．9C．6D．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163Sa==，解得：113a=311191139aaaa++==本题正确选项：B3．【2019年甘

肃省兰州市高考数学一诊】朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，

10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（）A．50B．55C．100D．110【答案】B【解析】由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为

1+2+3+…+10=12×10×11=55．故选：B．4．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知nS是等差数列na的前n项和，若1234aaa++=，610S=，则3a=（）A．149B．169C．209D．73【答案】

A【解析】设等差数列na的公差为d.由题意得123161334,65610,2aaaadSad++=+==+=解得110,92.9ad==所以311429aad=+=.故选A.5．【江西省新八

校2019届高三第二次联考】设等差数列na的前n项和为nS，已知()()201920212017201720171201912000aaa−++−=，()()20192021202020202020-1+201912038aaa+−=，则4036S=（）

A．2019B．2020C．2021D．4036【答案】D【解析】由()()201920212017201720171201912000aaa−++−=得：()()()20192021201720172017120191119aaa−+−+−=−……①由()(

)201920212020202020201201912038aaa−++−=得：()()()20192021202020202020120191119aaa−+−+−=……②令20192021()2019fxxxx=++则①式即为：()2017119fa−=−，

②式即为：()2020119fa−=又()()0fxfx−+=，即()fx奇函数则：()()20172020110aa−+−=，即：201720202aa+=()()40361403620012072201820184036Saaaa=+=+=本题正确选项：D6．【江苏省扬州

中学2019届高三4月考试】数列na是等差数列，11a=,公差1,2d,且4101615aaa++=，则实数的最大值为______.【答案】12−【解析】41016111153(9)1515aaaadadad++=+++++=,15()219fd

d==−+，因为1,2d，所以令19,[10,19]tdt=+，因此15()2ftt==−，当[10,19]t，函数()ft=是减函数，故当10t=时，实数有最大值，最大值为1(10)2f=−.7．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】平

均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________．【答案】1.【解析】设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2019+a＝1010×2解得a＝1故答案为：18．【北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学】设nS为等差数列na的前n

项和，14a=，6812aa+=，则7S=____.【答案】35【解析】由等差数列的性质，得：687212aaa+==，所以，76a=，1777()7(46)3522aaS++===9．【河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测】已知等差数列中，，则

________.【答案】13【解析】由得，解得，故，故答案为13.10．【北京市丰台区2019届高三年级第二学期综合练习（二)】已知等差数列na的前n项和为nS，能够说明“若数列na是递减数列，则数列nS是递减数列”是假命题的数列na的一个通项公式为____．【答案】2

5nan=−+（答案不唯一）.【解析】如25nan=−+，公差为d＝－2，前5项为：3，1，－1，－3，－5，S1＝3S2＝4，S3＝3S4＝0，这不是一个递减数列。故答案为25nan=−+获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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