【文档说明】福建省漳州市2021届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题 PDF版含答案.pdf，共(11)页，495.700 KB，由小赞的店铺上传

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准考证号姓名(在此卷上答题无效)漳州市２０２１届高三毕业班第二次教学质量检测数学试题本试卷共５页ꎮ满分１５０分ꎮ考生注意:１􀆰答题前ꎬ考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名ꎮ考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓

名是否一致ꎮ２􀆰回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎮ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其它答案标号ꎮ回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ写在本试卷上无效ꎮ３􀆰考试

结束ꎬ考生必须将试题卷和答题卡一并交回ꎮ一、单项选择题:本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.UAB１.设全集Ｕ＝Ｒꎬ若集合Ａ＝ｘ｜０≤ｘ≤２{}ꎬＢ＝ｘ｜ｙ＝ｘ－１{}ꎬ则如图所示的阴影部分表

示的集合为Ａ.(－¥ꎬ０)Ｂ.[１ꎬ２]Ｃ.１ꎬ＋¥[)Ｄ.(２ꎬ＋¥)２.若(３＋ｉ)(２＋ｘｉ)＝ｙꎬ其中ｘꎬｙ∈Ｒꎬ则复数ｘ＋ｙｉ在复平面内对应的点位于Ａ.第一象限Ｂ.第二象限Ｃ.第三象限Ｄ.第四象

限３.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图ꎬ有着广大宽阔的直线ꎬ看起来就像机场跑道一样ꎬ描绘的大多是动植物ꎬ位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上ꎬ是存在了２０００年的谜局:究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造ꎬ至今仍无人能解ꎬ因此被列入“十大谜团”.在这些图案中ꎬ最清晰的图案之

一是一只身长５０米的大蜘蛛(如图)ꎬ据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见ꎬ只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为３０°的摄像头(注:当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时ꎬ该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄ꎬ使得整个蜘蛛

图案落在边长为５０米的正方形区域内ꎬ则该摄像头距地面的高度的最小值是Ａ.５０米Ｂ.２５(２２＋６)米Ｃ.５０(２＋３)米Ｄ.５０(２２＋６)米数学第二次教学质量检测第１页(共５页)４.函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎ｜ｘ｜＋ｓｉｎｘ的部

分图象大致为ABCDOOOOxyxyxyxy５.已知实数ｘꎬｙ满足ｘ２＋３ｙ２＝３ꎬ则ｘ＋ｙ的最大值为Ａ.１Ｂ.３Ｃ.２Ｄ.４６.某校甲、乙、丙三位同学报名参加ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四所高校的强基计划考试ꎬ每所高校报名人数不限ꎬ因为四所高校的考试时

间相同ꎬ所以甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校ꎬ则恰有两人报考同一所高校的概率为Ａ.１４Ｂ.９３２Ｃ.４９Ｄ.９１６７.已知直角梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ∥ＤＣꎬ∠ＡＢＣ＝９０°ꎬＰ是边ＢＣ上一点(不包括Ｂ、Ｃ两点).若｜ＡＢ→｜＝２ꎬ｜ＢＣ→｜＝４ꎬ且｜Ｃ

Ｄ→｜＝｜ＡＢ→｜＋｜ＢＰ→｜ꎬ则ＰＡ→􀅰ＰＤ→的最小值为Ａ.０Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４８.已知函数ｆ(ｘ)＝４ｅｘ＋１ꎬ则下列结论错误的是Ａ.函数ｆ(ｘ)的值域为(０ꎬ４)Ｂ.函数ｆ(ｘ)的图象关于点(０ꎬ２)对称Ｃ.函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－｜ｘ

｜有且只有２个零点Ｄ.曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的切线斜率的最大值为－１二、多项选择题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分.９.设△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ若ａ＝２２ꎬｂ＝２ꎬ则角

Ｂ可以是Ａ.１５°Ｂ.３０°Ｃ.４５°Ｄ.７５°数学第二次教学质量检测第２页(共５页)１０.在第一次全市高三年级统考后ꎬ某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况ꎬ将全班５０名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于６５分到１４５分之间(满分１５０分

)ꎬ将数学成绩按如下方式分成八组:第一组[６５ꎬ７５)ꎬ第二组[７５ꎬ８５)ꎬ􀆺ꎬ第八组[１３５ꎬ１４５]ꎬ按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分ꎬ如图所示ꎬ则下列结论正确的是Ａ.第七组的频率为０􀆰００８Ｂ.该班级数学成绩的中位数的估计值为１０１分Ｃ.该班级数学成绩的平均分的估计值大于９

５分Ｄ.该班级数学成绩的方差的估计值大于２６１１.已知正三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＡ１＝１ꎬＭ为ＡＢ的中点ꎬ点Ｐ在线段ＢＣ１上ꎬ则下列结论正确的是Ａ.直线ＢＣ１∥平面Ａ１ＭＣＢ.Ａ和Ｐ到平面Ａ１ＭＣ的距离相等Ｃ.存在点Ｐꎬ使得ＡＰ⊥平面Ａ１ＭＣＤ.存在点Ｐꎬ使得ＡＰ⊥Ａ１

Ｃ１２.已知Ｆ为抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点ꎬＫ为Ｃ的准线与ｘ轴的交点ꎬ点Ｐ在抛物线Ｃ上ꎬ设∠ＫＰＦ＝αꎬ∠ＰＫＦ＝βꎬ∠ＰＦＫ＝θꎬ则下列结论正确的是Ａ.抛物线Ｃ在点(ｐ２ꎬｐ)处的切线过点ＫＢ.β的最大值为π３Ｃ.ｔａｎβ＝ｓｉｎθＤ.存在点Ｐꎬ使得α＝３２

β三、填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.写出一个离心率为２的双曲线方程:.１４.已知(ｘ＋１)６＝ａ０＋ａ１(ｘ－１)＋ａ２(ｘ－１)２＋􀆺＋ａ６(ｘ－１)６ꎬ则ａ４＝.１５.已知ω>０ꎬφ>０ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ｃｏｓ(３ｘ＋π３)＋１的图象向右平移φ个单位得到ｇ(ｘ)的

图象ꎬ若函数ｇ(ｘ)与函数ｈ(ｘ)＝４ｓｉｎ(ωｘ－π６)的极值点完全相同ꎬ则ω＝ꎬφ的最小值为.(第一空２分ꎬ第二空３分)１６.已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为４ꎬ点Ｐ在平面Ａ１ＢＣＤ１内ꎬ且ＰＡ＝

３ＰＢꎬ则点Ｐ的轨迹的长度为.数学第二次教学质量检测第３页(共５页)四、解答题:本题共６小题ꎬ共７０分ꎮ解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤ꎮ１７.(１０分)已知数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且满足ａ１＝１ꎬＳｎ＋１－３Ｓｎ＝１.

(１)求ａｎ{}的通项公式ꎻ(２)若ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ＋１ꎬ求数列１ｂｎ􀅰ｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.(１２分)已知△ＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且满足２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ

－ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ２Ｃ.(１)求角Ａꎻ(２)设点Ｄ在边ＢＣ上ꎬ且ＡＤ＝２ꎬ证明:若ꎬ则ｂ＋ｃ存在最大值或最小值.请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上ꎬ并证明.

①ＡＤ是△ＡＢＣ的中线ꎻ②ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线.１９.(１２分)如图ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ侧面ＰＡＢ⊥底面ＡＢＣＤꎬ底面ＡＢＣＤ是直角梯形ꎬＡＤ∥ＢＣꎬＡＢ⊥ＢＣꎬ∠ＰＡＢ＝１２０°ꎬＰＡ＝ＡＤ＝ＡＢ＝１ꎬＢＣ＝２.(１)证明:平面Ｐ

ＢＣ⊥平面ＰＡＢꎻ(２)在线段ＰＢ上是否存在点Ｍꎬ使得直线ＡＭ与平面ＰＢＤ所成角的正弦值为１５５?若存在ꎬ求出线段ＰＭ的长度ꎻ若不存在ꎬ请说明理由.PADCMB数学第二次教学质量检测第４页(共５页)２０.(１２分)已知左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２的椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０(

)过点(２ꎬ３)ꎬ以Ｆ１Ｆ２为直径的圆过Ｃ的下顶点Ａ.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若过点Ｐ(０ꎬ１)的直线ｌ与椭圆Ｃ相交于ＭꎬＮ两点ꎬ且直线ＡＭ、ＡＮ的斜率分别为ｋ１、ｋ２ꎬ证明:ｋ１􀅰ｋ２为定值.２１.(１２分)某种玩具启动后ꎬ该玩具上的ＬＥＤ灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)ꎬ

第１次亮灯时ꎬ亮起红灯的概率为Ｐ１ꎬ亮起绿灯的概率为１－Ｐ１.若第ｎ次亮起的是红灯ꎬ则第ｎ＋１次亮起红灯的概率为１３ꎬ亮起绿灯的概率为２３ꎻ若第ｎ次亮起的是绿灯ꎬ则第ｎ＋１次亮起红灯的概率为２３ꎬ亮起绿灯的概率为１３.记第ｎ次亮灯时ꎬ亮起红灯的概率为Ｐｎꎬｎ∈Ｎ∗.该玩具启

动前可输入Ｐ１ꎬ玩具启动后ꎬ当１０１０２０２１<Ｐｎ<１２且第ｎ次亮起红灯时ꎬ该玩具会唱一首歌曲ꎬ否则不唱歌.(１)若输入Ｐ１＝１２ꎬ记该玩具启动后ꎬ前３次亮灯中亮起红灯的次数为Ｘꎬ求Ｘ的分布列和期望ꎻ(

２)若输入Ｐ１＝１３ꎬ(ⅰ)求数列Ｐｎ{}的通项公式ꎻ(ⅱ)该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ该玩具最多唱几次歌?２２.(１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝１ｘ＋ｂｌｎｘ－ａꎬｇ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋ｌｎｘ－ａꎬｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ).(１)求ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(２)若ｂ＝１ꎬ且ｆ(ｘ

)有两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ证明:ｈ(ｘ)有唯一零点(记为ｘ０)ꎬ且ｘ１＋ｘ２>２ｘ０.数学第二次教学质量检测第５页(共５页)漳州市２０２１届高三毕业班第二次教学质量检测数学参考答案及评分细则评分说明:１.本解答给出了一种或几种解法供参考ꎬ如果考生的解法与本解答不同ꎬ可根

据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则ꎮ２.对计算题ꎬ当考生的解答在某一步出现错误时ꎬ如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度ꎬ可视影响的程度决定后继部分的给分ꎬ但不得超过该部分正确解答应给分数的一半ꎻ如果后继部分的解答有较严重的错误

ꎬ就不再给分ꎮ３.解答右端所注分数ꎬ表示考生正确做到这一步应得的累加分数ꎮ４.只给整数分数ꎮ选择题和填空题不给中间分ꎮ一、单项选择题:本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目

要求的.１.Ｄ２.Ｂ３.Ｂ４.Ａ５.Ｃ６.Ｄ７.Ｃ８.Ｄ二、多项选择题:本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多个选项符合题目要求ꎬ全部选对的得５分ꎬ选对但不全的得２分ꎬ有选错的得０分.

９.ＡＢ１０.ＢＣＤ１１.ＡＢ１２.ＡＣＤ三、填空题:本大题共４题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.ｘ２－ｙ２３＝１(答案不唯一)１４.６０１５.３ꎬπ３１６.３４２π四、解答题:本大题共６小题ꎬ共７０分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤

.１７.解:(１)因为Ｓｎ＋１－３Ｓｎ＝１ꎬ所以当ｎ＝１时ꎬＳ２－３Ｓ１＝ａ１＋ａ２－３ａ１＝１ꎬ又ａ１＝１ꎬ所以ａ２＝３.１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺因为Ｓｎ＋１－３Ｓ

ｎ＝１ꎬ所以当ｎ≥２时ꎬＳｎ－３Ｓｎ－１＝１ꎬ两式相减得:ａｎ＋１－３ａｎ＝０ꎬ所以ａｎ＋１＝３ａｎꎬｎ≥２ꎬ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ａ２＝３ａ１ꎬ所以ａｎ＋１＝３ａｎꎬｎ∈Ｎ∗ꎬ４分􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以数列ａｎ{}是以１为首项ꎬ以３为公比的等比数列ꎬ所以ａｎ＝３ｎ－１.５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第二次教学质量检测参考答

案第１页(共６页)(２)由(１)得ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ＋１＝ｌｏｇ３３ｎ－１＋１＝ｎꎬ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以１ｂｎ􀅰ｂｎ＋１＝１ｎ(ｎ＋１)＝１ｎ－１ｎ＋１ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以Ｔｎ＝(１－１２)＋(１２－１３)＋􀆺＋(１ｎ－１ｎ＋１)＝１－１ｎ＋１＝ｎｎ＋１.１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺１８.解:(１)因为２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ－

ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－ｃｏｓ２Ｃꎬ所以２ｓｉｎ２Ａ－２ｓｉｎ２Ｂ－ｓｉｎ２Ｃ－２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｃｏｓ２Ｃ－(ｃｏｓ２Ｃ－ｓｉｎ２Ｃ)＝ｓｉｎ２Ｃꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ－ｓｉｎ２Ａ＝－ｓｉｎＢｓｉｎＣꎬ所以由正弦定理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃꎬ３分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所

以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝－ｂｃ２ｂｃ＝－１２ꎬ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺因为Ａ∈(０ꎬπ)ꎬ所以Ａ＝２π３.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)若选择①ꎬ则ＡＤ→＝１２(ＡＢ→＋ＡＣ→)ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ＡＤ→２＝１４(ＡＢ→２＋２ＡＢ→􀅰ＡＣ→＋ＡＣ→２)ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺�

�􀆺因为ＡＤ＝２ꎬ所以４＝１４[ｃ２＋２ｃｂ􀅰(－１２)＋ｂ２]ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以１６＝(ｂ＋ｃ)２－３ｂｃ≥(ｂ＋ｃ)２－３􀅰(ｂ＋ｃ２)２＝(ｂ＋ｃ)２４ꎬ即(ｂ＋ｃ)２≤６４ꎬ所以ｂ＋ｃ≤８ꎬ１１分􀆺􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当且仅当ｂ＝ｃ＝４时ꎬ(ｂ＋ｃ)ｍａｘ＝８.所以ｂ＋ｃ存在最大值ꎬ所以原命题成立.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺若选择②ꎬ则∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝１２Ａ＝π３ꎬ因为Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＡＢＣꎬ７分􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以１２ＡＢ􀅰ＡＤ􀅰ｓｉｎπ３＋１２ＡＤ􀅰ＡＣ􀅰ｓｉｎπ３＝１２ＡＢ􀅰ＡＣ􀅰ｓｉｎ２π３ꎬ８分􀆺􀆺因为ＡＤ＝２ꎬ所以１２

ｃ􀅰２􀅰３２＋１２􀅰２􀅰ｂ􀅰３２＝１２ｃ􀅰ｂ􀅰３２ꎬ所以２ｃ＋２ｂ＝ｂｃꎬ所以１ｂ＋１ｃ＝１２ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ｂ＋ｃ＝２(ｂ＋ｃ)(１ｂ＋１ｃ)＝２(１＋ｂｃ＋ｃｂ＋１)≥２(２＋２ｂｃ􀅰ｃｂ)＝８ꎬ１１分􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺当且仅当ｂ＝ｃ＝４时ꎬ(ｂ＋ｃ)ｍｉｎ＝８.数学第二次教学质量检测参考答案第２页(共６页)所以ｂ＋ｃ存在最小值ꎬ所以原命题成立.１２分

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺１９.(１)证明:因为平面ＰＡＢ⊥底面ＡＢＣＤꎬ且平面ＰＡＢ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＢꎬＢＣ⊥ＡＢꎬＢＣ⊂平面ＡＢＣＤꎬ所以ＢＣ⊥平面ＡＢＰꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ＢＣ⊂平面ＰＢＣꎬ所以平面ＰＢＣ⊥平面ＰＡＢ.４分􀆺�

�􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)解:在平面ＰＡＢ内ꎬ过点Ａ作ＡＥ⊥ＡＢ交ＰＢ于点Ｅꎬ则可知ＡＥ⊥平面ＡＢＣＤ.以Ａ为坐标原点ꎬ分别以ＡＢ→ꎬＡＤ→ꎬＡＥ→方向为ｘꎬｙꎬｚ轴的正方向ꎬ建立空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚꎬ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺则由∠ＰＡＢ＝１２０°ꎬＰＡ＝ＡＤ＝ＡＢ＝１ꎬＢＣ＝２ꎬ可得Ｐ(－１２ꎬ０ꎬ３２)ꎬＢ(１ꎬ０ꎬ０)ꎬＣ(１ꎬ２ꎬ０)ꎬＤ(０ꎬ１ꎬ０)ꎬPAMEBDC则

ＤＰ→＝(－１２ꎬ－１ꎬ３２)ꎬＤＢ→＝１ꎬ－１ꎬ０()ꎬＰＢ→＝(３２ꎬ０ꎬ－３２)ꎬ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺设ｎ→＝ｘꎬｙꎬｚ()为平面ＰＢＤ的法向量ꎬ则有ｎ→􀅰ＤＰ→＝０ｎ→􀅰ＤＢ→＝０{ꎬ即－１２ｘ－ｙ＋３２

ｚ＝０ｘ－ｙ＝０ìîíïïïïꎬ取ｎ→＝(１ꎬ１ꎬ３)ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺设ＰＭ→＝λＰＢ→(０≤λ≤１)ꎬ则ＡＭ→＝ＡＰ→＋ＰＭ→＝(３λ－１２ꎬ０ꎬ３(１－λ)２)ꎬ若直线ＡＭ与平面ＰＢＤ所成角的正弦

值为１５５ꎬ则｜ｃｏｓ<ＡＭ→ꎬｎ→>｜＝｜ＡＭ→􀅰ｎ→｜｜ＡＭ→｜｜ｎ→｜＝１３λ２－３λ＋１􀅰５＝１５５ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺解得λ＝１３或λ＝２３ꎬ１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺故存

在点Ｍ满足题意ꎬ此时ＰＭ＝３３或ＰＭ＝２３３.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺２０.解:(１)因为以Ｆ１Ｆ２为直径的圆过点Ａ(０ꎬ－ｂ)ꎬ所以ｂ＝ｃꎬ１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以ａ＝ｂ２

＋ｃ２＝２ｂꎬ２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以Ｃ:ｘ２２ｂ２＋ｙ２ｂ２＝１ꎬ因为Ｃ过点(２ꎬ３)ꎬ所以２２ｂ２＋３ｂ２＝１ꎬ数学第二次教学质量检测参考答案第３页(共６页)解得ｂ＝２ꎬａ＝２２ꎬ４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以椭圆Ｃ的方程为ｘ２８＋ｙ２４＝１.５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)由题意ꎬ可设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１ꎬＭｘ１ꎬｙ１()ꎬＮｘ２ꎬｙ２()ꎬ由

方程组ｘ２８＋ｙ２４＝１ｙ＝ｋｘ＋１ìîíïïïïꎬ消去ｙ得１＋２ｋ２()ｘ２＋４ｋｘ－６＝０.６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺于是ｘ１＋ｘ２＝－４ｋ１＋２ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－６１＋２ｋ２ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺因为

Ａ０ꎬ－２()ꎬ所以ｋ１＝ｙ１＋２ｘ１ꎬｋ２＝ｙ２＋２ｘ２ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺于是ｋ１􀅰ｋ２＝ｙ１＋２()ｙ２＋２()ｘ１ｘ２＝ｋｘ１＋３()ｋｘ２＋３()ｘ１ｘ２＝ｋ２ｘ１ｘ２＋３ｋｘ１＋ｘ２()＋９ｘ１ｘ２＝ｋ２＋２ｋ２－９(１＋２ｋ２)６＝－３２为定值.１２分􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺２１.解:(１)由题意ꎬ得Ｘ的所有取值为０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ因为Ｘ＝０表示前３次亮灯的颜色为“绿绿绿”ꎬ所以Ｐ(Ｘ＝０)＝１２×１３×１３＝１１８.因为Ｘ＝１表示前３次亮灯的颜色为“红绿绿”或“绿红绿”或“绿绿红”ꎬ所以Ｐ

(Ｘ＝１)＝１２×２３×１３＋１２×２３×２３＋１２×１３×２３＝４９.因为Ｘ＝２表示前３次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”ꎬ所以Ｐ(Ｘ＝２)＝１２×１３×２３＋１２×２３×２３＋１２×２３×１３＝４９.因为Ｘ＝３表示前３

次亮灯的颜色为“红红红”ꎬ所以Ｐ(Ｘ＝３)＝１２×１３×１３＝１１８.所以Ｘ的分布列为Ｘ０１２３ｐ１１８４９４９１１８４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以Ｅ(Ｘ)＝０×１１８＋１×４９＋２×４９＋３×１１８＝３２.５分􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)(ⅰ)由题意ꎬ得Ｐｎ＋１＝Ｐｎ×１３＋(１－Ｐｎ)×２３＝－１３Ｐｎ＋２３ꎬ６分􀆺􀆺􀆺所以Ｐｎ＋１－１２＝－１３(Ｐｎ－１２)ꎬ７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第二次教学质量检测参考答案第４页(共６页)因为Ｐ１＝１３ꎬ所以Ｐ１－１２＝－１６≠０ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以{Ｐｎ－１２}是首项为－１６ꎬ公比为－１３的等比数列ꎬ所以Ｐｎ－１２＝－１６×(－１３)ｎ－１ꎬ所以Ｐｎ＝１２＋１

２×(－１３)ｎ.９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(ⅱ)由Ｐｎ＝１２＋１２×(－１３)ｎ<１２ꎬ得１２×(－１３)ｎ<０ꎬ又ｎ∈Ｎ∗ꎬ所以ｎ为正奇数ꎬ由Ｐｎ＝１２＋１２×(－１３)ｎ>１

０１０２０２１ꎬ得(－１３)ｎ>－１２０２１ꎬ当ｎ为奇数时ꎬ１３ｎ<１２０２１ꎬ３ｎ>２０２１ꎬ所以ｎ≥７ꎬ１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ当ｎ＝７ꎬ９ꎬ１１ꎬ１３ꎬ１５ꎬ１７ꎬ１９时ꎬ该玩具可能唱歌ꎬ所以该玩具启动后ꎬ在前２０次亮灯中ꎬ该玩具最多唱７次歌.１２分

􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺２２.解:(１)ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋¥)ꎬｆ′(ｘ)＝－１ｘ２＋ｂｘ＝－１＋ｂｘｘ２１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺①若ｂ≤０ꎬ则ｆ′(ｘ

)<０ꎬ所以ｆ(ｘ)的递减区间为(０ꎬ＋¥)ꎬ无递增区间.２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺②若ｂ>０ꎬ则由ｆ′(ｘ)<０ꎬ得０<ｘ<１

ｂꎬ由ｆ′(ｘ)>０ꎬ得ｘ>１ｂꎬ所以ｆ(ｘ)的递减区间为(０ꎬ１ｂ)ꎬ递增区间为(１ｂꎬ＋¥).４分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺(２)因为ｂ＝１ꎬ所以由(１)知ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上递减ꎬ在(１ꎬ＋¥)上递增ꎬ因为ｆ(ｘ)

有两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ不妨设ｘ１<ｘ２ꎬ所以０<ｘ１<１<ｘ２ꎬ且ｆ(１)＝１－ａ<０ꎬ所以ａ>１ꎬ５分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又ｈ(ｘ)＝１ｘ－ａｅｘ－１ꎬｘ>０ꎬ因为当ｘ>０时ꎬｈ′(ｘ

)＝－１ｘ２－ａｅｘ－１<０ꎬ所以ｈ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上是减函数ꎬ６分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺又因为ｈ(１ａ)＝ａ－ａｅ１ａ－１＝ａ(１－ｅ１ａ－１)>０ꎬｈ(１)＝１－ａ<０ꎬｈ(ｘ)的图象数学第二次教学质量检测参考答案第５页(共６页)连续不断ꎬ所以ｈ

(ｘ)有唯一零点ｘ０ꎬ且１ａ<ｘ０<１.７分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以２ｘ０<２ꎬ要证明ｘ１＋ｘ２>２ｘ０ꎬ只需证明ｘ１＋ｘ２>２ꎬ８分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺只需

证明ｘ２>２－ｘ１ꎬ因为ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上递增ꎬｘ２ꎬ２－ｘ１∈(１ꎬ＋¥)ꎬ所以只需证明ｆ(ｘ２)>ｆ(２－ｘ１)ꎬ９分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺因为ｆ(ｘ１)＝ｆ(ｘ２)＝０ꎬ所以只需证明ｆ(ｘ１)>ｆ(

２－ｘ１)ꎬ只需证明ｆ(ｘ１)－ｆ(２－ｘ１)>０ꎬ令φ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(２－ｘ)ꎬ只需证明φ(ｘ１)>０＝φ(１)ꎬ只需证明φ(ｘ)在(０ꎬ１)上递减ꎬ１０分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺

􀆺􀆺因为ｆ′(ｘ)＝ｘ－１ｘ２ꎬ所以当０<ｘ<１时ꎬφ′(ｘ)＝ｆ′(ｘ)＋ｆ′(２－ｘ)＝－４(ｘ－１)２ｘ２(ｘ－２)２<０ꎬ１１分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺所以φ(ｘ

)在(０ꎬ１)上递减ꎬ所以ｘ１＋ｘ２>２ｘ０.１２分􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺数学第二次教学质量检测参考答案第６页(共６页)