【文档说明】基本不等式、线性规划、一元二次不等式讲义-2023届高三数学一轮专题复习含解析.docx，共(19)页，1.138 MB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ba739ef7e555be848cf9a1a096d1a058.html

以下为本文档部分文字说明：

1基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习【高考展望】纵观历年高考，基本不等式、线性规划都是高考的高频考点，尤其是最近几年，线性规划几乎是每年必考的内容，无论是普通的线性规划题，还是含参数的线性规划题，都是非常容易得分的内容；基本不等式在最近几年也是频频出现在高考中，试

题难度一般较易或中等；一元二次不等式虽然较少单独在高考中考查，但也常常出现在高考某些题的解题步骤中。因此，这三部分内容在高考中起着举足轻重的作用。本节课概括了基本不等式、线性规划、一元二次不等式的所有知识和方法，并且通过一系列历年高考题对这些方法进行有针对性的训练，从而使学生能够较快地掌握这些内

容。不等关系与不等式一、不等式的基本性质：①不等式两边都加上一个数，所得不等式与原不等式同向：abacbc++；②不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变：,0abcacbc，,0abcacbc；③同向不等式相加，不等号方向

不变：,abcdacbd++；④两边都是正数的同向不等式相乘，不等号方向不变：0,0abcdacbd；二、比较大小有三种方法：作差法、作商法、平方法。一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法：Ⅰ、当0a时，2①求一元二次不等式所对应的一元二次方程的根；②写解集，大

于取两边，小于取中间.Ⅱ、当0a时，①先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式；②求一元二次不等式所对应的一元二次方程的根；③写解集，大于取两边，小于取中间.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、解决线性规划问题的步骤：1、画图，作出可行域；2、变形，将目标函数变形；3、

定解：将初始直线在可行域内平移，从而确定最优解；4、结论：将最优解代入目标函数，从而确定最值。二、线性规划中常见代数式的几何意义：（1）22yx+表示点),(yx与原点)0,0(之间的距离；（2）22)

()(byax−+−表示点),(yx与点),(ba之间的距离；（3）xy表示点),(yx与原点)0,0(连线的斜率；（4）axby−−表示点),(yx与点),(ba连线的斜率。注意：利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题。基本不等式基本不等式的常见结论：（

1）222abab+（,abR），当且仅当ab=时，等号成立；（2）2abab+（,0ab），当且仅当ab=时，等号成立；（3）2baab+（,ab同号，ab=时取等号。）（4）2()2abab+（

,abR），当且仅当ab=时，等号成立。注意：利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可。3基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习不等关系与不等式1．若0ab，0cd，则一定有（）A、abdcB、abdc

C、abcdD、abcd2．如果,,abc满足cba且0ac，那么下列选项中不一定成立的是（）A．abacB．()0cba−C．22cbabD．()0acac−3．给出下列命题：①若ab，则22acbc；②若ab，则11ab；③若a，b是非零实数，且ab，则221

1abab；④若0ab，则22aabb，其中正确的命题是.4．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色

涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．B．C．D．5．设()2sin17cos172a=+，22cos131b=−，23=c，则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.acbC.cbaD.ba

c6．设1ba，0c，给出下列三个结论：①bcac；②ccba；③)(log)(logcbcaab−−.其中所有的正确结论的序号是（）A.①B.①②C.②③D.①②③7．若a，b为实数，则“10ab”是“ba1或ab1”的()A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件一元二次不等式及其解法2mxyzxyz2mabcabcaxbycz++azbycx++aybzcx++aybxcz++41．不等式422−xx的解集为2．不等式2340xx−−+的解集

为．（用区间表示）3．若不等式220axbx++的解集为1{2xx−或1}3x，则aba−的值为(）A．61B．61−C．65D．65−4．函数fxaxax()=+−21在R上满足fx()0，则a的取值范围是（）A．a0B．

a−4C．−40aD．−40a5.设常数，集合，若，则的取值范围为（）(A)(B)(C)(D)6.已知是定义域为的偶函数，当时，.那么不等式的解集是.7．若关于x的不等式012+−mxmx的解集不是空集，则m的取值范围是_____

___．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题型一、求线性目标函数的最值1．设yx,满足约束条件−−−+10202yyxyx，则目标函数yxz2+=的最小值是（）A．2B．3C．4D．52．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）A

．B．C．D．3．已知,xy满足约束条件02200xyxyx−−−，若目标函数(0,0)zaxbyab=+的最大值是4，则ab的最大值是（）aR{|(1)()0},{|1}AxxxaBxxa=−−=−AB

R=a(,2)−(,2]−(2,)+[2,)+()fxR0x2()4fxxx=−(2)5fx+xy++−1210yxyxyx2log(2)zxy=−2log30215A．4B

．22C．1D．224.记不等式组所表示的平面区域为D，若直线与D有公共点，则a的取值范围是.5．已知0a，x，y满足约束条件,若yxz+=2的最小值为1，则=a（）(A)41(B)21(C)1(D)26．已知)5,2(A，)1,4(B，若

点),(yxP在线段AB上，则yx−2的最大值为（）A．1−B．3C．7D．8题型二、非线性规划问题1.已知变量满足，则的最大值为.2.若实数满足约束条件，则的最大值为（）A．B．1C．D．3.如果点在平面区域上,则的最大值和最小值分别是（）A．,B．,C．,D．,题型三、线性规划问题与其他

知识交汇03434xxyxy++(1)yax=+13(3)xxyyax+−yx,2036020xyxyxy−++−+−22yxz+=,xy2027030xyxyy−−+−−

1yzx=+3212514(),xy22021020xyxyxy−+−++−()221xy++335995923261．变量,xy满足约束条件222441xyxyxy++−−，则目标函数|3|||3−+=yxz的取值范围是（）A．3[,9

]2B．3[,6]2−C．[2,3]−D．[1,6]2．若平面区域+−−−−+03203203yxyxyx，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．553B．2C．223D．53．设集

合()(),|||||1,,()()0AxyxyBxyyxyx=+=−+，MAB=，若动点(,)PxyM，则22)1(−+yx的取值范围是（）A．15[,]22B．25[,]22C．110[,]22D．210[,]224

．设O为坐标原点，点M的坐标为)1,2(，若点满足不等式组，则使取得最大值的点N有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．设变量,xy满足1||||−+−ayax，若yx−2的最大值为5，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3题

型四、线性规划的实际应用1.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B

．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）),(yxN−++−01221034yxxyxONOM32127（吨）基本不等式题型一、利用基本不等式求最值1.设，若，，，则下列关系式

中正确的是（）A．B．C．D．2．若实数yx,满足1=xy，则2x+22y的最小值为______________.3.定义运算“”：（）.当时，的最小值是.4.已知+Rba,，且22=+ba，则使得ba21+取得最小值的ba,分别是（）A.2,2B.1,21C.23,41D

.21,215．设,,abc均为正数，且12=++cba，则cba2591++的最小值为6．若abba24log)43(log=+，则ba+的最小值是（）A．326+B．327+C．346+D．347+7．已知0,0ba，8=ab，则当a的值为时，)2(lo

glog22ba取得最大值.8．若实数ba，满足abba=+21，则ab的最小值为（）A、B、2C、22D、49.若Rba,，0ab，则abba1444++的最小值为10.已知0,0ba，则abba211++的最小值是（）A.2B.22C.4D.5题型二、使

用基本不等式要注意条件1.下列不等式中一定成立的是（）A.)0(lg)41lg(2+xxxB.),(2sin1sinZkkxxx+，128()ln,0fxxab=()pfab=()2abqf+=1(()())2rfafb=+qrp=qrp=prq=prq=

22xyxyxy−=,0xyRxy，00xy，(2)xyyx+28C.)(||212Rxxx+D.)(1112Rxx+2．若，则下列不等式一定不成立的是（）A．B．C．D．3．下列不等式的证明过程正确的是（）A．

若Rba,，则22=+baabbaabB．若0a，则4424−=−+aaaaC．若,abR+，则babalglg2lglg+D．若Ra，则222222-=+−aaaa题型三、不能直接用基本不等

式求最值时，要配凑出条件，再用基本不等式。1.已知45x，则函数54124−+−=xxy的最大值为2．已知2x，则函数2842−+−=xxxy的最小值是（）A．5B．4C．8D．63．若实数yx,满足0xy，则yxyyxx22+++的最大值为（）A．22−B．22+C．224+D．224−4

.设1−x，则1)2)(5()(+++=xxxxf的最小值为5．已知Rx，则1sin51sin)(22+++=xxxf的最小值为6．若实数yx,满足0xy，则yxyyxx22+++的最大值为（）A．22−B．22+

C．224+D．224−7．若0ab，则代数式21()abab+−的最小值为（）A．2B．3C．4D．58．设0,0yx，2=++xyyx，则yx+的最小值是（）A.23B.31+C.232−D.32

−题型四、基本不等式的实际应用：0ab11ab22loglogab22222abab++−2abbaba+91．在ABC中，角CBA,,所对的边分别为cba,,，已知0cos)sin3(coscos=−+BAAC，（1）求角B的大小；（2）若1=

+ca，求b的取值范围。2．设nS是等比数列na的前n项和，满足3S，2S，4S成等差数列，已知13424aaa++=．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb，满足21log||nnba=，*nN，记12231nnnTbbb

bbb+=+++…，*nN，若对于任意*nN，都有4naTn+恒成立，求实数a的取值范围．基本不等式、线性规划、一元二次不等式-2022届高三数学二轮专题复习答案10不等关系与不等式1、B分析：0cd0−−dc，又0ab，所以bdac−−，

所以bdac，两边同除以cd，易知0cd，可得cbda。或者用特殊值法。令1,2==ba，1,2−=−=dc，也可得到结论。2、C分析：由题意可知c<0，a>0，ABD一定成立，C选项如果b=0的话就不成立.3、③④分析：对于③，0

112222−=−bababaab，baab2211；对于④，特殊值法.4、B分析：对于A，B，0))(()(−−=++−++zxcacxbyazczbyax，所以cxbyazczbyax++++，所以B小；对于C，D，0))(()

(−−=++−++xzcbczbxaycxbzay，所以czbxaycxbzay++++，所以C小；对于B，C，0))(()(−−=++−++yzbacxbzaycxbyaz，所以cxbzaycxbyaz++++，所以B最小。5、D分析：=+=6

2sin)4517sin(a，==64sin26cosb，=60sinc6、D分析：①中，bcaccbaba0,111；②中，cxc0是减函数ccba；③中，)(log)(log)(logcbcbcaabb−−−.（说明：相同的真数，底数越大，对数值越小.）7、

A分析：对于10ab，若0,0ba，则ba1成立；若0,0ba，则ab1成立.所以“10ab”是“ba1或ab1”的充分条件；反之，若2,1=−=ba，则“ba1或ab1”成立，但条件“

10ab”不成立，因此“10ab”不是“ba1或ab1”的必要条件.即“10ab”是“ba1或ab1”的充分而不必要条件.一元二次不等式及其解法1、)2,1(−分析：由题意得：22−xx21

−x，解集为)2,1(−。2、()4,1−3、C分析:可得12−=a，2−=b4、D分析：当0=a时显然成立，当0a时显然不成立，当00a时也成立.115、B分析：①若1a，则不等式的解集为ax或1x，通过画数轴，可得：11−a，解得2a.21

a；②若1a，则不等式的解集为1x或ax，通过画数轴，可得：aa−1，恒成立.1a.综上，的取值范围为2a.6、)3,7(−分析：画出图形，令542=−xx，解得1,521−==xx(舍)，所以可知当55−x时，

5)(xf，所以的解集是525+−x，即37−x.7、),4()0,(+−分析：当0=m时，显然是空集；当0m时，显然不是空集；当0m时，0.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题型一、求线性目标函数的最值：1、B2、D【解析】，如下左图所示，作不等式组所表示

的区域，作直线：，平移，可知当，时，，，故选D．3、C分析：作出可行域如上右图，并可求出交点的坐标：)0,0(O，)0,1(A，)2,2(B.对于byaxz+=，即bzxbay+−=，因为0,0ba，0−

ba，观察图形，可知目标函数在)2,2(B处取得最大值，所以422=+ba，所以2=+ba，1)2(2=+baab，当且仅当1==ba时等号成立.4、]4,21[分析：作出可行域如下左图中阴影部分所示，并可求出交点的坐标：)4,0(A，)1,1(B

，因为直线过定点)0,1(−C，由图并结合题意可知21)1(101=−−−=BCk，4)1(004=−−−=ACk，所以要使直线与平面区域D有公共点，则421a.a(2)5fx+(1)yax=+(1)yax=+125、B分析：因为)3(−=x

ay，且0a，所以直线)3(−=xay过定点)0,3(且斜率大于0，作出可行域如上右图所示，观察图形，当直线0l：xy2−=平移到A点时，目标函数取最小值，由−==)3(1xayx，解得−==ayx21，所以)2,1(aA−，所以122=−a，解得：21=a，故选B.6、

C分析：24215−=−−=ABk，所以线段ABl：)4(21−−=−xy，]4,2[x，即92+−=xy，]4,2[x，故)92(22+−−=−xxyx94−=x，]4,2[x，设94)(−=xxh，易知94)(−=xxh在]4,2[上单调

递增，故当4=x时，7944)(max=−=xh。题型二、非线性规划问题1、解析:作出现行约束条件的可行域，如右图所示，设，则，显然当点在点处时，取得最大值，并且，2、【答案】A图形如下左图，xy43=+yx43=+yxO11343444)4,0(A)1,1(B)0,1(−C102036

020xyxyxy−++−+−(),Mxy22zxy=+2OM=M()1,3A22zxy=+max10z=123-1-11234xyOABC(1,3)133、B解析：如上中图，先作出点所在的平面区域。表示动点到定点距离的平方。当

点在时,，而点到直线的距离的平方为；当点在时，离最远,。因此的最大值为，最小值为.题型三、线性规划问题与其他知识交汇1、A分析：作出可行域如上右图，并可求出交点的坐标：)1,0(，)0,2(，)3,21(，所以20x，30y，所以yx

yxz−+=−+=33|3|||3，则zxy−+=33，所以目标函数过点)0,2(时，取得最大值，最大值为9；过点)3,21(时，取得最小值，最小值为23，故取值范围是]9,23[，故选A.2、B分析：不等式组表示的平面区域如下左图中阴影部分所示，其中)1

,2(),2,1(BA，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为1−，所以线段AB的长度就是过BA,两点的平行直线间的距离，易得2||=AB，即两条平

行直线间的距离的最小值是2，故选B。()Pxy，22)1(++yxP(01)Q−，P(10)−，22PQ=Q012=+−yx925P(02)，Q92=PQ22)1(++yx995143、A分析：作出可行域如上中图，目标函数22)1()0(−+

−=yxz表示可行域中的点到)1,0(的距离的平方.由图可知，z在点A或点C处取得最小值，21)22(2min==z；z在点B或点D处取得最大值，25)210(2max==z.所以取值范围是]25,21[.4、D分析：作出可行域如上右图，yxyxONOM+

==2),()1,2(，设yxz+=2，则zxy+−=2，由于直线zxy+−=2与可行域边界0122=−+yx平行，所以当直线zxy+−=2经过直线0122=−+yx上所有点时，z最大，最大值为12，所以使得ONOM取得最大值的点N有无数个.故选D.5、D分析：画出1|||

|−+−ayax所表示的图形，是中心为),(aa的正方形区域，作出目标函数所表示的直线，且平移，当目标函数平移到点),1(aa+时，目标函数取得最大值。所以5)1(2=−+aa，解得3=a。题型四、线性规划的实际应用1、D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利

润，由题意可列，其表示如右图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，xy34zxy=+32122800xyxyxy++340xyz+−=(2,3)Azmax324318z=+=15故选D．基本不等式题型一、利

用基本不等式求最值1、C分析：；；因为，由是个递增函数，所以，故答案选2、223、分析：由新定义运算知，，因为，，所以，，当且仅当时，的最小值是.4、B5、427分析：)2591)((cbacba++++2592592591++++++++=bcaccbabcababccbacca

abba92525935++++++=152523235+++81=，当且仅当acab5,3==时等号成立，即34=a，4=b，320=c时等号成立.所以81)2591)((++++cbacba，4271281)2591(=++cba.6、D分析：babababa43

log)43(log214log)43(log)43(log22224+=+=+=+，所以abba22log43log=+，所以abba=+43，所以143=+ab，因为347473))(43(+++=++abbabaab。7、4分析：22222222log412)2(loglog

)2(loglog）（）（abbaba=+1()lnln2pfababab===()ln22ababqf++==11(()())ln22rfafbab=+=2abab+()lnfxx=()()2abffab+qpr=C22222(2)4(2)(2

)2yxyxyxyxxy−−==00xy，2222224222(2)2222xyyxxyxyxyyxxyxyxyxy−−++=+==2xy=(2)xyyx+216416log4122==）（，当且仅当)2(loglog22ba=，即ba2=时等号成立，又8=ab，所以2

,4==ba。8、C分析：由于abba=+21，所以+0021abba，所以0,0ba，因为baba21221+，所以abab22，即abab22，所以22ab。当且仅当ab2=时等号成立。所以ab的最小值为22。9、4分析：abba1444++abba1)2

()(2222++=abbaabba141222222+=+414214=+=abababab，当且仅当222ba=且abab14=时等号成立。10、C分析：abba211++abba2112+abab22+=4222=abab，当且仅当==ababba2211，

即1==ba时等号成立，故选C。题型二、使用基本不等式要注意条件1、C分析：对于A，)0(412+xxx，xxlg)41lg(2+；对于B，只有在0sinx时才成立；对于D，112+x，

1112+x.2、C分析：对于C，0)1()1(22−+−ba显然不成立.3、D题型三、不能直接用基本不等式求最值时，要配凑出条件，再用基本不等式。1、1分析：因为45x，所以045−x，所以354154+

−+−=xxy13]451)45[(+−+−−=xx，17当且仅当xx45145−=−，即1=x时等号成立。所以54124−+−=xxy的最大值为1。2、B分析：424)2(24)2(28422−+−=−+−=−+−=xxxxxxxy3、D分析：通分，2222232422yxyxyxyxyx

yyxx++++=+++222222232323yxyxxyyxyxyxyx+++++++=22231yxyxxy+++=xyyx2311+++=，因为222+xyyx，所以32232+++xyyx，所以

224223112311−=+++++xyyx。4、9分析：因为1−x，所以01+x，所以1)2)(5()(+++=xxxxf11072+++=xxx195)1(2++++=xxx14)1(5)1(2+++++=xxx514)1(++++=xx9514)1(2=++

+xx，当且仅当141+=+xx，即3−=x（舍），1=x时等号成立。故当1=x时，)(xf有最小值9。5、29分析：令1sin2+=xu，因为1sin02x，21sin12+x，所以21u，因为525)(+=uuuf，当且仅当5=u时等号成

立，所以uuuf5)(+=在]2,1[单调递减，29252)2()(min=+==fuf，所以)(xf的最小值为29.6、D分析：通分，2222232422yxyxyxyxyxyyxx++++=+++222222232323yxyxxyyxyxyx

yx+++++++=22231yxyxxy+++=xyyx2311+++=，因为222+xyyx，所以32232+++xyyx，18所以224223112311−=+++++xyyx。7、C分析：因为4]2)([)(22ababbab=

−+−，所以41)(1222aababa+−+44242222=+=aaaa，当且仅当=−=224aabab，即==222ba时等号成立.8、C分析：2)2()(2yxyxxy++−=，即08)(4)(2−+++yxyx，解得：322+−+yx，

或322−−+yx(舍去)，所以yx+的最小值是322+−.题型四、基本不等式的实际应用：1、解（1）因为0cos)sin3(coscos=−+BAAC，所以0cossin3coscos)cos(=−++−BABABA

，所以0cossin3coscos)sinsincos(cos=−+−−BABABABA，即0cossin3sinsin=−BABA，因为0sinA，所以0cos3sin=−BB，即3tan=B，因为B0，所以3=B。（2

）法一、由余弦定理，有：Baccabcos2222−+=，因为1=+ca，3=B，所以21)1(2)1(222−−−+=aaaab1332+−=aa，易得：212=−ab，因为10a，由二次函数最值的求法，所以1412b，所以121b，即b的取值范围为：)1,2

1[。法二、由余弦定理，有：Baccabcos2222−+=Bacaccacos22)(2−−+=acca3)(2−+=ac31−=，因为41)2(2=+caac，当且仅当ca=时，等号成立。所以410ac，所以0

343−−ac，所以13141−ac，所以1412b，所以121b。即b的取值范围为：)1,21[。192、解：（1）设数列的公比为q，由3422SSS+=，可得32420SSSS−+−=，即3430aaa++=，解得2q=−，因为14342aaa+=−

，则3111(2)424aaa+−=−，得14a=，故114(2)(2)nnna−+=−=−。（2）由（1）知，211log||1nnban==+，则1111(1)(2)12nnbbnnnn+==−++++，所以1111112334122(2)nnTnnn=−+−++

−=+++依题意有42(2)annn++对于任意的正整数n恒成立，即(2)(4)2annn++恒成立．设(2)(4)8()6nnfnnnn++==++，由于86yxx=++在区间1,22上为减函数，在区间[22,)+上为增函数，而2223，则min()min(2)

,(3)fnff=35min12,3=353=，故有min35()23afn=，即有703a．所以实数a的取值范围为70(,)3−．