【文档说明】重庆市云阳高级中学校2021届高三上学期第二次月考数学试题含答案.docx，共(13)页，609.004 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市云阳高级中学校高2021届高三第二次月考数学试题（满分150分，120分钟完卷）一、单项选择题（每题5分，共40分）1.设集合2430Axxx=−+，230Bxx=−，则BA是（）A.31,2B

.()1,+C.D.33,2−2.设aR，则“1a”是“2aa”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为

9类。全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。《数书九章》中有“米谷粒分”一题,现有类似的题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1634石,验得米夹谷,

抽样取米一把,数得254粒夹谷25粒,则这批米内夹谷约为()A.158石B.159石C.160石D.161石4.已知函数()13sin,06log,0xxfxxx=，则()()9ff=（）A.12−B.12C.32−D.325、函数f(x)=2sincosxxxx+

+在[—π，π]的图像大致为()A.B.323，C.D.6.已知f(x)=13x3+ax2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1处取得极值,则𝟐𝒂+𝟏𝒃的最小值为()A.3+2√23B.3+2√2C.2√2D.37、已知函数()32cosfxx

x=+，若2(3)af=，(2)bf=，2(log7)cf=,则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.bcaC.bacD.cba8、定义在R上的函数()22fxxx=−−有（）个零点.（其中x表示不大于实数x的最大整数，例如[-1.3]=-2,[1.3

]=1）A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知a>b>0，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为()A、a2>b2B、

122−baC、11a−−bD、a3＋b3>3a2b.10、下列说法正确的是（）A、若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1,B、若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13,C、已知∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα的值是55,D、已知sinα－cosα

＝2，α∈(0，π)，则tanα等于111、太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成

两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O：221xy+=，则下列说法中正确的是()A.函数3yx=是圆O的一个太极函数B.函数sinyx=是圆O的一个太极函数C.圆O的所有非常数函数的太极函数都

不能为偶函数D.函数()fx的图象关于原点对称是()fx为圆O的太极函数的充要条件12.关于函数()2lnfxxx=+，下列判断正确的是（）A.2x=是()fx的极小值点B.函数()yfxx=-有且只有1个零点C.存在正实数k，使

得()fxkx成立D.对任意两个正实数1x，2x，且12xx，若()()12fxfx=，则124xx+.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13、若命题“∃x∈R，x2－2x－a≤0”是假命题，则实数a的取值范围

是______．14、若α，θ为锐角，且sinα＝1010，sinθ＝55，则cos(α＋θ)＝________，α＋θ＝________．（第1空3分，第二空2分）15、已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时，；当时，.则f(6)=__________16、已知函数()11ee,

121,1xxxfxxx−−−=−−（其中e为自然对数的底数），则不等式()()10fxfx+−的解集为________．四、解答题（17题10分，18--22题，每题12分，共70分）17、正项等差数列{an}满足a1＝4，且__

__________成等比数列，{an}的前n项和为Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝1Sn＋2，求数列{bn}的前n项和Tn.在①a2，a4＋2，2a7－8②2,,331−Saa③3412,2-,aaa这三个条件中任选

一个，补充在上面横线处，然后解答此题。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3()1fxx=−11x−()()fxfx−=−12x11()()22fxfx+=−18、已知函数f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋

1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间0，2π3上的最大值；(2)若f(x0)＝65，x0∈0，π3，求cos2x0的值．19、如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面,,2ABCACBCACBC⊥==，13CC=，点,DE分别在棱

1AA和棱1CC上，且12,ADCEM==为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：11CMBD⊥；（Ⅱ）求二面角1BBED−−的正弦值；20、已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.（1）、求函数

f(x)的解析式；(2)、求函数g(x)＝f（x）x－4lnx的零点个数.21、2021年全国又有8个省市的高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语

，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打

分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成

绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100、81～90、71～80，61～70、51～60、41～50、31～40、21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明：某同学化学

学科原始分为65分，该学科C+等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x，69

6570655861xx−−=−−，求得66.73x.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,12)N.（i）若

小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B+，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X表

示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N，则()0.682P−+=，()220.954P−+=，()330.997P−+=）22、已知函数f(x)=

lnx+mx+1,g(x)=x(ex-1）.（1）、若f(x)的最大值是0，求函数f(x)的图像在x=e处的切线方程；（2）、若对于定义域内任意x，f(x)≤g(x)恒成立，求m的取值范围.参考答案及评分细则1、

【答案】C【详解】∵243013Axxxxx=−+=，32302Bxxxx=−=,所以3|x23=xBA.故选：C.2、【答案】A【详解】求解二次不等式2aa可得：1a或0a，据此可知：1a是2aa的充分不必要条件.故选：A.

3、答案D由题意可知这批米内夹谷约为1634×25425≈161(石).故选D.4、【答案】C【详解】()13sin,06log,0xxfxxx=，()139log92f==−，因此，()()()392sinsi

n332fff=−=−=−=−，故选C.5、【答案】D【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxfxxxxx−+−−−−===−−+−+，得()fx是奇函

数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f++==2()01f=−+．故选D．6、答案D由f(x)=13x3+ax2+(b-4)x(a>0,b>0),得f'(x)=x2+2ax+b-4.由题意得f'(1)=12+2

a+b-4=0,则2a+b=3,所以2𝑎+1𝑏=(2𝑎+1𝑏)×2𝑎+𝑏3=13(2𝑎+1𝑏)(2a+b)=13(5+2𝑏𝑎+2𝑎𝑏)≥13(5+2√2𝑏𝑎·2𝑎𝑏)=3,当

且仅当2𝑏𝑎=2𝑎𝑏,即a=b=1时,等号成立.故2𝑎+1𝑏的最小值为3.故选D.7、【答案】B【详解】解：根据题意，函数()32cosfxxx=+，其导数函数()32sinfxx=−，则有()32sin0fxx=−在R上恒成立，则()fx在R上为增函数；又

由2222log4log733=，则bca；故选：B．8、【答案】A【详解】令()220fxxx=−−=，得22xx−=，令()212fxx=−，()1gxx=，在同一坐标系做出两函数的图像如下图所示，两函

数图像有3个交点，所以函数()22fxxx=−−有3个零点，即221x−=−或221x−=或222x−=，解得1x=−或3x=或2x=故选：A.9、答案ABC解析方法一由a>b>0可得a2>b2，A成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(

x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，B成立；∵a>b>0，由y=x1在（0，+∞）的单调性可知，C成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35，3a2b＝54，a3＋b3<3a2b，D不成立．故选ABC.方法二令a＝3，b＝2，可以得到Aa2>b2，

B2a>2b－1，C2131均成立，而Da3＋b3>3a2b不成立，故选ABC.10、【答案】AC解析A显然正确，B若K取偶数则sinα=-13,C2sin2cos21=+，24sincos2cos.0,,co

s02=．sin0,2sincos=，又22sincos1+=，2215sin1,sin5==，又sin0，5sin5=，D由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，

消去sinα，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.故选AC11、【答案】AB【详解】选项A：因为33()()()fxxxfx−=−=−=−，所以函数

3yx=是奇函数，它的图象关于原点对称，如下图所示：所以函数3yx=是圆O的一个太极函数，故本说法正确；项B：因为sinyx=是奇函数，所以它的图象关于原点对称，而圆221xy+=也关于原点对称，如下图所示：因

此函数sinyx=是圆O的一个太极函数，故本说法是正确的；选项C：如下图所示：函数()ygx=是偶函数，()ygx=也是圆O的一个太极函数，故本说法不正确；选选项D：根据选项C的分析，圆O的太极函数可以是偶函数不一定关于原点对称，故本说法不正确.故选：AB12、

【答案】ABD【详解】A.函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）22212xxxx−=−+=，∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的

极小值点，即A正确；B.y＝f（x）﹣x2x=+lnx﹣x，∴y′221xx=−+−1222xxx−+−=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣12=+ln1﹣1=1>0，f（2）﹣21=+ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点，

即B正确；C.若f（x）＞kx，可得k22lnxxx+＜，令g（x）22lnxxx=+，则g′（x）34xxlnxx−+−=，令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函数h（x）单调递增，x∈（1

，+∞）上函数h（x）单调递减，∴h（x）⩽h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）22lnxxx=+在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；D.令t∈（0，2），则2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t

）﹣f（2﹣t）22t=++ln（2+t）22t−−−ln（2﹣t）244tt=+−ln22tt+−，则g′（t）()22222222222244822241648(4)2(2)(4)4(4)ttttttttttttt−−−

−++−−−=+=+=−+−−−−＜0，∴g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）＜g（0）＝0，令x2＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x1＞2+t，则x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，当x2≥4时，x1+x2＞4显然成立，∴对任意两个正实数x1，x2，且x1＞x2

，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4，故D正确故正确的是ABD，故选：ABD．13、答案：(－∞，－1）解析：因为命题“∃x∈R，x2－2x－a≤0”为假命题，所以命题“∀x∈R，x2－2x－a>0”为真命题，所以Δ＝(

－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4<0，即a<－1.答案：(－∞，－1）14、答案：22，π4解析：因为α，θ为锐角，sinα＝1010，sinθ＝55，所以cosα＝31010，cosθ＝255，所以cos(α＋θ)＝cosαcosθ－sinαs

inθ＝31010×255－1010×55＝22.又0＜α＋θ＜π，所以cos(α＋θ)＝22，α＋θ＝π4.答案：22，π415、答案：2【解析】当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，答案：21

6、答案：7,2−【解析】当1x时，()11eexxfx−−=−单调递增，且()10f=，作出函数()fx的图象如图所示，由图可知，当3x时，()0fx，此时()()10fxfx+−恒成立，当3x时，()()1fxfx+−2131270xxx=−−+−−=−，解

得72x，∴732x．综上可知，不等式()()10fxfx+−的解集为7,2−．17、解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，若选①，则由已知得a2(2a7－8)＝(a4＋2)2，化简得，d2＋4d－12＝0，解得d＝2或d＝－6(舍)

，选②，则由已知得)2(3123−=Saa化简得，d2＋d－6＝0，解得d＝2或d＝－3(舍)，若选③，则由已知得()312422aaa=−，化简得，9d2-4d－28＝0，解得d＝2或d＝－914(舍)，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2....................

..........5分（算出d=2得4分）(2)因为Sn＝n(a1＋an)2＝n(2n＋6)2＝n2＋3n..........................................................................6分所以bn＝1

Sn＋2＝1n2＋3n＋2＝1(n＋1)(n＋2)＝1n＋1－1n＋2......................................................8分所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝12－13＋

13－14＋14－15＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋4...........................10分18、解：(1)由f(x)＝23sinxcosx－2cos2x＋1，得f(x)＝3(2sinxc

osx)－(2cos2x－1)＝3sin2x－cos2x＝2sin2x－π6，..............3分所以函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)＝2sin2x－π6在区间0，π3上为增函数，在区间π3，2π3上为减函

数，又f(0)＝－1，fπ3＝2，f2π3＝－1，所以函数f(x)在0，2π3上12x11()()22fxfx+=−12x()fx1(6)(1)ff=()fx()3(1)(1)112ff

=−−=−−−=的最大值为2...............6分(2)∵2sin2x0－π6＝65，∴sin2x0－π6＝35.又x0∈0，π3，∴2x0－π6∈－π6，π2，∴cos2x0－π6＝45.........

......9分∴cos2x0＝cos2x0－π6＋π6＝cos2x0－π6cosπ6－sin2x0－π6sinπ6＝45×32－35×12＝43－310..............12分19、解：依题意，以C为原点，

分别以CA、CB、1CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C、()2,0,0A、()0,2,0B、()10,0,3C、()12,0,3A、()10,2,3B、()2,0,1D、()0,0,2E、()1,1,3M..........

...............................................3分（Ⅰ）依题意，()11,1,0CM=，()12,2,2BD=−−，从而112200CMBD=−+=，所以

11CMBD⊥；......................................................6分(如果用传统方法，只要正确给6分）（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA=是平面

1BBE的一个法向量..............7分，()10,2,1EB=，()2,0,1ED=−．设(),,nxyz=为平面1DBE的法向量，则100nEBnED==，即2020yzxz+=

−=，不妨设1x=，可得()1,1,2n=−．.............9分26cos,626CCAnACnAn===，..............11分230sin,1cos,6CAnCAn=

−=．所以，二面角1BBED−−的正弦值为306；.............12分20、解：(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.........

......4分∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3...............6分(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4lnx＝x－3x－4lnx－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x

＝（x－1）（x－3）x2...............8分令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值..........

.....................................................................................................

.......................................10分当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点.故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点...............12分21

、解：（1）（i）设小明转换后的物理等级分为x，938490848281xx−−=−−，求得82.64x.小明转换后的物理成绩为83分；..............3分（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布()260,12N，所以

(7284)(6084)(6072)PPP=−11(3684)(4872)22PP=−()10.9540.6822=−0.136=..................................................

.........................5分所以物理原始分在区间()72,84的人数为20000.136272=（人）；..................................6分（2

）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间61,80内的概率为25，.................................7分随机抽取4人，则2~4,5XB.()438105625PX===，()314232161556

25PXC===，()222423216255625PXC===，()31342396355625PXC===，()421645625PX===

.......................................................................10分X的分布列为X01234P816252166252166259662516625..................

.................................11分数学期望()28455EX==...............12分22、解：（1）分），，的定义域是（1..........,.........x1)(0)('mxfxf+=+分无最大值；在定义域内单调递增，若2.....

..............)(,0)(,0'xfxfm单调递减；，（单调递增，（若)(,0)(),1-;)(,0)(),1-0,0''xfxfmxxfxfmxm+分所以取得最大值时所以当3.......

............1,0)1ln()(,1−==−−=mmxfmx分处的切线方程是的图像在函数‘5...................1)11(y)(.2)(,11)e(+−==−=−=xeexxfeefef分）恒成立，在（、原式子恒成立，即6...

........................01ln1)2(++−+xxemx，设设01)2()(,ln)(,ln)(,1ln)(2'222'++=+=+=+−=xexxxQxexxQxxexxxxexxxxx分，

有唯一零点所以，且在其定义域内单调递增所以8..........................x)x(,0)1(,0)21()(0QQQxQ),ln()ln(lnlnlnx-,0ln000000002000xxxxxexxexxx−+−

=+==+，两边同时取对数得所以而且分所以是增函数，所以得易证明函数9......................,.........1e,ln-xlny0000xxxxx==+=分上单调递增，所以，单调

递减，在，在所以由11...1111lne)x()x()x()x0()x(000000000=+−−=+−=+xxxxx分，的取值范围是（于是12............................

.........].........0−m