【文档说明】数学人教A版2019必修第一册 1.5全称量词与存在量词 教案含解析【高考】.docx，共(13)页，496.997 KB，由小赞的店铺上传

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11.5全称量词与存在量词考纲要求1．理解全称量词、全称量词命题的定义．2．理解存在量词、存在量词命题的定义．3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识解读知识点①全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所

有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等知识点②全称量词命题和存在量词命题名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)

成立简记x∈M，p(x)x0∈M，p(x0)知识点③全称量词命题和存在量词命题的真假判定1．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称命题量词是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一个

x0∈M，使得p(x0)不成立即可．2．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．3．从集合角度判断全称量词命题和存在量词命题的真假：(1)对于命题“

x∈A，使x∈B”，若集合A是集合B的子集，那么该命题为真，否则为假；(2)对于命题“x0∈A，使x0∈B”，若集合A和集合B存在交集，那么该命题为真，否则为假．2题型讲解题型一、全称量词和存在量词命题的理解例1．用符号“”“”表

达下列命题.（1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()xy，，使30xy++成立；（3）任意实数乘1−，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得32xx.例2．给出下列命题：①存在实数01x，使201x；②全等的三角形必相

似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使210axax−+=的根为负数.其中存在量词命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4题型二、全称量词和存在量词命题的真假判断例3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个

实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2例4．设非空集合P，Q满足PQ＝P，则()A．x∈Q，有x∈PB．xQ，有xPC．x0Q，使得x0∈PD．x0∈

P，使得x0Q3例5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，1x>2例6．下列四个命题，真命题的是（）A．2,10xQx−=B．,510xZx

−=C．,143xNxD．2,20xRxx++题型三、含量词的命题真假求参例7．若“任意31|xxx，mx”是真命题，则实数m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4例8．若命

题“Rx0，不等式012++axx”为真命题，则a的取值范围是（）A．2a或2−aB．2a或2−aC．22−aD．22−a例9．已知集合25,121AxxBxmxm==+−－，（1）若命题:,

pxBxA是真命题，求m的取值范围；（2）命题:,qxAxB是真命题，求m的取值范围.题型四、含量词的命题的证明例10．证明命题“21|xxx，都有112+−xx”是真命题．达标训练

1．下列命题与“200,3xRx”的表述方法不同的是（）4A．有一个0xR，使得203xB．有些0xR，使得203xC．任选一个0xR，使得203xD．至少有一个0xR，使得203x2．下列命题中，既是存在量词命

题又是假命题的是（）A．三角形内角和为180B．有些梯形是平行四边形C．R320xx+，D．至少有一个整数m，使得21m3．下列命题的中，是存在量词命题且为真命题的有()A．x∈R，x2－x＋

14＜0B．所有的正方形都是矩形C．x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝04．已知命题2:,40pxxxa++=R，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．04aB．4aC．0aD．4a5．已知对13xxx，都有mx，则m的取

值范围为（）A．3mB．3mC．1m>D．1m6．已知命题p：x∈R，x2－a≥0；命题q：x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________．课后提升1．已知命题p：x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a

的取值范围是()A．{a|a<－1}B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}52．命题2:,240pxRaxax+−为假命题的一个充分不必要条件是（）A．a=0B．a=1C．a=4−D．23．（多选题）对xR，[]x表示不

超过x的最大整数．十八世纪，[]yx=被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（）A．1+xxRx，B．,xyR，[][]xyxy++C．函数[]()y

xxx=−R的最小值为0D．若32=x，则x取值范围是223x4．已知命题:p2230xxmx++R,，命题:q2,220xxmxm−++R.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范

围；（3）若命题,pq至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.5．已知m∈R，命题p：x∈10|xx，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：x∈11|−xx，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，若p和q一真一假，求m的取值范围1

.5全称量词与存在量词考纲要求4．理解全称量词、全称量词命题的定义．5．理解存在量词、存在量词命题的定义．6．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识解读6知识点①全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存

在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等知识点②全称量词命题和存在量词命题名称形式全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记x∈M，p(x)x0

∈M，p(x0)知识点③全称量词命题和存在量词命题的真假判定1．全称量词命题的真假判断：要判断一个全称命题量词是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命题，只需列举出一

个x0∈M，使得p(x0)不成立即可．2．存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0，使得命题p(x0)成立即可；否则这一命题就是假命题．3．从集合角度判断全称量词命题和存在量词命题的真假：(1)对于命题“

x∈A，使x∈B”，若集合A是集合B的子集，那么该命题为真，否则为假；(2)对于命题“x0∈A，使x0∈B”，若集合A和集合B存在交集，那么该命题为真，否则为假．题型讲解题型一、全称量词和存在量词命题的理解例1．用符号“”“”表达下列命

题.（1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()xy，，使30xy++成立；（3）任意实数乘1−，都等于它的相反数；（4）存在实数x，使得32xx.【答案】答案见解析.【详解】7解：（1）xR，x能写成小数

形式；（2）(,),,xyxRyR，使30xy++；（3）,(1)xRxx−=−；（4）32,xRxx.例2．给出下列命题：①存在实数01x，使201x；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使21

0axax−+=的根为负数.其中存在量词命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】对于①，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题；对于②，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题；对于③，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在

量词命题；对于④，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题．题型二、全称量词和存在量词命题的真假判断例3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1x>2【答案】B

【解析】A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有1x<0，不满足1x>2，所以

D是假命题．例4．设非空集合P，Q满足PQ＝P，则()8A．x∈Q，有x∈PB．xQ，有xPC．x0Q，使得x0∈PD．x0∈P，使得x0Q【答案】B【解析】因为PQ＝P，所以PQ，所以∀xQ，有xP.例5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形有

一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，1x>2【答案】B【解析】A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在量词命题

又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有1x<0，不满足1x>2，所以D是假命题．例6．下列四个命题，真命题的是（）A．2,10xQx−=B．,510xZx−=C．,143xNxD．2,20xRxx

++【答案】D【解析】对于A项，只有1x=时，210x−=才成立，则A错误；对于B项，510x−=，解得15xZ=，则B错误；对于C项，由143x，解得1344x，则C错误；对于D项，判别式21

4120=−，则xR，x2＋x＋2＞0，则D正确．题型三、含量词的命题真假求参例7．若“任意31|xxx，mx”是真命题，则实数m的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为“任意31

|xxx，x≤m”是真命题，所以m≥3，所以实数m的最小值9为3．例8．若命题“Rx0，不等式012++axx”为真命题，则a的取值范围是（）A．2a或2−aB．2a或2−aC．22−aD．22−a【答案】A【解析】若命题“Rx0，不等式012++axx

”为真命题，则042−=a，解得2a或2−a．例9．已知集合25,121AxxBxmxm==+−－，（1）若命题:,pxBxA是真命题，求m的取值范围；（2）命题:,qxAxB是真命题，求m

的取值范围.【答案】（1）{|3}mm；（2）{|24}mm【解析】（1）因为命题:,pxBxA是真命题，所以BA，当B=时，121mm+−，解得2m；当B时，12112215mmmm+−+−−，解得23m.综上，m的取值范围为{|3}mm.（2

）因为:,qxAxB是真命题，所以AB，所以B，即2m，所以13m+，所以AB只需满足15m+即可，即4m.故m的取值范围为{|24}mm.题型四、含量词的命题的证明例10．证明命题“21|xxx，都有112+−xx”是真命题．【答

案】见解析【解析】由于21|xxx，都有112+−xx是真命题，所以12+−xx在21x上的最小值为1，根据二次函数图像可知，x=1时12+−xx取最小值1，所以112+−xx恒成立，故命题10“21|xxx，都有1

12+−xx”是真命题达标训练1．下列命题与“200,3xRx”的表述方法不同的是（）A．有一个0xR，使得203xB．有些0xR，使得203xC．任选一个0xR，使得203xD．至少有一个0xR，使

得203x【答案】C【解析】由题意，根据存在性命题的概念，可得命题“200,3xRx”为存在命题，所以A、B、D与命题“200,3xRx”的表述方法相同，但命题“任选一个0xR，使得203x”为全称命题，所以与题设中命题表述不同.2．下列命题中，既是存在量词

命题又是假命题的是（）A．三角形内角和为180B．有些梯形是平行四边形C．R320xx+，D．至少有一个整数m，使得21m【答案】B【解析】对于A，含有全称量词，故A不正确；对于B，有些梯形是平行四边形不是真命题，故B错误；对于C，R320xx+，

，含有存在量词命题，是真命题，如0x=，故C正确；对于D，至少有一个整数m，使得21m，含存在量词的命题，是真命题，如0m=，故D正确.3．下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有()A．x∈R，x2－x＋14＜0B．所

有的正方形都是矩形C．x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0【答案】D11【解析】B为全称量词命题；又因为x2－x＋14＝221−x≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以AC均为存在量词命题但为假命题，D选项既是存在量词命题且为真命题

．4．已知命题2:,40pxxxa++=R，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．04aB．4aC．0aD．4a【答案】B【解析】因为p是假命题，所以方程240xxa++=没有实数根，即16

40a=−，即4a．5．已知对13xxx，都有mx，则m的取值范围为（）A．3mB．3mC．1m>D．1m【答案】A【解析】因为对13xxx，都有3x，所以要使mx成立，只需maxmx即可，即3m．6．已知命题p：x∈R，x2－a≥0

；命题q：x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0．若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________．【答案】a≤－2【解析】由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2

.课后提升1．已知命题p：x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()A．{a|a<－1}B．{a|a≥1}C．{a|a>1}D．{a|a≤－1}【答案】B【解析】∵p为假命题，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是a≥1，故选B．2．命题2

:,240pxRaxax+−为假命题的一个充分不必要条件是（）12A．a=0B．a=1C．a=4−D．2【答案】A【解析】命题0422−+axaxRxp，：为假命题，首先，a=0时，04−恒成立，符合题意；其次0a时，0a且()01622+

=aa，即04−a，综上可知，04−a．故符合题意的充分不必要条件为选项A．3．（多选题）对xR，[]x表示不超过x的最大整数．十八世纪，[]yx=被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数

”，则下列命题中的真命题是（）A．1+xxRx，B．,xyR，[][]xyxy++C．函数[]()yxxx=−R的最小值为0D．若32=x，则x取值范围是223x【答案】BC【解析】[]x是整数，若[]1xx+，[]1x+是整数，∴[][]1xx+，矛

盾，∴A错误；,xyR，[],[]xxyy，∴[][]xyxy++，∴[][][]xyxy++，B正确；由定义[]1xxx−，∴0[]1xx−，∴函数()[]fxxx=−的最小值是0，C正确；22342332

=xxx∴D错误．4．已知命题:p2230xxmx++R,，命题:q2,220xxmxm−++R.（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（3）若命题,pq至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.【答案】（1

）33m−；（2）1m−或2m；（3）3m或2m.【解析】（1）若命题p：2230xxmx++R,为真命题，13则2(2)120m=−，解得33m−.（2）若命题q：2,220xxmxm−++R为真命题，则244

(2)0mm=−+，解得1m−或2m.（3）若命题p、q至少有一个为真命题，则33m−，或1m−，或2m，∴3m或2m.5．已知m∈R，命题p：x∈10|xx，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：x∈11|−xx，使得m≤ax成立．(1)若

p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，若p和q一真一假，求m的取值范围．【答案】(1)1≤m≤2(2)m<1或1<m≤2【解析】(1)因为对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，所以(2x－2)min≥m2－3m，

即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因此，若p为真命题时，实数m的取值范围是1≤m≤2．(2)因为a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，所以m≤x，当命题q为真时，m≤1.因为p，q中一个是真命题，一个是假

命题，当p真q假时，1≤m≤2，m>1，解得1<m≤2；当p假q真时，m<1或m>2，m≤1，解得m<1.综上，m的取值范围为m<1或1<m≤2