【文档说明】专题04 二次函数与方程不等式之间的关系-【重难点突破】2021-2022学年九年级数学上册期中期末专题抢先看（浙教版）（解析版）.docx，共(36)页，962.733 KB，由envi的店铺上传

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专题04二次函数与方程不等式之间的关系二次函数与一元二次方程的关系：1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；2）抛物线与𝑥轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，

图象与x轴有一个交点；③当△<0时，图象与x轴没有交点。二次函数与不等式的关系:1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。考查题型一

抛物线与坐标轴交点问题典例1．（2021·浙江）已知二次函数()()21yxxa=+−，其中0a，若当2x时，y随x增大而减小，当2x时，y随x增大而增大，则a的值是（）A．3B．5C．7D．不确定【答案】B【分析】根据“当x≥2时，

y随着x的增大而减小，当x≤2时，y随着x的增大而增大”，直线x=2是抛物线的对称轴，即可确定a的值．【详解】解：根据题意，∵当x≥2时，y随着x的增大而减小，当x≤2时，y随着x的增大而增大，∴22ba−=，∵y=2（x+1）（x-a），∴抛物线与x轴交点坐标为：（-1，0），（a

，0），∴122a−+=，∴a=5，故选：B．【点睛】本题考查了利用二次函数交点式求图象与坐标轴交点坐标，以及二次函数的增减性，根据已知得出二次函数的对称轴是解题关键．基础练1-1．（2021·天津和平区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为

（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤

4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a＝a+b+c，b＝﹣2a，c＝﹣3a，则可对①进行判断；抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，配成交点式得y＝a（x﹣

3）（x+1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x＝4时，y＝5a，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a），∴x＝﹣2ba＝1，且﹣4a＝a+b+

c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵抛物线开口向上，则a＞0，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0，故结论①正确；②∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A（4，y

1）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y1），∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，故结论③错误；④当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，故结论④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与

性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．基础练1-2．（2021·甘肃九年级期末）抛物线234yxx=−+−与y轴的交点坐标是（）A．(4,0)B．(4,0)−C．(0,4)−D．(0,4)【答案】C【分析】求图象与y轴的交点坐标，令x＝0，求y即可．【

详解】当x＝0时，y＝﹣4，所以y轴的交点坐标是（0，﹣4）．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图象的特点．提高练1-3．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，

0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③a﹣b+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】利用抛物线与x轴的交点个

数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；根据抛物线过点（−1，0），则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；

根据二次函数的性质对⑤进行判断．【详解】①∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；③∵抛物线y=

ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，所以③错误；④∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；⑤∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故

选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称

轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线

与x轴没有交点．提高练1-4．（2021·郑州市期末）如图，抛物线2(0)yaxbxca=++的对称轴为直线1x=，与x轴的一个交点坐标为(1,0)−，其部分图象如图所示，下列结论：①240bac−；②方

程20axbxc++=的两个根是121,3xx=−=：③30ac+；④当0y时，x的取值范围是13x-<<；⑤当0x时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【

答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质，对每个选项进行判断，即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，故①正确；②（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），∴ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x

2=3，故②正确；③对称轴为x=1，故12ba−=，∴b=-2a，∵x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，即3a+c=0，故③错误；④当y＞0时，由图象可知：-1＜x＜3，故④正确；⑤当x＜1时，y随着x的增大而增大，故⑤正确；∴正确的选项有4个；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象，解

题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．考查题型二根据二次函数图像确认对应方程根的情况典例2．（2021·枣庄市九年级期末）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c－m=0有两个不相等的实数根，下列结

论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④m＞－2，其中，正确的个数有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，

∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③选项正确；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故

④正确．故选C．基础练2-1．（2021·南京市九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x

2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据

二次函数的对称性，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①；结合①中结论，根据函数图像即可判断②；首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③；根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1

)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④．【详解】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大

致图象如图所示，顶点坐标为()1,4a−∴函数的对称轴为x＝12ba−=∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0于是①的结论正确；②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为()12,y−∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，于是

②错误；③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程()()131axx+−=−有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，∴抛物线()()13yaxx=+−与直线y＝﹣1交点的坐标()1,1x﹣和()2,

1x−∵抛物线()()130yaxx=+−=时，x＝﹣1或3，即抛物线()()130yaxx=+−=与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），∴﹣1＜x1＜x2＜3，于是④正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数

的综合知识，二次函数和一元二次方程，二次函数和不等式，题目综合性较强，熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键．基础练2-2．（2021·德州市九年级期末）二次函数2yaxbxc=++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若()12,y−，()25,y是图象上的两点，则

12yyB．30ac+=C．方程22axbxc++=−有两个不相等的实数根D．当0x时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．【详解

】由函数的图象可知，二次函数2yaxbxc=++的对称轴为12bxa=−=则当1x时，y随x的增大而增大；当1x时，y随x的增大而减小，选项D错误由对称性可知，4x=时的函数值与2x=−时的函数值相等则当4x=时，函数值为1y4512yy，则

选项A正确12ba−=2ba=−又当1x=−时，0abc−+=(2)0aac−−+=，即30ac+=，选项B正确由函数的图象可知，二次函数2yaxbxc=++的图象与x轴有两个交点则将二次函数2yaxbxc=++的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数

22yaxbxc=+++与x轴也有两个交点因此，关于x的一元二次方程220axbxc+++=有两个不相等的实数根即方程22axbxc++=−有两个不相等的实数根，选项C正确故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、

增减性）、二次函数与一元二次方程的联系，掌握理解二次函数的图象与性质是解题关键．提高练2-3．（2021·济南市期末）二次函数2(0)yaxbxca=++图象的一部分如图所示，顶点坐标为(1,)m−，与x轴的一个交点的坐标为(3,0)−，给出以下结

论：①0abc；②420abc−+；③若15(,)2By−、21(,)2Cy−为函数图象上的两点，则12yy；④当-3x0时方程2axbxct++=有实数根，则t的取值范围是0tm，其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】由抛物

线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①函数的对称轴在y轴左侧，故0ab，而0c，故0abc正确，符合题意

；②由图像可以看出2x=−时，420yabc=−+正确，符合题意；③若15(,)2By−、21(,)2Cy−为函数图象上的两点，函数的对称轴为1x=−，点C比点B离对称轴近，故12yy正确，符合题意；④当-3x0时方程2axbxct++=有实数根，即2yaxbxc=++与yt=有交点，

故则t的取值范围是0tm正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解答本题的关键．提高练2-4．（2021·洛阳市期末）如图是二次函数2yaxbxc=++

的部分图象，则240axbxc+++=的解的情况为（）A．有唯一解B．有两个解C．无解D．无法确定【答案】C【分析】根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为2-4axbxc++=，利用数形结合求解即可.【详解】根据图象可知抛

物线顶点的纵坐标为-3,把240axbxc+++=转化为2-4axbxc++=抛物线开口向下有最小值为-3∴（-3）>(-4)即方程2-4axbxc++=与抛物线2yaxbxc=++没有交点.即方程240axbxc+++=无解.故选C.【点睛】

本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.考查题型三图像法确定一元二次方程的近似根典例3．（2021·湖北十堰·九年级期末）下表是一组二次函数235yxx=+−的自变量x与函数值y的对应值：11.11.21.31.4-1

-0.40.040.591.16那么方程2350xx+−=的一个近似根是()A．1B．1.1C．1.2D．1.3【答案】C【详解】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，故选C基础练3-1．（2021·武汉市期末）根据下列表格的对应值：判断

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（）x6.176.186.196.20ax2＋bx＋c−0.03−0.010.020.04A．6.19<x<6.20B．6.18<x<6.19C．6.17<x<6.18D．6<x<6.17【答案】B【分析】观

察表中数据得到当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜

x＜6.19．【详解】解：∵当x＝6.18时，y＝−0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，

b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．故选：B．【点睛】本题考查了利用图象法求一元二次方程的近似根：先作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；再由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；然后观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，

由图象求得的根一般是近似的）．基础练3-2．（2021·日照市九年级期末）表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值：那么方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（）x…11.11.21.31.4…y…﹣1﹣0.490.04

0.591.16…A．1.08B．1.18C．1.28D．1.38【答案】B【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点（1.2，0），然后根

据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值．【详解】∵x＝1.1时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.49；x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝0.04；∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.1，0）和点（1.2，0）之间，更靠近点

（1.2，0），∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.18．故选：B．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，是解题的关键.考查题型四图像法解一元二次方程典例4．（2021·

衡水市九年级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，y0时自变量x的取值范围是（）A．﹣1x5B．x﹣1或x5C．x﹣1且x5D．x﹣1或x5【答案】D【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐交点坐标，根据图象即可解决问题．【详解】解：由

图象可知，抛物线的对称轴是x=2，与x轴的一个交点坐标为(5，0)，设与x轴的另一个交点横坐标为x，则2-x=5-2，∴x=-1，∴与x轴的另一个交点坐标为(-1，0)，∴y＜0时，x的取值范围为x＜-1或x＞5．故选：D．【点睛】本题考

查抛物线与x轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．基础练4-1．（2021·广西防城港·九年级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴

为直线x＝﹣1，则当y＜0，x的取值范围是（）A．x＜1B．x＞﹣1C．﹣3＜x＜1D．﹣4≤x≤1【答案】C【分析】先利用抛物线的对称性求解抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：()3,0,−再利用图像得到y＜0时，函数图像在x轴

的下方，从而可得答案．【详解】解：由抛物线的对称轴为：1,x=−且过()1,0,所以抛物线与x轴的另一个交点的坐标为：()3,0,−当y＜0时，函数图像在x轴的下方，所以：3−＜x＜1,故选：.C【点睛】本题考查的是

抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，掌握以上知识是解题的关键．提高练4-2．（2021·青岛市期末）已知二次函数21yaxbxc=++和22ybxaxc=++，ab，则下列说法正确的是（）A．当0x时，12yyB．当01

x时，12yyC．当01x时，12yyD．当1x时12yy【答案】B【分析】分两种情况讨论，通过解不等式22axbxcbxaxc++++和22axbxcbxaxc++++，可对各项进行判断．【详解】解：当12yy时，22axbxcbx

axc++++，整理得()()20abxabx−−−，ab，20xx−，解得0x或1x；当12yy时，22axbxcbxaxc++++，整理得()()20abxabx−−−，ab，20xx−，解得01x

．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．提高练4-3．（2021·湖北襄阳市九年级期末）如图

是二次函数2yaxbxc=++的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（）A．0abcB．不等式20axbxc++的解集是05xC．240bac−D．方程20axbxc++=的解是15=x，21x=−【答案】B【分析】由图象

判断0a，0c，对称轴是2x=，再判断出0b，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（-1，0），结合函数图象即可求解．【详解】由图象得：0a，0c，对称轴是2x=，∴0b，∴0abc，故A正确，不符合

题意；∵对称轴是2x=，函数图象与x轴一个交点是（5，0），∴另一个交点（-1，0），∴不等式20axbxc++的解集是15x−，故B错误，符合题意；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴240bac−

，故C正确，不符合题意；∵函数图象与x轴的两个交点为（5，0）和（-1，0），∴方程20axbxc++=的解是15=x，21x=−，故D正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键．提高练4-4（2021

·河北唐山市·九年级期末）已知关于x的二次三项式()()2121mxmxm+−−+的值恒为正，则m的取值范围是（）A．18mB．1m−C．118m−D．1m18【答案】A【分析】根据二次三项式()()2121mxmxm+−−+的值恒为正，可设()()2121mxxym

m+−−+=，从而得到1m+＞0且＜0，进而即可求得m的取值范围．【详解】解：设()()2121mxxymm+−−+=，∵关于x的二次三项式()()2121mxmxm+−−+的值恒为正，∴()()2121mxmxm+−−+＞0，∴在函数()()2121mxxymm+−−+=中，1m+

＞0，且()()22141mmm=−−−+＜0，解得：m＞18故选：A【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质．考查题型五利用不等式求自变量或函数值的取值范围典例5．（

2021·合肥市九年级期末）二次函数2yx=，当13x−时，函数值y的取值范围是（）A．19yB．09yC．01yD．0y≥【答案】B【分析】由抛物线开口方向、对称轴及增减性求得其最大和最小值即可求得答案．【详解】解：∵2yx=，

∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0，∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，

故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，利用二次函数的增减性分别求得ｙ的最大值和最小值是解题的关键．基础练5-1．（2021·浙江杭州·九年级期中）若二次函数2yxbxc=−++中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表x…0123…y…1−2

32…点()11,Axy点()22,Bxy在该函数图象上，当12101,23,xxy与2y的大小关系是（）A．12yyB．12yyC．12yyD．12yy【答案】A【分析】根据表格数据判断出对称轴为直线x=2，再根据二次项系数小于0判

断出函数图象开口向下，然后根据x的取值范围写出大小关系即可．【详解】解：由表可知，抛物线的对称轴为直线x=2，∵a=-1＜0，∴函数图象开口向下，∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，∴y1＜y2．故选A．【点睛】本题考查

了二次函数图象上点的坐标特征，判断出对称轴和开口方向是解题的关键．基础练5-2．（2021·安徽马鞍山·九年级期末）如图，二次函数2yaxbxc=++的图象与x轴相交于(2,0)−和(4,0)两点，当函数值0y时，自变量x的取值范围是（）A

．2x−B．4xC．24x−D．2x−或4x【答案】D【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．【详解】解：∵二次函数2yaxbxc=++的图象与x轴交于(2,0)−和(4,0)两点，函数

开口向下，∴函数值0y时，自变量x的取值范围是2x−或4x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．基础练5-3．（2021·辽宁大连市期末）抛物线2yxbxc=−++与x轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴是直线1x=−，其部分图象如图所示，

若0y，则x的取值范围是（）A．41x−B．31x−C．21x−D．1x【答案】B【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在

x轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（－3，0），∵抛物线开口向下，∴当－3＜x＜1时，y＞0．故选

：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象的对称性及与x轴的交点问题是解题的关键．基础练5-4．（2021·湖南九年级期末）如图，抛物线214yxx=−+和直线22yx=，当12yy时，x的取值范围是（）A．02xB．0x或2xC．0x或4xD．04x

【答案】B【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：联立242yxxyx=−+=，解得1100xy==，2224xy==，两函数图象交点坐标为(0,0)，(2,4)

，由图可知，12yy时x的取值范围是0x或2x．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．1．二次函数256yxx=−−与x轴的交点坐标是（）A．(0,6)−B．(6,0)−、(1,0)C．(

1,0)−、(6,0)D．(3,0)、(2,0)【答案】C【分析】通过解方程256=0xx−−得该二次函数与x轴的交点坐标.【详解】解：当0y=时，256=0xx−−，解得x₁=1−，x₂=6，所以该二次函

数与x轴的交点坐标是(1,0)−、(6,0)，故选：C.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝2ax＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．2．若抛物线2yxbxc=++与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x

=，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A．()2,4B．()2,4−C．()2,4−−D．()2,4−【答案】A【分析】设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)xx，且21xx，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为2x=”建立方程可求出1

2,xx的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P的坐标，然后根据关于x轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)xx，且21xx，由题意得：2112422xxxx−=+=，解得1204xx==，则抛物

线与x轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)，将点(0,0),(4,0)代入2yxbxc=++得：01640cbc=++=，解得40bc=−=，则抛物线的解析式为224(2)4yxxx=−=−−，顶点

P的坐标为(2,4)−，则点P关于x轴的对称点的坐标是(2,4)，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于x轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．3．将抛物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点

坐标为（）A．(0，0)B．(0，4)C．(0，15)D．(0，16)【答案】A【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出平移后对称轴，进而得出答案．【详解】解：y＝x2+2mx+m2﹣1＝（x+m）2﹣1，∵将抛

物线y＝x2+2mx+m2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x＝1，∴y＝（x+m+8）2﹣1，则x＝﹣m﹣8＝1，故y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，当x=0时，y=0则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（0，0）．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的平移以及二次函

数与y轴的交点，解题关键是熟练掌握平移的步骤以及求与y轴交点的方法．4．根据表格中的信息，估计一元二次方程25axbxc++=（a、b、c为常数，0a）的一个解x的范围为（）x01234ax2+bx+c-14.5-11.5-6.50.59.5A．01

xB．12xC．23xD．34x【答案】D【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c-5的值在3～4之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=5时，对应的x的值在3～4之间．【详解】解：由表格可知：当x=3时，ax2+b

x+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，故选：D．【点

睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．5．如图，一段抛物线：()()303yxxx=−−，记为1C，它与x轴交于点O，1A；将1C绕点1A旋转180°得2C，交x轴于点2A；将2C绕点2A心旋转180°得3C，交

x轴于点3A；…，如此进行下去，直至得13C．若()32,Pm在第11段抛物线11C上，则m值为（）A．2B．1.5C．2−D．2.25−【答案】A【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方

，然后求出到抛物线C13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C11的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．【详解】解：令y=0，则-x（x-3）=0，解得x1=0，x2=3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C11在x轴上方，

相当于抛物线C1向右平移6×5=30个单位得到，∴抛物线C11的解析式为y=-（x-30）（x-30-3）=-（x-30）（x-33），∵P（32，m）在第11段抛物线C11上，∴m=-（32-30）（32-33）=2．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图

象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．6．老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…同学们讨论得出了下列结论

，①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】

C【分析】利用表格中的数据，先求出抛物线的解析式，然后逐一判断即可.【详解】解：∵抛物线经过点（0，-8）∴设抛物线解析式为：28yaxbx=+−∴428089abab−−=+−=−解得12ab==−抛物线解析式为：()22yx2x8x19=−−=−−

①函数的对称轴为2122bxa−=−=−=，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，抛物线的开口向上，正确；②由①知，抛物线的对称轴为直线x＝1，故②错误；③当x＝﹣2时，y＝0，根据函数的对称性，则x＝4时，y＝0，故当﹣2

＜x＜4时，y＜0，故③正确；④由①知，函数的对称轴为x＝1，抛物线开口向上，故当x＞1时，y随x的增大而增大，正确；⑤由抛物线解析式可知，抛物线的顶点坐标为（1，﹣9），故若方程ax2＋bx＋c＝m有两

个不相等的实数根，则m＞﹣9，正确；故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于能够准确的根据表格数据求出抛物线的解析式.7．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，

下列说法错误的是（）x…﹣1013…y…﹣3131…A．a＜0B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间C．2a+b＞0D．若点（5，y1）、（﹣32，y2）都在函数图象上，则y1＜y2【答案】B【分析】利用表

中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可得x＝﹣1和x＝4的函数值相等，则可对B进行判断；利用x＝0和x＝3时函数值相等可得到抛物线的对称轴方程，则可对C进行判断；利用二次

函数的性质则可对D进行判断．【详解】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，∴抛物线的开口向下，∴a＜0，故A正确；∵x＝﹣1时，y＝﹣3，∴x＝4时，y＝﹣3，∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，即方程ax2+bx

+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，故B错误；∵抛物线过点（0，1）和（3，1），∴抛物线的对称轴为直线x＝32，∴﹣2ba＝32＞1，∴2a+b＞0，故C正确；∵（﹣32，y2）关于直线x＝32的对称点为（92，y2），∵92＜5，∴y1＜y2，故D正确；

故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点、图象法求一元二次方程的近似根、根的判别式、二次函数图象与系数的关系，准确计算是解题的关键．8．如图，已知抛物线()20yaxbxca=++的对称轴为直线1

x=，与x轴的一个交点坐标为()1,0−，其部分图象如图所示．下列结论：①方程20axbxc++=的两个根是11x=−，23x=；②0abc−+=；③80ac+；④当0y时，x的取值范围是13x-<<．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【

答案】D【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．【详解】解：∵抛物线的

对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以①正确；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故②正确，∵x=-2ba=1，即b=-2a，而x=-1时，y=

0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴5a＜0，∴8a+c＜0；故③正确；当y＞0时，函数图象在x轴的上面，∴x的取值范围是-1＜x＜3；故④正确；故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的

关系，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab

＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物

线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．9．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝14x2﹣x＋9：②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图像上，则n＞m；③该二次函数图像与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x＜5.5时，m

＜y＜8．所有正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【分析】①由顶点坐标设出抛物线解析式，将点（8，0）代入解析式求解．②由图象开口向下，对称轴为直线x=2，求出点A，B距离对称轴的距离求解．③由图象的

对称性可得，抛物线与x轴两交点关于直线x=2对称，由中点坐标公式求解．④由图象中（0，8），（2，9），（5.5，m）可得y的取值范围．【详解】解：①由图象顶点（2，9）可得y=a（x-2）2+9，将（8，0）代入y=a（x-2）2+9得0=36a+9，解得a=1

4−，∴y=14−（x-2）2+9=y=14−x2+x+8，故①错误．②∵5.5-2＞2-（-1），点A距离对称轴距离大于点B距离对称轴距离，∴m＜n，故②正确．③∵图象对称轴为直线x=2，且抛物线与x轴一个交点为（8，0），∴图象与x轴的另一交点横坐标为2×2-8=-4，故③正确．

④由图象可得当x=0时，y=8，x=5.5时，y=m，x=2时，y=9，∴0＜x＜5.5时，m≤y≤9．故④错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，掌握二次函数与不等式的关系．10．如图，已知抛物线2yaxc=+与直线ykx

m=+交于1(3,)Ay−，2(1,)By两点，则关于x的不等式2axckxm+−+的解集是（）A．3x−或1xB．1x−或3xC．31x−D．13x−【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，

求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】ykxm=+与ykxm=−+关于y轴对称抛物线2yaxc=+的对称轴为y轴，因此抛物线2yaxc=+与直线ykxm=+的交

点和与直线ykxm=−+的交点也关于y轴对称设ykxm=−+与2yaxc=+交点为AB、，则A2(1,)y−，B1(3,)y2axckxm+−+即在点AB、之间的函数图像满足题意2axckxm+−+的解集为：13x−故选D．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形

结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解ykxm=+与ykxm=−+关于y轴对称是解题的关键．11．二次函数()212yx=−−+的图像与y轴交点坐标是________．【答案】（0，1）【分析】求出二次函数()

212yx=−−+，当x＝0时y的值，即可得出答案．【详解】解：∵()212yx=−−+，当x＝0时，y＝﹣1+2＝1，∴二次函数()212yx=−−+的图像与y轴交点坐标是（0，1）；故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握y轴上点的坐标特征

是解题的关键．12．若抛物线y＝x2﹣2x与x轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为_____．【答案】2【分析】根据抛物线解析式求得A、B两点坐标，然后由两点间的距离公式求线段AB的长度．【详解】解：由

抛物线y＝x2﹣2x＝x（x﹣2）知，A（0，0），B（2，0），则AB＝2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，解题时，运用了抛物线解析式的两种形式间的转换，难度不大．13．如图，二次函数2()0yaxbxca=++的图

像过点(-1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c<3b；③8a+7b+2c>0；④若点A(-3，1y)、点B(21,2y−)、点C(37,2y)在该函数图像上，则132yyy：⑤若方程()()153axx+−=−的两根为12,xx，且12xx，则12-

15.xx其中正确的结论有__________．(只填序号)【答案】①②③⑤【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由对称轴可知：x＝−2ba＝2，∴4a＋b＝0，故①正确；②由图可知：x＝−3时，y＜0，∴9a−3b＋c＜0，即9a＋c＜3b

，故②正确；③令x＝−1，y＝0，∴a−b＋c＝0，∵b＝−4a，∴c＝−5a，∴8a＋7b＋2c＝8a−28a−10a＝−30a由开口可知：a＜0，∴8a＋7b＋2c＝−30a＞0，故③正确；④由抛物线的对称性可知：点C关于直线x＝2的对

称点为（12，y3），∵−3＜−12＜12，∴y1＜y2＜y3故④错误；⑤由题意可知：（−1，0）关于直线x＝2的对称点为（5，0），∴二次函数y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋1）（x−5），令y＝−3，∴直线y＝−3

与抛物线y＝a（x＋1）（x−5）的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1＜−1＜5＜x2故⑤正确；故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中

等题型．14．如图，已知抛物线2yaxbxc=++与直线ykxm=+交于(3,1)A−−、(0,3)B两点，则关于x的不等式2axbxckxm+++的解集是__________．【答案】30x−【分析】根据图象

写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y＝2axbxc++与直线y＝kxm+交于A（−3，−1），B（0，3）两点，∴不等式2axbxckxm+++的解集是−3＜x＜0．故答案为：−3＜x＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形

结合的思想．15．已知函数y＝22(2)2(2)xxxx−+−的图象如图所示，观察图象，则当函数值y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是______．【答案】﹣22≤x≤3【分析】根据图象以及不等式解法，分别解不等式，得出自变量的取值范围即可．【详解】解：∵y＝22(2)2(

2)xxxx−+−，∴当函数值y≥﹣6时，分两种情况：①x≤2时，﹣x2+2≥﹣6，x2≤8，结合图象可以得出：﹣22≤x≤2，此时x≤2，所以﹣22≤x≤2，②x＞2时，当函数值y≥﹣6时，﹣2x≥﹣6，解得：x≤3，此时x＞

2，所以2＜x≤3．综上所述，y≥﹣6时，对应的自变量x的取值范围是：﹣22≤x≤3，故答案为﹣22≤x≤3．【点睛】此题考查依据图象及函数值求自变量的取值范围，列一元一次不等式解决问题，正确理解题意及函数图象是解题的关键．1

6．如图，已知抛物线2yxbxc=++经过A（-3，0）、C（0，-3）两点．（1）求b，c的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当0y时，x的取值范围．【答案】（1）23bc==−；（2）31x−【分析】（1）运用待定系数法将A（-3，

0）、C（0，-3）两点的坐标代入抛物线解析式，即可得出b，c的值；（2）根据x轴上的点的纵坐标为零，令0y，求出x的值即可得出B的坐标，结合图像，直接写出当0y时，x的取值范围即可．【详解】解：（1）将（-3，0），（0，-3）代入2yxbxc=++得：9-303bcc+==−，解

得：23bc==−，∴b，c的值分别为2，-3；（2）由（1）可知抛物线的解析式为22-3yxx=+，当0y=时，22-30xx+=，解得：1213xx==−，，∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（1，0），由图象可知当0y时，31x−．【点睛】本题考查了待

定系数法求二次函数解析式，根据函数值的范围求自变量取值范围等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合的思想解题．17．抛物线223yxx=−−+与x轴交与点A、B（点A在B右侧），与y轴交与点C，且点D为抛

物线的顶点，连接BD，CD，（1）求四边形BOCD的面积（2）求BCD的面积【答案】（1）7.5；（2）3【分析】（1）连接OD，先求出B、C、D的坐标，然后根据OCDOBDBOCDSSS=+△△四边形求解即可；（2）根据BCDOCBBOCDSSS=−V△四边形求解即可．【详解】解：（1）如图所

示，连接OD，∵抛物线()222314yxxx=−−+=−++与y轴交与点C，且点D为抛物线的顶点，∴C（0，3），D（-1，4），令y=0，则2x2x30−−+=即()()130xx−+=，解得1x=或3x=−，∴A（1，0），B（-3，0）∴1

311.52OCDS==△，13462OBDS==△，∴7.5OCDOBDBOCDSSS=+=△△四边形；（2）∵11334.522OCBSOBOC===g△，∴=7.54.5=3BCDOCBBOCDSSS=−−V△四边形．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，三角形

面积，四边形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．18．如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c图象经过点A(1，4)和点C(0，3)（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数图象，填空：①当－1＜x＜2时

，y的取值范围是；②当y≤3时，x的取值范围是．【答案】（1）2yx2x3=−++；（2）①04y；②0x或2x【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象即可得到结论．【详解】解：（1）将点A和点C的坐标代入函数解析式，

得243acc++==，解得13ac=−=，二次函数的解析式为y＝−x2＋2x＋3；（2）由图象知，①当−1＜x＜2时，函数y的取值范围：0＜y≤4．②因为对称轴是直线x=1，点C关于对称轴的对称点的横坐标为2，当y≥3时，由图象可知x的取值范围是：0x或2x

．故答案为：0＜y≤4，0x或2x．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．