【文档说明】江苏省南通市2021届高三上学期期初调研数学试题.docx，共(20)页，748.441 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U＝R，集合A＝216xx，集合B＝

22xx，则U(A)Bð＝A．[4，+)B．(1，4]C．[1，4)D．(1，4)2．已知5log2a=，7log2b=，20.5ac−=，则a，b，c的大小关系为A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．c＜b

＜aD．c＜a＜b3．若3cos()5+=，5sin()413−=，，(0，2)，则cos()4+＝A．3365−B．3365C．5665D．1665−4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱

逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为A．30B．60C．90D．1205．函数()2sin()fxx=+(＞0，＜)的部分图像如图所示，

且()fx的图像过A(2，1)，B(2，﹣1)两点，为了得到()2singxx=的图像，只需将()fx的图像A．向右平移56B．向左平移56C．向左平移512D．向右平移512第5题第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞

、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(-表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A．18B．14C．38D．127．设F1，F2分别为

双曲线C：22221xyab−=(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：222xya+=相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于A．3B．2C．22D．48．对于函数()yfx=，若存在区间[a，b]，当x

[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称()yfx=为k倍值函数．若()e2xfxx=+是k倍值函数，则实数k的取值范围是A．(e＋1，+)B．(e＋2，+)C．(1ee+，+)D．(2ee+，+

)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下列说法正确的是A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5

x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(＞0)，则P(＞1)＝0.510．已知抛物线C：22ypx=过点P(1，1)，则下列结论正确的是A．点P到抛物线焦点的距离为

32B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为532C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0D．过P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值11．在△ABC中，已知bcos

C＋ccosB＝2b，且111tanAtanBsinC+=，则A．a，b，c成等比数列B．sinA：sinB：sinC＝2：1：2C．若a＝4，则S△ABC＝7D．A，B，C成等差数列12．已知函数()lnfxxx=，若120xx，则下列选项正确的是A．1212()()0fxfxxx−

−B．1122()()xfxxfx++C．2112()()xfxxfxD．当211exx时，11222112()()()()xfxxfxxfxxfx++三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班

共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为．14．曲线ln1yxx=++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．15．已知P是边长为2的正

六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，

则12ee＝；且22123ee+的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数2()23sincos2sin1fxxxx=+−．（1）求函数()fx的单调递增

区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(A)2f=，C＝4，c＝2，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习

，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．满意不满意总计男生女生合计120（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认

为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．附公式及表：22()(

)()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．)(02kKP0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点

，其焦点与双曲线22221xy−=的焦点重合，点P(0，3)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同两点A，B，且OAOB0=(O为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m2﹣12k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知函数2()f

xxbxc=++，且()0fx的解集为[﹣1，2]．（1）求函数()fx的解析式；（2）解关于x的不等式()2(1)mfxxm−−(m≥0)；（3）设()31()2fxxgx+−=，若对于任意的1x，2x[﹣

2，1]都有12()()gxgxM−，求M的最小值．21．（本小题满分12分）已知221()(ln)xfxaxxx−=−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a＝1时，证明3()()2fxfx+对于任意的x[1，2]成立．22

．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24yx=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143xy+=于C、D

两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添

涂在答题卡相应位置上）1．记全集U＝R，集合A＝216xx，集合B＝22xx，则U(A)Bð＝A．[4，+)B．(1，4]C．[1，4)D．(1，4)答案：C解析：∵集合A＝21644xxx

xx=−或，∴UA44xx=−ð，又∵B＝221xxxx=，∴U(A)Bð＝[1，4)，故选C．2．已知5log2a=，7log2b=，20.5ac−=，则a，b，c的大小关系为A．b＜

a＜cB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．c＜a＜b答案：A解析：∵555log2log1=，∴1a，∴210.50.52a−−=，∴2c，又57log2log2，ab，∴b＜a＜c，故选A．3．若3

cos()5+=，5sin()413−=，，(0，2)，则cos()4+＝A．3365−B．3365C．5665D．1665−答案：C解析：∵，(0，2)，∴+(0，π)，4−(4−，4)，∴4sin()5+=，12cos()413−=，∴

cos()cos[()()]cos()cos()sin()444+=+−−=+−++3124556sin()451351365−=+=，故选C．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用

来组建航母编队，则不同的组建方法种数为A．30B．60C．90D．120答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360CCCC+=，故选B．5．函数

()2sin()fxx=+(＞0，＜)的部分图像如图所示，且()fx的图像过A(2，1)，B(，﹣1)两点，为了得到()2singxx=的图像，只需将()fx的图像A．向右平移56B．向左平移56C．向左平移512D．向右平移512答案

：C解析：由题意知22T=，T=，∴＝2，2226k+=+，526k=−+，∵＜，∴56=−，∴55()2sin(2)2sin2()612fxxx=−=−，故选C．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、

坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(-表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A．18B．14C．38D．12答案：C解析：P＝38，故选C．7．设F1，F2分别为双曲线C：22221xyab−=(a＞0

，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与圆O：222xya+=相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线的离心率等于A．3B．2C．22D．4答案：A解析：12tanPFF2bcaa

bc==，222ba=，223ca=，3e=，故选A．8．对于函数()yfx=，若存在区间[a，b]，当x[a，b]时的值域为[ka，kb](k＞0)，则称()yfx=为k倍值函数．若()e2xfxx=+是k倍值函数，

则实数k的取值范围是A．(e＋1，+)B．(e＋2，+)C．(1ee+，+)D．(2ee+，+)答案：B解析：()e2xfxx=+是单调增函数，故e2e2abakabkb+=+=，故a，b是方程e2xxkx+=的两个根，令()e(2)xgxkx=+−，()e(2)xgxk=+

−，当k＞2，x＝ln(2)k−时，()gx有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0gkkkk−=−−−−，解得k＞e＋2，故选B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添

涂在答题卡相应位置上）9．下列说法正确的是A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B．设有一个回归方程y＝3﹣5x，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D．在

某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(＞0)，则P(＞1)＝0.5答案：BD解析：选项A，方差变为原来的a2倍，故A错误；线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C错误，故选

BD．10．已知抛物线C：22ypx=过点P(1，1)，则下列结论正确的是A．点P到抛物线焦点的距离为32B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则△OPQ的面积为532C．过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0D．过P作两条斜率互为相反数的直线

交抛物线于点M，N，则直线MN的斜率为定值答案：BCD解析：∵抛物线C：22ypx=过点P(1，1)，∴12p=，∴2yx=，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x＝14−，故点P到抛物线焦点的距离为54，故A错误；△OPQ的面积215442sin3225pS

===，故B正确；设过点P的直线方程为1ykxk=+−，与抛物线联立并化简得210kyyk−+−=，14(1)0kk−−=，解得k＝12，故过点P与抛物线相切的直线方程为x﹣2y＋1＝0，C正确；设PM的斜率为k，

则PN的斜率为﹣k，求得M(22(1)kk−，1kk−)，N(22(1)kk+，1kk+−)，求得MN的斜率为12−，D正确，故选BCD．11．在△ABC中，已知bcosC＋ccosB＝2b，且111tanAt

anBsinC+=，则A．a，b，c成等比数列B．sinA：sinB：sinC＝2：1：2C．若a＝4，则S△ABC＝7D．A，B，C成等差数列答案：BC解析：由111tanAtanBsinC+=得，coscos1sins

insinABABC+=，2sinsinsinABC=，故ab＝c2，故a，c，b成等比数列，故A错误；∵bcosC＋ccosB＝2b，∴a＝2b，又ab＝c2，∴c＝2b，∴a：b：c＝2：1：2，∴sinA：sin

B：sinC＝2：1：2，故B正确；cosC＝222412322214abcab+−+−==，sinC＝74，∴S＝11sin422abC=7274=，故C正确；cosB＝2224215228222acbac+−+−==，故B≠60°，故D错误，故选BC．12．已知函数()l

nfxxx=，若120xx，则下列选项正确的是A．1212()()0fxfxxx−−B．1122()()xfxxfx++C．2112()()xfxxfxD．当211exx时，11222112()()()()xfxxfxxfxxfx++答案：CD解析：首先注意到函数()lnf

xxx=，在(0，1e)单调递减，在(1e，+)单调递增，故A错误，112221121112()()()()()[()()]0xfxxfxxfxxfxxxfxfx++−−，故D正确；令()()lngxfxxxxx=+=+，不是单

调函数，故B错误；令()()lnfxhxxx==，是单调增函数，故C正确，故选CD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三

好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为．答案：18解析：P＝51408=．14．曲线ln1yxx=++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为．答案：2yx=解析：

ln1yxx=++，11yx=+，设切点横坐标为0x，001121xx+==，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)yx−=−，即2yx=．15．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范围是．答案：(﹣2，6)解析：点

P与点F重合时，APAB有最小值为﹣2，当点P与点C重合时，APAB有最大值为6，故APAB的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，椭圆的一个短轴端点为B，直线F1

B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e，则12ee＝；且22123ee+的最小值为．答案：1；23解析：设椭圆方程为2222111xyab+=，双曲线方程为2222221xyab−=，则由直线F1B与双曲线的一条渐

近线平行，得222222212121222222222211bbbbaccaecacacae−−====，∴12ee＝1；所以22121232323eeee+=，当且仅当2122333ee==取等

号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数2()23sincos2sin1fxxxx=+−．（1）求函数()fx的单调递

增区间；（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(A)2f=，C＝4，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）∵()223213fxsinxcosxsinx=+−=sin2x﹣cos2x＝2sin（2x6−），令2kπ

2−2x6−2kπ2+，k∈Z，解得kπ6−x≤kπ3+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ6−，kπ3+]，k∈Z．（2）∵f（A）＝2sin（2A6−）＝2，∴sin（2A6−）＝1，∵A∈（0，π），2A6−∈

（6−，116），∴2A62−=，解得A3=，∵C4=，c＝2，∴由正弦定理sinabsinAB=，可得2sinsin341322cBbsinC+===+，∴S△ABC12=absinC162=（13+）23322+=

．18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．满意不满

意总计男生女生合计120（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出

的分布列及期望值．附公式及表：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．)(02kKP0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1

）因为男生人数为：11120551113=+，所以女生人数为1205565−=，于是可完成22列联表，如下：满意不满意总计男生302555女生501565合计8040120根据列联表中的数据，得到2K的观测值2120(30152550)9606.

7136.63555658040143k−==，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知的可能取值为0,1,2,3，并且服从超几何分布，()()335380,1,2,3kkCCPkkC−==

=，即3215533388515(0),(1)2828CCCPPCC======,1235333388151(2),(3)5656CCCPPCC======.可得分布列为0123P528152

81556156可得5151519()0123282856568E=+++=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线22221xy−=的焦点重合，点P(0，3)在椭圆C上，动直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同两点A，B，且OAOB0=(O为坐标原点

)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m2﹣12k2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）因为双曲线22221xy−=的焦点为()1,0，所以在椭圆C中1c=，设椭圆C的方程为()2222110yxaaa+=−，由

点()0,3P在椭圆C上得2311a=−，解得242aa==，则413b=−=，所以椭圆C的方程为22143xy+=（2）22712mk−为定值，理由如下：设()()1122,,,AxyBxy，由0OAOB=可知12

120xxyy+=，联立方程组()222223484120143ykxmkxmkxmxy=++++−=+=，由()()2222644344120mkkm=−+−得2234mk+，21212228412,3434kmmxxxxkk−+=−=++，①由12120

xxyy+=及ykxm=+得()()12120xxkxmkxm+++=，整理得()()22121210kxxkmxxm++++=，将①式代入上式可得()222224128103434mkmkkmmkk−+−+=++，同时乘以234k+可化简得()()

222222214128340kmkmmmk+−−++=，所以22712=12mk−，即22712mk−为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()fxxbxc=++，且()0fx的解集为[﹣1，2]．（1）求函数()fx的解析式；（2）解关于x的不

等式()2(1)mfxxm−−(m≥0)；（3）设()31()2fxxgx+−=，若对于任意的1x，2x[﹣2，1]都有12()()gxgxM−，求M的最小值．解：（1）因为()0fx的解集为[1,2]−，所以20xbxc++=的根为1−，2，所以1b−=，2c=−，即1

b=−，2c=−；所以2()2fxxx=−−；（2）()2(1)mfxxm−−，化简有2(2)2(1)mxxxm−−−−，整理(2)(1)0mxx−−，所以当0m=时，不等式的解集为(,1)−，当02m

时，不等式的解集为2(,1),m−+，当2m=时，不等式的解集为(,1)(1,)−+，当2m时，不等式的解集为()2(,)1,m−+，（3）因为[2,1]x−时2()3123fxxxx+

−=+−，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]fxxxx+−=+−−，则有2()3123()22fxxxxgx+−+−==，所以，1(),116gx，因为对于任意的12,[2,1]xx−都有12|()(

)|gxgxM−，即求12|()()|MaxgxgxM−，转化为()()MaxMingxgxM−，而()(1)1Maxgxg==，1()(1)16Mingxg=−=，所以，此时可得1516M，所以M的最小值为1516

.21．（本小题满分12分）已知221()(ln)xfxaxxx−=−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a＝1时，证明3()()2fxfx+对于任意的x[1，2]成立．解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'

()aaxxfxaxxxx−−=−−+=.当，时，'()0fx，单调递增；(1,),'()0xfx+时，单调递减.当时，3(1)22'()()()axfxxxxaa−=+−.①，，当或x时，'()0fx，单调递增；当x时，'()0fx，单调递减；②时，，在x内，

'()0fx，单调递增；③时，，当或x时，'()0fx，单调递增；当x时，'()0fx，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递

增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln(1)xfxfxxxxxxx−−=−+−−−+23312ln1xxxxx=−++−−，，令，.则()'()()()fxfxgxhx−=+，由1'()0xgxx−=可得，当且仅当时取得等号.又

24326'()xxhxx−−+=，设，则在x单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()hx在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2fxfxgh−+=，即3()'(

)2fxfx+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24yx=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143xy+=于C、D两点，S1，

S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,Axy、()22,Bxy，则以A为切点的切线方程为()1112yyxxy−=−，即()112yyxx=+，同理以B为切点的切线方程为()222yyxx=+，两条切线均过

点()1,Pt−，()()11222121tyxtyx=−+=−+，即1122220220xtyxty−−=−−=，所以，点A、B的坐标满足直线220xty−−=的方程，所以，直线AB的方程为220xty−−=，在直线AB的方程中，

令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P到直线AB的距离为d，则1212PABPCDdABABSSCDdCD==△△.由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为1xmy=+，设()33,Cxy、()44,Dxy，由24

1yxxmy==+，得2440ymy−−=，()21610m=+恒成立，由韦达定理得124yym+=，124yy=−，由弦长公式可得()()222212121211441ABmyymyyyym=+−=++−=+由221431

xyxmy+==+，得()2234690mymy++−=，()()22236363414410mmm=++=+恒成立.由韦达定理得342634myym+=−+，342934yym=−+，由弦长公式得()()22223

43434212111434mCDmyymyyyym+=+−=++−=+.()()2222241344433312134PABPCDmABSmmSCDmm++====+++△△，当且仅当0m=时，等号成立.因此，12SS的最小值为43.