【文档说明】江苏省如皋市第一中学2020-2021学年高二上学期9月调研数学试题 含答案.docx，共(13)页，556.119 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷第I卷（选择题）一、单选题1．双曲线2214yx−=的渐近线方程为()A．4yx=B．14yx=C．2yx=D．12yx=2．已知椭圆221102xym

m+=−−的焦点在y轴上，且焦距为4，则m等于（）A．4B．5C．7D．83．已知双曲线22221xyab−=一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的实轴长为（）A．55B．1

2C．255D．14．设P是椭圆22116925xy+=上一点，M，N分别是两圆：()22121xy++=和()22121xy−+=上的点，则PMPN+的最小值、最大值分别为（）A．18，24B．16，22C．24，28D．20，265．点

P在曲线24yx=上，过P分别作直线1x=−及3yx=+的垂线，垂足分别为G，H，则PGPH+的最小值为（）A．322B．22C．3212+D．22+6．已知F为抛物线()2:20Cypxp=的焦点，过F

作垂直x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆交y轴于C、D两点，且3CD=，则抛物线方程为（）A．223yx=B．22yx=C．243yx=D．26yx=7．设,,abRab且0ab，则方程0bxya−+=和方程22axbya

b−=，在同一坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．8．已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F.2F也是抛物线E：()220ypxp=的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线1AF

的倾斜角为45，则C的离心率为（）A．512−B．21−C．35−D．21+二、多选题9．已知12,FF分别是双曲线22:1Cxy−=的左右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PFPF=，则下列结论正

确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为yx=B．以12FF为直径的圆的方程为221xy+=C．1F到双曲线的一条渐近线的距离为1D．12PFF的面积为110．在平面直角坐标系xOy中，椭圆()222210xyabab+=上存在点P，使得123PFPF=，其中1F、2F分别为椭圆的左、右焦点，

则该椭圆的离心率可能为（）A．14B．12C．356−D．3411．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已

知点()10M，，直线l：2x=−，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段B．点P的轨迹与直线'l：1x=−是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C．26yx=+不是“最

远距离直线”D．112yx=+是“最远距离直线”12．已知P是双曲线C：2214xym−=上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k（120kk），若12kkt+恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正

确的是（）A．双曲线的方程为2214xy−=B．双曲线的离心率为5C．函数log(15)ayx=++（0a，1a）的图象恒过双曲线C的一个焦点D．直线0xy−=与双曲线C有两个交点第II卷（非选择题）三、填空题13．椭圆22143xy+=上一点A到左焦点的距离为5

2，则A点到右准线的距离为________．14．有一座抛物线形拱桥，已知拱顶离水面2m，水面宽4m，当水面下降1m后，水面宽为___________m.15．已知双曲线C：22xa－22yb＝1(a>0，b>0)与椭圆2

16x＋212y＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则212PFPF的最小值为________．16已知椭圆()222210xyabab+=的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是1F、2F

，且1FAB的面积为232−，则椭圆的方程为_______；若点P为椭圆上的任意一点，则1211PFPF+的取值范围是_________.五、解答题17．如图，点12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyCa

bab+=的左、右焦点．点A是椭圆C上一点，且满足1AFx⊥轴，2130AFF=，直线2AF与椭圆C相交于另一点B．（1）求椭圆C的离心率e；（2）若1ABF的周长为43，求椭圆C的标准方程．18．在平面直角坐标系xOy中，直线

l与抛物线24yx=相交于不同的,AB两点.（1）如果直线l的方程为1yx=−，求弦AB的长；（2）如果直线l过抛物线的焦点，求OAOB的值.19．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率3e=，双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离

为31−.（1）求双曲线C的方程.（2）过点()1,1P是否存在直线l，使直线l与双曲线C交于,RT两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求出直线l的方程；若不存在，说明理由.20．如图，某野生保护

区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点、、ABC，且30OAOBOCkm===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒（注：信号每秒传播0V千米）.（1）以O

为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O的距离；（3）若C点监测点信号失灵，现

立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？21．已知斜率为1的直线交抛物线C：22ypx=（0p）于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2.（1）求抛物线C的标准方程；（2）记点(1,2)P，过点P作两条直线PM，PN分别交

抛物线C于M，N（M，N不同于点P）两点，且MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为定值.22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx=的焦点，离心率为255.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ

）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若1MAAF=，2MBBF=，求12+的值.江苏省如皋市第一中学2020至2021学年高二9月调研数学试卷参考答案1．C2．D3．C4．C5．B6．A7．B8．B9．ACD10．BD11【答案】BCD12【答案】AC13【答

案】314．2615．816【答案】2214xy+=1,417．（1）33；（2）22132xy+=【详解】（1）12RtAFF△中，2130AFF=，122FFc=，112tan30AFFF=，即1332AFc=，

解得1233cAF=，122cos30FFAF=，即2322cAF=，解得2433cAF=，由椭圆的定义，得124323233ccaAFAF=+=+，即3ac=，离心率33cea==；（2）1ABF的周长111122443AFBFABAFBFAFBFa=++=+++==，3a=，33ce

a==，1c=，2222bac=−=，椭圆C的标准方程为22132xy+=.18．（1）8（2）-3【详解】设()11,Axy，()22,Bxy.（1）联立241yxyx==−得：2610xx−+=.由韦达定理得：126xx+=，121xx=.∴()()221212ABxxyy=

−+−()21212248xxxx=+−=.（2）由直线l过抛物线焦点()1,0且与抛物线有两个不同交点，故可设方程为：1xmy=+，联立241yxxmy==+得：2440ymy−−=，由韦达定理：124yym+=，124yy=−，∴()

()11221212,,OAOBxyxyxxyy==+()()121211mymyyy=+++()()2121211myymyy=++++2244413mm=−−++=−.19．（1）2212yx−=（2）不存在,详见解析【详解】解：（1）由离心率3e

=，得3ca=.①又双曲线C上任意一点到其右焦点的最小距离为31−，则31ca−=−.②由①②，解得3,1ca==，则2222bca=−=，∴双曲线的方程为2212yx−=.（2）假设存在过点()1,1P的直线l，使直线l与双曲线C交于,RT两点，且点P是线段RT的中点.设()(

)1122,,,RxyTxy，则有221122221212yxyx−=−=两式作差，得()()()()1212121202yyyyxxxx+−+−−=，即()()121212122xxyyxxyy+−=−+.又点P是线段RT的中点，则121

22,2xxyy+=+=，∴直线l的斜率()()1212121222xxyykxxyy+−===−+，则直线l的方程为()121yx−=−，即21yx=−，代入双曲线C的方程2212yx−=，得22430xx−+=，1

62480=−=−，方程没有实数解.∴过点()1,1P不存在直线l，使直线l与双曲线C交于,RT两点，且点P是线段RT的中点.20【答案】（1）221(0)400500xyx−=（2）(205,205),2010POP−=（3）202【详解】（1）设观察员可能出现的位置的

所在点为(),Pxy因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早040V秒故00404060PBPAVABV−===故点P的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)xyxab−=由题可知240,260ac==，解得222500bca=−=，故点P的轨迹方程为2

21(0)400500xyx−=.（2）因为()()30,0,0,30AC−，设AC的垂直平分线方程为ykx=则()3001030k−=−−−，则AC的垂直平分线方程为yx=−联立221(0)400500x

yx−=可得22000x=，故205,205xy=−=故观察员遇险地点坐标为()205,205−与检测中心O的距离为()()222052052010km−+=.（3）设轨迹上一点为(),Pxy，则()

22223060900PCxyxyy=+−=+−+又因为221400500xy−=，可得2244005xy=+代入可得：229950601300800800202553PCyyy=−+=−+=当且仅当503y=时，取得最小值202.故扫描半径r至少是202k

m.21．(1)2=4yx;(2)见解析.【详解】(1)设()(),,,AABBAxyBxy,则222,2AABBypxypx==,两式相减,得:22ABBApyypk+==由弦AB中点的纵坐标为2,得4AByy+=,故=2p.所以抛物线C的标准方程

2=4yx.(2)由MPN的平分线与y轴垂直,可知直线PM，PN的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设()()1122,,,MxyNxy直线:(1)2,0PMykxk=−+由2(1)24yk

xyx=−+=得()2222244(2)0kxkkxk−−++−=由点(1,2)P在抛物线C上,可知上述方程的一个根为22122(2)441,1kkkxkk−−+==.即21244kkxk−+=,

同理2212122222+442888,,kkkkxxxxxkkkk++−−=+=−==()()12121212yykxkx−=−+−−−+()212228822kkxxkkkkk+=+−=−=.12MN1281.8yykkxxk−===−−−直线MN的斜率为

定值1−.22．（Ⅰ）2215xy+=（Ⅱ）-10【详解】（Ⅰ）设椭圆C的方程为()222210xyabab+=，抛物线方程化为24xy=，其焦点为()0,1则椭圆C的一个顶点为()0,1，即1b=，由222255cabeaa−===，解得25a=，∴椭圆C的标

准方程为2215xy+=（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为2215xy+=，∴椭圆C的右焦点()2,0F设()11,Axy，()22,Bxy，()00,My，由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为()2ykx=−，代入方程2215xy+=

，并整理，得()222215202050kxkxk+−+−=，∴21222015kxxk+=+，212220515kxxk−=+，又()110,MAxyy=−，()220,MBxyy=−，()112,AFxy=−−，()222,BFxy=−−，而1MAAF=，2MBBF=，即()()

1101110,2,xyyxy−−=−−，()()2202220,2,xyyxy−−=−−，∴1112xx=−，2222xx=−，∴()()1212121212121222102242xxxxxxxxxxxx+−+=+==−−−−++.