【文档说明】广东省湛江市第二十一中学2020届高三下学期6月热身数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.700 MB，由小赞的店铺上传

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湛江市第二十一中学2020届热身考试参考答案与试题解析一.选择题（共12小题）1.已知集合2|20Axxx…，{||1|2}Bxx„，则AB（）A.{1}[2,3]B.[2,3]C

.[1,3]D.{1}[1,3]【答案】A【解析】【分析】首先解出集合,AB，再利用集合的交运算即可求解.【详解】{|1Axx„或2}x…，{|13}Bxx剟，∴{1}[2,3]AB.故选：A【点睛】本题主要考查了集

合的交运算，同时考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，属于基础题.2.已知22aiaR是纯虚数，则ai（）A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】【分析】化简复数后，根据纯虚数的概念可得2a，再根据复数的模的计算公式可得答案.【详解】

22244aiaai，因为22aiaR是纯虚数，所以24040aa，所以2a，所以25aii，故选：B【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的概念，考查了复数的模长公式，属于基础题.

3.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入（）A.

33nsm；100?nB.33msn；100?nC.33msn；100?sD.33nsm；100?s【答案】D【解析】【分析】n表示小僧人数，m表示大僧人数，由已知“大僧三个更无争，小僧三人分一个”可设馒头数为s，则33nsm

；馒头共有100个，即可作为判断程序结束的条件.【详解】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则33nsm，所以①中填入33nsm，当100s=时结束程序，输出n，故选：D【点睛】本题考查完善程序框

图的执行框与判断框，属于简单题.4.已知实数a满足210a.命题P：函数241yxax在1,1上单调递减.则命题P为真命题的概率为（）A.14B.13C.12D.34【答案】A【解析】【分析】计算得到11a，命题P为真命题，则有12a，根据几何概型计算得到答案.【详解】

由210a有11a，若命题P为真命题，则有21a，即12a；所以命题P为真命题的概率为11224p，故选：A.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，几何概型，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5.已知na是各项不相等的等差数列，若14a，且2a，4a，8a成等比数

列，则数列na的前8项和8S（）A.112B.144C.288D.110【答案】B【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，0d，由等比中项的性质和等差数列的通项公式即可得公差，再由等差数列的求和公式即可得解.【详

解】na是各项不相等的等差数列，设公差为d，0d，若14a，且2a，4a，8a成等比数列，可得2284aaa，即244743ddd，解得4d或0d（舍去），则数列na的前8项和8187188487414422Sad.故选：

B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质，考查了方程思想和运算求解能力，属于基础题.6.函数32sin()xxxgxe的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负

排除一些选项．【详解】由32sin()()xxxfxfxe，知()fx为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe，排除C；322732sin38202fe，排除A．故

选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．7.4112xx展开式中2x的系数为（）A.24B.8C.16D.

24【答案】C【解析】【分析】由题意结合二项式定理可得412x展开式的通项公式142rrrrTCx，分别令2r=、1r，运算即可得解.【详解】由题意4441121212xxxxx，二项式412x展开式的通项公式

4144122rrrrrrrTCxCx，令2r=，2222442224rrrCxCxx；令1r，144228rrrCxCxx；所以2x的系数为24816.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能

力，属于基础题.8.已知,ab为不共线的两个单位向量，且a在b上的投影为12，则|2|ab()A.3B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】由已知得到1||cos2a，进一步得到12ab，再代入22|2|44ababa

b中计算即可.【详解】设,ab的夹角为，由已知，||1a，1b||=，1||cos2a，所以1||||cos2abab，所以221|2|44414()72ababab.故选：D【点睛】本题

考查向量模的计算，涉及到向量的投影，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.9.已知如图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的棱的长度中，最大的是（）A.23B.22C.5D.3【答案】B【解析】【分析】先由三视图可知该几何

体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.【详解】由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，其中PAPBABADBCCD2，22PD22PAAD；22PC22PBBC，所以最长的棱的长度为22.故选B【点睛】本题主要考查几

何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型.10.将函数2()sin223cos3fxxx图象向右平移π12个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数gx的图象，则下列说法中正确的是

（）A.gx的周期为πB.gx是偶函数C.gx的图象关于直线π12x对称D.gx在ππ,63上单调递增【答案】D【解析】【分析】首先利用三角恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型

函数，再利用图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数gx的关系式，然后再利用正弦函数的性质对各选项进行判断，即可得到结果．【详解】函数2sin223cos3sin23cos22sin23fxxxxxx

，把函数图象向右平移π12个单位，得到2sin22sin21236yxx，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到2sin6gxx．①故函数的最小正周期为2

，故选项A错误；②函数gxgx，不为偶函数，故选项B错误；③当π12x时，2212g，故选项C错误；④由于,63x，所以062x，故函数gx单调递增，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：

三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．11.已知双曲线2222:1xyCab（0a，0b），

以点P（,0b）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若90MPN，则C的离心率为（）A.2B.3C.52D.72【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线C的一条

渐近线交于,MN两点，且90MPN，则可根据圆心到渐近线距离为22a列出方程，求解离心率．【详解】不妨设双曲线C的一条渐近线0bxay与圆P交于,MN，因为90MPN，所以圆心P到0bxay的距离为：222222bbacab，即22222caac，因为1cea

，所以解得2e．故选A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,ac的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中

的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.12.已知四棱锥PABCD的顶点都在球O的球面上，PA底面ABCD，1ABAD，2BCCD，若球O的表面积

为36，则PA（）A.2B.6C.31D.33【答案】C【解析】【分析】根据球O的表面积为36可得外接球半径R,再根据底面ABCD中的边长关系,结合圆的内接四边形的性质求解底面ABCD外接圆的半径r,进而求得PA即可.【详解】设球O的半径为R,

则2436R,解得3R.设底面ABCD外接圆的半径r,则由圆的内接四边形的性质可知180BD,又1ABAD,2BCCD,ACAC.故ABCADC△△.故90BD.故221252ACr.

故222236531PARr.故选：C【点睛】本题主要考查了外接球的问题,需要根据底面圆的直径以及锥体高与球的直径满足的勾股定理,再结合底面外接圆的内接四边形的性质进行求解.属于中档题.二.填空题（共4小题）13.若曲线32yxx在点P处的切线l与直线yx垂直，则切线l的

方程为_____或_____.【答案】(1).1yx(2).527yx【解析】【分析】根据题意可设32000,Pxxx，结合导数的运算及几何意义可得200321xx，解出0x，从而可得点P的坐标，根据直线的点斜式方程即可求出切线的方程.【详解】由题意曲线32yxx在

点P处的切线斜率为1，设32000,Pxxx，232yxx，∴200321xx，解得013x或01x，∴14,327P或1,0P，∴切线l的方程为41273yx即527yx或1yx.故答案为：1yx

；527yx.【点睛】本题考查了导数的运算及几何意义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14.公比为正数的等比数列na的前n项和为nS，若22a，4250SS，则63SS的值为__________

．【答案】56【解析】【分析】根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.【详解】22a，4250SS，1142112,1,(1)(1)5,2,11aqaaqaqqqq3456345622256SSaaa

.故答案为：56.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员

去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为___________．【答案】114【解析】【分析】先排甲乙，将最后的三人分成四种情况：（1）三人一起去第三所学校，（2）两个人去第三所学校，另一个人到前两所学校中任意一

所，（3）一人到第三所学校，另两个人一起到前两所学校中的任意一所，（4）一人到第三所学校，另两人分别到前两所学校中的任意一所.再分别计算即可得到答案.【详解】分四种情况：（1）安排甲去一所学校共有13C种方法，安排乙到第二所学校共有12C种方法，余下三人去第

三所学校共有1种方法，共有11321=6CC种方法.（2）安排甲去一所学校共有13C种方法，安排乙到第二所学校共有12C种方法，余下的三人中两人一起去第三所学校有23C种方法，另一个人去前两所学校中任意一所共有12C种方法，共有11213232=36CCCC种方法.

（3）安排甲去一所学校共有13C种方法，安排乙到第二所学校共有12C种方法，余下的三人中一人去第三所学校有13C种方法，另外两人一起去前两所学校中任意一所共有12C种方法，共有11113232=36CCCC种方法.（4）安排甲去一所学

校共有13C种方法，安排乙到第二所学校共有12C种方法，余下的三人中一人去第三所学校有13C种方法，另外两人分别去前两所学校中任意一所共有22A种方法，共有11123232=36CCCA种方法.综上共有6363636114种方法.故答案为：114【点

睛】本题主要考查排列组合的综合应用，考查了学生的分类讨论的思想，属于中档题.16.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB与抛物线的准线分别相交于点P，Q，则PQ的最小值为_

____________.【答案】4【解析】【分析】设直线l的方程为1myx，联立方程，利用根与系数的关系，求得1212,yyyy及121xx结合直线OA和OB的方程，得出点P和Q的坐标取得4PDQD，再结合基本不等式

，即可求解.【详解】设点A、B的坐标分别为11,xy，22,xy，直线l的方程为1myx，联立方程241yxmyx消去x后整理为2440ymy，可得124yym，124yy，则221212116yy

xx，直线OA的方程为11yyxx，可求得点P的坐标为111,yx，直线OB的方程为22yyxx，可求得点Q的坐标为221,yx，记抛物线的准线与x轴的交点为D，有121

2441yyPDQDxx，由42PQPDQDPDQD，当且仅当PDQD时，等号成立，所以PQ的最小值为4.故答案为:4【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应

用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．三.解答题（共7小题）17.已知三角形ABC中，三个内角、、ABC的对应边分别为

abc、、，且5,7ab.（1）若3B，求c；（2）设点M是边AB的中点，若3CM，求三角形ABC的面积.【答案】（1）8c（2）66【解析】【分析】（1）用余弦定理后解方程可求得c；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的

余弦，转化为正弦后可得三角形面积．【详解】（1）由余弦定理可得22222cos492558bacacBccc.（2）由题意可得2222cosCACMAMCMAMAMC，2222cosCBCMBMCMBMBMC，又AMBM，AMCBMC，∴22

222CACBCMAM，即2492529AM，∴27AM，∴247cAM，由222492511219126cossin2703535abcCCab，∴11126sin

57662235ABCSabC.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论22222CACBCMAM成立（其中M是AB中点）．18.如图，四边形ABCD为正方形，PA∥CE，AB=CE

12PA，PA⊥平面ABCD.（1）证明：PE⊥平面DBE；（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析.（2）306【解析】【分析】（1）连结AC，推导出BD⊥AC，PA⊥BD，PA⊥AD，从而BD⊥平面APEC，进而BD⊥PE，推导出PE⊥DE，由此能证明PE⊥平

面DBE.（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣E的正弦值.【详解】（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA⊥AD，∵P

A∩AC=A，∴BD⊥平面APEC，∵PE⊂平面APEC，∴BD⊥PE，设AB=1，则AD=1，PA=2，∴PD5，同理解得DE2，在梯形PACE中，解得PE3，∴PE2+DE2=PD2，∴PE⊥DE，∵BD∩DE=D，∴PE⊥平面DBE.（2）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y

，z轴，建立空间直角坐标系，令AB=1，则CE=1，AP=2，∴P(0，0，2)，E(1，1，1)，D(1，0，0)，B(0，1，0)，EP(﹣1，﹣1，1)，DP(﹣1，0，2)，BP(0，﹣

1，2)，BD(1，﹣1，0)，设平面DPE的法向量n(x，y，z)，则020nEPxyznDPxz，取z=1，得n(2，﹣1，1)，设平面BPD的法向量m(a，b，c

)，则020mBDabmDPac，取c=1，得m(2，2，1)，设二面角B﹣PD﹣E的平面角为θ，则6|cos|6mnmn，∴二面角B﹣PD﹣E的正弦值sinθ26301()66.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，重点考查了空间向量的应用，属中档题.19.

某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.

56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，

否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）在该销售小组中，已知月均销售额最高的5名销售员中有1名的月均销售额造假.为找出月均销售额造假的组员，现决定请专业机构对这5名销售员的月均销售额逐一进行审核，直到能确定出造假组员为止.设审核次数为X

，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）分布列见解析，145.【解析】【分析】（Ⅰ）根据该小组20名销售员中有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元可知，月均销

售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20，低于65%，即可判断不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）由题意知随机变量X的可能取值为1，2，3，4，1451,2,3kkAPXkkA，3142452(4

)5AAAPX，即可写出分布列，求出数学期望．【详解】（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元，分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.∴月均销售

额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20.∵55%65%，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题意，随机变量X的可能取值为1，2，3，4.则1511(1)5PXA，14251(2)5APXA

，24351(3)5APXA，3142452(4)5AAAPX.∴随机变量X的分布列为X1234PX15151525∴111214()123455555EX.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，意在考查学生的数据处理

能力和数学运算能力，属于基础题．20.已知椭圆2222:1(0)xyEabab的左右焦点为1F，2F，离心率为32，过点2F且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线(0)ykxmk交椭圆E于点C，D两点，与线段12FF和椭圆

短轴分别交于两个不同点M，N，且||||CMDN，求||CD的最小值.【答案】（1）2214xy（2）52【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率和过焦点且垂直于x轴的弦长列方程，解方程求得,ab，由此求得椭圆方程.（2）联立直线(0)ykxmk

的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，结合||||CMDN求得k的值，根据m的取值范围以及弦长公式，求得||CD的最小值.【详解】（1）由题可知：22312cbeaa，且221ba，解得2a，1b，3c.则椭圆E的方程为2214xy；（

2）把(0)ykxmk代入2214xy得222148440kxkmxm，设11,Dxy，22,Cxy，则122814kmxxk，21224414mxxk，又,0mM

k，(0,)Nm，因||||CMDN，所以12MNxxxx，即12MNxxxx，所以122814kmmkxkx，因为(0)ykxmk与线段12FF和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以0m，又0k，则12k，故122xxm，21222xx

m，因为直线(0)ykxmk即12yxm与线段12FF及椭圆的短轴分别交于不同两点，由于1,3bc，直线12yxm过0,,2,0mm，所以113230mmm，即3322m，且0m，所以

221212125||142CDkxxxxxx2225(2)422522mmm，因为3322m，且0m，所以当32m或32m时||CD的最小值为52.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考

查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2lnfxxmxmR.（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个不同的零点1x，2x，且122xx，求证：222222121ln2ln11ln342exxxx.(其中2.7

1828e是自然对数的底数)【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到21122mxfxmxxx，再分0m，0m讨论求解.（2）根据2x为fx的零点，有222lnxm

x，用导数求得m的范围，再利用零点存在定理得到11,2x，令22211sxx，结合（1）fx在2,ln2上的单调性求解.【详解】（1）2lnfxxmx定义域为0,，∵2lnfxxmx，∴21122mxfxmx

xx，当0m时，0fx，fx在0,单调递增；当0m时，由0fx，得202mxm；由0fx得22mxm，∴fx在20,2mm上单调递增，在2,2mm上单调递减.（2

）∵2x为fx的零点，∴222ln0xmx，即222lnxmx，令22tx，则2lntgtt，∴312lntgtt，当0,te时，0gt，gt单调递增；当,te时，0gt，gt单调递减，又∵2e，∴ln20,4m

，∵10fm，22ln22ln22ln2204fm，∴11,2x，令22211sxx，则4213s，由（1）知，当ln24m时，fx在2,ln2上单调递

减，∴2ln2ln23ln82ln3ln39ln3ln3ln344442eefxssf，∴222222121ln2ln11ln342exxxx.【点

睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与函数的零点，导数与不等式的证明，还考查了分类讨论，转化化归的思想和推理论证､运算求解能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1cos23

sin2xy（为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，,MN是曲线C上的两点，若3MON，求OMON的最大值.【答案】（1）2sin6

；（2）23.【解析】【分析】（1）将参数方程化为普通方程，再根据极坐标和直角坐标互化的原则可求得极坐标方程；（2）设1,M，2,3N，则1223sin3OMON，从而当sin13

时，取得最大值.【详解】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程为：2213122xy即：2230xyxy根据cosx，siny，222xy可得：曲线C的极坐标方程为：2sin6

（2）设1,M，2,3N则12312sin2sin2sincos2cos63622OMON3sin3cos23sin

3当sin13时，max23OMON【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标和直角坐标的互化、极坐标的几何意义的应用问题，属于常规题型.23.函数fxxaxbc

，其中0a，0b，0c．（1）当1abc时，求不等式4fx的解集；（2）若fx的最小值为3，求证：2223bcaabc．【答案】（1）33,,22．（2）见解析【解析

】【分析】（1）不等式等价113xx，分类讨论解不等式得到答案.（2）根据绝对值三角不等式得到3abc，由基本不等式得222baba，22cbcb，22acac，相加化简得到答案.【详解】（1）当1abc时，不等式4fx，即1114xx，即113

xx．当1x时，化为113xx，解得32x；当11x时，化为113xx，此时无解；当1x时，化为113xx，解得32x．综上可得，不等式4fx的解集为：33,,22．（2）由绝对值三角不等

式得3fxxaxbcxaxbcabc．由基本不等式得22baba，22cbcb，22acac，三式相加得222222bcaabcabcabc，整理即得2223

bcaabcabc，当且仅当1abc时，等号成立．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.