【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第一章 空间向量与立体几何A卷含解析【高考】.docx，共(35)页，2.364 MB，由小赞的店铺上传

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12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第一章空间向量与立体几何（A卷）A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边

三角形，点B是底面圆周上的一点，且60BOC=，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是（）A．13B．74C．34D．322．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为（）A．0,4B．0,2C．

1,4D．1,23．如图，正方体1111ABCDABCD−中，M是1AD的中点，则（）A．直线MB与直线11BD相交，直线MB平面1ABCB．直线MB与直线1DC平行，直线MB//平面11BDCC．直线MB与直线1AD垂直，直线MB//平面11BDCD．直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平

面11ADCB4．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P为1AA的中点，M在侧面11AABB上，若21DMCP⊥，则BCM面积的最小值为（）A．515B．510C．5D．25．已知正四面体ABCD的棱长为1，O是该

正四面体外接球球心，且AOxAByACzAD=++，,,xyzR，则xyz++=A．34B．13C．12D．146．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）

A．12B．1C．32D．27．在一个正方体1111ABCDABCD−中，P为正方形1111DCBA四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，,MN分别为,ABBC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段

1DQ与OP互相平分，则满足MQMN=的实数的值有3A．0个B．1个C．2个D．3个8．已知三棱锥ABCD−中，底面BCD为等边三角形，3ABACAD===，23BC=，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中的两动点，且2

MBNBMFNF==，2MN=，则AMAN=A．3B．4C．6D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知正方体1111ABC

DABCD−的棱长为4，点M是棱11AD的中点，点P在面ABCD内(包含边界)，且25MP=，则()A．点P的轨迹的长度为2B．存在P，使得1MPAC⊥C．直线MP与平面11BDDB所成角的正弦值最大为255D

．沿线段MP的轨迹将正方体1111ABCDABCD−切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为882(51)+−10．已知棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，M是11BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MPMC⊥，则下列结论中正确的是（）A．点P

的轨迹中包含1AA的中点B．点P的轨迹与侧面11AADD的交线长为54aC．MP的最大值为214aD．直线1CC与直线MP所成角的余弦值的最大值为55411．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，13AA=，点M，N分别在棱AB和1BB上运动（不含端点），

若1DMMN⊥，下列命题正确的是（）A．1MNAM⊥B．MN⊥平面1DMCC．线段BN长度的最大值为34D．三棱锥111CADM−体积不变12．如图，正方体1111ABCDABCD−中，点E为棱1DD的中点，点P是线段1CD上的动点，12AA=

，则下列选项正确的是（）A．直线AP与1BE是异面直线B．三棱锥11AABE−的体积为16C．过点C作平面1AEB的垂线，与平面11ABCD交与点Q，若113CDCP=，则QAPD．点P到平面1AEB的距离是一个常数三、填空题：本题共4小题，每小题

5分，共20分13．已知球O是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则PMPNuuuuvuuuv的取值范围是_____．14．在底面是正方形的四棱锥PABCD−中，PA⊥

底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且3PAAB==，2AF=，则四棱锥KABCD−的外接球的表面积为____．515．四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，90BAD=，112

PAABBCAD====，//BCAD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角QPDA−−的平面角大小为4，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为1212,()SSSS的两部分，则12:SS=________.16．

棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点,MN分别在线段上，且AMBN=．以下结论：①1AAMN⊥；②MN∥平面1111DCBA；③MN与11AC异面；④点1B到面1BDC的距离为433；⑤若点,MN分别为线段的中点，则由线MN与1A

B确定的平面在正方体1111ABCDABCD−上的截面为等边三角形．其中有可能成立的结论为____________________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．如图，在直三棱柱1

11ABCABC−中，122,,ACAAABBCD===为AC的中点.（1）证明：1DC⊥平面1ABD.（2）若1BD=，求二面角11BDBC−−的余弦值.618．如图，在三棱台111ABCABC−中，11190,4,2,BACABACAAAB=====侧棱

1AA⊥平面,ABC点D在棱1CC上，且1CDCC=（1）证明：1BB⊥平面1ABC；（2）当二面角CBDA−−的余弦值为3015−，求的值.19．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，

PAC△中，2PAPCAC===，4BC=，E，F分别是PC，PB的中点.7（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围.20．如图，在正三棱锥SABC−中，E是

高SO上一点，122AOSA==，直线AE与底面所成角的正切值为22.（1）求证：AE⊥平面EBC；（2）求三棱锥EABC−外接球的体积.821．已知正四棱柱1111ABCDABCD−中，2AB=，14AA=．（1）求证：1BDAC⊥；（2）求二面角11AA

CD−−的余弦值；（3）在线段1CC上是否存在点P，使得平面11ACD⊥平面PBD，若存在，求出1CPPC的值；若不存在，请说明理由．922．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术

》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABCABC−中，ABAC⊥，11AAABAC===，M，N分别是1CC，BC的中点，点P在线段11AB上.（1）若P为11AB的中点，求证：//P

N平面11AACC.（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图，某

圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且60BOC=，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是（）10A．13B．74C．34D．32【答案】C【解析】以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系.不妨设2OC=，则根据题意可得()0,2,0A−，()3,1,0B，()0,2,0C，()0,1,3M−，所以()3,3,0AB=，()0,3,3CM=−，设异面直线AB与CM所成角为，则()30330

33coscos,43993ABCM+−+===++.故选：C.2．已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为（）A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案

】B【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON==,()()()2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON=++=+++,因为MN是正方体内切球的一条直径，11所以0OMON+=，1OMON=−uuuuruuur，所以21PMPNPO=−，又点Р在正方

体表面上运动，所以当P为正方体顶点时，PO最大，且最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，且最小为1；所以2012PO−，所以PMPN的取值范围为0,2，故选：B3．如图，正方体1111ABCDABCD−中，

M是1AD的中点，则（）A．直线MB与直线11BD相交，直线MB平面1ABCB．直线MB与直线1DC平行，直线MB//平面11BDCC．直线MB与直线1AD垂直，直线MB//平面11BDCD．直线MB与直线A

C异面，直线MB⊥平面11ADCB【答案】C【解析】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则()2,2,0B，()1,0,1M，()12,2,2B，()10,0,2D，()0,2,0C，()0,0,0D，()2,0,0A，()12,0,2A

，()10,2,2C，所以()1,2,1MB=−，()10,2,2DC=−，()112,2,0DB=，所以MB与1DC不平行，故直线MB与直线1DC不平行，即B错误；()12,0,2DA=，所以()12102120

MBDA=++−=，所以1MBDA⊥，设面11BDC的法向量为(),,nxyz=，即111220220nDCyznDBxy=−==+=，令1x=，则1y=−，1z=−，所以()1,1,1n=−−

r，所以()()()1121110nMB=+−+−−=，因为MB平面11BDC，所以//MB平面11BDC，故C正确；12因为()1,0,0DA=，1MBDA=，故MB与DA不垂直，故D错误；因为11//BDBD，BDBMB=，所以BM与11BD不相交，故A

错误；故选：C4．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，P为1AA的中点，M在侧面11AABB上，若1DMCP⊥，则BCM面积的最小值为（）A．515B．510C．5D．2【答案】B【解析】过M作MG⊥平面ABCD，垂足为G；作GHBC⊥于点H，连接MH以D为坐标原

点可建立如下图所示空间直角坐标系则()0,0,0D，()0,1,0C，()1,0,0A，11,0,2P，()10,0,1D，()1,1,0B13设()1,,Mab，则()11,,1DMab

=−，11,1,2CP=−1DMCP⊥()1111110222DMCPabba=−+−=−+=21ba=−1CHa=−，21MGa=−()()222121562MHaaaa=−+−=−+21156222BCMSBCMHaa==−+当3

5a=时，()2min15625aa−+=()min1152510BCMS==故选：B5．已知正四面体ABCD的棱长为1，O是该正四面体外接球球心，且AOxAByACzAD=++，,,xyzR，则xyz++=A．34B．13C．12D．14【答案】A【解析】如图设AF⊥平面BCD，球心O

在AF上，由正四面体的性质可得：三角形BCD是正三角形，222131()323BF=−=，22361()33AF=−=，在直角三角形FOB中，222222636()()334OBOFBFOAAOAO=+=−+=，34AOAF=，=+AFABBF，AFADDF=+，AFAC

CF=+，因为F为重心，因此0FBFCFD++=，则3AFABACAD=++，因此()14AOABACAD=++，因此14xyz===，则34xyz++=，故选A.6．在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C

1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）14A．12B．1C．32D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0

，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．1EC＝（4，4，4﹣z），EF＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以10ECEF•=，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣214z．当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|

的最大值为1．故选B．7．在一个正方体1111ABCDABCD−中，P为正方形1111DCBA四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，,MN分别为,ABBC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段1DQ与OP互相平分，则满足MQMN=的实数的值有A

．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C15【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，所以四点O，Q，P，D1共面，且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，Q与点M重合，此时λ＝1

，符合题意．若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.8．已知三棱锥ABCD−中，底面BCD为等边三角形

，3ABACAD===，23BC=，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中的两动点，且2MBNBMFNF==，2MN=，则AMAN=A．3B．4C．6D．8【答案】B【解析】建立直角坐标系如图所示，16ABACAD3===，底面BCD为等边三角形，且BC23=.所以OD=2

,AO=5.B(-3，-1，0)，D(0,2,0),C(3，-1，0),点E为CD的中点，所以E（32，12，0）点F为BE的中点，F（-34，-14，0），设M（x,y,z）,MBNB2MFNF==，所以2221xyz++=，所以点M在以（0,0,0）为球心，以1为半径的球上，同

理N也在这个球上，且MN2=，所以MN为球的直径，AMAN=()()()()••AOOMAOONAOOMAOOM++=+−22514AOOM=−=−=.故选B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为4，点M是棱11AD的中点，点P在面ABCD内(包含边界)，且25MP=，则()A．点P的轨迹的长度为2B．存在P，使得1MPAC⊥C．直线MP与平面11BD

DB所成角的正弦值最大为255D．沿线段MP的轨迹将正方体1111ABCDABCD−切割成两部分，挖去体积较小部分，剩余部分几何体的表面积为882(51)+−【答案】AD【解析】对于选项A：结合已知条件，过M作MNAD⊥，垂足为N，如下图所示：17由已知条件和正方体性质易知，

4MN=，且MN⊥平面ABCD，因为NP平面ABCD，所以MNNP⊥，又因为25MP=，所以222NPMPMN=−=，故点P的轨迹是以AD的中点N为圆心，半径为2的一个半圆，从而点P的轨迹的长度为12222=，故A正确；对于选项B：以D为坐标原点，DA

、DC和1DD为x、y和z轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件可知，(2,0,4)M，1(4,0,4)A，(0,4,0)C，(2,0,0)N，不妨设00(,,0)Pxy，且2200(2)4xy−+=，0[0,4]x且0[0,2]y，因

为1(4,4,4)AC→=−−，00(2,,4)MPxy→=−−，所以1004()24ACMPxy→→=−−+，假设存在存在P，使得1MPAC⊥，故1004()240ACMPxy→→=−−+=，即006xy−=

，即006[6,8]xy=+，这与0[0,4]x矛盾，从而假设不成立，故B错误；对于选项C：连接AC，易知AC⊥平面11BDDB，因为(4,0,0)A，所以(4,4,0)AC→=−为平面11BDDB的一个法向量，设直线MP与平面11BDDB所成角为，18故0

00022002(2)||10sin(2)202(2)16||||yxMPACyxxyMPAC→→→→−+===−+−++，不妨令022cosx=+，02siny=，其中[0,]，从而0022sin2cos22sin()

224yx−+=−=−，当且仅当42−=，即34=时，002yx−+最大值22，从而0010sin(2)20yx=−+的最大值为55，即直线MP与平面11BDDB所成角的正弦值最大为55，故C错误；对于选项D：由题

意可知，挖去的部分为一个底面半径为2，高为4的半圆锥，则半圆锥的侧面为1225252=，正方体的侧面11AADD剩余的面积为1444482−=，正方体底面ABCD剩余面积为214421622−=−，正方体其余四个面的面积为44464=，故剩余部分几何体的表面积

为882(51)+−，故D正确.故选：AD.10．已知棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，M是11BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且总满足MPMC⊥，则下列结论中正确的是（）A．点P的轨迹中包含1AA的中点B．点P的轨迹与

侧面11AADD的交线长为54aC．MP的最大值为214aD．直线1CC与直线MP所成角的余弦值的最大值为55【答案】BCD【解析】如图，取11AD的中点E，分别取1AA，1BB上靠近1A，1B的四等分点F，G，连接EM，EF，FG，MG，易知

//EMFG且EMFG=，所以E，M，F，G四点共面．连接GC，19因为222252416aaaMG=+=，2222524aaMCa=+=，2222325416aaGCa=+=，因此222M

GMCGC+=，所以MGMC⊥，易知MEMC⊥，所以MC⊥平面MEFG，即点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M），易知点P的轨迹与侧面11AADD的交线为EF，由EF不过1AA的中点，所以A选项错误又54aEFMG==，B选项正确；根据点P的轨

迹可知，当P与F重合时，MP最大，易知FG⊥平面11BBCC，则FGMG⊥，连接MF，所以22521164aaMFa=+=，故C选项正确；由于点P的轨迹为四边形MEFG（不含点M），所以直线1CC与直线

MP所成的最小角就是直线1CC与平面MEFG所成的角，又向量1CC与平面MEFG的法向量CM的夹角等于1CCM，且152sin552aCCMa==，所以直线1CC与平面MEFG所成角的余弦值为55，即直线1CC与直线MP所成角的余弦值的最大值等

于55，故D选项正确．故选：BCD11．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，13AA=，点M，N分别在棱AB和1BB上运动（不含端点），若1DMMN⊥，下列命题正确的是（）20A．1MNAM⊥B．MN⊥平面1DM

CC．线段BN长度的最大值为34D．三棱锥111CADM−体积不变【答案】ACD【解析】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：A

1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，设M(3,y,0)，N(3,3,z)，,(0,3)yz，1(3,,3),(0,3,)DMyMNyz=−=−，而1DMMN⊥则11(3)

30(3)3DMMNyyzzyy=−−==−，对于A选项：1(0,,3)AMy=−，则11(3)30AMMNyyzAMMN=−−=⊥，1MNAM⊥，A正确；对于B选项：(3,3,0)CMy=−，2(3)(3)(3)0CMMN

yyy=−−=−−，即CM与MN不垂直，从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项：(0,0,)BNz=，则线段BN长度21393||[()]3244BNzy==−−+，当且仅当32y=

时取“=”，C正确；对于D选项：不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而111111CADMMADCVV−−=11119332ADCS==，21三棱锥111CADM−体积为定值，即D正确.故选：ACD12．

如图，正方体1111ABCDABCD−中，点E为棱1DD的中点，点P是线段1CD上的动点，12AA=，则下列选项正确的是（）A．直线AP与1BE是异面直线B．三棱锥11AABE−的体积为16C．过点C作平面1AEB的垂线，与平面11ABCD交与点Q，若113CDC

P=，则QAPD．点P到平面1AEB的距离是一个常数【答案】ACD【解析】选项A.取11CD的中点F，连接1,BFEF,则1//EFCD又11//CDAB，所以1//EFAB,所以1,,,ABFE四点共面.又EF平面

1ABFE,1CD平面1ABFE,则1//CD平面1ABFE由1PCD,所以P平面1ABFE，又1BE平面1ABFE所以直线AP与1BE是异面直线，故A正确选项B.1111111111142223323AABEEAABAABVVSAD

−−====,故B不正确.选项C.在正方体中，分别以1,,ABADAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系.取11CD的中点F，连接1,BFEFFC，,则()()()12,0,2,1,2,2,2,2,0BFC,()()()11,2,2,2,0,2,2,2,0AFABAC===22设

平面1ABFE的法向量()1111,,xnyz=,则11100nAFnAB==,即111112200xyzxz++=+=取111,,12n=−设平面ACF的法向量()2222,,nxyz=,则2200nAFnAC==,即222222200xyz

xy++=+=取111,1,2n=−由120nn=，可得12nn⊥，即平面1ABFE⊥平面ACF，设1CFCDP=,连接AP,且平面1ABFE平面ACFAP=此时由1CPF与CPD△相似，由12CDCF=，可得12PDCP=，即此时点P满足113CDCP=

.过点C在平面ACF内作CMAP⊥,则CM⊥平面1ABFE由APAFA=,则AP与AF不平行，所以CM与AP一定相交，设为Q.又AP平面11ABCD，则Q平面11ABCD.所以过点C作平面1AEB的垂线，与平面11ABCD交与点Q，若113CDCP=，则QAP所以选项

C正确.选项D.设点P到平面1AEB的距离为h.由选项A的解答可知，1//CD平面1ABFE所以点P到平面1AEB的距离等于直线1CD上任意一点到平面1AEB的距离.则点P到平面1ABFE的距离等于1C点到平面1ABFE的距离.11CAEFACEFVV−−=,即111113

3AEFCEFShSAD=,所以111CEFAEFShADS=由在正方体中，由题意，1,CEFAEF为给定三角形，所以1CEFS，AEFS为定值，112AD=故点P到平面1AEB的距离h为常数.故D正确.故选：ACD23三、填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分13．已知球O是棱长为2的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球，MN为球O的一条直径，点P为正八面体表面上的一个动点，则PMPNuuuuvuuuv的取值范围是_____．【答案】4[0,]3【解析】如图所示，设已知的正八面体SABCDI，易知SI⊥平面AB

CD于球心O，且点O为正方形ABCD的中心，设球心O与正四棱锥SABCD−的侧面SBC相切于点F连接OEOF，，则1OE=，3SE=，2SO=由1122SOESSEOFSOOE==，得63OF=即正八面体的内切球的半径为63()()()2223PMPNPOO

MPOONPOPOOMONOMONPO=++=+++=−P为正八面体表面上的任意一点则623PO，，224033PO，−即PMPNuuuuvuuuv的取值范围是403

，2414．在底面是正方形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，点E为棱PB的中点，点F在棱AD上，平面CEF与PA交于点K，且3PAAB==，2AF=，则四棱锥KABCD−的外接球的表面积为____．【答案】48625【解析】如图：,建立以AB为x轴，AD为y轴，PA为z

轴的空间直角坐标系，则33(,0,),(3,3,0),(0,2,0),(0,0,)22ECFKz，因为E.F.K.C四点共面，所以3t(0,0,)5CKCECFK=+,故四棱锥K-ABCD的外接球球心在过正方形ABCD的中心且垂

直ABCD与KA成都相等的线段的中点处，故外接球半径为：222232134225RR=+=48625故四棱锥KABCD−的外接球的表面积为4862515．四棱锥PABCD−中，PA⊥

平面ABCD，90BAD=，112PAABBCAD====，//BCAD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角QPDA−−的平面角大小为4，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为1212,()SSSS的两部分，则12:SS=________.【答

案】3544−【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴DP=（﹣2，0，1），DQ=（﹣2，b，0）.AD=（2，0，0）．设平面APD的法向量为1

nur=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为2nuur=（x2，y2，z2）则121200,,00nDPnDPnADnDQ====25即11221222020,2020xzxzxxby−+=−+=

=−+=，令y1=0得1nur=（0，1，0），令z2=2得2nuur=（1，2b，2）．∴1212224,1,5nnnnbb===+．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为4，∴cos＜21nnuruur＞=12122.2nnnn=即222,245bb=+解得b=255．∴

S△ADQ=11222552255ADAQ==．S梯形ABCD﹣S△ADQ=1232(12)1552525+−=−．∵S1＜S2，∴S1=32525−，S2=255．∴S1：S2=（35﹣4）：4．故答案为（35﹣4）：4．16．棱长为2的正方体1111

ABCDABCD−中，点,MN分别在线段上，且AMBN=．以下结论：①1AAMN⊥；②MN∥平面1111DCBA；③MN与11AC异面；④点1B到面1BDC的距离为433；⑤若点,MN分别为线段的中点，则由线

MN与1AB确定的平面在正方体1111ABCDABCD−上的截面为等边三角形．其中有可能成立的结论为____________________．26【答案】①②④⑤【解析】如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()()()

()10,2,0,2,2,0,2,0,0,0,0,2ABCD，()()()()11110,2,2,2,2,2,2,0,2,0,0,2ABCD，设()()2,,2,2,2,2MaaNaa−−−，则()=,2,0MNaa−−，()10,0,2AA=

，所以10MNAA=即1AAMN⊥，故①正确.平面1111DCBA的法向量为()10,0,2AA=，因为1AAMN⊥且MN平面1111DCBA，所以MN∥平面1111DCBA，故②正确.当M与1C重合时，③MN与11AC相交，故③错.平面1BDC的法向量为()1=2,2,2AC−−，()1=0,

0,2BB，故1B到到平面1BDC的距离为4432323d==，故④正确.若点,MN分别为线段的中点，则由线MN与1AB确定的平面为1ACB，它是等边三角形，所以⑤正确.综上，正确命题的序号为①②④⑤.27四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．

如图，在直三棱柱111ABCABC−中，122,,ACAAABBCD===为AC的中点.（1）证明：1DC⊥平面1ABD.（2）若1BD=，求二面角11BDBC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3

3−；【解析】（1）∵,ABBCD=为AC的中点，∴BD⊥AC，∵直三棱柱111ABCABC−中，面11ACCA⊥面ABC，BD面ABC，面11ACCA面ABCAC=，∴BD⊥面11ACCA，又1DC面11ACCA，即BD⊥1DC，由题设易知：111AAADCDCC====，故112ADCD

==，又112ACAC==，∴2221111ADCDAC+=，则1AD⊥1DC，又1ADBDD=，∴1DC⊥平面1ABD.（2）过D作DzAC⊥，由（1）可构建以D为原点，DC、DB、Dz为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图

示：28∴由题意：(0,0,0)D，1(1,0,1)C，1(0,1,1)B，(0,1,0)B，∴1(0,1,1)DB=，1(1,0,1)DC=，(0,1,0)DB=，显然，(1,0,0)m=是面1BDB的一

个法向量，若(,,)nxyz=是面11CDB的一个法向量，则1100DBnyzDCnxz=+==+=，令1x=，则(1,1,1)n=−，∴13cos,3||||13mnmnmn===，由图知：钝二面角11BDBC−−的余弦值为33−.18．如图，在三

棱台111ABCABC−中，11190,4,2,BACABACAAAB=====侧棱1AA⊥平面,ABC点D在棱1CC上，且1CDCC=（1）证明：1BB⊥平面1ABC；（2）当二面角CBDA−−的余弦值为3015−，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12=.【解析】（1）因为

90BAC=，所以ACAB⊥，又因为1AA⊥平面ABC，AC平面ABC，所以1AAAC⊥，又1AAABA=，所以AC⊥平面11ABBA，所以1ACBB⊥，又因为2212222AB=+=，()22142222BB=−+=，所以22211ABABBB=+，

所以11ABBB⊥，又1ABACA=，所以1BB⊥平面1ABC；（2）以A为坐标原点，1,,ABACAA分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如下图所示：29因为111114,2ABACAAABAC=====，所以()()()()10,0,0,4,0,0,0,4,0,0,

2,2ABCC，因为()10,1CDCC=，所以()0,42,2D−，设平面ABD一个法向量为()1111,,xnyz=，设平面CBD一个法向量为()2222,,nxyz=，且()()()()4,0,0,0,42,2,4,4,0,0,2,2ABA

DCBCD==−=−=−，因为1100ABnADn==，所以()111020xyz=−+=，令1y=，所以()10,,2n=−，又因为2200CBnCDn==，所以222200xyyz−=−=，令21x=，所以()21,1,1=n，所以()

()1212221222cos,0,132nnnnnn−==+−，又因为二面角CBDA−−的余弦值为3015−，所以()2230123252=−−+−，所以解得12=（32

=舍去），综上可知：12=.19．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PAC△中，2PAPCAC===，4BC=，E，F分别是PC，PB的中点.30（1）求证：BC⊥平面

PAC；（2）记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）0,6.【解析】（1）证明：因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，BCAC⊥，又平面PAC⊥平面ABC，且

平面PAC平面ABCAC=，BC平面ABC，BC⊥平面PAC.（2）由E，F分别是PC，PB的中点，//BCEF，又EF平面AEF，BC平面AEF，//BC平面AEF，又BC平面ABC，平面EFA平面=ABCl，//BCl

.以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(0,4,0)B，(1,0,3)P，13,0,22E，13,2,22

F，33,0,22AE=−，(0,2,0)EF=，//BCl，∴可设(2,,0)Qy，平面AEF的一个法向量为(,,)mxyz=，则3302220xzAEmEFmy=−+===，取3z=，得(1,0,3)=m，又(1,,

3)=−PQy，则211cos,0,24PQmPQmyPQm==+uuururuuururuuurur.∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0,6.20．如图，在正三棱锥SABC−中，E是高SO上一点，122AOSA==，直线AE与底面所成角

的正切值为22.31（1）求证：AE⊥平面EBC；（2）求三棱锥EABC−外接球的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）92.【解析】（1）证明：延长AO交BC于点.D因为SO⊥平面ABC，所以EAO即为直线EA与底面ABC所成的角，从而2

tan2EAO=，所以22EOAO=.因为2AO=，则2OE=，4SA=，23ABSO==.以点O为坐标原点，与CB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz

−，则()0,0,0O、()0,2,0A−、()3,1,0B、()3,1,0C−、()0,0,2E，所以()23,0,0BC=−，()3,1,2BE=−−，()0,2,2AE=，设平面EBC的法向量为(),,nxyz=，

由00nBCnBE==得230320xxyz−=−−+=，取1z=，则2y=，0x=，即()0,2,1n=，所以2AEn=，即//AEn，所以AE⊥平面EBC；32（2）由题意知三棱锥EABC−为正

三棱锥，设其外接球的球心为()0,0,Ot，由OAOE=，得2422tt+=−，解得22t=−，所以外接球的半径232222r=−−=，所以外接球的体积34329232V==

.21．已知正四棱柱1111ABCDABCD−中，2AB=，14AA=．（1）求证：1BDAC⊥；（2）求二面角11AACD−−的余弦值；（3）在线段1CC上是否存在点P，使得平面11ACD⊥平面PB

D，若存在，求出1CPPC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）105−；（3）存在，113CPPC=．【解析】（1）因为四棱柱1111ABCDABCD−是正四棱柱，所以1AA⊥平面ABCD，B

DAC⊥，因为BD平面ABCD，所以1AABD⊥，因为1AAACA=，所以BD⊥平面1AAC，因为1AC平面1AAC，所以1BDAC⊥.（2）如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz−，33则()12,0,4A，()0,2,0C，()10,0,4D，()0,0,0D，()2,2,0B，(

)10,2,4C，()112,0,0DA=，()10,2,4DC=−，()2,2,0DB=，因为BD⊥平面1AAC，所以()2,2,0DB=是平面1AAC的法向量，设平面11ADC的法向量()111,,nxyz=，则11100nDAnDC==，即

1110240xyz=−=，令11z=，则12y=，()0,2,1n=，故1055224cos,nDBDBDBnn===，因为二面角11AACD−−是钝二面角，所以二面角11AACD−−的余弦值为105−.（3）设()222,,Pxyz为线段1CC上

一点，1λCPPC=，0λ，因为()222,2,CPxyz=-，()1222,2,4PCxyz=---，1λCPPC=，所以()()222222,2,,2,4xyzxyz−=−−−，则20x=，22y=，24λ1λz=+，40,2,1P+

，4λ0,2,1λDP骣琪=琪+桫，设平面PBD的法向量()333,,mxyz=，则00mDPmDB==，即33334201220yzxy+=++=，令31y=，则11,1,2m+=−

−，若平面11ACD⊥平面PBD，则0mn=，即1202+−=，解得13=，故当113CPPC=时，平面11ACD⊥平面PBD.22．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要

的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三34棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABCABC−中，ABAC⊥，11AAABAC===，M，N分别是1CC，BC的中点，点P在线段11AB上.（1）若P为11AB的中点，求证：//PN平

面11AACC.（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为45？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】解析（1）证明：取11AC的中点H，连接PH，HC.在堑堵111ABCABC−中，四边形11BCCB

为平行四边形，所以11//BCBC且11BCBC=.在111ABC△中，P，H分别为11AB，11AC的中点，所以11//PHBC且1112PHBC=.因为N为BC的中点，所以12NCBC=，从而NCPH=且//NCPH，所以四边形PHCN为平行四

边形，于是//PNCH.因为CH平面11ACCA，PN平面11ACCA，所以//PN平面11AACC.35（2）以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,1)A，1(1,0,1)B，11,,022N

，10,1,2M.易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m=.假设满足条件的点P存在，令111(,0,0)APAB==，则111,,222NM=−，11,,1,22PN=−−.设平面PM

N的一个法向量是(,,)nxyz=，则0,0,nNMnPN==即1110,22211()0.22xyzxyz−++=−+−=令3x=，得12yλ=+，22z=−，所以(3,12,22)n

=+−.由题意得22|22|2|cos,|29(12)(22)mn−==+++−，解得12=−，故点P不在线段11AB上.