【文档说明】山东省滨州市2023-2024学年高三上学期11月期中考试+数学+含解析.docx，共(29)页，2.305 MB，由小赞的店铺上传

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2023－2024学年第一学期学科质量检测高三数学试题注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．

1.集合R2Axx=，2R30Bxxx=−，则()RAB=ð（）A02xxB.23xx＜C23xxD.0xx＞2.不等式：20.1xx−成立的一个必要不充分条件是（）A0.11.1x

−B.01xC.0.50.7xD.0.52x3.关于函数2,02(),2xaxfxbxx−=−，其中a，Rb，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程5(

)2fx=有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲B.乙C.丙D.丁4.如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且π.3AOB=若C是圆O上的任意一点，则·OABC的最大值为（）...

A.32−B.14C.12D.15.已知0.22a=，0.2log0.5b=，2c=，则（）AbcaB.cabC.abcD.acb6.已知半径为1的圆经过点()2,3，则其圆心到直线3440xy−−=距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.47.如图，单位圆上

角x的始边为x轴正半轴，终边射线OP交单位圆于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，将点M到射线OP的距离表示为x的函数()fx，则()fx在0,π上的图象大致为（）A.B.C.D.8.已知函数()2121xxfx−=+，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A.x

R，()()fxfx−=B.xR，()0fxC.若120xx，则()()1122xfxxfxD.若120xx，则()()()1212fxfxfxx++二、选择题：本题共4小题，每小题5

分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题.目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数()2i6iz=−+，则（）A.iz+的模长为29B.z在复平面内对应的点在第四象限C.2z−为纯虚数D.

在复数范围内，z是方程²4400xx−+=的一个解10.已知0a，0b，且21ab+=，则（）A.18abB.122ab+C.129ab+D.log0ab11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的

圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABADBC===，且2CDAB=，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD面积为233cm；B.AD与DC的夹角60°；C.该圆台的体积为373πcm3；D.沿着该圆台侧面，从点C到AD中

点的最短距离为5cm.12.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，直线()1ykx=−（kR且0k）交C与A、B两点，直线OA、OB分别与C的准线交于M、N两点，（O为坐标原点），下列选项错误的有（）A.k

R且0k，OMOAONOB=B.kR且0k，OMONOAOB=CkR且0k，2OMONOF=D.kR且0k，2OMONOF=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若函数223yxax=−+在1,3x上的最大值为6，则实数=a__________．.14.已知nS是正项等比数列na的前n项和，310S=，则96323SSS−+的最小值为________.15.在ABC中，内角A，B，C

所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为23，π3B=，223acac+=，则b=_____.16.四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，120APD=，2ABPAPD=

==，则该四棱锥PABCD−外接球的表面积为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC中，22coscbAa=−.（1）求B；（2）若8,7acb+==，且C

A，求BC边上的高.18.已知数列na的前n项和()2*11N,22nnSnnnb=+是公比大于0的等比数列，且满足1323,36babb=+=.（1）求na和nb的通项公式；（2）若数列21211nnaa−+

的前n项和为()*NnTn，求证：12nT；（3）对任意的正整数n，设数列nC满足212nnnaCb+=，求数列nC的前n项和nD.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，E为AD的中点．（

1）求证：PEBC⊥；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）在线段PC上是否存在点M，使得DM平面PEB?请说明理由．20.已知函数()()223sinπcos2cosfxxxx=−+．（1）求函数()fx的最小正

周期；（2）若ππ,63x−，求函数()fx的值域；（3）若函数()()1gxfx=−在区间π,6m−上有且仅有两个零点，求m的取值范围．21.已知椭圆G：()222210xyabab+=的离心率为32，且过点31,2P．（1）求椭圆G的方程；（2）若

过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点1,02N，求NANB+的范围．22.已知函数()()1ln,lnfxxgxxxx=+=−．（1）若对任意()0,x+时，()fxa成立，求实数a的最大值；（2）若()1,x+，求证：()()fxgx；（3）若存

在12xx，使得()()12gxgx=成立，求证：121xx．2023－2024学年第一学期学科质量检测高三数学试题注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．3．回答选择题时，

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1

.集合R2Axx=，2R30Bxxx=−，则()RAB=ð（）A.02xxB.23xx＜C.23xxD.0xx＞【答案】B【解析】【分析】根据集合补集和一元二次不等式解法化简集合

，再根据交集运算法则求解答案.【详解】因为R2Axx=，所以RR2Axx=＞ð，因为2R30Bxxx=−，所以()R30R03Bxxxxx=−=，所以()R2

3ABxx=＜ð.故选：B2.不等式：20.1xx−成立的一个必要不充分条件是（）A.0.11.1x−B.01xC.0.50.7xD.0.52x【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要性定义，结合2()0.1fxxx=−−零点分布、21.1xx−的解判断

各项是否为必要不充分条件.【详解】由()()20.110.11.10xxxx−−=+−，即20.11xx−，对应为0.11.1x−，而20.1xx−必有20.11xx−，当20.11xx−不一定

20.1xx−，所以0.11.1x−是20.1xx−成立的一个必要不充分条件；对于2()0.1fxxx=−−，则(0)0.10f=−且()fx开口向上，对称轴12x=，所以()fx由两个异号零点，故01x、0.50.7x、

0.52x不是20.1xx−成立的必要不充分条件.故选：A3.关于函数2,02(),2xaxfxbxx−=−，其中a，Rb，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程5()2fx=有两个根.若上述四

个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得a与b的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.【详解】当[0x，2]时，()2xfxa=−为增函数，当[2x

，)+时，()fxbx=−为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则0(0)20fa=−=，得1a=，若甲正确，

则(6)0f=，即60b−=，6b=，可得21,02()6,2xxfxxx−=−，由5()2fx=，可得025212xx−=或2562xx−=，解得27log2x=或72x=，方程5()2fx=有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.若乙正确，甲错误，

则(4)0f=，则40b−=，4b=，可得21,02()4,2xxfxxx−=−，由5()2fx=，可得025212xx−=或2542xx−=，解得27log2x=或32x=（舍去），方程5()2fx=只有一个根，则丁错误，不合题意．.

故选：B.4.如图，A，B是半径为1的圆O上的两点，且π.3AOB=若C是圆O上的任意一点，则·OABC的最大值为（）A.32−B.14C.12D.1【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算可得···OABCOAOCOAOB=−，由数量积的定义可得1·2OA

OB=，·cosOAOCAOC=，当cosAOC取最大值时，·OABC取得最大值.当OA与OC同向时，cosAOC取得最大值为1，代入求解即可．【详解】因为()····OABCOAOCOBOAOCOAOB=−=−，11··cos112

2OAOBOAOBAOB===，··coscosOAOCOAOCAOCAOC==，所以1·cos2OABCAOC=−即当cosAOC取最大值时，·OABC取得最大值．当OA与OC同向时，cosAOC取得最大值为1，此时，·OABC取得最大值12．故选：C．5.已知0.

22a=，0.2log0.5b=，2c=，则（）A.bcaB.cabC.abcD.acb【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法进行比较即可.【详解】因为0.20221a==，0.20.2

log0.5log0.21b==，0.50.2222ca===，所以cab.故选：B.6.已知半径为1的圆经过点()2,3，则其圆心到直线3440xy−−=距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分

析】先求得圆心的轨迹方程，然后结合点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】由于半径为1圆（设为圆A）经过点()2,3，所以圆A的圆心的轨迹是以()2,3为圆心，半径为1的圆，()2,3到直线3440xy−−=距离为612425−−=，的所以圆A的圆心

到直线3440xy−−=距离的最大值为213+=.故选：C7.如图，单位圆上角x的始边为x轴正半轴，终边射线OP交单位圆于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，将点M到射线OP的距离表示为x的函数()fx，则()fx在0,π上

的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定.【详解】由三角函数定义及POM的面积可得：()()()sincos1sin20,π221

2xxfxOPPMOMfxxx===，由正弦函数的图象可知B项正确.而对于A、C项，显然()12fx可排除；对于D项，显然当π2x=时，M与O重合，此时()0fx=，可排除.故选：B.8.已知函数()2121xxfx−=+，()fx是()fx的导函数，则下列结论正确的是（）A

.xR，()()fxfx−=B.xR，()0fxC.若120xx，则()()1122xfxxfxD.若120xx，则()()()1212fxfxfxx++【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数的符号判断B，利用函数的

单调性结合不等式的性质即可判断C，利用特例法排除选项D.【详解】对于A，函数定义域为R，211221()211221xxxxxxfx−−−−−−===−+++，所以()()fxfx−=−，错误；对于B，因为()21212121xxxfx−==−++，所以222ln2()(

21)xxfx=+，由ln20知()0fx，错误；对于C，因为xR，()0fx，所以()fx在(),−+上递增，0x时，()()00fxf=，故对120xx，()()120fxfx，由不等式的性质可得(

)()11220xfxxfx，正确；对于D，211(1)213f−==+，22213(2)215f−==+，2214(3)1533f−==+，取121,2xx==，则123xx+=，()()()1212144,155fxfxfxx+=+=，此时，()()()1212fxf

xfxx++，错误.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数()2i6iz=−+，则（）A.iz+的模长为2

9B.z在复平面内对应的点在第四象限C.2z−为纯虚数D.在复数范围内，z是方程²4400xx−+=的一个解【答案】BCD【解析】【分析】化简z，利用共轭复数的概念及模长公式判断A；利用复数的几何意义判断B；利用纯虚数的概念判断C；解方程²4400xx−+=判断D.【

详解】因为()2i6i26iz=−+=−，所以i27i44953z+=+=+=，A错误；z在复平面内对应的点的坐标为()2,6−，在第四象限，B正确；26iz−=−为纯虚数，C正确；()224402360xxx−+=−+=，得26ix−=，即26ix=

，则z是方程24400xx−+=的一个解，D正确.故选：BCD.10.已知0a，0b，且21ab+=，则（）A.18abB.122ab+C.129ab+D.log0ab【答案】AC【解析】【分析】根据基本不等式，以及代入特殊值，即可判断选项.【详解】A

.1222abab=+，得18ab，当且仅当122ab==，即12a=，14b=时等号成立，故A正确；B.当13ab==时，1212ab+=，故B错误；C.()1212222225529babaababababab+=+

+=+++=，当22baab=，即13ab==时，等号成立，故C正确；D.当13ab==时，log10ab=，故D错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12OO，在轴截面ABCD中，2cmABAD

BC===，且2CDAB=，下列说法正确的有（）A.该圆台轴截面ABCD面积为233cm；B.AD与DC的夹角60°；C.该圆台的体积为373πcm3；D.沿着该圆台侧面，从点C到AD中点的最短距离为5cm.【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据已知条件求出圆台的下

底面半径和高，利用梯形的面积公式即可求解；对于B，根据已知条件及图形，结合向量夹角的定义即可求解；对于C，利用圆台的体积公式即可求解；对于D，将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心，利用勾股定理即可求解.【详解】对于A，

由2cmABADBC===，且2CDAB=，得24CDAB==，圆台高为21242432hOO−==−=，∴圆台轴截面ABCD面积为()2124333cm2S=+=，故A正确；对于B，由已知及题图知，1cos2ADC=且090ADC，∴60

ADC=，AD与DC的夹角120°，故B错误；对于C，圆台的体积()22223173π11223πcm33V=++=，故C正确；对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中ABCD，且E为AD中点，而圆台对应的圆锥体侧面展开为扇形COD

，且4OC=，∵2ππ42COD==，∴在RtCOE△中，22435cmCE=+=，即C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确.故选：ACD12.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，直线()1ykx=−（kR且0k）交C与A、B两点，直线OA、OB分别与C的准线交于M、N两点，（O为坐标

原点），下列选项错误的有（）A.kR且0k，OMOAONOB=B.kR且0k，OMONOAOB=C.kR且0k，2OMONOF=D.kR且0k，2OMONOF=【答案

】ACD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，得22222(2)0kxkxk−++=，设1(Ax,1)y，2(Bx,2)y，由韦达定理可得121=xx，124yy=−，1(OAx=,1)y，2(OBx=,2)y，11(1,)yOMx=−−，22(1,)yONx=−−，再由向量的数

量积逐一判断．【详解】由24(1)yxykx==−，可得22222(2)0kxkxk−++=，设1(Ax,1)y，2(Bx,2)y，则21222(2)kxxk++=，121=xx，1212124(1)(1)()2yykxkxkxxkk+=−+−=+−=，2212121212(1

)(1)[()1]4yykxxkxxxx=−−=−++=−，直线OA的方程为11yyxx=，由111yyxxx==−，可得11(1,)yMx−−，同理可得22(1,)yNx−−，所以1(OAx=,1

)y，2(OBx=,2)y，11(1,)yOMx=−−，22(1,)yONx=−−，对于A，(1OMOA=−,111)(yxx−,2111111114)4yxyxxxxx=−−=−−=−−，(1ONOB=−,222)(yxx−,2222211)4yyxx

x=−−=−−，只有当11x=时，11144xx−−=−−，此时21x=，直线与x轴垂直，不存在斜率，不满足题意，所以，11144xx−−−−，故A错误；对于B，因为(1OMON=−,11)(1yx−−,212212)1143yyyxxx−=+=−=−，1

(OAOBx=12)(yx,21212)143yxxyyOMON=+=−=−=，故B正确；对于C，由B得3OMON−=，而21OF=，所以2OMONOF，故C错误；对于D，由C可知不存在Rk且0k，

使2OMONOF=成立，故D错误．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数223yxax=−+在1,3x上的最大值为6，则实数=a__________．【答案】1【解析】【分析】由于函数223yxax=−+定区

间不定轴，可根据对称轴相对于区间的位置关系讨论对称轴，进而求出相应的最大值,进而求出1a=.【详解】()222233yxaxxaa=−+=−+−，1,3x，,当2a时3x=，max9636ya=−+=，解得1a=，当2a时1x=，max1236ya=−+=，

解得1a=−，又2a，故不成立.综上,1a=.故答案为：1.14.已知nS是正项等比数列na的前n项和，310S=，则96323SSS−+的最小值为________.【答案】54−##1.25−【解析】【分析】按公比q是

否为1分类讨论，在1q时，用q表示出9663,SSSS−−，再列式并借助二次函数最值求解作答.【详解】设正项等比数列na的公比为q，当1q=时，31310Sa==，则963111231818310SSSaaa−+=−+=，当1q时，666967891233()1

0SSaaaqaaaqSq−=++=++==，3363456123()10SSaaaqaaaq−=++=++=，于是63329639663155232()()201020()444SSSSSSSqqq−+=−−−=−=−−−，所以当314q=时，96323SSS−+取得最小值5

4−.故答案为：54−.15.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为23，π3B=，223acac+=，则b=_____.【答案】4【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进

行求解即可.【详解】因为ABC的面积为23，所以113sin23238222acBacac===，于是有22324acac+==，由余弦定理可知：2212cos242842bacacB=+−=−=，故答案为：416.四棱锥PABCD−的底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥

底面ABCD，120APD=，2ABPAPD===，则该四棱锥PABCD−外接球的表面积为______．【答案】20π【解析】【分析】由题意，作图，分别找出侧面PAD与底面ABCD外接圆的圆心，计算其半径，根

据球的性质，作平面垂线，找出球心，根据勾股定理，可得答案.【详解】由题意，作图如下：在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，记ACBDF=，即点F为矩形ABCD的外接圆圆心，在PAD中，因为2PAPD==，且2222cosADPAPDPAPD

APD=+−，所以144222232AD=+−−=，PAD的外接圆半径为122sinADAPD=，记PAD外接圆圆心为G，即2GP=，取AD中点为E，在矩形ABCD中，可得EFAD⊥，112EFAB==，在PAD中，可得PEAD⊥，且,

,PEG共线，过G作GH⊥平面PAD，令GHEF=，连接FH，因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD=，EF底面ABCD，所以EF⊥平面PAD，且PE⊥平面ABCD，由GH⊥平面PAD，则//GHEF，即四边形EFH

G为矩形，因为//FHPG，所以FH⊥平面ABCD，根据球的性质，可得点H为四棱锥PABCD−外接球的球心，在RtPGH△中，22415PHGHPG=+=+=，四棱锥PABCD−外接球的表面积24π20πSPH==.故答案：20π.【点睛】

方法点睛：求多面体的外接球问题，首先找到多面体的两个表面的外接圆圆心与半径，过圆心作表面的垂线，找出球心，构造直角三角形，利用勾股定理，可得答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在A

BC中，22coscbAa=−.（1）求B；（2）若8,7acb+==，且CA，求BC边上的高.【答案】（1）2π3；（2）532.【解析】【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦公式可求cosB的值，由B的范围即可求解；（

2）由余弦定理求出,ac,过A作CB延长线的垂线，垂足为D，在Rt△ABD中求AD即可.【小问1详解】由22coscbAa=−及正弦定理可得2sin2sincossinCBAA=−，即()2sin2sincossinABBAA+=−，即2sincos2cossin2sin

cossinABABBAA+=−，所以2sincossinABA=−.因为()0,πA,所以sin0A,所以1cos2B=−.因为()0,πB，所以2π3B=.【小问2详解】因为8,7acb+==，2π3B=，所以由余弦定理可得222

1cos22acbBac+−==−，所以2249acac+−=−，即()249acac+−=，所以644915ac=−=.因为CA，所以ca.为因为8ac+=，所以3,5ac==.过A作CB延长线的垂线，垂足为D，

则BC边上的高π53sin5sin32ADABABD===.18.已知数列na的前n项和()2*11N,22nnSnnnb=+是公比大于0的等比数列，且满足1323,36babb=+=.（1）求na和nb的通项公式；（2）若数列21211nnaa−+的

前n项和为()*NnTn，求证：12nT；（3）对任意的正整数n，设数列nC满足212nnnaCb+=，求数列nC的前n项和nD.【答案】（1）nan=，3nnb=；（2）证明见解析；（3）223nn+−.【解析】【分析】（1）利用,nnaS关系求na通项

公式，应用等比数列通项公式求基本量，进而写出nb的通项公式；（2）应用裂项相消法求nT，即可证结论；（3）由（1）得213nnnC+=，应用分组求和，结合错位相减法、等比数列前n项和公式求nD.【小问1详解】由2111(1)(1)(1)222nnnSnn−−=−+−=且2n，则

1nnnaSS−=−=(1)2nn+−(1)2nnn−=，而111122a=+=也满足上式，故nan=；所以133ba==，设nb公比为q且0q，则22333612(4)(3)03qqqqqqq+=+−=

+−==（负值舍），所以3nnb=.【小问2详解】由（1）知：212111111()(21)(21)22121nnaannnn−+==−−+−+，所以11111111(1...)(1)23352121221nTnnn=−+−++−=−−++，而1021n+，所以12nT.【小

问3详解】由212213nnnnanCb++==，则122242111(...)(...)333333nnnnD=+++++++，令12242...333nnM=+++，则2311242(1)2...333

33nnnnM+−=++++，所以23121112222221113...1...13333333333313nnnnnnnnnMM+−−=++++−=++++−=−−，综上，1111(1)2333211331133nnnnnnnD−−+=−+=−−−.19.

如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PAPD⊥，PAPD=，E为AD的中点．（1）求证：PEBC⊥；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）在线段PC上是否存在点M，使得DM平面PEB?请说明理由．【答案】（1）证明见

解析（2）证明见解析（3）存在M为PC中点，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意PEAD⊥，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即可得证PEBC⊥；（2）由PE⊥平面ABCD，所以PECD⊥，又ADCD⊥，所以CD⊥平面PAD，得CDAP⊥，又PAP

D⊥，从而PA⊥平面PCD，即可得结论；（3）存在M为PC中点时，DM平面PEB．取PB中点为F，可得四边形EFMD为平行四边形，因此DMEF∥，即可证明．【小问1详解】因为,PAPDE=为AD中点，所以PEAD⊥，又因为平

面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PE平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又BC平面ABCD，因此PEBC⊥．【小问2详解】由（1）知，PE⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PECD⊥．在矩形ABCD中，

ADCD⊥，又因为ADPEE=I，,ADPE平面PAD,所以CD⊥平面PAD．AP平面PAD，所以CDAP⊥．又因为,PAPDCDPDD⊥=，,CDPD平面PCD，所以PA⊥平面PCD．因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．【小问3详解】存在M为PC中点时，

DM平面PEB．证明：取PB中点为F，连接,DMFM，因为M为PC中点，FMBC∥，且12FMBC=．在矩形ABCD中，E为AD中点，所以EDBC∥，且12EDBC=．所以EDFM∥，且EDFM=，所以四边形EFMD为平行四边形，因此DMEF∥，又因为EF面,PEBDM面PEB，所

以DM面PEB．20.已知函数()()223sinπcos2cosfxxxx=−+．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若ππ,63x−，求函数()fx的值域；（3）若函数()()1gxfx=−在区间π,6m−

上有且仅有两个零点，求m的取值范围．【答案】（1）π（2）0,3（3）5π11π,1212m【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，根据周期公式求得结果；（2）根据ππ,63x−，求出整体角π26x+的取值范围，再根据正弦函数的单调

性求出结果；（3）根据整体角的范围及正弦函数的零点求得结果.小问1详解】()()23sincoscos21fxxxx=++π3sin2cos212sin216xxx=++=++，所以函数()fx最小正周期π.【小问2详解】当π

π,63x−时，π2πππ5π2,233666xx−−+，【则1πsin2126x−+，π12sin226x−+，π02sin2136x++，因此，函数()yfx=

在区间ππ,63x−上的值域为0,3.【小问3详解】∵ππππ,,226666xmxm−−++，由()()1gxfx=−得()2sin2π6gxx=+，若函数()gx在π,6m−上有且仅有两个零点，则π20,π6x+=

，则ππ22π6m+，解得5π11π1212m.即5π11π,1212m.21.已知椭圆G：()222210xyabab+=离心率为32，且过点31,2P．（1）求椭圆G的方程；（2）若过点M（1，0）的直线与椭圆G交于两点A，B，设点1,02N

，求NANB+的范围．【答案】（1）2214xy+=（2）1,12【解析】【分析】（1）根据题意列方程解出,,abc，即可得出方程；（2）根据题意设直线AB及交点,AB坐标，联立直线与椭圆的方

程得到12yy+，12yy，表示出NANB+，再由向量的模长公式结合基本不等式求解即可.的【小问1详解】依题意可得22222=+3=213+=14abccaab，解得=2=1=3abc

，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】当直线AB斜率为0时，:0ABly=，()()2,0,2,0AB−，1,02N，所以()53,0,01,022NANB+=−+=−，所以1NANB+=，当直线AB斜率不为0时

，设()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程为：1xmy=+，联立方程组可得22=+1+=14xmyxy，得到()224230mymy++−=，()222412416480mmm=++=+，由根与系数的关

系得到12224myym+=−+，12234yym−=+，1,02N，所以()1122121211,,1,22NANBxyxyxxyy+=−+−=+−+，而()21212222411144mmxxmyymmm−++−=++=−+=

++，所以222224244mmNANBmm−++=+−++42422242424241681612121816816816mmmmmmmmmmmm−+++−===−+++

+++当0m=时，NANB+=101−=，当0m时，NANB+=22121168mm−++，因为2222161682816mmmm+++=，当且仅当2216mm=时取等，221230,1648mm

++，221211,11648mm−++，所以221211,11628mm−++.故NANB+的范围为：1,12.综上所述：NANB+的范围为：1,12.【点睛】思路点睛：解答直

线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，再由基本不等式和向量的模长公式求解即可.22.已知函数()()1

ln,lnfxxgxxxx=+=−．（1）若对任意()0,x+时，()fxa成立，求实数a的最大值；（2）若()1,x+，求证：()()fxgx；（3）若存在12xx，使得()()12gxgx=成

立，求证：121xx．【答案】（1）1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，求导得到极值，即可得到结果；（2）根据题意，构造()()()(),1,hxfxgxx=−+，

然后求导得到()0hx，即可证明；（3）方法一：由条件可得112122lnlnlnxxxxxx−=−=，令12xtx=，然后结合（2）中的结论即可证明；方法二：结合条件可得()12222112lngxgxx

xx−=−−，然后令()()12ln,0,xxxxx=−−+，然后由函数()x的单调性即可证明.【小问1详解】()()1ln,0,fxxxx=++，()22111xfxxxx−=−=，令()0fx¢>解得1x，()fx\在()0,1单减，在(

)1,+上单增，()fx\在1x=取得极小值，也是最小值()11f=，()0,x+时，()fxa成立．只需1a即可，实数a的最大值为1．【小问2详解】证明：设()()()()12ln,1,hxfxgxxxxx=−=+−+，()222222121(1)10xxxhxxx

xx−−−=−−==−，()12lnhxxxx=+−在()1,x+上单调递减，()()12ln10hxxxhx=+−=，()()1ln0hxxgxx=+−，即()()fxgx．【小问3详解】法一：证明：存在12xx时，便得()()12gxgx=成立，1

122lnlnxxxx−=−，112122lnlnlnxxxxxx−=−=，令12xtx=，由120xx可知1t，由（2）知()12lnhxxxx=+−在()1,x+上单调递减，()()1hth即1212122ln0x

xxxxx+−，1122212lnxxxxxx−，即112212lnxxxxxx−，11212212lnxxxxxxxx−−=，由120xx知120xx−，1211xx即121xx，121xx.法二：()()ln,0,gxxxx=−

+，()()111,01xgxgxxxx−==−，()gx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增．存在12xx时，使得()()12gxgx=成立，1122lnlnxxxx−=−，且122110,1xxx

，()1112222222222111111lnlnlnln2lngxgxxxxxxxxxxxx−=−−−=−−−=−−，令()()12ln,0,xxxxx=−−+，()2

22221221(1)10xxxxxxxx−+−=+−==，()12lnxxxx=−−在()0,x+上单调递增，又201x，()()222212ln10xxxx=−−=，即()1210gxgx

−即()121gxgx，()()121,1,,xgxx+在()1,+上单调递增，121xx即121xx.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，以及利用导数证明不等式问题，难度较难，解答本题的关键在于构造出合适的函数，然后利用导数去

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