【文档说明】第11讲 特殊的平行四边形（讲义）解析版-2021年春季八年级数学辅导讲义（沪教版）.docx，共(43)页，1.520 MB，由管理员店铺上传

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第11讲特殊的平行四边形平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊性得到正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特

殊平行四边形都既是中心对称图形又是轴对称图形．计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算．尤其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形，即较短的边长是对角线长的一半．当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角形合成的，可由等

边三角形的特殊性来研究．模块一：矩形知识精讲知识点1：矩形1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．2.性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；

(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(

即对称中心)．3.判定：矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．例题解析例1．（2018·上海杨浦区·八年级月考）下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的是：（）A．对角线互相平分且

有一个内角为直角的四边形是矩形.B．对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形.D．对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.【答案】C【分析】对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是

矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断A、C选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，即可判断B、D选项.【详解】对于A，对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错误；对于B，对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；

对于C，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；对于D，对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.故选C.【点睛】此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.例2．（2017·上海徐汇区·八年级期末）下列

命题中，假命题是（）A．有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B．有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C．有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D．有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形【答案】C【解析】利用

矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可．解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意；B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此

选项不符合题意；C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是

矩形可知此选项不符合题意．故选C．“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法．例3．（2019·上海上外附中）判断：三个内角相等的四边形为矩形（______）【答案】错误【分析】根据矩形的判定，举出反例即可.【详解】解：反例：三

个内角为80度的四边形不是矩形，故命题是假命题.故答案为：错误.【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的几种判定方法是解题的基础，举出反例是关键．例4．（2020·上海徐汇区·八年级期末）如图，矩形ABCD中，O是两

对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE∶OD＝1∶2，AE＝3cm，则BE﹦___________cm．【答案】3【分析】题目条件给出了AE⊥BD可以求得∠AEO=90，从而得到AEO为直角三角形，已知OE

∶OD＝1∶2建立EO与AO的数量关系，通过勾股定理可求得OE的值，便可得出答案．【详解】∵四边形ADCD为矩形∴OB=OA=OD又∵OE∶OD＝1∶2∴OE=12OD=12OA=BE∵AE⊥BD∴在RtAEO中，AE²+OE²=OA²AE²+OE²=(2OE

)²3²+OE²=(2OE)²∴OE=3∴BE=OE=3故答案为3【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，通过矩形对角线相等的性质和比值关系，用勾股定理构造直角三角形的边数量关系是解题的关键．例5．（2019·上海市

市西初级中学）如图，在矩形ABCD中，2=ADAB，点E在AD上，且BEAD=，则ECD=________．【答案】15°【分析】根据矩形性质得出∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，根据2ADBEAB

==，得出∠BEA＝30°＝∠EBC，求出∠ECB的度数，即可求出答案．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠BCD＝90°，AD＝BC=BE，AD∥BC，∵2ADBEAB==，∴∠BEA＝30°，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠BEA＝30°，∵BEAD==BC，∴∠

ECB＝12（180°−∠EBC）＝75°，∵∠BCD＝90°，∴ECD=90°−75°＝15°，故答案为：15°．【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数，题目比较好，

是一道综合性比较强的题目．例6．（2019·上海上外附中）矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，已知10AC=，30ACB=，则COD△的周长是_________【答案】15【分析】直接利用矩形的性质得出60OCD=，5DOCO=

=，进而得出OCD是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图所示：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，10AC=，30ACB=，9060OCDACB=−=，152DOCOAC===，OCD是等边三角

形，DOC的周长是：15．故答案为：15．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质，正确得出OCD是等边三角形是解题关键．例7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）矩形ABC

D中，对角线AC=10㎝，两邻边长度之比AB:BC是3:4，那么ABCDS矩形=____㎝²．【答案】48【分析】根据题意，画出图形，设AB=3xcm,BC=4xcm，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AB和B

C，最后根据矩形的面积公式计算即可．【详解】解：如下图所示，设AB=3xcm,BC=4xcm，根据勾股定理AB2＋BC2=AC2即222(3)(4)10xx+=，解得：x=2或-2（不符合实际，舍去）∴AB=6cm，BC=8cm∴ABCDS矩形=68

48=cm2故答案为：48．【点睛】此题考查的是矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．例8．（2019·上海静安区·八年级期末）在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O，46AOB=,那么OAD的度数为，_________

_．【答案】23【分析】根据矩形的性质可得∠OAD=∠ODA，再根据三角形的外角性质可得∠AOB=∠DAO+∠ADO=46°，从而可求∠OAD度数．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC=OB=OD，∴∠DAO=∠ADO，∵∠AO

B=∠DAO+∠ADO=46°，∴OAD=12∠AOB=12×46°=23°即OAD=23°．故答案为：23°.【点睛】此题考查矩形的性质，解决矩形中角度问题一般会运用矩形对角线分成的四个小三角形的等腰三角形的性质．例9．（2019·上

海市田林第三中学）一个周长为20厘米的长方形，长与宽的比是3:2，它的面积是_____平方厘米.【答案】24.【分析】根据“一个长方形的周长是20厘米，”知道长+宽=20÷2厘米，再根据“长与宽的比是3：2，”

把长看作3份，宽看作2份，长+宽=3+2份，由此求出1份，进而求出长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式S=ab，即可求出长方形的面积．【详解】1份是：20÷2÷(3+2)=20÷2÷5=2(厘米)，长是：3×2=

6(厘米)，宽是：2×2=4(厘米)，长方形的面积：6×4=24(平方厘米)，故答案为：24平方厘米.【点睛】此题考查按比例分配应用题，长方形、正方形的面积，解题关键在于掌握面积公式.例10．（2018·上海静

安区·八年级期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，那么△DCF的周长是___cm．【答案】14．【分析】根据翻转变换的性质得到BF=DF，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】由翻转变换的性质可知，BF＝DF，则△DCF的周长＝DF+CF

+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝14cm，故答案为：14．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．例11．（2017·上海杨浦区·八年级期末）在矩形

ABCD中，AB=1，BC=2,则AC=_______．【答案】5分析：利用Rt△ABC的勾股定理即可得出答案．详解：根据题意可得：AC=2222125ABBC+=+=．点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及直角三角形的勾股定理，属

于基础题型．明确△ABC为直角三角形是解题的关键．例12.矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为__________平方厘米．【难度】★★【答案】4或12．【解析】由题意可知，矩形的一边为4厘米，另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面积为4或1

2平方厘米．【总结】考查矩形性质的应用．例13如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BEAC⊥于点E，CFBD⊥于点F，求证：BE=CF．【难度】★★【解析】∵矩形ABCD，∴OCOB=．∵OCOB=，CFOBEO=，COFB

OE=∴COFBOE≌△△，∴BE=CF【总结】考察矩形的性质的运用．例14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为．【难度】★★【答案】125．【解析】过

点D作DH⊥AC于点H，连接PO∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，∴AC=5，AO=DO∵DH⊥AC，∴125DH=．∵ADODPOAPOSSS△△△=+，∴111222AOPEDOPFAODH+=∴125PEPFDH+==【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积

求出线段长．例15.已知：若从矩形ABCD的顶点C作BD的垂线交BD于E，交∠BAD的平分线于F．求证：△CAF是等腰三角形．【难度】★★【答案】见解析．【解析】过A作AG⊥BD，垂足为G∵AG⊥BD，∴∠BAG+∠GAD=90°∵∠AD

G+∠GAD=90°，∴∠BAG=∠ADG∵∠DAC=∠ADG，∴∠DAC=∠BAG∵AF平分∠BAD，∴∠BAG＋∠FAG=∠DAC＋∠CAF∵∠DAC=∠BAG，∴∠FAG=∠CAF∵AG⊥BD，CE

⊥BD，∴AG∥EC，∴∠F=∠FAG∵∠FAG=∠CAF，∴∠F=∠CAF∴CA=CF，∴△CAF是等腰三角形【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用．例16.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接A

F、CF．求证：AF⊥CF．【难度】★★【解析】联结BF∵BE=BD，F为DE中点，∴DEBF⊥∴=+90AFDBFA∵90DCE=，F为DE中点，∴CFDF=∴FDCFCD=，∴BCFADF=∵BCAD=，BCFADF=，DFCF=∴BCFADF≌△△，

∴BFCAFD=∵=+90AFDBFA，∴=+90BFCBFA，即=90AFC，∴AF⊥CF【总结】考察全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一性质的综合运用．例17.如图所示，

在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，求折叠EF的长．【难度】★★【答案】215【解析】联结AC交EF于O，连接CE∵矩形折叠使点C与点A重合，∴CEAE=．设xCEAE==，则xDE−=8

在直角△EDC中，()22268+−=xx，解得：425=x由勾股定理可得：10=AC．∵矩形ABCD，∴521==ACAO在直角△AOE中，222AOOEAE+=，解得：415=OE∴2152==OEEF．【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运

用．例18.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D处，CD交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________．【难度】★★【答案】10【解析】∵将矩形沿AC折叠，使点D

落在点D处，∴'ACDDCA=∵ABDC∥，∴CAFDCA=∴CAFACD='，∴CFAF=∴设xCFAF==，则xFB−=8在直角△CFB中，()22248+−=xx，解得：5=x∴10452121===BCAFSAFC△

【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用．模块二：菱形知识精讲1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2.性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两

条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对

称轴的交点就是对称中心；(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的

一半．3.判定：菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题解析例1．（2019·上海浦东新区·八年级期末）在四边形ABCD中，ACBD⊥，再补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是（）

A．ACBD=B．90ABC=C．ABBC=D．AC与BD互相平分【答案】D【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．

【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定．此题比较简单，注意掌握对角线互

相垂直的平行四边形是菱形定理的应用．例2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（）A．对角相等B．四边相等C．对角线互相平分D．四角相等【答案】B试题分析：因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直，两组对角相等，而矩形的四个角相等

都是直角，对角线相等，所以菱形具有而矩形不具有的性质是四条边相等和对角线互相垂直，故选B．考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．例3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列命题中，正确的是（）A．一组对

边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】D【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析得出答案．【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误

；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；故选：D．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确把握相关判定定理是解题关键．例4．（2

019·上海静安区·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ACBD,BODO⊥=,那么下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的为（）A．∠OAB=∠OBAB．∠OBA=∠OBCC．AD∥BCD．AD=BC【答案】A【分析】根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相

等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.【详解】A.∵AC⊥BD,BO=DO,∴AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADB，∠CBD=∠CDB，∵∠OAB=∠OBA，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵OC与OA的关

系不确定，∴无法证明四边形ABCD的形状，故此选项正确；B.∵AC⊥BD，BO=DO，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB=AD，CD=BC，∴∠ABD=∠ADA，∠CBD=∠CDB，∵∠OBA=∠OBC，∴∠ABD=∠ADB=∠CBD=∠CDB，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴A

B=BC=AD=CD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项错误；C.∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠AOD=∠BOC，BO=DO，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项错误；D.∵AD=BC，BO=DO，∠BOC

=∠AOD=90°，∴△AOD≌△BOC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，故此选项错误.故选：A.【点睛】此题考查菱形的判定，解题关键在于掌握菱形的三种判定方法.例5．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知菱形的边长为2cm，一个内角为60，那么该菱形的面积为_

_________2cm．【答案】23【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm，∴AB=BC=2cm，∵有一个内角是

60°，∴∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴112BMAB==（cm），∴223AMABBM=−=（cm），∴此菱形的面积为：2323=（cm2）．故答案为：23．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题

型．例6．（2019·上海上外附中）菱形一条对角线长为12cm，周长为40cm，则菱形的面积为_________平方厘米【答案】96【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10，根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积

的一半计算求解．【详解】解：因为周长是40，所以边长是10．如图所示：10AB=，12AC=．根据菱形的性质，ACBD⊥，162AOAC==，∴根据勾股定理得：8BO=，16BD=．面积1112169622SACBD===平方厘

米．故答案为：96．【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：()1利用底乘以相应底上的高；()2利用菱形的特殊性，菱形面积=两条对角线的乘积的一半．例7．（2018·上海杨浦区·八

年级月考）一条对角线_______________________的平行四边形是菱形．【答案】平分一组对角【分析】先作图，再根据平行线的性质得到∠2=∠3，根据角平分的性质得到∠1=∠2，则∠1=∠3，由等腰三角形的性质得

到AD=CD，则根据菱形的判定可得答案.【详解】一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．证明：如图所示，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD．∴∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠

1=∠3．∴AD=CD．∴□ABCD为菱形．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分的性质和菱形的判定，解题的关键是掌握平行线的性质、角平分的性质和菱形的判定.例8．（2019·上海浦东新区·八年级期末）菱形的周长为8，它的一个内角为60°，则菱形的较长的对角线长为________

__.【答案】23【分析】由菱形的性质可得AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为8，∴AB=2，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠ABC=60°，∴∠AB

O=12∠ABC=30°，∴AO=1，∴BO=223ABAO−=，∴BD=23,故答案为：23.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．例9．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知

菱形的边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积等于__________．【答案】120【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出

菱形的面积．【详解】解：在菱形ABCD中，13AB=，10AC=，对角线互相垂直平分，90AOB=∴，5AO=，在RtAOB中，2212BOABAO=−=，224BDBO==．则此菱形面积是10241202=，故答案为：120．【点睛】本题考查了

菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分．熟练运用勾股定理．例10．（2020·上海松江区·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．已知10ABm=，12ACcm=．那么

这个菱形的面积为__________2cm．【答案】96【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用勾股定理求出OB＝8cm，得出BD＝16cm，最后根据菱形的面积公式求解．【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6

cm，OB＝OD，∴OB＝22ABOA−＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，S菱形ABCD＝12AC•BD＝12×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解答本题的关键

是掌握菱形的两条对角线互相垂直的性质．例11.如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=6，P是AC上一动点(P与C不重合)，PE//BC交AB于点E，PF//CD交AD于点F，连结EF，求图中阴影部分的

面积．【难度】★★【答案】6【解析】∵菱形ABCD，∴CDABADBC∥，∥∵PE//BC，PF//CD，∴AEPFAFPE∥，∥∴四边形AEFP是平四边形，∴APEPEFSS△△=．∴FEPEPCBSSS

=+△阴影四边形1112622ABCABCDSS====△四边形．【总结】考察菱形的性质和面积的求法，注意对方法的总结．例12.如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于点E、F．求证：（1）AOECOF≌；（2）四边形AFCE是菱形．【难度】★★【

解析】（1）∵BCAD∥，∴FCAEAC=∵OCOA=，COFAOE=，∴AOECOF≌；（2）∵AOECOF≌，∴OFOE=，∵OCOA=，∴四边形AFCE是平行四边形∵EFAC⊥，∴四边形AFCE是菱形．【总结】考察平行四边形的性质和菱形的

判定的综合运用．例13.如图O是菱形ABCD对角线的交点，作//DEAC，//CEBD，DE、CE交于点E，四边形OCED是矩形吗?证明你的结论．【难度】★★【答案】是矩形，证明见解析．【解析】∵//DEAC，//

CEBD，∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形，∴=90DOC∴平行四边形OCED是矩形．【总结】考察菱形的性质和矩形的判定定理的综合运用．例14.如图，矩形纸片ABCD中，=4AB，8AD=，将纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF．（1）求证：四边形BED

F是菱形；（2）求菱形BEDF的边长．OFEDCBA【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）5．【解析】（1）设EF与AB的交点为O．∵将纸片折叠，使得点B与点D重合，折痕为EF∴BDEF⊥，DOBO=．∵CDAB∥，∴FBOEDO=．∴OBF

ODE≌△△，∴OEOF=．∵DOBO=，∴四边形BEDF是平行四边形．∵BDEF⊥，∴四边形BEDF是菱形；（2）设xDFBF==，则xFC−=8，在直角△CFD中，由勾股定理，得：()22248+−=

xx，解得：5=x，∴菱形BEDF的边长为5．【总结】考察矩形的性质和菱形的判定定理的综合运用．例15.如图，ABC中，90ACB=，CDAB⊥，AE平分BAC交CD于F，EGAB⊥交AB于G．求证：四边形CEGF是菱形．【难度】★★【

解析】∵AE平分BAC，EGAB⊥，90ACB=∴EGCE=，AECAEG=∵EGCE=，AECAEG=，EFEF=∴GEFCEF≌△△，∴GFECFEFCFG==，∵ABEGABCD⊥⊥，∴EGCD∥

，∴GEFCFE=∵GFECFE=，∴CEFCFE=，∴CECF=∵EGCEFCFG==，∴FGEGCECF===，∴四边形CEGF是菱形【总结】考察菱形的判定定理的综合运用．例16.如图，菱

形ABCD的边长为4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________．【难度】★★★【答案】32．【解析】联结AE与BD的交点即为所求作的点P．∵∠ABC＝60°，∴△

ABC为等边三角形∵E是BC的中点，∴BCAE⊥∵42ABBE==，∴3222=−=BEABAE【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的归纳总结．例17.如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分

别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2．（1）判断△BEF的形状，并说明理由；（2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2）3343S．【解析】（1）∵菱形ABCD的边长为2，

BD=2，∴BCDABD和△△都为等边三角形．∴==60BCFBDE，BCBD=．∵2==+ADDEAE，又2=+CFAE，∴CFDE=．∵CFDE=，BCFBDE=，BCBD=，∴BCFBDE≌△△，∴CBFDBE=，BFBE=∵

=+=60CBFDBFDBC，∴=+60DBEDBF，即=60EBF，∴BEF△是正三角形；（2）设xEFBFBE===，则2432321xxxS==当ADBE⊥时，x取最小值为3时，343=S；当BE与AB重合时，x取

最大值为2，3=S；∴3343S．【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹．例18.已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平

行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图1所示，当点D在线段BC上时，①试说明：△AEB≌△ADC②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由．（2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时

，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由．（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．【难度】★★★【解析】（1）①∵ABC△和DEA△都是等边三角形∴ACAB=，ADAE

=，==60EADBAC∴BADEADBADBAC−=−，即BAEDAC=∵ACAB=，BAEDAC=，ADAE=，∴ADCABE≌△△；②四边形BCGE是平行四边形．∵ABC△和DEA△都是等边三角形，∴==60BACACB∵ADCABE

≌△△，∴==60ACDABE∴BACABE=，∴ACBE∥∵BCEG∥，∴四边形BCGE是平行四边形．（2）四边形BCGE是平行四边形．方法同（1）（3）当点D运动到BCDC=时，四边形BCGE是菱形．与（1）一样可证：ADCABE

≌△△，则CDBE=与（1）一样可证：四边形BCGE是平行四边形∴当BEBC=时，四边形BCGE是菱形，此时CDBC=即当点D运动到BCDC=时，四边形BCGE是菱形．【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用．模块三：正方形知识精讲1.定义：有一组邻边相等

并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直

角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．例题解析例1．（2019·上海八年级课时练习）正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．对角

线相等B．对角线互相垂直平分C．四条边相等D．对角线平分一组对角【答案】A【分析】根据正方形和菱形的性质可以判断各个选项是否正确．【详解】解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；

正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查正方形和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握基本性质．例2．（2018·上海闵行区·八年级月考）下列命题是假

命题的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．【答案】D【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；对角线互相垂直的矩

形是正方形，正确；对角线相等的菱形是正方形，正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；可知选项D是错误的．故选：D．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是

要熟悉课本中的性质定理．例3．（2019·上海上外附中）判断：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（______）【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，ACBD=，ACBD

⊥，AOCO，则四边形ABCD不是正方形.故命题是假命题.故答案为：错误.【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟悉正方形对角线的性质.例4．（2021·上海八年级期末）如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3

，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为__________．【答案】7【分析】首先由正方形的面积得出2,3BCFJ==，然后证明BCGGJF△△，得出3CGFJ==，然后利用勾股定理得出BG的

长度，最后利用面积公式求解即可．【详解】∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，2,3BCFJ==，90,90CBGBGCFGJBGC+=+=，CBGFGJ=．在BCG和

GJF△中，BCGGJFCBGFGJBGFG===，()BCGGJFAAS△△，3CGFJ==，227BGBCCG=+=，∴正方形BEFG的面积为777=，故答案为：7．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌

握这些性质是解题的关键．例5．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=a，CE=b，H是AF的中点，那么CH的长是______．（用含a、b的代数式表示）【答案】2212a2b2+【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠AC

F=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．【详解】解：连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠ACG=45°，∠FCG=45°，∴∠ACF=90

°，∵BC=a，CE=b，∴AC=2a，CF=2b，由勾股定理得，AF=22ACCF+=222a2b+，∵∠ACF=90°，H是AF的中点，∴CH=2212a2b2+，故答案为：2212a2b2+．【点睛】本

题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．例6．（2020·上海市位育实验学校）如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=PB=10，并且P点到CD的距离也等于10，则正方形面积是____________

【答案】256【分析】设PE＝x，根据正方形各边相等的等量关系，即可根据FP＋PE＝AB的等量关系，列出等量关系式解本题．【详解】过P作EF⊥AB于E，交CD于F，则PF⊥CD所以PF＝PA＝PB＝10，E为AB中点设PE＝x，则A

B＝AD＝10＋x所以AE＝12AB＝12（10＋x）在Rt△PAE中，PA2＝PE2＋AE2所以102＝x2＋[12（10＋x）]2所以x＝6所以正方形ABCD面积＝AB2＝（10＋6）2＝256．故填：256．【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了正

方形各边均相等的性质，解本题的关键是根据正方形边长相等列出等量关系式并且求解．例7．（2019·上海市民办上宝中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD的顶点A(1，1)，B(3，1)，直线y=2x+b交边AB于点E，交边CD于点F，则直线y=2x+b在y轴上的截距b的变化范围是_____

_____．【答案】−3≤b≤−1【分析】由于直线y=2x+b交AB于点E，交CD于点F，所以点E在线段AB上，最左端是A点，于是把A的坐标代入可求得一个b值，同理，F的最右端为点C，代入C的左标可求出b的另一个值，答案可得．【详解】∵四边形AB

CD是正方形，A(1，1)，B(3，1)∴C点坐标为(3，3)∵直线y=2x+b交边AB于点E，交边CD于点F∴所以点E在线段AB上，最左端是A点，当直线通过点A时，将A(1，1)代入y=2x+b得，211+=b，解得1b=−；F点在CD上，最右端为C，当直

线通过点C时，将C(3，3)代入y=2x+b得，233+=b，解得3b=−，∴b的范围为−3≤b≤−1.故答案为：−3≤b≤−1.【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，由正方形的性质得到C点坐标，采用数形结合思想判断出直线平移的范围是解题的关

键.例8．（2018·上海杨浦区·八年级月考）点E在正方形ABCD的边BC的延长线上,CE=AC,连接AE交CD于F，则∠AFD=______.【答案】67.5°【分析】由图知∠AFD=∠FAC+∠ACF，即求出∠FA

C，∠ACF的值，可知∠AFD的度数．【详解】根据题意画出如图所示：∵ABCD为正方形∴DC⊥BC即∠DCE=90°又∵AC是正方形ABCD的对角线∴∠ACF=45°∴∠ACE=∠DCE+∠ACF=135°∵CE=CA∴∠FAC=∠E=12(180°−135°)=22.5°∴

∠AFD=∠FAC+∠ACF=22.5°+45°=67.5°.【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于求出∠FAC.例9．（2018·上海杨浦区·八年级月考）在正方形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，若正方形ABCD的周长是16cm，则DE=_____

_______【答案】4cm【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ODC=∠OCD=∠BAC=45°，再根据角平分线的定义求出∠OAE，然后求出∠DAE=67.5°，再根据三角形内角和等于180°求出∠DEA=67.5°，从而得到∠DEA=∠DAE，再根据

等角对等边可得AD=DE，再根据正方形的周长求出边长DC的长度，从而得解．【详解】如图,在正方形ABCD中,∠ODC=∠OCD=∠BAC=45°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠OAE=12∠BAC=12×

45°=22.5°，∴∠DAE=∠OAD+∠OAE=45°+22.5°=67.5°，在△ADE中,∠DEA=180°−∠DAE−∠ADE=180°−67.5°−45°=67.5°∴∠DEA=∠DAE，∴DE=DA，∵正方形ABCD的周长是16cm，∴边长DC=16÷4=4(

cm)，∴DE=4cm.故答案为：4cm.【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于求出∠OAE.例10．（2018·上海杨浦区·八年级月考）___________________的菱形是正方形.【答案】一个角是90°或对角线相等【分析】根据正方形的判定定理即可解

答．解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性质．我们知道一个角是90°的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形.【详解】根据正方形的判定定理可知一个角是90°或对角线相等的菱形是正方形.故答案为：一个角是90°或对角线相等.【点睛】此题考查正方

形的判定，解题关键在于掌握判定定理.例11．（2019·上海浦东新区·八年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BCa=，CEb=，H是AF的中点，那么CH的长是__________（

用含a、b的代数式表示）.【答案】22222ab+【分析】连接AC、CF，根据正方形的性质得到∠ACF=90°，根据勾股定理求出AF的长，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可．【详解】解：连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEF

G中，∠ACG=45°，∠FCG=45°，∴∠ACF=90°，∵BC=a，CE=b，22ACaCFb==，，由勾股定理得：222222AFACCFab=+=+,∵∠ACF=90°，H是AF的中点，∴CH=12AF=22222ab+.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．例12．（2017·上海八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，点F为垂

足，那么FC=__．【答案】21−【解析】根据正方形的性质和已知条件可求得AF，AC的长，从而不难得到FC的长．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD=CD=1，∠D=∠B=90°，∴AC=2211+=2，∵AE平分∠D

AC，EF⊥AC交于F，∴AF=AD=1，∴FC=AC﹣AF=2﹣1，故答案为：21−；“点睛”本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质；熟练掌握正方形的性质，求出AF=AD是解决问题的关键.例13．（2019·上海普陀区·八年级期中）如图：在正方形

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BAC的平分线AF交BD于点E，交BC于点F．求证：（1）BEBF=；（2）12OECF=．【分析】（1）根据正方形的性质得45ACBABO==，根据角平分线的性质得BAEFAC=，利用三角形外角

的性质即可证得BEFBFE=，从而证得结论；（2）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出12OGFC=，根据平行线的性质得出OGEGEO=，从而证得结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴ABBC=，90ABC=，∴45ACBABO==，∵AF平分BAC，∴B

AEFAC=，∵BEFBAEABO=+，BFAACBFAC=+，∴BEFBFE=，∴BEBF=；（2）取AF的中点G，联结OG，∵OG、分别是ACAF、的中点，∴12OGFC=，OGFC∥，∴OGEBFE=，∵BEFGEO=，∴OGEGEO

=，∴OGOE=，∴12OEFC=．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．例14.（1）如图（1），已知P

正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则ACP度数是；（2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点，CE=BD，∠ECB的度数是_______．【难度】★★【答案】（1）22.5°；（2）15°．【解析】（1）∵正方形ABCD，∴=45CB

D．∵BP=BC，∴=5.67BCP．∵=45BCA，∴=−=5.22455.67ACP；（2）联结AE∵BDACOCAO⊥=，，∴ECAE=．∵BDCE=，∴BDECAE==∵BDAC=，∴ACECAE==，∴=60ACE

．∵=45ACB，∴=−=154560BCE．【总结】考察正方形的性质的运用．例15.如图，正方形ABCD的对角线AC上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于点F．求证：AE=EF=FD．【难度】★

★【解析】∵正方形ABCD，EF⊥AC，∴90DEFC==．∵CECD=，CFCF=，∴CEFCDF≌△△∴EFDF=∵=45DAE，AEEF⊥，∴==45AFEFAE∴EFAE=，∴FDFEAE==．【总结】考察正方形的性质及直角三角形全

等的判定的综合运用．例16.如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD于点F．求证：AE=BF．【难度】★★【解析】∵BF⊥AE，∴=+90GBAEAB∵=+90FBCGBA，∴FBCEAB=∵FBCEAB=，BCFEBA=，BCAB=∴

BCFABE≌△△，∴BFAE=．【总结】考察正方形的性质的运用．例17.已知：正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE⊥AF于E，交AD于M．求证：∠MFD=45°．【难度】★★【解析】∵CE⊥AF，∴=+90EFCECF∵=+90DAFEFC，∴DAFECF=∵DA

FECF=，ADFCDM=，ADCD=∴ADFCDM≌△△，∴DFMD=∵=90MDF，∴=45MFD【总结】考察正方形的性质及等腰直角三角形性质的综合运用．例18.已知：在正方形ABCD中，M为A

B的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN于N．求证：MD=MN．【难度】★★★【解析】取AD的中点G，联结MG∵M为AB的中点，∴ABMB21=∵G为AD的中点，∴ADDG21=∵ABAD=，∴MBDG=∵BN平分∠CBE，∴=45NBE

，∴=135MBN∵AMAG=，∴=45AGM，∴=135DGM，∴MBNDGM=∵MN⊥MD，∴=+90NMBDMA，又∵=+90ADMDMA，∴ADMNMB=∵MBNDGM=，ADMNMB=，MBDG=∴MNBDMG≌△△，∴

MNMD=【总结】考察正方形的性质的综合运用，注意辅助线的添加．例19.如图所示，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AP⊥EF于点P．求证：AP=AB．【难度】★★★【解析】延长CB至G，使得DFBG=∵ADAB=，BGDF=

，ABGD=∴ADFABG≌△△∴AFAG=，BAGDAF=∴=−=+=+=4590EAFDAFEABBAGEABEAG∴EAGEAF=∵EAGEAF=，AEAE=，AFAG=，∴AGEAFE≌△△，∴AEBAE

P=∵AEBAEP=，ABEAPE=，AEAE=∴ABEAPE≌△△，∴ABAP=．【总结】考察正方形的性质的应用，注意辅助线的添加．例20.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FGDE⊥，FG与边BC相交于点F，与边

DA的延长线相交于点G．（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．（2）联结DF，如果正方形的边长为2，设AEx=，DFG的面积为y，求y

与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）如果正方形的边长为2，FG的长为52，求点C到直线DE的距离．【难度】★★★【答案】（1）AEAGBF=+；（2）242+=xy（20x）；（3）58．【解

析】（1）证明：过点F作DAFH⊥，垂足为H∵===90FHDBDAE，∴四边形ABFH是矩形∴DAABFH==∵FGDE⊥，∴DEAADEG=−=90∵DEAG=，DAEFHG=，HFAD=∴DAEFHG≌△△∴

AEGH=，即AEAGHA=+∵HABF=，∴AEAGBF=+（2）∵DAEFHG≌△△，∴2224xAEADDEFG+=+==∵DEFGSDGF=21△，∴242+=xy，定义域为20x（3）联

结CE，作DECP⊥于P221==ADCDSCDE△∴221==CPDESCDE△∵25==FGDE，∴22521=CP，∴58=CP∴点C到直线DE的距离为58．【总结】本题综合性较强，主要

考察正方形的性质和勾股定理的综合应用，解题时注意利用等积法求线段的长．随堂检测1.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．①若=ABAD，则平行四边形ABCD是形；②若=ACBD，则平行四边形ABCD是

形；③若90ABC=，则平行四边形ABCD是形；④若BAODAO=，则平行四边形ABCD是形．【难度】★【答案】①菱形；②矩形；③矩形；④菱形．【解析】矩形、菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线相等

的平行四边形是矩形；3、有一个内角为直角的平行四边形是矩形；【总结】考察矩形、菱形的判定方法．2.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是()A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD是，它是正方形【难度】★【答案】D【解析】D答案只能判定出四边形ABCD是矩形．【总结】考察矩形、菱形的判定方法．3..在菱形ABCD中，对角线ACBD，相交于点OE

，为AB的中点，且OEa=，则菱形ABCD的周长为()A．16aB．12aC．8aD．4a【难度】★【答案】C【解析】因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得aAB2

=，则菱形的周长为a8．【总结】考察菱形的性质的运用．4.把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150=，则AEF=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【难度】★【答案】B【解析】∵矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，150=，∴()=−=65250180BF

E，∵BCAD∥，∴=+180BFEAEF，∴=115AEF．【总结】考察翻折的特征和矩形的性质的综合运用．5.如图，正方形ABCD中，E为边CD上的一个动点，延长BC至F，使CFCE=，联结DF，BE与DF相交于G点，下列结论正确

的个数是（）①BGDF⊥；②90FCEB+=；③90FDCABG+=；④BEDF=．A．1B．2C．3D．4【难度】★★【答案】C【解析】①③④正确．∵CECF=，DCFBCE=，CDBC=，∴CDFCBE≌△△∴DFBE=，CDFEB

C=∵=+90FCDF，∴=+90FEBC，∴BGDF⊥，则可知①③④正确．【总结】考察正方形的性质的应用．6.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数．【难度】★★【答案】60°【解析】联结FB

∵AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，∴FBAF=∵ABAD=，AFAF=，BAFDAF=，∴BAFDAF≌△△∴FBDF=，∴DFAF=，∵∠BAD=80°，∴==4021BADDAF，=100

ADC∴==40DAFADF，∴=−=6040100CDF．【总结】考察菱形的性质的应用．7.如图所示，正方形ABCD中，EF⊥GH于点P．求证：EF=GH．【难度】★★【解析】作CDEM⊥于M，BCHN⊥于

N，交点为O．∵EF⊥GH，∴GHNFEM=∵GHNFEM=，EMFHNG=，HGEM=∴HGNEFM≌△△，∴GHEF=【总结】考察正方形的性质的应用，注意对此模型的总结．8.如图，在线段AE上取一点B，使ABBE，以AB、BE为边在A

E同侧作正方形ABCD和BEFG，在AB上取AHBE=，在BC的延长线上取一点K，使CKBG=．求证：四边形HFKD为正方形．【难度】★★【解析】∵HEHBBEHBAHABADDCBC=+=+====BGGCCKGCGK=+=+=又CKGFEFAH===，∴CDKGKFEHFA

DH≌△≌△≌△△∴DKKFHFDH===，∴四边形HFKD是菱形，∵EHFADH=，∴=+=+90ADHAHDEHFAHD，∴=90DHF，∴菱形HFKD是正方形．【总结】考察正方形的性质及判定方法的综合运用．9.如图所示，菱形PQR

S内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周长．【难度】★★【答案】5672．【解析】∵CDAB∥，∴CRPAPR=∵RQSP∥

，∴QRPSPR=∴QRPCRPSPRAPR−=−，即QRCAPS=∵QRCAPS=，CA=，RQSP=∴CQRASP≌△△∴CRAPCQAS==，也可证得：DRSBPQ≌△△，∴PBDRBQSD==，设y

APxAS==，∵PR与SQ互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中6个三角形的边长分别为15、20、25，而xASCQ==，yAPCR==，则直角△ASP和直角△CQR的三边分别为25、、yx，矩形面积等于8个直角三角形面积之和．所以()()x

yyx21215202161520+=++，则有12043=+yx而62522=+yx，解得：20=x，15=y或544=x，5117=y当20=x时，40=+=BQxBC与30=PR不合，所以舍去；∴矩形的周长为()567220152=

+++yx．【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用．10.已知：如图边长为a的正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F分别为DC、BC上的点，且=DECF．求证：（1）EOFO⊥．（2）M

、N分别在OE、OF延长线上，OMONa==，四边形MONG与正方形ABCD重合部分的面积等于214a．【难度】★★★【解析】（1）∵=DECF，OCDO=，OCFODE=∴COFDOE≌△△∴COFDOE=∵=+90EOCDOE

，∴=+90EOCCOF，即EOFO⊥；（2）∵COFDOE≌△△，∴COFDOESS△△=∴四边形MONG与正方形ABCD重合部分的面积等于24141aSSSSSSABCDODCODEOECOCFOEC===+=+四边形△△△△△．【总结】考察正方形的性质运用，注意第（2）问中将

面积进行转化．