【文档说明】河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二（竞赛班）上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(16)页，1.210 MB，由小赞的店铺上传

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-1-石家庄二中2020~2021学年第一学期期中考试高二竞赛班数学试卷考试时间为120分钟，总分150一、选择题1.对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（）A.相等B.不相等C.无法确定D.与抽取的次数有关【答案】A【解析】【分析】根据简单随机抽样的概念，直

接选出正确选项.【详解】根据简单随机抽样的概念可知，每个个体每次被抽到的机会相等，故选A.【点睛】本小题主要考查简单随机抽要的概念，属于基础题.2.命题“20xxR，”的否定是（）A.0020xxR，B.0020xxR，C.20xxR，D.20xxR，【答案】B【

解析】命题“20xxR，”的否定是“0020xxR，”.故选B.3.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A.300B.216C.180D.162

【答案】C【解析】分两类:一、当偶数取2,4时，则有243472CA=；二、当偶数取0,2或0,4时，考虑首位，只有三个数可排，故有233323108CA=，因此共有72108180+=.所以应选C.-2-4.从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x/c

m160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程ˆy=0.56x+a,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为()A.70.09kgB.70.12kgC.70.55kgD.71.05kg【答案】B【解析】试题分析：由表中数

据可得．1601651701751801705x++++==，6366707274695y++++==，∵(),xy一定在回归直线方程0.56yxa=+上，∴69=0．56×170+a，解得a=-16．2∴y=0．56x-16．2，当x=172时，y=0．56×172-16．2=70．12考点

：线性回归方程5.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B=“抽到二等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知P（A）=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A.0.65

B.0.35C.0.3D.0.005【答案】B【解析】分析：根据对立事件的概率公式求解.详解：由题得事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1-0.65=0.35.点睛：(1)本题主要考查对立事件的概率公式，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)对立事件的概率公式为()1()PAPA=−.-3-

6.已知命题p：1x，命题q：2xx，则q是p的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先求出命题q，p对应的x范围，由集合的关系进行判断

得出结论.【详解】由2xx可得1x或0x命题p：1x，命题q：01x所以由011xx，反之不成立.所以q是p的充分不必要条件故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q

对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．7.假设要

考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000、001、、799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号是（）（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442175331

57245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966

027954A.199B.175C.507D.128【答案】B【解析】【分析】根据随机数表法读取中样本中前5个个体的编号，由此可得出结果.-4-【详解】由题意可知，样本中前5个个体的编号分别为785、

667、199、507、175.因此，抽取检测的第5袋牛奶的编号是175.故选：B.8.已知椭圆C：22142xy+=，过点(1,1)M的直线与椭圆C相交于P，Q两点，若弦PQ恰被点M平分，则直线l的斜率为

（）A.2−B.12−C.1−D.2【答案】B【解析】【分析】设,PQ两点坐标代入方程，根据题意利用点差法得到方程，再代入用中点坐标，即可得解.【详解】设11(,)Pxy,22(,)Qxy，则由题意得22

112222142142xyxy+=+=两式相减得：()()()()12121212042xxxxyyyy+−+−+=整理得：1212121224yyxxxxyy−−+=−+又弦PQ被点M平分，则12121212xxy

y+=+=，代入上式得121212yyxx−=−−，即直线l的斜率为12−，故选：B.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决

，往往会更简单．9.有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90～100分，10人低于90分．现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道．就-5

-这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（）.A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样【答案】D【解析】【分析】根

据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进行判断．【详解】（1）是系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取2人；（2）是分层抽样，因为60人中分数有明显差异；（3）是简单随机抽样，因为6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，故选D．【点睛】抽样方法共有简单

随机抽样、系统抽样和分层抽样（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；（3）分成抽样就是按比例抽取．10.若202020102018220200122020(1)(1)(1)1axaxxax

xax+−+−++−=，则012020aaa+++=（）A.1B.0C.20202D.20212【答案】C【解析】【分析】由()202011xx=+−结合二项式定理可得出2020kkaC=，利用二项式系数和

公式可求得012020aaa+++L的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)xxaxaxxaxxax+−+−++−=+−=LQ，当02020k且kN时，20

20kkaC=，-6-因此，01220202020202020202020012202020202aaaCCaCC=++++=++++L.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nnnnnnCCCC++

++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.11.已知ABC的顶点()3,0B−和()3,0C，顶点A在椭圆221167xy+=上，则sinsinsinBCA+的值为（）A.32B.23C.34

D.43【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求出a、c，然后利用正弦定理边角互化以及椭圆的定义可求得所求代数式的值.【详解】在椭圆221167xy+=中，4a=，7b=，则223cab=−=，所以，()3,0B−、()3,0C分别为椭圆221167xy+=的左、右焦点，由于ABC的顶点A在

椭圆221167xy+=上，由椭圆的定义可得28ABACa+==，因此，sinsin84sin63ACABBCABC++===.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）与椭圆焦点三角形相关的问题，一般利用椭圆的定义求解；（2）与三角形正弦值比值

相关的问题，可考查利用正弦定理边角互化求解.12.已知AB、是抛物线28yx=上的两个动点且16AB=，则AB、中点M到直线3x=−距离的最小值是（）A.8B.9C.10D.7【答案】B-7-【解析】当AB、过抛物线焦点时，AB

、中点M到直线3x=−距离的最小值，因为16AB=，所以AB、两点到准线距离为16，则AB、两点到直线3x=−的距离为18故AB、中点M到直线3x=−距离的最小值是9，故选B点睛：本题主要考查的是抛物线的简单性质的知识点．要求两动点到直线的距离最小当且仅当直线过抛物线焦点时，再结合抛物线

上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而求出结果，转化过焦点是解题的关键．二、填空题13.已知求得一组数据4、6、5、8、7、x、6平均数是6，那么这组数据的中位数是______.【答案】6【解析】【分析】利用平均数可求出x的值，再将数据由小到大排列，即可求得这组数据的中位数.【详解】

由平均数公式可得46587667x++++++=，解得6x=，将这组数据由小到大排列依次为：4、5、6、6、6、7、8，因此，这组数据的中位数为6.故答案为：6.14.某班的5名同学代表班级参加学校组织的知识竞赛，在竞赛过程中，每人依次回答问题，为更好的发挥

5人的整体水平，其中A同学只能在第一或最后一个答题，B和C同学则必须相邻顺序答题，则不同的答题顺序编排方法的种数为______（用数字作答）【答案】24【解析】【分析】先安排A有12C种，再安排B和C有1232CA种，最后其余2为同学有22A种，由分步计数原理可得答案.【详解】由A同

学只能在第一或最后一个答题，则A同学的答题位次有12C种B和C同学则必须相邻顺序答题，则B和C相邻的选法有1232CA种其余2位同学有22A种-8-则不同的答题顺序编排方法的种数为12C1232CA2224A=种.故答案为：2415.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，

有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用

概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2++=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和

数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．16.已知,AB是椭圆22221xyab+=和双曲线22221xyab−=的公共顶点，其中0ab，P是双曲线上的

动点，M是椭圆上的动点（,PM都异于,AB），且满足()PAPBMAMB+=+（R），设直线,,APBP,AMBM的斜率分别为1234,,,kkkk，若123kk+=，则34kk+=_______.【答案】3－【解析】如图所示，-9-∵满足()PAP

BMAMB+=+，其中（R），∴22POMO=，∴O，M，P三点共线．设()11,Pxy，()22,Mxy，12120yykxx=＝，则2211221xyab−=，2222221xyab+=，∴2221122xayab−=，2222222

xayab−=−，∵123kk+=，∴2111111222221111222213yyxyxybayxaxaxaakb=+===+−−，∴22222342222222213yyxybkkxaxaxaak+=+==−=−+−−，故答案为3−.点睛：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质

、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题；由满足()PAPBMAMB+=+，利用向量的平行四边形法则可得：O，M，P三点共线，设()11,Pxy，()22,Mxy，分别利用点在双曲线与椭圆上结合斜率计算公式，再利用整体代换思想可求得结果.三、

解答题17.设命题p：函数()(21)2020fxkx=−+在R上是减函数，命题q：函数2()(31)1gxxkx=+++的定义域为全体实数R，如果()pq是真命题，求实数k的取值范围.【答案】11(,1),32k

−−【解析】【分析】若函数()(21)2020fxkx=−+在R上递减，只需210k−，函数2()(31)1gxxkx=+++的定义域为全体实数R，则2(31)10xkx+++恒成立，函数0即可.【详解】解：若p为真，则210k−

，即12k；-10-若q为真，则2(31)40k=+−，解得113k−，由()pq是真命题可知，p真且q假，即12113kkk−或.解得：1k−或1132k，故实数k的取值范围是11(

,1),32k−−.【点睛】求解根据含逻辑连接词的命题真假求参数的取值范围的问题时，先求解当p和q都是真命题时参数的取值范围，则p成立时，只需计算其补集，最后根据“或”、“且”、“非”的关系求

解即可．18.某商场5个分店某日的销售额和利润额资料如下表：商店名称ABCDE销售额x/万元35679利润额y/万元23345(1)求y关于销售额x的回归直线方程；(2)当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额(万元)．附：对于一组数据()11,uv，()22,uv……

，(),nnuv其回归线vu=+斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niiiniiuuvvuu==−−=−；，vu=−【答案】（1）0.50.4yx=+；（2）2.4万元【解析】【分析】（1）根据回归直线方程

计算公式，计算出回归直线方程.（2）将4x=代入回归直线方程求得估计值.-11-【详解】（1）6,3.4xy==，521200iix==，51112iiixy==，故2112563.40.5200ˆ56b−==−，3.40.560.4aybx=−=−=，故0.50.4yx=+.

（2）当4x=时，0.540.42.4y=+=万元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，属于基础题.19.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动．（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；（2）求所选2人中

至少有一名女生的概率．【答案】(1)35；(2)710【解析】【详解】试题分析：设2名女生为12,aa，3名男生为123,,bbb，列举可得总的基本事件数，分别可得符合题意的基本事件数，由古典概型的概率公式可得．

试题解析：设2名女生为12,aa，3名男生为123,,bbb，从中选出2人的基本事件有：12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)aaababababababbbbbbb，共10种．（1）设“所选2人中恰有一名男生”的

事件为A，则A包含的基本事件有：111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)abababababab，共6种，∴，故所选2人中恰有一名男生的概率为35．（2）设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的基本事件有：1

2111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)aaabababababab，共7种．∴7()10PB=，故所选2人中至少有一名女生的概率为710．考点：古典概型及其概

率计算公式．【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为12n、、、；且它们具有以-12-下三条性质:(1)等可能性:：()()()12nPPP===；(2)完备性：在任一次试验

中至少发生一个；(3)互不相容性：在任一次试验中，12n、、、，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为1n，即()iP；第二步：掌握古典概率的计算公式；如果样本空间包含的样本点的总数n，事件A包含的样本点数为m，则事件A的概率()mAAPAn==

=事件包含的基本事件数有利于的基本事件数基本事件总数基本事件总数.20.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若3APPB=，求|AB|．【答案

】（1）12870xy−−=；（2）4133.【解析】【分析】（1）设直线l：32yxm=+，()11,Axy，()22,Bxy；根据抛物线焦半径公式可得1252xx+=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：23xyt=

+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3APPB=可得123yy=−，结合韦达定理可求得12yy；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l方程为：32yxm=+，()11,Axy，()22,Bxy

由抛物线焦半径公式可知：12342AFBFxx+=++=1252xx+=联立2323yxmyx=+=得：()229121240xmxm+−+=则()2212121440mm=−−12m121212592mxx−+=−=，解得：78m=−-13-直线l的方程为：3

728yx=−，即：12870xy−−=（2）设(),0Pt，则可设直线l方程为：23xyt=+联立2233xytyx=+=得：2230yyt−−=则4120t=+13t−122yy+=，123

yyt=−3APPB=123yy=−21y=−，13y=123yy=−则()2121241341314412933AByyyy=++−=+=【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到

平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.21.为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ

）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率．【答案】（Ⅰ）估计全校男生人数为400人．（Ⅱ）p=0.5-14-（Ⅲ）262102()13CPAC=−=（或1

126442102()3CCCPAC++==）【解析】试题分析：（1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10﹪估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185㎝之间的学生有14+13

+4+3+1=35人．样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185㎝之间的频率为0.5，故可估计该校学生身高在170～185㎝之间的概率0.5p=.（3）样本中女生身高在165～180㎝之间的人数为10，

身高在,170～180㎝之间的人数为4.设A表示事件“从样本中身高在165～180㎝之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170～185㎝之间”，则P2112664422101022()1(())33

CCCCAPACC+=−===或考点：本题考查了频数分布图的运用及概率的求法点评：对于概率的求解问题，要弄清楚事件的类型，然后选择相应的概率公式求解即可22.在平面直角坐标系xOy中，动点M到点(1,0)A−和(1,0)B的距离分别为1d和2d，2

AMB=，且212cos1dd=.（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）是否存在直线l过点B与轨迹E交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212xy+=；（2）存在；2(1)yx=−.【解析】【分析】（1）由

余弦定理可得1222dd+=，从而由椭圆的定义可得答案.-15-（2）设P，Q两点的坐标依次为()11,xy，()22,xy，以线段PQ为直径的圆过原点得，0OPOQ=，即12120xxyy+=，先假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)ykx=−，与椭圆方程联立，韦达定理

代入求出k的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0时，在ABM中，由余弦定理得：22121242cos2dddd=+−.又212cos1dd=，整理得，1222dd+=，所以点M的轨迹E是以(1,0)A−和(1,0)B为焦点，长轴长为22的椭圆，（除长轴的两个端点）又当点M为

该椭圆的长轴的两个端点时，0=，也满足212cos1dd=.所以点M的轨迹E的方程是2212xy+=.（2）假设存在直线l满足题设，设直线l的方程为(1)ykx=−，由22(1)12ykxxy=−+=得

()2222124220kxkxk+−+−=设P，Q两点的坐标依次为()11,xy，()22,xy，由韦达定理得，2122412kxxk+=+，21222212kxxk−=+.由题意以线段PQ为直径的圆过原点得，0O

POQ=，即12120xxyy+=.又()()()212121212111yykxkxkxxxx=−−=−++，整理得：()212121210xkxxxxx=−+++.代入整理得：22222222222410121212kkkkkkk−−+−+=+++，即

2k=；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，此时21,2P、21,2Q−，经验证0OPOQ不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为2(1)yx=−.【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线

-16-段PQ为直径的圆过原点，得0OPOQ=，即12120xxyy+=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.