【文档说明】第六次月考（考试范围：5.1-5.4三角函数）（解析版）-2021-2022学年高一数学月考+期中+期末试题抢先看（新教材人教A版必修第一册）.docx，共(12)页，291.841 KB，由管理员店铺上传

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第六次月考：考查内容5.1-5.4三角函数一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．角4𝜋7的终边相同角是（）A．−10𝜋7B．11𝜋7C．25𝜋7D．−32𝜋7【答案】A【解析】：：∵与4𝜋7终边相同角的集合为{α|α

=4𝜋7+2𝑘𝜋，k∈Z}，取k＝﹣1，得α=−10𝜋7；取k＝﹣2，得α=−24𝜋7；取k＝﹣3，得𝛼=−38𝜋7；取k＝1，得α=18𝜋7；取k＝2，得α=32𝜋7．结合选项可得，选A

．故选：A．2．若−𝜋2＜𝛼＜0，则Q（sinα，cosα）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】：：根据题意，若−𝜋2＜𝛼＜0，则sinα＜0，cosα＞0，则Q（sinα，cosα）所在的象限

是第二象限，故选：B．3．在△ABC中，cosA+sinA=√52，则cosA﹣sinA＝（）A．±√32B．±12C．−√32D．√32【答案】A【解析】：：在△ABC中，cosA+sinA=√52，两边平方，可得1+sin2A=54，可得sin2A=14，因为A∈（0，

π），则cosA﹣sinA＝±√(𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑠𝑖𝑛𝐴)2=±√1−𝑠𝑖𝑛2𝐴=±√1−14=±√32．故选：A．4．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧𝐴𝐵̂，𝐶𝐷̂的弧长分别是10π和10𝜋3，且AD＝10，则图中阴影部分的面

积是（）A．200𝜋3B．100πC．400𝜋3D．500𝜋3【答案】A【解析】：：设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r，由题可得αr=10𝜋3，且α（r+10）＝10π，解得α=2𝜋3，r＝5，从而图中阴影部分的面积S=12×2�

�3×（10+5）2−12×2𝜋3×52=200𝜋3．故选：A．5．若𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝐴)=−12，则𝑐𝑜𝑠(3𝜋2−𝐴)=（）A．−12B．12C．−√32D．√32【答案】A【解

析】：：因为𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝐴)=−12，所以﹣sinA=−12，所以𝑐𝑜𝑠(3𝜋2−𝐴)=−sinA=−12．故选：A．6．若函数y＝sin（2x+φ）（φ＞0）关于直线x=𝜋3对称，则φ的最小值为（）A．𝜋

6B．𝜋3C．2𝜋3D．5𝜋6【答案】D【解析】：：因为函数y＝sin（2x+φ）的对称轴为2𝑥+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，又函数y＝sin（2x+φ）（φ＞0）关于直线x=𝜋3对称，所以2×𝜋3+𝜑=𝜋2

+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，则𝜑=−𝜋6+𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，又φ＞0，所以φ的最小值为5𝜋6．故选：D．7．已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在[−𝜋4，3𝜋4]上单调递增，则ω的取值范

围是（）A．[2，+∞）B．（0，2]C．[23，+∞)D．(0，23]【答案】D【解析】：：∵函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在[−𝜋4，3𝜋4]上单调递增，∴ω×3𝜋4≤𝜋2，求得ω≤23，故选：D．8．设函数f（x）＝sin（ωx+𝜋3）在[−𝜋2，𝜋2]上的图象大致如图

，则f（x）的最小正周期为（）A．2𝜋3B．4𝜋5C．5𝜋6D．8𝜋5【答案】B【解析】：：根据函数f（x）＝sin（ωx+𝜋3）在[−𝜋2，𝜋2]上的图象，结合五点法作图可得，ω×4𝜋15+𝜋3=π，∴ω=52，∴函数的最小正周期为2𝜋5

2=4𝜋5，故选：B．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的有（）A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B．1°=180𝜋𝑟𝑎𝑑C．若sinθ＞0

，cosθ＜0，则θ为第二象限角D．若θ为第二象限角，则𝜃2为第一或第三象限角【答案】CD【解析】：：对于A，经过30分钟，钟表的分针转过﹣π弧度，不是π弧度，所以A错；对于B，1°化成弧度是𝜋180rad，所以B错误；对于C，由sinθ＞0，可得θ为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cos

θ＜0，可得θ为第二、第三及x轴负半轴上的角．取交集可得θ是第二象限角，故C正确；对于D：若θ是第二象限角，所以2kπ+𝜋2＜θ＜2kπ+π，则：kπ+𝜋4＜𝜃2＜kπ+𝜋2（k∈Z），当k＝0或1时，得到𝜃2为第一或第三象限角，故选项D正确．故选：CD．10．已知∠α

终边经过点P（sin120°，tan120°），则（）A．𝑐𝑜𝑠𝛼=√55B．𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)=−45C．tanα＝﹣2D．𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=−√55【答案】ACD【解析】：：∵角α的终边经

过点P（sin120°，tan120°），∴|OP|=√𝑠𝑖𝑛2120°+𝑡𝑎𝑛2120°=√34+3=√152，∴sinα=𝑡𝑎𝑛120°√152=−2√55，可得sin(α+π)＝﹣sin

α=2√55，故B错误；可得cosα=𝑠𝑖𝑛120°√152=√55，故A正确；可得tanα=𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼=−2，故C正确；可得sinα+cosα=−√55．故D正确．故选：ACD．11．下列与sinθ的值不相等的是（）A

．sin（π+θ）B．sin（𝜋2−𝜃）C．cos（𝜋2−𝜃）D．cos（𝜋2+θ）【答案】ABD【解析】：：sin（π+θ）＝﹣sinθ，A符合题意；sin（𝜋2−𝜃）＝cosθ，B符合题意；cos（𝜋2−𝜃）＝sinθ，C不符合题意；co

s（𝜋2+θ）＝﹣sinθ，D符合题意．故选：ABD．12．已知函数𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)|，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是𝜋2B．函数f（x）增区间是[�

�𝜋2+𝜋6，𝑘𝜋2+5𝜋12](𝑘∈𝑍)C．函数f（x）图象关于点(−𝜋3，0)对称D．函数图象关于直线𝑥=2𝜋3对称【答案】ABD【解析】：：因为函数𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)|

的图象可由函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)变换得到，则作出函数f（x）的图象如图所示，对于A，由图象可知，函数f（x）的最小正周期为𝜋2，故选项A正确；对于B，由图象可知，函数f（x）增区间是[𝑘𝜋2+𝜋6，𝑘𝜋2+

5𝜋12](𝑘∈𝑍)，故选项B正确；对于C，由图象可知，函数f（x）的图象不关于点(−𝜋3，0)对称，故选项C错误；对于D，由图象可知，函数f（x）的图象关于直线𝑥=2𝜋3对称，故选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．13．与2023°终边重合的最小正角是．【答案】223°【解析】：：因为2023°＝5×360°+223°，所以与2023°终边重合的最小正角是223°．故答案为：223°．14．已知𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=713，α∈（0，π），则sin2α﹣sinαcosα的值为．【答

案】204169【解析】：：把𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼=713，α∈（0，π），所以sin2α+（713−sinα）2＝1，整理可得sin2α−713sinα−60169=0，因为sinα＞0，所以解得sinα=1213（负值舍去），可得cosα=−513，则sin2α﹣si

nαcosα＝（1213）2−1213×（−513）=204169．故答案为：204169．15．若cos（π+α）=−35，3𝜋2＜α＜2π，则sin（2π﹣α）＝．【答案】45【解析】：：因为cos（π+α）=−35，

所以﹣cosα=−35，可得cosα=35，因为3𝜋2＜α＜2π，所以sinα=−√1−(35)2=−45，所以sin（2π﹣α）＝﹣sinα45．故答案为：45．16．已知函数f（x）＝4cosx，（x∈[0，π]）的图像与函数

g（x）＝15tanx的图像交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为．【答案】√15𝜋2【解析】：：函数f（x）＝4cosx，（x∈[0，π]）的图像与函数g（x）＝15tanx的图像交于A，B两点，如图所示：所以4cosx＝15tanx，整理得4𝑐𝑜𝑠𝑥=15𝑠𝑖�

�𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥，化简得：4sin2x+15sinx﹣4＝0，解得sinx=14或sinx＝﹣4（舍去），故cosx=±√154，所以A（𝑥1，√15），B（𝑥2，−√15），且点A和B关于点P（𝜋2，0

）对称，所以𝑆△𝑂𝐴𝐵=12×𝜋2×(√15+√15)=√15𝜋2．故答案为：√15𝜋2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图所示，动点P，Q从点A（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转𝜋3

弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转𝜋6弧度．（1）求点P，点Q第一次相遇时所用的时间；（2）求相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长．【解答】解：（1）设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t•𝜋3+t•|−𝜋6|＝2π．∴t＝4（秒），即第一次相遇的时间为4秒．（

2）设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在𝜋3•4=4𝜋3的位置，则xC＝﹣cos𝜋3•4＝﹣2，yC＝﹣sin𝜋3•4＝﹣2√3．∴C点的坐标为（﹣2，﹣2√3），P点走过的弧长为4𝜋3•4=16𝜋3，Q点走过的弧长为2𝜋3

•4=8𝜋3．18．在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α的终边与单位圆交于点𝑃(−35，−45)，角β的终边所在射线经过点Q（﹣m，m）（m＜0）．（1）求sinα•tanβ的值；（2）求𝑠𝑖

𝑛(𝜋2−𝛼)𝑠𝑖𝑛(𝜋+𝛼)+𝑠𝑖𝑛2(3𝜋2−𝛽)𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽．【解答】解：（1）由题意可得A点到原点O的距离√(−45)2+(−35)2=1，由三角函数的定义知sinα=−45，角β的终边所在射线经过点Q（﹣m，m

）（m＜0），则tanβ＝﹣1，所以sinα⋅tanβ=45．（2）由（1）及三角函数的定义知tanα=−45−35=43，原式=𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛽𝑠𝑖𝑛2𝛽+2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑐𝑜𝑠𝛽=−1𝑡𝑎𝑛

𝛼+1𝑡𝑎𝑛2𝛽+2𝑡𝑎𝑛𝛽=−143+11+2×(−1)=−74．19．已知𝑓(𝛼)=𝑐𝑜𝑠(𝛼−3𝜋)𝑐𝑜𝑠2(2𝜋−𝛼)𝑐𝑜𝑠(−𝛼+3𝜋2)𝑐𝑜𝑠(−𝜋−𝛼)

𝑠𝑖𝑛(−𝜋+𝛼)𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝛼)，（1）化简f（α）；（2）求𝑓(−17𝜋3)．【解答】解：（1）𝑓(𝛼)=𝑐𝑜𝑠(𝛼−3𝜋)𝑐𝑜𝑠2(2𝜋−𝛼)𝑐𝑜𝑠(−𝛼+3𝜋2)𝑐𝑜𝑠(−

𝜋−𝛼)𝑠𝑖𝑛(−𝜋+𝛼)𝑠𝑖𝑛(𝜋2+𝛼)=(−𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑐𝑜𝑠2𝛼(−𝑠𝑖𝑛𝛼)(−𝑐𝑜𝑠𝛼)(−𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼=cosα；（2）𝑓(−17

𝜋3)=cos（−17𝜋3）＝cos（6π−𝜋3）＝cos𝜋3=12．20．已知函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)+1．（1）当x∈R时，求函数f（x）的周期和单调减区间；（2）当𝑥∈(𝜋12，2𝜋3)时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）函数𝑓

(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)+1，所以函数的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋，令𝜋2+2𝑘𝜋≤2𝑥−𝜋3≤2𝑘𝜋+3𝜋2，整理得5𝜋12+𝑘𝜋≤𝑥≤𝑘𝜋+11𝜋12，所以函数的单调递增区间为[5𝜋12+𝑘𝜋，𝑘𝜋+11𝜋12]（k∈

Z）．（2）因为𝑥∈(𝜋12，2𝜋3)，所以2𝑥−𝜋3∈(−𝜋6，𝜋)，所以𝑠𝑖𝑛(2𝑥−𝜋3)∈(−12，1]，所以f（x）∈（﹣1，5]．21．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)，𝑥∈[0，𝜋2]．（1）求函数f（x）的单调区间；（2

）若函数g（x）＝f（x+φ）﹣1在[0，𝜋2]上有两个零点，求实数φ的取值范围．【解答】解：（1）函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)，由于𝑥∈[0，𝜋2]，所以2𝑥+𝜋3∈[𝜋3，4𝜋3]．当2𝑥+𝜋3∈[𝜋3，�

�2]时，函数单调递增，即𝑥∈[0，𝜋12]，当2𝑥+𝜋3∈[𝜋2，4𝜋3]时，函数单调递减，即𝑥∈[𝜋12，𝜋2]．故函数的单调递增区间为：[0，𝜋12]；函数的单调递减区间为：[𝜋12，𝜋2]．（2）函

数g（x）＝f（x+φ）﹣1在[0，𝜋2]上有两个零点，令f（x+φ）﹣1＝0，整理得：2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3+2𝜑)=1，故𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3+2𝜑)=12，所以2𝑥+𝜋3+2𝜑=2𝑘𝜋+𝜋6或2𝑥+𝜋3+2𝜑=2𝑘𝜋+5𝜋6（k∈Z），解得

𝑥1=𝑘𝜋−𝜋12−𝜑，𝑥2=𝑘𝜋+𝜋4−𝜑（k∈Z），由于0≤𝑥1＜𝑥2≤𝜋2，故{𝑘𝜋−𝜋12−𝜑≥0𝑘𝜋+𝜋4−𝜑≤𝜋2，整理得{𝜑≤𝑘𝜋−𝜋12𝜑≥𝑘𝜋−𝜋4

，故φ∈[𝑘𝜋−𝜋4，𝑘𝜋−𝜋12]（k∈Z）．22．已知函数f（x）＝2sin（2x−𝜋3），将f（x）的图像向左平移t（𝜋2＜t＜π）个单位长度，得到函数g（x）的图像．（Ⅰ）若g（x）的图像关于点（−𝜋6，0）对称，求函数g（x）的解析式；（

Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈[−𝜋2，−𝜋4]时，求不等式g（x）＜√3的解集．【解答】解：（Ⅰ）将函数f（x）＝2sin（2x−𝜋3）的图像向左平移t（𝜋2＜t＜π）个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（2x+2t−𝜋3）的图像

，若g（x）的图像关于点（−𝜋6，0）对称，则2×（−𝜋6）+2t−𝜋3=kπ，k∈Z，即t=𝑘𝜋2+𝜋3，令k＝1，可得t=5𝜋6，∴g（x）＝2sin（2x+4𝜋3）＝﹣2sin（2x+𝜋3）．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件

下，式g（x）＝﹣2sin（2x+𝜋3），当x∈[−𝜋2，−𝜋4]时，2x+𝜋3∈[−2𝜋3，−𝜋6]．不等式g（x）＝﹣2sin（2x+𝜋3）＜√3，即sin（2x+𝜋3）＞−√32．∴2x+𝜋3）sin（2x+𝜋

3）∈[﹣1，−12]，g（x）∈[1，2]．