【文档说明】《中考数学一轮复习知识点课标要求》专题训练23：相似三角形.doc，共(26)页，566.064 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-b8b03e4c74a21e7ded225ae016b05dca.html

以下为本文档部分文字说明：

12021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练23：相似三角形（含答案）一、知识要点：1、相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应

边的比叫做相似比。性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形的判定定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。定理：平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。判定1

：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定2：三边成比例的两个三角形相似。判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。判定4：两角分别相等的两个三角形相似。3、相似三角形的性

质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。4、位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图

形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。二、课标要求：1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。2、通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形

和相似比。3、掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。4、了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角2相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。5、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似

比；面积比等于相似比的平方。6、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。7、会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。8、在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形

与原图形是位似的。三、常见考点：1、比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。2、相似多边形的性质。3、相似三角形的性质及判定。4、相似三角形的性质和判定在几何问题中的综合运用。5、位似图形及坐标的位似。四、专题训练：1．两个相似三角形面

积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（）A．12B．12或24C．27D．12或272．如图，在△ABC中，AC＝4，D是AC上一点，AD＝1，M、N分别是BD、BC的中点，若∠ABD＝∠ACB，则

的值是（）A．B．C．D．3．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（）A．顶角为30°的等腰三角形B．顶角为40°的等腰三角形C．等边三角形D．顶角为75°的等腰三角形4．如图，在△ABC中，D、E分

别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD＝3BD，EF＝2DE，若CF＝2，则AF的长为（）A．5B．6C．7D．835．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将

矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（）A．3B．2C．5D．6．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A、B、

C和点D、E、F，若AB：BC＝2：3，EF＝6，则DE的长是（）A．8B．9C．4D．107．如图，在▱ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（）A．3B．4C．5D．68．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，

AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（）A．△BFEB．△AFDC．△ACED．△BAE49．如图，△ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形△ADE，△ABC与△

ADE的位似比为1：2．若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（）A．B．2m+3C．﹣（2m+3）D．﹣2m+310．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝8，AC＝6，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）A．B．3C．D．11．如图，AB

⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，AE⊥DE，DC＝1，BE＝3，BC＝5，则AB＝．12．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美

感．若图中b为2米，则a约为米．513．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC＝1：2，AE与BD相交于F，则S△ADF：S△EBF＝．14．如图，△ABC≌△DEF，AB＝AC＝5，BC＝EF＝6，点

E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是．15．已知（x，y，z均不为零），则＝．16．如图，二次函数y＝﹣2的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接

BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M，若△CPN与△BPM相似，则点P的坐标为．17．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得△ADE∽△ACB，则AE的长为．618．如图，在

△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE＝3，则EC的长为．19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于

点F，则图中与△AFE相似的三角形为；AF的长为．20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与△ADE相似的三角形．21．如图，在△ABC中，点D是AB上

一点（不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接CD，若∠ACD＝∠B．（1）求证：CD2＝DE•BC；（2）若DE＝3，BC＝4，求的值．722．如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC

于点Q．（1）求证：AB•CQ＝PB•PC；（2）当CQ最大时，求BP的长．23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC上一点，BD＝2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且∠EDF＝∠B．（1）找出图中与△BDE相似的三

角形，并说明理由；（2）是否存在这样的位置，使DE⊥EF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由．24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C在AB的延长线上．（1）求证：△CAD∽△CDB；（2）若∠C＝30°，AC＝9，求△DBC的面积．825．如图，已知等边△ABC的边长为8，点M

、N分别在AB、AC边上，CN＝3．（1）把△ABC沿MN折叠，使得点A的对应点是点A′落在AB边上（如图1），求折痕MN的长度；（2）如图2，若点P在BC上运动，且始终保持∠MPN＝60°．①请判断△MBP和△P

CN是否相似？并说明理由；②当点P在何位置时线段BM长度最大，并求出线段BM长度的最大值．26．如图1，已知△ABC、△DBE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEB＝90°，BC＝2，E为BC的中点，将△DEB绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜360°），

如图2，连接AD，CE．（1）求证：△ADB∽△CEB．（2）当α＝60°时，求AD的值．（3）当A、D、E三点在同一直线上时，求CE的长．927．如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上两点，CD＝BD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2

）若AE＝3，sin∠EAF＝，求⊙O的半径．10参考答案1．解：∵两个相似三角形面积比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴两个相似三角形周长比是2：3，∵一个三角形的周长为18，设另一三角形周长为x，∴18：x＝

2：3或x：18＝2：3，解得：x＝12或27，∴另一个三角形的周长是12或27，故选：D．2．解：∵M、N分别是BD、BC的中点，∴AM，AN分别是△ABD，△ABC的中线，∵∠ABD＝∠ACB，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴，∴，∴AB＝2，∴，故选：C．3．解：

∵等腰△ABC的底角为75°，∴等腰△ABC的三角分别为30°，75°，75°，∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形，故选：A．4．解：过点F作FG∥AB，交BC延长线于点G，则△BED∽△GEF，∴

＝＝，即FG＝2BD，∵AD＝3BD，∴AB＝4BD，∴AB＝2FG，∵FG∥AB，∴△ACB∽△FCG，11∴＝＝2，∴AC＝2CF＝4，∴AF＝AC+CF＝6，故选：B．5．解：如图，连接AI，AC，∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，

∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，在Rt△AGI和Rt△ADI中，，∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），∴∠GAI＝∠DAI，∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，∴∠IAH＝∠AID，∴IH＝AH，又∵IH＝HC，∴IH＝HC＝AH，∴∠IAC＝90°，∴∠DAI+

∠DAC＝90°，又∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAI＝∠DCA，又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，∴△ADI∽△CDA，12∴，∴，∴DI＝1，∴CI＝ID+CD＝5，∴IH＝IC＝，故选：D．6．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB：BC＝2：3，EF＝6，∴＝，∴DE＝4，故选：C．7

．解：∵，△COD的面积是2，∴△BOC的面积为4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，∴△DOE∽△BOC，∴＝（）2＝，∴S△DOE＝1，∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，故选：C．8．解：∵BD⊥AC，A

E⊥BC，∴∠BDC＝∠AEC＝90°，∴∠DBC+∠C＝∠EAC+∠C＝90°，∴∠DBC＝∠EAC，∴△ACE∽△BCD，又∵∠ADF＝∠BDC＝90°，∴△AFD∽△BCD，∵∠FBE＝∠DBC，∠BEF＝∠BDC＝90°，∴△BFE∽△B

CD，13∴一定与△BCD相似的是△BFE，△AFD，△ACE，故不一定与△BCD相似的是△BAE．故选：D．9．解：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为（m﹣1），∵△ABC放大到原来的2倍得到△ADE，∴E、A间的纵坐标的长度为2（m﹣1），∴点E的纵坐标是﹣[2（m﹣1）﹣

1]＝﹣（2m﹣3）＝﹣2m+3．故选：D．10．解：如图，过点P作PH⊥BC于H．∵＝，∴∠ACD＝∠BCD，∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，∴PA＝PH，在Rt△PCA和Rt△PCH中，，∴Rt△PCA≌R

t△PCH（HL），∴AC＝CH＝6，∵BC＝＝＝10，∴BH＝4，设PA＝PH＝x，则PB＝8﹣x，在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，∴（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，14∴PA＝3，∴CP＝＝＝3，故选：B．11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠

C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴，∴，∴AB＝6，故答案为：6．12．解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近

黄金比，∴＝，∴a＝b＝×2＝（﹣1）米，故答案为：（﹣1）．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∵BE：EC＝1：2，∴BE：BC＝1：3，∴BE：

AD＝1：3，∴AD：BE＝3：1，∴S△ADF：S△EBF＝32：12＝9．故答案为：9．14．解：∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，15∴AE≠AG；当AE＝EG时，则△ABE≌△ECG，∴C

E＝AB＝5，∴BE＝BC﹣EC＝6﹣5＝1，过点AM⊥BC于点M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝3，∴AM＝＝＝4，∴S△ABE＝S△CEG＝×1×4＝2，∴S△AEG＝S△ABC﹣2S△ABE＝×6×4﹣2×2＝8，当AG

＝EG时，则∠GAE＝∠GEA，∴∠GAE+∠BAE＝∠GEA+∠CEG，即∠CAB＝∠CEA，又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE＝＝，∴BE＝6﹣＝，∵∠CEG＝∠BAE，∴△ABE∽△ECG，∴，∴CG＝，∴AG＝5﹣＝，

∵∠EAG＝∠AEG＝∠B＝∠C，∴△GAE∽△ABC，16∴＝，∴S△EAG＝×12＝．故答案为：8或．15．解：∵（x，y，z均不为零），∴设x＝6k，则y＝4k，z＝3k，∴＝＝＝．故答案为：．16．解：对于抛物线y＝﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2，可得C（0，﹣2），令y＝0，可得0＝﹣2

，解得x＝3或﹣，∴A（﹣，0），B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设P（m，m﹣2），∵∠BPM＝∠CPN，当CN∥AB时，∠PBM＝∠PCN，此时△PCN∽△PBM，N（，﹣2），∴P（，﹣），当NC⊥BC时，∠PCN＝∠PM

B＝90°，此时△PCN∽△PMB，过点N作NH⊥y轴于H．∵N（m，m2﹣m﹣2），∵∠OCB+∠NCH＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠NCH，∴tan∠NCH＝tan∠OBC，∴＝＝，∴＝，17∴m＝，∴P（，﹣），综上所述，满足条件的点P

的坐标为（，﹣）或（，﹣），故答案为：（，﹣）或（，﹣）．17．解：∵AB＝3，D是AB的中点，∴AD＝AB＝，当△ADE∽△ACB时，则AE：AB＝AD：AC，即AE：3＝：4，∴AE＝，故答案为：．18．解：过D点作DF∥CE交AE于F，如图，∵DF∥BE，∴＝，∵O是BD的中点，∴O

B＝OD，∴DF＝BE＝3，∵DF∥CE，∴＝，18∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴＝，∴CE＝3DF＝3×3＝9．故答案为9．19．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠E

CD＝∠ACB+∠ACE∴∠ECA＝∠FEA，∵∠FAE＝∠EAC，∴△AFE∽△AEC．（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，∵ED＝EC，∴，∵AD∥EG，∴，∴＝2，解得，∵△AFE∽△AEC，∴，19∴＝，解得．故答案为：．20．解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠

DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为：△CBE，△BDA．21．（1）证明：∵D

E∥BC，∴∠EDC＝∠DCB，又∵∠ACD＝∠B，∴△DEC∽△CDB，∴，∴CD2＝DE•BC；（2）解：∵CD2＝DE•BC，DE＝3，BC＝4，∴CD2＝12，∴CD＝2（负值舍去），∵△DEC∽△CDB，20∴，∴，∵DE∥BC，∴．22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴

∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠QPC，∴△ABP∽△PCQ，∴，∴AB•CQ＝PB•PC；（2）解：设BP＝x，CQ＝y，由（1）得2y＝x（2﹣x），∴，∵，开口向下，对称轴

是x＝1，且x的范围是0≤x≤2，∴当x＝1时，y有最大值为，即当CQ最大时，BP＝1．23．解：（1）△CFD∽△BDE，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B，∴∠FD

C＝∠BED，∴△CFD∽△BDE；（2）存在．理由如下：如图，过点A作AH⊥BC于点H，21∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝BC＝×6＝3，∵∠DEF＝∠AHB＝90°，∠EDF＝∠B，∴△ABH∽△FDE，∴DE：BH＝DF：AB，∴DE：3＝DF：5，∴DE：DF＝3：5

，∵△CFD∽△BDE，∴BE：CD＝DE：DF＝3：5，∵BD＝2，BC＝6，∴CD＝4，∴BE：4＝3：5，∴BE＝．24．（1）证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠ABD，∵CD是⊙O的切线，

∴∠ODC＝90°，∴∠ODB+∠CDB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠CDB，又∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB；22（2）解：∵∠ODC＝90°，∠C＝30°，∴OC＝2OD，∵AB是⊙O的直径，AC＝9，

∴OA＝OB＝OD＝BC＝AC＝3，由（1）得：△CAD∽△CDB，∴CD：CB＝CA：CD，∴CD2＝CB×CA＝3×9＝27，∴CD＝＝3，∴△OCD的面积＝OD×CD＝×3×3＝，又∵BC＝OB，∴△DBC＝面积

＝△OCD的面积＝．25．解：（1）∵等边△ABC的边长为8，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，∵CN＝3，∴AN＝5，∵把△ABC沿MN折叠，点A的对应点A'恰好落在AB边上，∴∠NMA＝90°，∴sinA＝，∴MN＝AN•s

in60°＝；（2）①∵∠MPN＝60°，∴∠MPB+∠NPC＝120°，∴∠NPC＝∠BMP，∵∠B＝∠C＝60°，23∴△MBP∽△PCN；②设BP＝x，BM＝y，则PC＝8﹣x，∵△MBP∽△PCN，∴，∴，∴，当x

＝4时，y最大值为，因此，当点P位于BC的中点时，线段BM长度最大值为．26．（1）证明：在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∴，同理：∠DBE＝45°，，∴，∵∠AB

C＝∠EBD，∴∠ACB﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，∴∠CBE＝∠ABD，∴△ADB∽△CEB；（2）如图2，旋转前，点E是BC的中点，∴BE＝BC＝1，在Rt△ABC中，AB＝＝2取BC的中点，连接EF，24∴BF＝BC＝1，∴BF

＝BE，由旋转知，∠CBE＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴∠BFE＝60°，EF＝BF＝CF，∴∠BCE＝30°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠BEC＝90°，∴CE＝＝，由（1）知，△ADB∽△CEB，∴，∴AD＝＝＝；（3）①当点E在线段AD上时，如图3，∵∠BED＝90°，∴∠AEB

＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE＝＝＝，在Rt△BED中，DE＝BE＝1，∴AD＝AE+DE＝+1，由（1）知，△ADB∽△CEB，∴，∴CE＝＝＝；②当点E在线段AD的延长线上，如图4，25同①的方法得，AE＝，∴AD＝AE﹣DE＝﹣1，由（1）知，△ADB∽△CEB

，∴，∴CE＝＝＝，即：满足条件的CE长为或．27．（1）证明：连接OD，AD，∵CD＝BD，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB，∴∠CAD＝∠ADO，∵AE⊥ED，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠EDA

＝90°，∴∠ADO+∠EDA＝90°，∴EF⊥OD，26∴EF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，∴sin∠EAF＝，∵sin∠EAF＝，设EF＝4k，AF＝5k（k＞0），则AE＝3k，∵AE＝3，∴k＝1，∴AF＝5，∵E

F⊥OD，EF⊥AE，∴OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，∴r＝