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学科网（北京）股份有限公司2024年高考押题预测卷01【北京卷】数学·全解全析第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1

2345678910AAAADBCDAB1．【答案】A【分析】根据补集的定义可得出集合UMð.【详解】集合1,2,3,4U=，{}2,3M=，则1,4UM=ð．故选：A．2．【答案】A【分析】对方程2xx=进行等价转

化，即可进行判断.【详解】因为2xx=，故可得0x=或1x=，则“0x=”是“2xx=”的充分不必要条件.故选：A.3．【答案】A【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】由抛物线22xy=，可得抛物线的开口向上，且22p=，

所以1p=，所以抛物线的焦点坐标为1(0,)2F.故选：A.4．【答案】A【分析】利用复数除法计算出()313ii13i10aaa++−+=+，从而得到3a=−，求出答案.【详解】()()()()()2i13i313ii3ii3

i13i13i13i1010aaaaaa+−++−+−+−===++−，则30a+=，解得3a=−，则3iz=−+，3iz=−−故共轭复数z对应的坐标为()3,1−−.学科网（北京）股份有限公司故选：A5．【答案

】D【分析】利用任意角的三角函数的定义求出sin，再用诱导公式化简即可求得结果．【详解】因为角的终边经过点()3,4，22345OPr==+=，则4sin5=，所以5ππ4coscossin225−=−==．故选：D．6．【

答案】B【分析】令1nnnaab+−=，则由213210nnnaaa++=−−可得110nb+−=()210nb−,所以数列10nb−是以2−为首项,2为公比的等比数列,可得到1102nnnaa+−=−，然后用累加法得到1027nnan=−−，通过na的单调性即可求出nS的最大值【

详解】由213210nnnaaa++=−−,得()211210nnnnaaaa+++−=−−,令1nnnaab+−=,所以1210nnbb+=−,则110nb+−=()210nb−,所以数列10nb−是以12121010baa−=−=−−为首项,2为公比的等比数列,所以1

10222nnnb−−=−=−,即210nnb=−+,即1102nnnaa+−=−,由12312132431102,102,102,,102(2)nnnaaaaaaaan−−−=−−=−−=−−=−,将以上n

1−个等式两边相加得()1121210(1)102812nnnaann−−−=−−=−−−,所以1027,2nnann=−−,经检验11a=满足上式，故1027,nnan=−−当3n时,11020nnnaa+−−=,即na单调递增,当4n时,11020nnnaa+−=−,即na单

调递减,因为343410327150,10427170,aa=−−==−−=565610527110,10627aa=−−==−−=−110,所以na的前n项和nS的最大值为51915171153S=++++=，故选：B学科网（北京）股份有限公司7．【答案】C

【分析】由题意可得，圆C的圆心为()1,Ca−，半径为1，结合ABC是等腰直角三角形，可得圆心()1,Ca−到直线10axy+−=的距离等于sin45r，再利用点到直线的距离公式，从而可求得a的值．【详解】解：由题意得，圆()()22:11Cxya−++=

的圆心为()1,Ca−，半径为1，由于直线10axy+−=与圆C相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，可知90ACB=，1ABACr===，所以45CABCBA==o，∴圆心()1,Ca−到直线10axy+−=的距离等于2sin452r=，

再利用点到直线的距离公式可得：圆心()1,Ca−到直线10axy+−=的距离21221da==+，解得：1a=，所以实数a的值为1或－1.故选：C．8．【答案】D【分析】先将0.60.5c=改写为0.62a−=，再利用函数2xy=的单调性判断即可【详解

】由题,0.60.60.610.522c−===，对于指数函数2xy=可知在R上单调递增,因为0.60.50.6−，所以0.60.50.6222−，即cba故选：D9．【答案】A【分析】求出渐近线方程，由

点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得出结论．【详解】双曲线221124xy−=的渐近线为330xy=，圆22430xyx+−+=，即22(2)1xy−+=，圆心()2,0−到直线330xy=的距离为|230|139=+(半径)，故渐近线与圆相切，故选A．

学科网（北京）股份有限公司10．【答案】B【解析】由题意可得()()221'xfxxfx+，结合函数的单调性，从而可以判断()()21'0xfx−，即2()(1)()gxxfx=−在()0,+上单调递增，从而判断出结果.【详解】因为()(

)221'xfxxfx+，()fx是定义在()0,+上的增函数，()'0fx，所以()()()22''xfxxfxfx+，即()()()221'0xfxxfx+−，所以()()21'0xfx−，所以函数2()(1)()gxxfx=−

在()0,+上单调递增，且(1)0g=，所以当(0,1)x时，()(1)0gxg=，而210x−，所以此时()0fx，当(1,)x+时，()(1)0gxg=，而210x−，所以此时()0fx，结合选项，可

知对于任意()()0,,0xfx+，故选B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11．【答案】15【详解】试题分析：621()xx−的展开式的通项66316621()(1)rrrrrrr

TCxCxx−−+=−=−，令630,r−=可得2r=，则常数项为22216(1)15TC+=−=.12．【答案】89【分析】先计算出129f=−，然后再求解()2f−从而求解.【详解】由题意得3

11log299f==−，所以()21821399fff−=−=−=.故答案为：89.学科网（北京）股份有限公司13．【答案】32【详解】试题分析：因为122()()2

3233ACBMADABABADABAD=+−+=−−=−，所以3.2ABAD=14．【答案】3【分析】利用角的关系以及三角恒等变换相关公式将条件中的恒等式化简，即可求出角C，然后利用面积公式得到abc=，

结合余弦定理以及基本不等式，即可求出ab的最小值.【详解】因为2sincos2sinsinCBAB=+，而sinsin[()]sincossincosABCBCCB=−+=+，代入上式化简得：2sincossin0BCB+=所以1cos2C=−，因为0C，所以23

C=；因为13sin24SabCc==，所以得abc=；因为222222()2cos3abcababCababab==+−=++，所以3ab，当且仅当ab=时取等号，所以ab的最小值为3.15．【答案】①③④【分析】设点(,)Pxy，曲线C为“合作曲线”存在点(,)xy使得221x

y+．解出即可判断出结论．【详解】解：设点(,)Pxy，曲线C上存在一点P，使0PAPB，合作曲线存在点(,)xy使得221xy+．①由2212xy+=，则满足存在点(,)xy使得221xy+，曲线C上存在一点P满足221xy+，故1为合

作曲线；②令2(,1)Pxx+，则222(1)1xx++，化为4230xx+，此时无解，即不满足221xy+，故2不为合作曲线；③由2221yx−=，可得22a=，1b=，则曲线C上存在一点P满足221xy+，故3为合作曲线；④由2231xy+=，可得：1a=

，33b=，则曲线C上存在一点P满足221xy+，故4为合作曲线；⑤因为直线圆心到直线24xy+=的距离415d=，故曲线C上不存在一点P满足221xy+，故5不为合作曲线；综上可得：“合作曲线”是①③④．故答案为：①③④学科网（北京）股份有限公司三、解答题：本题共6小题，共85分。解

答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。16．（14分）【答案】(1)证明见解析(2)6arctan2(3)存在，且M为AB中点【分析】（1）取11AC中点F，连接,EFCF，证明四边形EFCD是平行四边形可得//CFDE，结合线面平行的判定定理可完成证明；（2）取

AB中点G，连接,EGDG，先证明EG⊥平面ABC，然后判断出线面角为EDG，最后结合线段长度求解出结果；（3）先证明1EC⊥平面11AABB，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面MED和平面1AME的一个法向量，根据法

向量夹角的余弦值的绝对值的结果求解出的值，则结果可知.【详解】（1）取11AC中点F，连接,EFCF，因为E为11AB的中点，所以11111//,2EFBCEFBC=，又因为D为BC的中点，所以1111//,22CDBCCDBCBC==，所以//,EFCDEFCD=，所以四边形EF

CD是平行四边形，所以//CFDE，又CF平面11ACCA，DE平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA；（2）取AB中点G，连接,EGDG，因为四边形11AABB为矩形，且,EG为11,ABAB的中点

，所以11//,BEBGBEBG=，所以四边形1BEGB为平行四边形，所以1//BBEG因为几何体为直三棱柱，所以1BB⊥平面ABC，所以EG⊥平面ABC，学科网（北京）股份有限公司所以直线DE与平面ABC所成角即为EDG，因为,DG为,BCAB中点，所以2211222DGACAB

BC==+=，且13BBEG==，所以36tan22EGEDGDG===，所以6arctan2EDG=，所以直线DE与平面ABC所成角的大小为6arctan2；（3）设存在M满足条件，连接1EC，因为ABC为正三

角形，所以111ABC△也是正三角形，因为E为11AB中点，所以111ECAB⊥，因为几何体为直三棱柱，所以1BB⊥平面111ABC，因为1EC平面111ABC，所以11BBEC⊥，因为111BBABB=，11,BBAB平面11AABB，所以1EC⊥平面

11AABB，以E为原点，以11,EAEC方向为,xz轴正方向，在平面11AABB内过点E垂直于11AB方向为y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,4,3,2,4,0,2,4,0EDAB−−，设()0,1MABA=，学科网（北京

）股份有限公司所以()()2,4,4,0,0MMMxyz−−−=，所以()24,4,0M−，所以()()24,4,0,1,4,3EMED=−=−，设平面MED的一个法向量为(),,nxyz=，所

以()2440430nEMxynEDxyz=−+==−++=，令2x=，则682,21,3n−=−，取平面1AME的一个法向量()0,0,1m=，所以()226813cos,26814213mnmnmn−===−+−+,解得12=或

3130=（舍去），此时由图可知，二面角1AMED−−的平面角为钝角，所以当M为AB中点时，二面角1AMED−−的大小为2π3.17．（13分）【答案】(1)选择见解析；答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据题意先把函数()fx进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角

公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数()fx存在，从而求解；（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数()fx的解析式，然后求出在区间π,02−上的最大值和最小值.【详解】（1）由题意得：()()2coscos2cosc

oscossinsinfxxxxxx=+=−()()22coscos2sincossincoscos21sinsin2coscos2sinsin2coscos2cosxxxxxxxx

=−=+−=−+=−+.当选条件①：2π2π13πcoscos1sinsincossincos1323π233f=+−=−=+=，又因为π2，所以ππ22−，所以ππ5π636

−+，所以πcos13+=时，即得：π03+=，即π3=−.当选条件②：学科网（北京）股份有限公司()()()2coscoscos2cosfxxxx=+=−+从而得：当2ππ22π,Zkxkk−−时，()fx单调递增，化简得：当πππ+,Z222k

xkk−+时，()fx单调递增，又因为函数()fx在区间π0,4上是增函数，所以得：ππ022,Zππ+24kkk−+，解之得：π2π+2π+π,Z2kkk−−，当0k=时，得ππ2

，与已知条件π2矛盾，故条件②不能使函数()fx存在.故：若选条件②，不存在.当选条件③：由()2πR,3xfxf，()()()2coscoscos2cosfxxxx=+=−+，得当2π3x=时，()4πcos2cos13x

−=−=−，又因为π2，所以得4π3π−=，得π3=.（2）当选条件①：由（1）知：π3=−，则得：()π1cos232fxx=++，又因为π,02x−，所以π2ππ2,33

3x+−，所以当π6x=−时，()fx有最大值ππ113coscos0332262πf=−++=+=−；所以当π2x=−时，()fx有最小值π12π1cosπcos023

π232f=−++=−+=−；当选条件③：由（1）知：π3=，则得：()π1cos232fxx=−+，又因为π,02x−，所以π4ππ2,333x−−−，所以当0x=时，()fx有

最大值()π111cos122032f=−+=+=；所以当π3x=−时，()fx有最小()2ππ111coscosπ332232πf=−−+=−+=−−；18．（13分）【答案】(1)750(2)23(3)79，84，90或79，

85，90学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出高一全年级中“体育良好”的学生人数；（2）利用列举法求出古典概型的概率；（3）先分析出79,90ac==，再列出方差22

6101443386sbb=−+，由二次函数的对称轴得到当84b=或85时，2s取得最小值.【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有4026230−−−=人，所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为30100075040=人；（2）成绩在)4

0,50有2名学生，设为1,2；)60,70有2名学生，设为,AB，故抽取2名学生的情况有：()()()()()()1,2,1,,1,,2,,2,,,ABABAB，共6种情况，其中恰有1人体育成绩在)60,70的情况有：()()()()1,,1,,2,,2,ABAB，共4种情况，故

在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在)60,70的概率为4263P==；（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为,,abc，且分别在)70,80，)80,90,90,100三组中，其中,abcN,，要想

数据,,abc的方差2s最小，则,,abc三个数据的差的绝对值越小越好，故79,90ac==，则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为799016933bb+++=，故方差2222116916916979903333bbbbs+++

=−+−+−()()()222168216910127bbb=−+−+−()21610144338627bb=−+，对称轴为101484.512b−=−=，故当84b=或85时，2s取得最

小值，,,abc的值为79，84，90或79，85，90.19．（15分）【答案】(1)22143xy+=;(2)64k=−或64k=.【分析】（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定a，由113cOFOAFA+=，得()113ccaaac+=−，再利用222

3acb−==，可解得21c=，24a=；（Ⅱ）先化简条件：MOAMAO=MAMO=，即M再OA中垂线上，1Mx=.设直线l方程为学科网（北京）股份有限公司()2ykx=−，点B可求；根据BFHF⊥，求点H，由点斜式得到直线MH方程，联立直线l和直线MH方程，求得Mx表达式

，列等量关系解出直线斜率.【详解】解：（Ⅰ）设(),0Fc，由113cOFOAFA+=，即()113ccaaac+=−，可得2223acc−=，又2223acb−==，所以21c=，因此24a=，所以椭圆的方程为22143xy+=

.（Ⅱ）设(),BBBxy，直线的斜率为()0kk，则直线l的方程为()2ykx=−，由方程组()221,432,xyykx+==−消去y，整理得()2222431616120kxkxk+−+−

=，解得2x=或228643kxk−=+，由题意得228643Bkxk−=+，从而21243Bkyk−=+，设()0,HHy，由（1）知()1,0F，有()1,HFHy=−，2229412,4343kkBFkk

−=++，由BFHF⊥，得0BFHF=，所以222124904343Hkykkk−+=++，解得29412Hkyk−=，因此直线MH的方程为219412kyxkk−=−+，设(),MMMxy，由方程组()2194

,122,kyxkkykx−=−+=−消去y，得()22209121Mkxk+=+，在MAO中，MOAMAO=MAMO=，即()22222MMMMxyxy−+=+，化简得1Mx=，即()222091121kk+=+，解得64k=−或

64k=，所以直线l的斜率为64k=−或64k=.20．（15分）【答案】（1）10xy−+=（2）)2ln23,−+【分析】（1）对()fx进行求导，得()sincosxxfxexexx=++，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后根据点斜式求出切线方程；学科网（北京）

股份有限公司（2）根据题意，化简得()21(ln)2gxaxxx=−+，求出导函数()gx，通过()0gx=有两个不同的正根，即20xaxa−+=有两个不同的正根，列出不等式组，由恒成立条件转化为1

21212()()()()gxgxgxgxxxa++=+恒成立，构造新函数()1ln142yaaa=−−，利用导函数研究函数单调性和最值，进而可求得的取值范围.【详解】解：（1）因为21()sin12xfxexx=++，所以()sincosxxfxexexx=++，所以切线斜率(

0)1kf==，又(0)1f=，故曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程为：11(0)yx−=−，即10xy−+=.（2）因为()(ln)()sin1xgxaxxfxex=−+−−21(ln)2axx

x=−+，所以2()(0)xaxagxxx−+=，因为函数()(ln)()sin1xgxaxxfxex=−+−−有两个极值点1x，2x12()xx，则()0gx=有两个不同的正根，即20xaxa−+=有两个不同的正根，则2121240040aaxxaaxxa=−+=

=，不等式1212()()()gxgxxx++恒成立等价于121212()()()()gxgxgxgxxxa++=+恒成立，又221211122211()()(ln)(ln)22gxg

xaxxxaxxx+=−++−+221212121(lnln)()()2axxaxxxx=+−+++2121212121ln()[()2]2axxaxxxxxx=−+++−221ln(2)2aaaaa=−+−21ln2aaaa=−−，所以121

2()()1ln12gxgxaaxx+=−−+，令()1ln142yaaa=−−，则1102ya=−，所以1ln12yaa=−−在(4,)+上单调递减，学科网（北京）股份有限公司所以2ln23y−，所以2ln23−.所以实数的取值范围为：)2ln23,−+.21．

（15分）【答案】(1){}na不是坠点数列，{}nb是“3坠点数列”，理由见解析(2)5a=(3)2022Sst=+【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可；（2）首先可得1a−…，再依题意{}na中只存在

45aa，即可得到当且仅当4n=时，1(1)nnaaa+−=−+，其余均为11nnaaa+−=+，从而求出nS，再利用数列极限的概念计算可得；（3）首先判断pq=，利用反证法证明，即可得到1as=，从而得解．【详解】（1）解：对于(2)nna=−，由于12a=−，24a=，38a=−，416a

=，532a=−，则存在23aa，45aa，不满足定义，故{}na不是坠点数列．对于121,22,nnnnb−+=„，容易发现13b=，25b=，34b=，48b=，即在前4项中只有23bb．而对于3n…起，由于1112220nnnnnbb−−+−=−=

，即1nnbb+对于4n…是恒成立的．故{}nb是“3坠点数列”．（2）解：由绝对值定义，101aa+−厖．又因为{}na是“5坠点数列”，则{}na中只存在45aa且1a−．则当且仅当4n=时，1(1)nnaaa+−=−+，其余均为11nnaaa+−=+故可分类列举：当4n„时

，11a=，22aa=+，323aa=+，434aa=+，当5n…时，423aa=+，234aa=+，，分组求和知：当4n„时，2(1)11(1)222nnnaaSnann−+−=++=−，则4610Sa=+，当5n…时，24(4)(5)153(4)(23)(1)8

8222nnnaaSSnaanna−−++=+−+++=−++，则当n→时，22215388122limlim32nnnaannaSann→→++−+++===，学科网（北京）股份有限公司则5a=，（3）解：结

论：2022Sst=+，理由如下：经过分析研究发现：pq=，下利用反证法予以证明．不妨设pq，首先研究{}nS．由于{}nS为“q坠点数列”，则只存在1qqSS−，即0qa，而对于12022k剟且kq，则有1kkSS−，即0ka，故在{}na中有且仅

有一项0qa，其余项均大于0，又因为{}na为“p坠点数列”，则有且仅有1ppaa−，同时，1210paaa−，1120220ppqqaaaaa++，这与0qa是矛盾的，则11p

qpqaa−−==且0pa，则1as=，故2022Sst=+．