【文档说明】考点38 单调性的分类讨论（解析版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）.docx，共(13)页，708.789 KB，由管理员店铺上传

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考点38单调性的分类讨论讨论函数f(x)单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论

f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．考向一定义域为R【例1-1】（2021·内蒙古）设函数()()11xxfxxeae=+−+.求函数()fx的单调区间。【答案】（

1）()fx的减区间为(,1)a−−，增区间为(1,)a−+，【解析】()fx的定义域为(,)−+，∵'()(1)xfxxae=+−，当(,1)xa−−时，'()0fx，()fx为减函数；当(1

,)xa−+时，'()0fx，()fx为增函数，故()fx的减区间为(,1)a−−，增区间为(1,)a−+，极小值为1(1)1afaae−−=+−。【例1-2】已知函数()321(1)32axxaxfx+=−+，讨论函数()fx的单调性；【答案】见解析【解析】因为()321

(1)32axxaxfx+=−+，所以2()(1)0fxxaxa=−++=.令()0fx=，解得xa=或1x=.若1a，当()0fx即1x或xa时，知识理解考向分析故函数()fx的单调递增区间为()(),1,,a−+；当()0

fx即1xa时，故函数()fx的单调递减区间为()1,a.若1a=，则22()21(1)0fxxxx=−+=−，当且仅当1x=时取等号，故函数()fx在(),−+上是增函数.若1a，当()0f

x即xa或1x时，故函数()fx的单调递增区间为()(),,1,a−+；当()0fx即1ax时，故函数()fx的单调递减区间为(),1a.综上，1a时，函数()fx单调递增区间为(1)(

)a−,,,+，单调递减区间为(1,)a；1a=时，函数()fx单调递增区间为(,)−+；1a时，函数()fx单调递增区间为()(1)a−,,,+，单调递减区间为(,1)a.【举一反三】1.（2021年广东湛

江）已知函数()xfxaxe=−判断函数()fx的单调性。【答案】见解析【解析】由题意可求，()´xfxae=−1.当0a时，()()´0,fxfx在R上为减函数，无极值；2.当0a时，令()´0fx，解得xlna,令()´0fx，解得xlna于是()fx在(,l

n]a−为增函数，在[ln,)a+为减函数；2．（2021年河北）若定义在R上的函数()()1xfxeax=−−，aR，求函数()fx的单调区间；【答案】见解析.【解析】函数()()1xfxeax=−−，求导得到()xfxea=−，当0a时，()0fx，函数()fx在R上单调递增

；当0a时，由()0fx=，得到lnxa=，所以(),lnxa−时，()0fx，()fx单调递减，()ln,xa+时，()0fx，()fx单调递增，综上所述，当0a时，()fx单调递增区间为(),−+；当0a时，()fx单调递增区间为()ln,a+，()f

x单调递减区间为(),lna−；3．（2021年广东梅州）已知函数()(2)(2)xfxaxeea=−−−，讨论()fx的单调性；【答案】见解析【解析】()()2xfxaxae=−+，当0a=时，()20xfxe=−，∴()fx在R上单调递减

.当0a时，令()0fx，得2axa−；令()0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减区间为2,aa−−，单调递增区间为2,aa−+.当0a时，令()0fx，得2axa−；令()

0fx，得2axa−.∴()fx的单调递减区间为2,aa−+，单调递增区间为2,aa−−.4．（2021年湖南）已知函数()()21exfxxax=++，讨论()fx的单调性；【答案】见解

析【解析】因为()()21xfxxaxe=++，所以()()221exfxxaxa=++++，即()()()11exfxaxx=+++.由()0fx=，得()11xa=−+，21x=−.①当0a=时，()()21e0xfxx=

+…，当且仅当1x=−时，等号成立.故()fx在(),−+为增函数.②当0a时，()11a−+−，由()0fx′得()1xa−+或1x−，由()0fx′得()11ax−+−；所以()fx在()(),1a−−+，()1,−+为增函数，在()()1,1

a−+−为减函数.③当0a时，()11a−+−，由()0fx′得()1xa−+或1x−，由()0fx′得()11xa−−+；所以()fx在(),1−−，()()1,a−++为增函数，在()()1,1a−−+为减函数.综上，当0a=时，()fx在为(),−+增函数；当0a

时，()fx在()(),1a−−+，()1,−+为增函数，在()()1,1a−+−为减函数；当0a时，()fx在(),1−−，()()1,a−++为增函数，在()()1,1a−−+为减函数.5．设函数()()2122xfxxeaxax=−+−，讨论()fx的单调性；【答案】

见解析【解析】（1）由题意得()()(),1xxRfxxea=−+，当0a时，当()(),1,0xfx−；当()1,x+时，()0fx；()fx在(),1−单调递减，在()1,+单调递增，当0a时，令()0fx=得()1,ln

xxa==−，当ae−时，()(),1,0xfx−；当()()1,lnxa−时，()0fx；当()()ln,xa−+时，()0fx；所以()fx在()()(),1,ln,a−−+单调递增，在()()1,lna−单调递减；②当ae=−时，()0f

x，所以()fx在R单调递增，③当0ea−时，()()(),ln,0xafx−−；当()()ln,1xa−时，()0fx；当()1,x+时，()0fx；∴()fx在()()(),ln,1,a−−+单调递增，在()

()ln,1a−单调递减；考向二定义域非R【例2-1】已知函数()lnfxaxx=+，Ra，讨论()fx的单调性；【答案】见解析【解析】由已知可知函数()fx的定义域为0xx，由1()ln,()axfxaxxfxx+=+=,当0a时，()0fx

所以()fx在(0,)+为增函数,当0a时，1()axafxx+=,所以()fx的单调递增区间为10,a−,单调递减区间为1,a−+.【例2-2】已知xaxxxaxxf+−−=2221ln)()(，求)(xf单调区间【答案】见解析【解

析】该函数定义域为），（+0（第一步：对数真数大于0求定义域）令xaxxfln12)('）（−=，解得1,2121==xax（第二步，令导数等于0，解出两根21,xx）（1）当0a时，)(,0)(),1,0('xfx

fx单调增，)(,0)(),,1('xfxfx+单调减（第三步，1x在不在进行分类，当其不存在得到0a；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当121=a时即21=a)(,0)(),,0('xfxfx

+单调增，（第五步，x1在区间时，进行比较大小，当21xx=得到21=a第四步图像判断正负）①当1210a时，即21a)(,0)(),1(),21,0('xfxfxax+单调增，)(,0)(],1,21['xfxfax单调减（当21xx得到21a；

第四步图像判断正负）②当121a时，即210a)(,0)(),21(),1,0('xfxfaxx+单调增，)(,0)(],21,1['xfxfax单调减（21xx得到210a；第四步图像判断正负）综上可知：0a，)(,0)(),1,0('xf

xfx单调增，)(,0)(),,1('xfxfx+单调减；21=a，)(,0)(),,0('xfxfx+单调增21a)(,0)(),1(),21,0('xfxfxax+单调增，)(,0)(],1,21['xfxf

ax单调减210a，)(,0)(),21(),1,0('xfxfaxx+单调增，)(,0)(],21,1['xfxfax单调减【举一反三】【例3】已知函数2()1ln(1)()fxxxaxaR=−

−−−.讨论函数()fx的单调性；【答案】见解析【解析】由题意知，()fx的定义域为(0,)+，由()2()1ln21fxxxaxx=−−−−+2(21)(1)lnaxaxax=−++−+−，得1'()2(21)fxaxax=−++−22(21)1(21)(1

)axaxaxxxx−++−−=−=−.①当0a时，令'()0fx，可得1x，'()0fx，得01x，故函数()fx的增区间为(1,)+，减区间为(0,1)；②当102a时，112a，令'()0fx，可得112xa，'()0fx，得01x或12xa，故

()fx的增区间为11,2a，减区间为(0,1)、1,2a+；③当12a=时，2(1)'()0xfxx−=−„，故函数()fx的减区间为(0,)+；④当12a时，1012a，令'()0fx，可得112xa，'()0fx，

得102xa，或1x，故()fx的增区间为1,12a，减区间为10,2a，(1,)+.综上所述：当0a时，()fx在(0,1)上为减函数，在(1,)+上为增函数；当102a

时，()fx在(0,1)，1,2a+上为减函数，在11,2a上为增函数；当12a=时，()fx在(0,)+为减函数；当12a时，()fx在10,2a，(1,)+上为减函数，在1,12a

上为增函数.2.（2021重庆月考）已知函数21()ln().2fxxaxaR=−讨论()fx的单调性.【答案】见解析【解析】因为21()ln2fxxax=−，定义域为(0,)+，所以'()(

0)afxxxx=−，当0a时，'()0fx，则()fx在(0,)+上单调递增.当0a时，2'().axafxxxx−=−=所以当0xa时，'()0fx；当xa时，'()0fx.综上所述：当0

a时，()fx的单调递增区间为(0,)+，无单调递减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为(,)a+，单调递减区间为(0,).a1.（2021·全国课时练习）设函数()1lnfxaxx=−−，讨论函数()fx的单调性.【答案】答案见解析

.【解析】()()10axfxxx−=当0a时，()0fx，∴()fx在()0,+上单调递减；强化练习当0a时，令()0fx=，则1xa=，∴当10xa时，()0fx；当1xa时，()0fx，∴()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递

增；综上，当0a时，()fx单调递减区间是()0,+，无单调递增区间；当0a时，()fx单调递减区间是10,a，单调递增是1,a+2．（2021·全国课时练习）已知函数2()ln(

21)fxxaxax=+++，讨论()fx的单调性.【答案】当0,()afx在(0,)+上单调递增；当0,()afx在10,2a−上单调递增，在1,2a−+上单调递减.【解析】()fx的定义域为()0,+，()()1211)22(1xaxfxaxax

x++=+++=.当0a，则x∈()0,+时，()0fx＞，故()fx在()0,+单调递增.当a＜0，则x∈10,2a−时，()0fx＞；x∈1,2a−+时，()0fx故()fx在10,2a−单调递增，在1,2a−+单

调递减.综上所述,当0,()afx在()0,+上单调递增；当0,()afx在10,2a−上单调递增，在1,2a−+上单调递减.3．（2021·全国课时练习）已知函数()lngxxax=+，讨论()gx的单调性.【答案】当0a，(

)gx在(0,)+单调递增；当0a，()gx在(0,)a−单调递减，在(,)a−+单调递增.【解析】()gx定义域为(0,)+，因为()1axagxxx+=+=，若0a，则()0gx，所以()gx在(0,)+单调递增，若0a，则当(0,)xa−时，()0gx，当(,)

xa−+时，()0gx，所以()gx在(0,)a−单调递减，在(,)a−+单调递增.综上，当0a，()gx在(0,)+单调递增；当0a，()gx在(0,)a−单调递减，在(,)a−+单调递增.4．（2021·全国课时练习）已知函数22()lnfxaxaxx=++，实数0a

，讨论函数()fx在区间(0,10)上的单调性.【答案】10,10a时，()fx在区间(0,10)上单调递减；当1,10a+时，()fx在区间10,a上单调递减，在区间1,10a上单调递增.【解析】由

题知()fx的定义域为(0,)+，2222(2)(1)()aaxaxfxaxxx+−=−++=.∵0a，20ax+，∴由()0fx=可得1xa=.（i）当10,10a时，110a…，当(0,10)x时，()0,()fxfx单递减；（ii）当

1,10a+时，110a当10,xa时，()0fx，()fx单调递减；当1,10xa时，()0fx，()fx单调递增.综上所述，10,10a时，()f

x在区间(0,10)上单调递减；当1,10a+时，()fx在区间10,a上单调递减，在区间1,10a上单调递增.5．（2021·全国课时练习）设函数f（x）=ax2–

a–lnx，g（x）=1eexx−，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数，讨论()fx的单调性.【答案】当0a时，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，()fx在10,2a上单调递减，在1+2，a上单调递

增.【解析】2121()2(0).axfxaxxxx−−==当0a时，()fx<0，()fx在0+（，）内单调递减.当0a时，由()fx=0有12xa=.当x10,2a时，()fx<0，()fx单调递减；当x1+2，a时，()

fx＞0，()fx单调递增.综上，当0a时，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，()fx在10,2a上单调递减，在1+2，a上单调递增.6．（2021·全国课时练习）求f(x)＝3x2

－2lnx函数的单调区间.【答案】递增区间为33+，，递减区间为303，.【解析】f(x)＝3x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝6x－2x＝()()()22313123133xxx

−+−=，由f′(x)＞0，解得x＞33.由f′(x)＜0，解得0＜x＜33.∴函数f(x)＝3x2－2lnx的单调递增区间为33+，，单调递减区间为303，.7．（2021·全国课时练习）设函数1()ln()fxxaxaRx=−−讨论()fx的单调性.【

答案】答案见解析.【解析】()fx定义域为()0,+，()22211'1axaxfxxxx−+=+−=，令()221,4gxxaxa=−+=−，①当22a−时，0，()'0fx，故()fx在()0,+上单调递增，②当2a−时，0，()0gx=的两根都小于零，在

()0,+上，()'0fx，故()fx在()0,+上单调递增，③当2a时，0，()0gx=的两根为221244,22aaaaxx−−+−==，当10xx时，()'0fx；当12xxx时，()'0fx；当2xx时，()

'0fx；故()fx分别在()()120,,,xx+上单调递增，在()12,xx上单调递减.综上可得：①当22a−时，()fx在()0,+上单调递增；②当2a−时，()fx在()0,+上单调递增；③当2a

时，()fx分别在22440,,,22aaaa−−+−+上单调递增，在2244,22aaaa−−+−上单调递减.8．（2021·全国课时练习）已知函数1()ln()fxaxaRx=+.讨论()fx的单调性.【答案】答案见解

析.【解析】因为1()ln=+fxaxx，所以定义域为()0,+，所以2211()(0)−=−=aaxfxxxxx.当0a„时，()0fx恒成立，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，由()0fx，得10xa；由()0fx，得1xa.

故()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增.综上，当0a„时，()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，()fx在10,a上单调递减，在1,a+上单调递增.

9．（2021·全国课时练习）已知函数()()ln21fxxaxa=−+R，讨论()fx的单调性.【答案】答案见解析.【解析】函数()ln21fxxax=−+，定义域为()0,+，()12fxax=−，当0a时，()0fx.故()fx在定义域()0,+上单调递增，此时

无减区间.当0a时，令()120fxax=−=，得102xa=；当10,2xa时，()0fx，故()fx单调递增；当1,2xa+时，()0fx，故()fx单调递减.综上所述，当0a时，()fx在定义域()0,+

上单调递增，此时无减区间；当0a时，()fx在10,2a上单调递增，在1,2a+上单调递减.10．（2021·全国课时练习）已知函数()()22exxxfax=−+.讨论函数()fx的

单调性.【答案】答案见解析.【解析】因为()()22exxxfax=−+，所以()fx的定义域为R，()()()()2222e2e2exxxxxxafxax=−+−+=+−，当2a时，()0fx，则()fx在R上是增函数；当2a时，()()()2(2)e2

2exxxaxaxfax=−−=+−−−，所以()02xfxa==−；()02xfxa−−或2xa−；()022fxaxa−−−，所以()fx在()2,2aa−−−上是减函数，在(),2a−−−和()2,a−+上是增函数.11．（2021·全国课时练习）已

知函数()()22xxfxaeaex=+−−，讨论()fx的单调性．【答案】答案见解析【解析】()fx的定义域为R，()()()22211(21)xxxxfxaeaeaee=+−−=−+，若0a，则()0fx恒成立，故()fx在(),−+上为减函数

；若0a，则当lnxa−时，()0fx，当lnxa−时，()0fx，故()fx在()ln,a−+上为增函数，在(),lna−−上为减函数，综上，当0a时，()fx在(),−+上为减函数；当0a时，()fx在()ln,a−+上为增函数，在(),lna−−

上为减函数．