【文档说明】天津市实验中学滨海学校2023-2024学年高三上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(19)页，311.011 KB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度第一学期高三年级期中质量调查（数学）试卷满分：150分时长：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知全集𝑈={0,1,2,3,4}，集合𝐴={1,2,3

}，𝐵={2,4}，则(∁𝑈𝐴)⋃𝐵为A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}2.“𝑥>2”是“𝑥2>4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数𝑦=4𝑥𝑥2+1的图象大致为()A.B.C.D.4.设𝑎∈𝑅，若直线𝑙1:𝑎𝑥+2𝑦−8=0与直线𝑙2:𝑥+(𝑎+1)𝑦+4=0平行，则𝑎的值为()A.−1B.1C.−2或−1D.−2或15.已知𝑎=𝑙𝑜𝑔20.2，𝑏=20.2，�

�=0.20.3，则()A.𝑎<𝑏<𝑐B.𝑎<𝑐<𝑏C.𝑐<𝑎<𝑏D.𝑏<𝑐<𝑎6.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其

中𝐵，𝐶分别是上､下底面圆的圆心，且𝐴𝐶=3𝐴𝐵=6，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是()A.80𝜋3B.70𝜋3C.20𝜋D.56𝜋37.设点𝐴(2,−3)､𝐵(−3,−2)，若直线𝑙过点𝑃(1,1)且与线段𝐴𝐵相交，则直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是(

)A.𝑘≥34或𝑘≤−4B.𝑘≥34或𝑘≤−14C.−4≤𝑘≤34D.−34≤𝑘≤48.已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)的图象向左平移𝜋6个单位长度后得到函数𝑦=sin2𝑥+√3cos2𝑥的图象，则𝜑的可能值为()A.0B.𝜋6C.

𝜋3D.𝜋129.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1、𝐹2.若双曲线右支上存在点𝑃，使得𝑃𝐹1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点𝑄，且|𝑃𝐹1|=4|𝐹1𝑄|，则双

曲线的浙近线方程为()A.𝑦=±𝑥B.𝑦=±43𝑥C.𝑦=±34𝑥D.𝑦=±√2𝑥10.对∀𝑥1，𝑥2∈(1,3]，当𝑥1<𝑥2时，𝑒3𝑥1𝑒3𝑥2−(𝑥1𝑥2)𝑎

>0，则实数𝑎的取值范围是()A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(9,+∞)D.[9,+∞)二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.已知(2+𝑖)𝑧=𝑖(𝑖为虚数单位)，则|𝑧|=___________．12.已知向量𝑎⃗⃗

=(2𝑘−4,3)，𝑏⃗=(−3,𝑘)，若𝑎⊥𝑏⃗，则实数𝑘的值为________．13.已知tan𝛼=12，𝛽=𝜋4，则tan(𝛽+𝛼)的值为14.圆心在直线𝑥+𝑦−1=0上且与直线2𝑥−𝑦−1=

0相切于点(1,1)的圆的方程是．15.以双曲线𝑥24−𝑦212=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．16.已知𝐹1、𝐹2分别为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)椭圆的左、右焦点，过𝐹2的直线与椭

圆交于𝑃、𝑄两点，若𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2，𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹2𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则∠𝐹1𝑃𝑄=，椭圆的离心率为．17.如图，

在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=2，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐷，𝐸分别是边𝐴𝐵，𝐴𝐶上的点，𝐴𝐸=1，且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12，则|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=，若𝑃是线段𝐷𝐸上的一个动点，则𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的最

小值为．18.已知函数𝑓(𝑥)={𝑒|𝑥+1|,𝑥≤0𝑥+4𝑥−3,𝑥>0，函数𝑦=𝑓(𝑥)−𝑎有四个不同零点，从小到大依次为𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4，则实数𝑎的取值范围为；𝑥1

𝑥2+𝑥3𝑥4的取值范围为．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16题17题19.(本小题14.0分)在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=(2𝑎−𝑐)𝑐𝑜𝑠

𝐵．(1)求角𝐵的大小；(2)设𝑎=2，𝑐=3，求sin(2𝐴+𝐵)的值．20.(本小题15.0分)如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶

𝐶1=3，点𝐷，𝐸分别在棱𝐴𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，𝑀为棱𝐴1𝐵1的中点．(1)求证：𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；(2)求直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正弦值．21.(本小题15.0分)在如图所示的几何体中，四边形�

�𝐵𝐶𝐷是正方形，四边形𝐴𝐷𝑃𝑄是梯形，𝑃𝐷//𝑄𝐴，∠𝑃𝐷𝐴=𝜋2，平面𝐴𝐷𝑃𝑄⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝐴𝐷=𝑃𝐷=2𝑄𝐴=2．(1)求证：𝑄𝐵//平面𝑃𝐷𝐶；(2)求平面𝐶𝑃𝐵与平面𝑃𝐵𝑄夹角的大小；(3)已知

点𝐻在棱𝑃𝐷上，且异面直线𝐴𝐻与𝑃𝐵所成角的余弦值为7√315，求点𝐴到平面𝐻𝐵𝐶的距离．22.(本小题16.0分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1，(𝑎,

𝑏∈𝑅)(1)当𝑎=−1，𝑏=0时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在𝑥=1处的切线方程；(2)当𝑏=0时，若对任意的𝑥∈[1,2]，𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥0恒成立，求实数𝑎的取值范围；(3)当𝑎=0，𝑏>0时，若方程𝑓

(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不同的实数解𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2)，求证：𝑥1+𝑥2>2．答案和解析1.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题．熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【解答】解：𝑈={0,1,2,3,4}，𝐴={1,2,3)

，𝐵={2,4}，∴∁𝑈𝐴={0,4}，则(∁𝑈𝐴)∪𝐵={0,2,4}．故选C．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由𝑥2>4，得𝑥>2或𝑥<−

2，则“𝑥>2”是“𝑥2>4”的充分不必要条件，故选A．3.【答案】𝐴【解析】【试题解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数𝑦=𝑓(

𝑥)=4𝑥𝑥2+1，则𝑓(−𝑥)=−4𝑥𝑥2+1=−𝑓(𝑥)，则函数𝑦=𝑓(𝑥)为奇函数，故排除𝐶，𝐷，当𝑥>0时，𝑦=𝑓(𝑥)>0，故排除𝐵，故选：𝐴．4.【答案】

𝐵【解析】【分析】本题考查直线平行的判定，属于基础题．由题得𝑎(𝑎+1)−2=0，再验证两条直线是否重合即可得解．【解答】解：因为直线𝑙1：𝑎𝑥+2𝑦−8=0与直线𝑙2：𝑥+(𝑎+1)𝑦+4=0平行，所以𝑎(𝑎+1)−2=0，即𝑎=1或𝑎=

−2，又𝑎=−2时两直线重合，所以𝑎=1．故选B．5.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查对数函数及其性质，属于基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得𝑙𝑜𝑔20.2<0，20.2>1，0<0

.20.3<1，从而得出𝑎，𝑏，𝑐的大小关系．【解答】解：𝑎=𝑙𝑜𝑔20.2<𝑙𝑜𝑔21=0，𝑏=20.2>20=1，∵0<0.20.3<0.20=1，∴𝑐=0.20.3∈(0,1)，∴𝑎<𝑐<𝑏，故选

B．6.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查简单组合体的体积，属于基础题．根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案．【解答】解：已知底面圆的半径𝑟=2，由𝐴𝐶=3𝐴𝐵=6，则𝐴𝐵=2,𝐵𝐶=

4，故该陀螺的体积𝑉=𝐵𝐶⋅𝜋𝑟2+13⋅𝐴𝐵⋅𝜋𝑟2=563𝜋．故选：𝐷．7.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．画出图形，由题意得所求直线𝑙的

斜率𝑘满足𝑘≥𝑘𝑃𝐵或𝑘≤𝑘𝑃𝐴，用直线的斜率公式求出𝑘𝑃𝐵和𝑘𝑃𝐴的值，求出直线𝑙的斜率𝑘的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线𝑙的斜率𝑘满足𝑘≥𝑘𝑃𝐵或𝑘≤𝑘𝑃𝐴，即𝑘≥1+21+3=34，或𝑘≤1+31−2=−4

，∴𝑘≥34，或𝑘≤−4，即直线的斜率的取值范围是𝑘≥34或𝑘≤−4．故选A．8.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查函数图象的变换及函数𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的图象与性质，利用图象变换法则求出平移后的函数的解析式即可求解

．【解答】解：将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)的图象向右平移𝜋6个单位长度，可得𝑦=2𝑠𝑖𝑛[2(𝑥−𝜋6)+𝜋3]=2𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象，所以𝜑=0．故

选A．9.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查.属于中档题．利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出𝑎与𝑏之间的等量关系，可知答案．【解答】解：如图所示，渐近线为𝑂𝑄，�

�𝐹1⊥𝑂𝑄，点𝐹1到渐近线的距离为|𝐹1𝑄|=𝑏，而|𝐹1𝑂|=𝑐，故在直角三角形𝑂𝑄𝐹1中，由勾股定理和𝑐2=𝑎2+𝑏2可得|𝑂𝑄|=𝑎，有cos∠𝑂𝐹1𝑄=𝑏𝑐．因为|𝑃𝐹1|=4|𝐹1𝑄|，可知|𝑃𝐹1|=

4𝑏．根据双曲线定义可知|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=4𝑏−|𝑃𝐹2|=2𝑎，整理得|𝑃𝐹2|=4𝑏−2𝑎，在三角形𝑃𝐹1𝐹2中，cos∠𝑃𝐹1𝐹2=4𝑐2+16𝑏2−(4𝑏−2𝑎)22×2𝑐×4𝑏=cos∠𝑂𝐹1𝑄=�

�𝑐，代入𝑐2=𝑎2+𝑏2整理得𝑏𝑎=43，∴双曲线渐近线方程为𝑦=±43𝑥，10.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究恒成立问题，属于较难题．对于原不等式进行同构处理，可得𝑎𝑙𝑛𝑥2−3𝑥2>𝑎𝑙𝑛𝑥1−3𝑥1，构造函数𝑓(

𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥−3𝑥，可知函数𝑓(𝑥)在(1,3]上单调递增，求导，令𝑓′(𝑥)⩾0恒成立，即可求出𝑎的取值范围．【解答】解：对于任意𝑥1,𝑥2∈(1,3]，当𝑥1<𝑥2时，𝑒3𝑥1𝑒3𝑥2−

(𝑥1𝑥2)𝑎>0成立，两边取对数化简可得3𝑥1−3𝑥2>𝑎ln𝑥1𝑥2，即𝑎𝑙𝑛𝑥2−3𝑥2>𝑎𝑙𝑛𝑥1−3𝑥1恒成立，令𝑓(𝑥)=𝑎𝑙𝑛𝑥−3𝑥，∴�

�(𝑥2)>𝑓(𝑥1)，∴𝑓(𝑥)在(1,3]上单调递增，∴𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−3⩾0在(1,3]恒成立，∴𝑎⩾3𝑥在(1,3]恒成立，只需𝑎⩾(3𝑥)𝑚𝑎𝑥，𝑥∈(1,3],3𝑥在(1,3]的最大值为9，∴𝑎≥9，则实数�

�的取值范围是[9,+∞)．11.【答案】√55【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算，属于基础题．求出复数𝑧，然后利用模的计算公式求解即可．【解答】解：∵(2+𝑖)𝑧=𝑖，∴𝑖2+𝑖=𝑖(2−𝑖)(2+𝑖)(2−𝑖)=15+25

𝑖，∴|𝑧|=√(15)2+(25)2=√55．故答案为√55．12.【答案】4【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题．利用向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系直接运算即可求出

实数𝑘的值．【解答】解：∵𝑎⃗⃗=(2𝑘−4,3)，𝑏⃗=(−3,𝑘)，且𝑎⊥𝑏⃗，∴𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗=−3×(2𝑘−4)+3𝑘=0，解得𝑘=4．则实数𝑘的值为4．故答案为：4．13.【答案】3【解析】【分析】本题考

查了两角和的正切公式，属于基础题．直接利用两角和的正切公式，代入数据计算即可．【解答】解：∵tan𝛼=12，𝛽=𝜋4，∴𝑡𝑎𝑛(𝜋4+𝛼)=𝑡𝑎𝑛𝜋4+𝑡𝑎𝑛𝛼1−𝑡𝑎𝑛𝜋4𝑡𝑎𝑛𝛼=1+121−12=3，故答案为3．

14.【答案】(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=5【解析】【分析】本题主要考查方程思想及点到线的距离公式，考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．设出圆心坐标，其中由圆心在直线𝑥+𝑦−1=0上得出一个方程；再由圆心到直线2𝑥−𝑦−1=0的距离即半径得出另一

个方程，解方程组即可得解．【解答】解：设圆心坐标为(𝑎,𝑏)，则{𝑎+𝑏−1=0|2𝑎−𝑏−1|√5=√(𝑎−1)2+(𝑏−1)2,解得𝑎=−1，𝑏=2，所以𝑟=√5，所以要求圆的方程为(𝑥+1)2+(𝑦−2)

2=5．故答案为(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=5．15.【答案】𝑥216+𝑦212=1【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，椭圆的概念及标准方程的应用，根据双曲线的标准方程，求出焦点坐标和顶点坐标，即可求解椭圆方程．【解答】解：因为双曲线𝑥24−𝑦

212=1中，𝑎2=4，𝑏2=12，𝑐2=𝑎2+𝑏2=4+12=16，故焦点为(−4,0)，(4,0)，顶点为(−2,0)，(2,0)，所以椭圆的顶点为(−4,0)，(4,0)，焦点为(−2,0)，(2,0)，所以椭圆中𝑎1=4,𝑐1=2，则𝑏1=

2√3．所求椭圆方程为𝑥216+𝑦212=1．16.【答案】90°；；√22【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质，以及向量的夹角公式，需要学生较强的综合能力，属于中档题．由𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2，可得|�

�𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|⋅cos∠𝐹1𝑄𝑃=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2，即|𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠𝐹1𝑄𝑃=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|，cos∠𝐹1𝑄𝑃=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，即可求解∠�

�1𝑃𝑄，再结合椭圆的性质和离心率公式，即可求解．【解答】解：∵𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2，∴|𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗|⋅cos∠𝐹1𝑄𝑃=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|2，∴|𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠𝐹1𝑄𝑃=

|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|，∴cos∠𝐹1𝑄𝑃=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑄𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，∴∠𝐹1𝑃𝑄=90°，设|𝐹2𝑄|=𝑚，∵𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐹2𝑄⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗，∴|𝑃𝐹2|=3|𝐹2𝑄|=3𝑚，∴|𝑃𝐹1|=2𝑎−3𝑚，|𝑄𝐹1|=2𝑎−𝑚，|𝑃𝑄|=4𝑚，在𝑅𝑡△𝑃𝐹1𝑄中，|𝑃𝐹1|2+|𝑃𝑄|2=|𝐹1

𝑄|2，即(2𝑎−3𝑚)2+(4𝑚)2=(2𝑎−𝑚)2，解得𝑚=𝑎3，∴|𝑃𝐹2|=3𝑚=𝑎，|𝑃𝐹1|=𝑎，∴|𝐹1𝐹2|=√2|𝑃𝐹1|，即2𝑐=√2𝑎，

∴𝑒=𝑐𝑎=√22．故答案为：90°；√22．17.【答案】1；−116【解析】【分析】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，余弦定理，向量加法和数乘的几何意义，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题

．根据𝐴𝐸=1，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12即可求出|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=1，然后得△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，从而得出𝐵𝐷=2，𝐶𝐸=1，且∠�

�𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=60°，并据题意设𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，0≤𝜆≤1，从而可得出𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)⋅[𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆−1)𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗]，然后进行数量积的运

算即可得出𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆2−𝜆2，从而配方即可求出最小值的大小．【解答】解：∵𝐴𝐸=1，∠𝐵𝐴𝐶=60°，∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=12，∴|𝐴𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗|=1，∴△𝐴𝐷𝐸为等边三角形，又𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=2，∴𝐵𝐷=2，𝐶𝐸=1，且∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷=60°，∵𝑃是线段𝐷𝐸上的一个动点，∴设𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，0≤𝜆≤1，则𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝜆−1)

𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗，∴𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)⋅[𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆−1)𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗]=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+(𝜆−1)𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗2+(𝜆−1)𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝜆𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2×1×12+𝜆2−𝜆+2×1×12×(𝜆−1)+1×1×(−12)×𝜆=𝜆2−𝜆2=(𝜆−14

)2−116，∴𝜆=14时，𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝑃⃗⃗⃗⃗⃗取最小值−116．故答案为：1,−116．18.【答案】(1,𝑒]；[4,5)【解析】【分析】本题主要考查函数零点的个数及函数零点的分布，属于较难题．根据函数性质画出𝑓(𝑥)的图象，将问题化为𝑓(

𝑥)与𝑦=𝑎有四个交点，数形结合法求𝑎范围，再由𝑥1,𝑥2是(𝑥+1)2−𝑙𝑛2𝑎=0的两个根、𝑥3,𝑥4是𝑥2−(𝑎+3)𝑥+4=0的两个根，结合根与系数关系求𝑥1𝑥2+𝑥

3𝑥4的范围．【解答】解：由题设，当𝑥∈(−∞,−1)时，𝑦=𝑒−𝑥−1∈(1,+∞)，且单调递减；当𝑥∈[−1,0]时，𝑦=𝑒𝑥+1∈[1,𝑒]，且单调递增；当𝑥∈(0,2)，𝑦=𝑥+4𝑥−3∈(1,

+∞)，且单调递减；当𝑥∈[2,+∞)，𝑦=𝑥+4𝑥−3∈[1,+∞)，且单调递增；综上，𝑓(𝑥)的函数图象如下：所以𝑦=𝑓(𝑥)−𝑎有四个不同零点，即𝑓(𝑥)与𝑦=𝑎有四个交点，由图知：1<𝑎≤𝑒，则𝑥1,𝑥2在𝑦=

𝑒|𝑥+1|上，𝑥3,𝑥4在𝑦=𝑥+4𝑥−3上，令𝑒|𝑥1+1|=𝑒|𝑥2+1|=𝑎，则|𝑥1+1|=|𝑥2+1|=ln𝑎，即𝑥1,𝑥2是(𝑥+1)2−𝑙𝑛2𝑎=0的两个根，故𝑥1𝑥2=1−𝑙𝑛2𝑎，而𝑥3,𝑥4是𝑥+4𝑥−3

=𝑎，即𝑥2−(𝑎+3)𝑥+4=0的两个根，故𝑥3𝑥4=4，所以𝑥1𝑥2+𝑥3𝑥4=5−𝑙𝑛2𝑎∈[4,5)．故答案为：(1,𝑒]，[4,5)19.【答案】解：(Ⅰ)∵𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶=(2𝑎−𝑐)𝑐𝑜𝑠𝐵，∴𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜�

�𝐵=2𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵，由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵，∴sin(𝐵+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠�

�，∴𝑐𝑜𝑠𝐵=12，又∵𝐵∈(0,𝜋)，∴𝐵=𝜋3．(Ⅱ)由𝑎=2，𝑐=3，可得𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵=7，可得𝑏=√7，因为𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴，所以𝑠𝑖𝑛𝐴=√217，又𝑎<𝑐，则𝐴∈(0,𝜋2)

，𝑐𝑜𝑠𝐴=2√77，可得𝑠𝑖𝑛2𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐴=2×√217×2√77=4√37，𝑐𝑜𝑠2𝐴=2𝑐𝑜𝑠2𝐴−1=17，所以sin(2𝐴+𝐵)=𝑠𝑖𝑛2𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐵+𝑐𝑜𝑠2𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵=4√37×12+17×√32=5√314．【解析】(Ⅰ)变形已知结合正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐

𝑜𝑠𝐵，进而可得𝑐𝑜𝑠𝐵，进而可求得𝐵的值；(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求得𝑏的值，利用正弦定理可求𝑠𝑖𝑛𝐴的值，利用同角三角函数基本关系式可求𝑐𝑜𝑠𝐴的值，利用二倍角公式可求𝑠𝑖�

�2𝐴，𝑐𝑜𝑠2𝐴，进而根据两角和的正弦公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵

1𝐶1中，𝐶𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，建立如图所示的空间直角坐标系，又𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，𝐶𝐶1=3，点𝐷，𝐸分别在棱𝐴𝐴1和棱𝐶𝐶1上，且𝐴𝐷=1，𝐶𝐸=2，𝑀为棱𝐴1𝐵1的中点，则𝐶(0,0,

0)，𝐴(2,0,0)，𝐵(0,2,0)，𝐷(2,0,1)，𝐸(0,0,2)，𝐴1(2,0,3)，𝐵1(0,2,3)，𝐶1(0,0,3)，𝑀(1,1,3)，则𝐶1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0)，𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,−2)，则𝐶

1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×2+1×(−2)+0×(−2)=0，即𝐶1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即𝐶1𝑀⊥𝐵1𝐷；(Ⅱ)解：设平面𝐵1𝐸𝐷的一

个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则{2𝑥−2𝑦−2𝑧=0−2𝑥+𝑧=0，令𝑥=1，则𝑦=−1，𝑧=2，则𝑛⃗=(1,−1,2)，又平面𝐵𝐵1𝐸的一个

法向量为𝑚⃗⃗=(1,0,0)，设𝑚⃗⃗与𝑛⃗所成角为𝜃，则𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=11×√6=√66，即平面𝐵𝐵1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐷所夹角为𝜃，则平面𝐵𝐵1𝐸与平面𝐵1𝐸𝐷所夹角的余弦值为√66；(Ⅲ)解：由(Ⅰ)可得�

�𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,0)，则|cos<𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗>|=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=42√2×√6=√33，则直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐵1𝐸所成角的正

弦值为√33．【解析】(Ⅰ)先建立如图所示的空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后求证即可；(Ⅱ)设平面𝐵1𝐸𝐷的一个法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⃗⋅𝐵1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0�

�⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，则𝑛⃗=(1,−1,2)，又平面𝐵𝐵1𝐸的一个法向量为𝑚⃗⃗=(1,0,0)，然后求解即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)可得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,0)，则|cos<𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗

>|=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗|=42√2×√6=√33，得解．本题考查了空间向量的运算，重点考查了二面角的平面角大小的求法，属基础题．21.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

是正方形，∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵⊄平面𝑃𝐷𝐶，𝐶𝐷⊂平面𝑃𝐷𝐶.所以𝐴𝐵//平面𝑃𝐷𝐶．∵四边形𝐴𝐷𝑃𝑄是梯形，𝑃𝐷//𝑄𝐴，𝑄𝐴⊄平面𝑃𝐷𝐶，𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐷𝐶，所以𝑄𝐴//平面𝑃𝐷𝐶，𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝑄

，𝑄𝐴⊂平面𝐴𝐵𝑄，𝐴𝐵∩𝑄𝐴=𝐴，∴平面𝐴𝐵𝑄//平面𝐷𝐶𝑃，∵𝑄𝐵⊂平面𝐴𝐵𝑄，∴𝑄𝐵//平面𝑃𝐷𝐶．(2)解：以𝐷为原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝑃为𝑧轴，建立空间直角坐标系，则𝐶(0,2,0)，𝑃(0,0,2)

，𝐵(2,2,0)，𝑄(2,0,1)，𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,−2)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−2)，𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−1)，设平面𝑃𝐵𝐶的法向量𝑛⃗⃗1=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则{𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥1+2𝑦1−2𝑧1=

0𝑛⃗⃗⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦1−2𝑧1=0，取𝑦1=1，得𝑧1=1，𝑥1=0，得𝑛⃗⃗1=(0,1,1)，设平面𝑃𝐵𝑄的法向量𝑛⃗⃗2=(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，则{𝑚⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2�

�2+2𝑦2−2𝑧2=0𝑚⃗⃗⃗⋅𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥2−𝑧2=0，取𝑥2=1，𝑧2=2，𝑦2=1，得𝑛⃗⃗2=(1,1,2)，设二面角𝐶−𝑃𝐵−𝑄的大小为𝜃，由图形得𝜃为钝角，则𝑐𝑜𝑠𝜃=−|𝑛⃗⃗1⋅𝑛⃗⃗2||𝑛⃗⃗1|⋅|𝑛⃗⃗2|=−3√

2⋅√6=−√32，因为𝜃为钝角，∴𝜃=5𝜋6，∴二面角𝐶−𝑃𝐵−𝑄的大小为5𝜋6．(3)解：点𝐻在棱𝑃𝐷上，且异面直线𝐴𝐻与𝑃𝐵所成角的余弦值为7√315，设𝐷𝐻=𝑡，(0≤𝑡≤2)，则𝐻(0,0,𝑡)，𝐴(2,0,0)，𝐴𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,𝑡)，𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,−2)，∴|cos<𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗>|=𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4+2𝑡√4+

𝑡2⋅√12=7√315，解得𝑡=32，∴线段𝐷𝐻的长为32．设平面𝐻𝐵𝐶的法向量𝑛⃗⃗3=(𝑥3,𝑦3,𝑧3)，因为𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)，𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−32)，则{𝑚1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗=2𝑥3=0𝑚1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐻𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦3−32𝑧3=0，取𝑧3=4，得𝑛⃗⃗3=(0,3,4)，又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，所以𝑑=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗3||𝑛⃗⃗3=65．【解析】(1)先证明平面𝐴𝐵𝑄//平面�

�𝐶𝑃，再根据面面平行的性质可得𝑄𝐵//平面𝑃𝐷𝐶；(2)以𝐷为原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝑃为𝑧轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果；(3)根

据异面直线和点面距的向量公式可求出结果．本题主要考查线面平行的证明，二面角的相关计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．22.【答案】解：(Ⅰ)当𝑎=−1时，𝑏=0时，𝑦=𝑙𝑛𝑥+1𝑥2+1，∴当𝑥=1时，𝑦=2，∴𝑦′=1𝑥−2𝑥3，∴当𝑥=

1时，𝑦′=−1，∴曲线𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)在𝑥=1处的切线方程为𝑥+𝑦−3=0；(Ⅱ)当𝑏=0时，对∀𝑥∈[1,2]，𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥0都成立，则对∀𝑥∈[1,2]，𝑎≥−𝑥2𝑙𝑛𝑥+𝑥2恒成立

，令ℎ(𝑥)=−𝑥2𝑙𝑛𝑥+𝑥2(1≤𝑥≤2)，则ℎ′(𝑥)=−2𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥.令ℎ′(𝑥)=0，则𝑥=√𝑒，∴当1<𝑥<√𝑒，ℎ′(𝑥)>0，此时ℎ(𝑥)单调递增；当√�

�<𝑥<2时，ℎ′(𝑥)<0，此时ℎ(𝑥)单调递减，∴ℎ(𝑥)𝑚𝑎𝑥=ℎ(√𝑒)=𝑒2，∴𝑎≥𝑒2，∴𝑎的取值范围为[𝑒2,+∞)；(Ⅲ)当𝑎=0，𝑏>0时，由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)，得𝑙𝑛𝑥−�

�𝑥+1=0，方程𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)有两个不同的实数解𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2)，令𝐹(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑥+1(𝑥>0)，则𝐹(𝑥1)=𝐹(𝑥2)=0，𝐹′(𝑥)=1𝑥−𝑏，令𝐹′(𝑥)=0，则𝑥=1𝑏，∴当0<𝑥<1𝑏时

，𝐹′(𝑥)>0，此时𝐹(𝑥)单调递增；当𝑥>1𝑏时，𝐹′(𝑥)<0，此时𝐹(𝑥)单调递减，∴𝐹(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝐹(1𝑏)=𝑙𝑛(1𝑏)>0，∴0<𝑏<1，又𝐹(1�

�)=−𝑏𝑒<0，𝐹(1)=1−𝑏>0，∴1𝑒<𝑥1<1<1𝑏，∴2𝑏−𝑥1>1𝑏，∴只要证明𝑥2>2𝑏−𝑥1，就能得到𝑥1+𝑥2>2𝑏>2，即只要证明𝐹(2𝑏−𝑥1)>0=𝐹(𝑥1)，令𝐺(�

�)=𝐹(2𝑏−𝑥)−𝐹(𝑥)=ln(2𝑏−𝑥)−𝑙𝑛𝑥+2𝑏𝑥−2，(0<𝑥<1𝑏)，则𝐺′(𝑥)=2𝑏(𝑥−1𝑏)2𝑥(𝑥−2𝑏)<0，∴𝐺(𝑥)在(0,1𝑏)上单

调递减，则𝐺(𝑥)>𝐺(1𝑏)=𝐹(2𝑏−1𝑏)−𝐹(1𝑏)=0，∴𝐺(𝑥1)=𝐹(2𝑏−𝑥1)−𝐹(𝑥1)>0，∴𝐹(2𝑏−𝑥1)>𝐹(𝑥1)=0=𝐹(𝑥2)，∴𝑥2>2𝑏−𝑥1，∴𝑥1+𝑥2>2𝑏>2，即𝑥1+𝑥2>2，证毕．【

解析】本题考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．(Ⅰ)求出𝑦=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)的导函数，求出函数在𝑥=1时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；(Ⅱ

)对∀𝑥∈[1,2]，𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)≥0都成立，则对∀𝑥∈[1,2]，𝑎≥−𝑥2𝑙𝑛𝑥+𝑥2，恒成立，构造函数ℎ(𝑥)=−𝑥2𝑙𝑛𝑥+𝑥2(1≤𝑥≤2)，求出ℎ(𝑥)的最大值可

得𝑎的范围；(Ⅲ)由𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)，得𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑥+1=0，构造函数𝐹(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑏𝑥+1(𝑥>0)，将问题转化为证明𝐹(2𝑏−𝑥1)>0=𝐹(𝑥1)，然后构造函数证明𝐹(2𝑏−𝑥

1)>𝐹(𝑥1)=0=𝐹(𝑥2)即可．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com