【文档说明】上海市建平中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(15)页，658.501 KB，由小赞的店铺上传

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建平中学2021学年第二学期期末考试高一数学学科2022.06.24说明：（1）本场考试时间为90分钟，总分100分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写．一、填空题（每题3分，满分36分）1.已知复数1017iz=+，则Rez＝___．【答案】10【解析】【

分析】根据复数的定义直接写出复数的实部.【详解】因为复数1017iz=+，所以Rez＝10.故答案为：102.若()2,nb=r为直线l：21yx=−的一个法向量，则b＝___．【答案】1−【解析】【分析】由直线方程写出其方向向量(1,2)m=−−，利用0mn=求

参数b.【详解】由直线一般式为210xy−−=，则其一个方向向量为(1,2)m=−−，所以(1)220mnb=−−=，可得1b=−.故答案为：1−3.点(1，2)到直线:3450lxy++=的距离为__

_．【答案】165##3.2【解析】【分析】利用点线距离公式求距离即可.【详解】由点线距离公式有(1，2)到直线:3450lxy++=的距离为22|31425|16534++=+.故答案为：1654.设直线1l、2l的斜率分别为1k

、2k，倾斜角分别为、，若121kk=−，则||−=___．【答案】2##90【解析】【分析】由已知及12tantankk=得1tantan=−，讨论、并结合正切函数性质求||−.【详解】由,[0,)(,)22

，且12tantan1kk==−，即1tantan=−，若，则(,),(0,)22，而1tan()2tan+=−，故2+=，即2−=；同理，可得2−=.综上，||−=2.故答案为：25.若()()cos,sin,1

,1ab==rr，其中0,2)，则ab最大时，＝___．【答案】4【解析】【分析】由向量数量积的坐标表示及辅助角公式可得2sin()4ab=+，再由正弦型函数的性质确定ab取最大时对应值.【详解】由题设

cossin2sin()4ab=+=+，而0,2)，所以9[,)444+，故当4=时ab有最大值2.故答案为：46.已知等差数列{na}满足()*3Nnnaann−=，则21aa−=___．【答案】12##0.5【解

析】【分析】设公差为d，由已知递推式有1321aad−==求公差，进而可得21aa−的值.【详解】若数列{na}的公差为d，而1321aad−==，故12d=，又2112aad−==.故答案为：127.已知a、b的夹角为3，设abcab=+，则c在

a上的数量投影为___．【答案】32##1.5【解析】【分析】由,abab分别表示在a、b方向上的单位向量，结合已知可得||3c=且a、c的夹角为6，进而可求c在a上的数量投影.【详解】由,abab分别表示在a、b方向上的单位向量，且a、b的夹角为

3，由abcab=+知：||3c=且a、c的夹角为6，所以c在a上的数量投影为3||cos62c=.故答案为：328.若复数z满足2zz=+且i3izz+=−，则zz=___．【答案】2【解析】【分析】令izxy=+且,Rxy，根据模长的等量

关系列方程求,xy，再由2||zzz=求结果.【详解】令izxy=+且,Rxy，由2zz=+，则2222(2)xyxy+=++，可得1x=−，由i3izz+=−，则2222(1)(3)xyxy++=+−，可得1y=，所以i1z=−，故2||2zzz==.故答案为：29.已知首项

为－1的等比数列{na}，若1532aaa+，则数列{na}的公比为___．【答案】±1【解析】【分析】利用等比数列通项公式代入结合一元二次不等式求解即可.【详解】依题意，11a=−，设公比为q，若1532a

aa+，则421112aaqaq+，即42210qq−+，得()2210q−，故210q−=，得1q=，故答案为：±1.10.设关于x的实系数一元二次方程()200axbxcac++=的两个虚数

根分别为1x、2x，若1212xxxx=−+，则2bac＝____．【答案】2【解析】【分析】由实系数一元二次方程有两虚根得到12||||bxxa+=，2124acbxxa−−=，再由等量关系列方程求结果.【详解】由题设，240bac=−，且12||||bxxa+=

，2124acbxxa−−=，由1212xxxx=−+，即224bacb=−，故22bac=.故答案为：211.已知平面上两定点A、B满足4AB=，动点P、Q分别满足1,2APBQ==，则APAQ的取值范围是___．【答案】[－6,6]【解析】【分析】令(2,0),(

2,0)AB−，由已知判断P、Q的轨迹，再结合向量数量积的几何意义求APAQ的最值，即可得范围.【详解】若(2,0),(2,0)AB−，由题意知：P在以A为圆心，1为半径的圆上；Q在以B为圆心，2为半径的圆上.又||1AP=，max||||26AQAB=+=，则

：APAQ最大时，,APAQ同向，此时max()6APAQ=，APAQ最小时，,APAQ反向，此时max()6APAQ=−，综上，APAQ的范围为[－6,6].故答案为：[－6,6]12.已知数列{na}的前n项和为nS，若212nnSa

nn−=−对任意*Nn恒成立，则()()20221112iiiiaa+=−−____．【答案】1011【解析】【分析】由题设有(1)2nnnnSna−=−，根据,nnaS的关系得11nnaa+−=，再应用分组求和求目标式的值.【详解】由题设，(1)2nnnnS

na−=−，故11(1)(1)2nnnnSna+++=+−，所以11(1)(1)nnnanana++=+−+，即11nnaa+−=，故1121nnnaaa++−=+，所以()()2022123420222023112(1)(1)(

1)...(1)(1)iiiiaaaaaaa+=−−=−+++−++−+++325420232022()()...()101111011aaaaaa=−+−++−==.故答案为：1011二、选择题（每题3分，满分12分）13.设直线1111:0laxbyc++

=（1a、1b不同时为零），2222:0laxbyc++=（2a、2b不同时为零），则“1l、2l相交”是“1221abab”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】分12,bb均不为0和12,bb有且只有一个为0两种情况讨论，分别

证得充分性和必要性即可得出结论.【详解】当直线斜率都存在即12,bb均不为0时，若“1l、2l相交”，则两直线的斜率不相等，得1212aabb−−，即1221abab，当直线斜率有一个不存在即12

,bb有且只有一个为0时，1221abab也成立，故充分性成立；反之，12,bb均不为0时，若“1221abab”，则1212aabb−−，则两直线的斜率不相等，即1l、2l相交，12,bb有且只有一个为0时，1l、2l也相交，故必要性成立；综上

，则“1l、2l相交”是“1221abab”的充要条件，故选：C.14.满足0BABCuuruuur的△ABC（）A.一定为锐角三角形B.一定为直角三角形C.一定为钝角三角形D.可能为锐角三角形或直角三角形或钝

角三角形【答案】C【解析】【分析】由向量数量积的定义及三角形内角的性质可得(,)2ABC，即可判断三角形形状.【详解】由||||cos0BABCBABCABC=uuruuuruuruuur，而||,||0BABCuuruuur，所以cos0ABC且(0,)ABC，故(,

)2ABC.所以△ABC一定为钝角三角形.故选：C15.设zC，下列说法中正确的是（）A.若20zz+=，则0z=B.若20zz+=，则0z=C.若20zz+=，则0z=D.若220zz+=，则0z=【答案】B【解析】【分析】对于A

：取z=-1否定结论；对于B：直接证明即可；对于C、D：取z=i否定结论.【详解】设izab=+（其中2,R,i1ab=−）.对于A：不妨取z=-1，满足20zz+=.故A错误；对于B：因为20zz+=，所以200zz==，，所以220ab+=，所以0ab==，即0z=

.故B正确；对于C：取z=i，满足20zz+=.故C错误；对于D：取z=i，满足220zz+=.故D错误.故选：B16.设无穷数列{na}的前n项和为()1NnniiSan==，若0na（*Nn），记集合*|,NnAxxan==，集合*|,Nn

BxxSn==，则（）A.不存在数列{na}使得AB=B.存在唯一一个数列na使得AB=C.存在不止一个但有穷个数列na使得AB=D.存在无穷个数列{na}使得AB=【答案】D【解析】【分析】因为0na，nS随着n的增大而增大，故可

考虑当11a=时，逐步分析213243,,...aSaSaS===使得,AB中的元素从小到大一一对应即可【详解】由题意，因为0na，nS随着n的增大而增大，且11aS=，不妨设121aa==，则121,2SS==，故可令322aS==，则34S=，再令434aS==，如此则有()21,1,N2,

2nnnann+−==，则()1*2,NnnSn−=，此时满足()1NnnaSn++=，故AB=.同理可得，当0a时，只需()*2,1,N2,2nnananan−==，()12,NnnanS−+=，也满足AB=.故存在无穷个数列{na}使得AB=故选：D三、解答

题（本题共有5大题，满分52分）17.设z为复数．（1）若254i3iz−−=，求|z|的值；（2）已知关于x的实系数一元二次方程()20,Rxpxqpq++=的一个复数根为z，若z为纯虚数，求pq+的取值范围．【答案】（1）5；（2）()0,.+【解析】

【分析】（1）由等量关系，应用复数的除法求复数z，进而求模长.（2）设()iR,0zbbb=，结合根与系数关系列不等式组求,pq，进而确定pq+的范围.【小问1详解】25i34i43iz==−−−−，

故34i5z=−−=；【小问2详解】设()iR,0zbbb=，故22400pqzzpzzbq−+==−==，解得00pq=，故()0,.pq++18.已知直线1:21lyx=+，直线()2:,R.lykxbkb=+（1）若3k=，求直线1l、2

l的夹角；（2）设1l交x轴于点A，交y轴于点B，2l交x轴于点D，交y轴正半轴于点C，若//ABCD，且梯形ABCD的面积为12，求直线2l在y轴上的截距．【答案】（1）7arccos210；（2）3.【解析】【分析】（1）

由直线方程得到它们法向量，根据法向量夹角与直线夹角关系求1l、2l的夹角.（2）由题意有2l：2(0)yxbb=+，进而求,ABCD，再由平行线距离求梯形的高，最后根据梯形面积公式求参数b，即可得结果.【小问1详解

】1:210lxy−+=，2l：30xyb−+=的一个法向量分别为(2,1),(3,1)−−，则()()()()222223117cos2102131+−−==+−+−，故7arccos210=．【小问2详解】由//ABCD，故2k=，即2l：2(0

)yxbb=+，易知55,22ABCDb==，梯形的高h即平行直线1l，2l之间的距离，故()22151521bhb−==−+−，设梯形ABCD的面积为S，则()1155511222252SABCDhbb=+=+−=，化简得()112bb+−=，解

得3b=，故直线2l在y轴上的截距为3．19.银行储蓄存款是一种风险较小的投资方式，将一定数额的本金存入银行，约定存期，到期后就可以得到相应的利息，从而获得收益，设存入银行的本金为P（元），存期为m（年），年化利率为r，则到期后的利息IPmr=（元）．以下为

上海某银行的存款利率：存期一年二年三年年化利率1.75%2.25%2.75%（1）洪老师将10万元在上海某银行一次性存满二年，求到期后的本息和（本金与利息的总和）；（2）杜老师准备将10万元在上海某银行存三年，有以下三种方案：方案①：一次

性存满三年；方案②：先存二年，再存一年；方案③：先存一年，再续存一年，然后再续存一年；的通过计算三种方案的本息和（精确到小数点后2位）判断哪一种方案更合算，并基于该实际结果给予杜老师一般性的银行储蓄存款的建议．【答案】（1）10.45万元；（2）方案①，建议见解析.【解析

】【分析】（1）由题意确定,,Pmr，应用利息公式求到期后的本息和即可；（2）根据各方案的模型求出对应的本息和，比较大小选择合算方案，并给予一般性的银行储蓄存款的建议．小问1详解】由题意，510P=，2,2.25%mr==，故4500,IPmr==所以5104500104500PI+=+=，到

期后本息和为104500元，即10.45万元；【小问2详解】方案①为单利模型，方案②③为复利模型，三种方案到期后的本息和计算如下．方案①：()510132.75%108250.00PI+=+=；方案②：()()51

0122.25%111.75%106328.75,PI+=++=方案③：()3526310111.75%105342105342.41;640PI+=+=由于方案①的本息和大于方案②的本息和，方案②的本息和大于方案③的本息和，故方案①最合算，其次是方案②，最后是方案③，建议杜老

师在银行储蓄存款时，对于确定的本金和存期，选择一次性存满存期的方式最合算，即本息和最大；如果无法一次性存满存期，尽量选择较长的存期进行拆分时更合算，即本息和更大．20.已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点．（1）若

()PCPAPB=−+uuuruuruur，求△PAB的面积；（2）若0PBPC=，求PBPC+uuruuur的最大值；（3）求2PAPBPAPC+uuruuruuruuur的最小值．【答案】（1）33；（2）22；【的（3）－73.【解析】【分析】（1）由

重心的性质有13PABABCSS=，结合三角形面积公式求△PAB的面积；（2）由题设PBPC⊥uuruuur，可得222PBPCBC+=uuruuuruuur，再应用基本不等式求目标式最值，注意等号成立条件.（3）构建直角坐标系并设P（x，y），确定相关点坐标，利用向

量数量积的坐标运算求2PAPBPAPC+uuruuruuruuur，即可得结果，注意最值对应x、y.【小问1详解】由题设知：P为△ABC的重心，故1113233323PABABCSS===VV；【小问2

详解】由于0PBPC=，即PBPC⊥uuruuur，则2224PBPCBC+==uuruuuruuur，22222PBPCPBPC++=uuruuuuuuruurr，当且仅当2PBPC==uuruuur时取到等号，故PBPC+uuruuur的最大值

为22；【小问3详解】以BC的中点O为原点，OC，OA分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，设P（x，y），易知A（0，3），B（－1，0），C（1，0），则()()()()22,31,,31,,PAPBPAPCx

yxyxyxy+=−−−−−+−−−−uuruuruuruuur化简得22221372333333623PAPBPAPCxxyyxy+=++−=++−−uuruuruuruuur，故2PAPBPAPC+uuruuruuruu

ur的最小值为－73，当且仅当1632xy=−=时取到等号.21.记项数为10且每一项均为正整数有穷数列{na}所构成的集合为A，若对于任意p、()1,10qpqN、，当pqA+时都有pqaaA+

，则称集合A为“子列封闭集合”．的（1）若()110,nannnN=，判断集合A是否为“子列封闭集合”，并说明理由；（2）若数列{na}的最大项为10a，且11,20A，证明：集合A不为“子列封闭集合”；（3）若数列{na}严格增，1022a=且集合A为“子列封闭

集合”，求数列{na}的通项公式．【答案】（1）集合A为“子列封闭集合”，理由见解析（2）证明见解析（3）,1922,10nnnan==或,1821,922,10nnnann===【解析】【分析】（1）按照定义直接判断；（2）

利用反证法证明集合A不为“子列封闭集合”．（3）先判断出11,2222A=或{21，22}，分类讨论：①11,2222A=，由题意求出,1922,10nnnan==；②11,2221,22A=，求出,1821,922,10nnn

ann===，即可得到答案.【小问1详解】对于任意p，()1,10,qpqN，当pqA+时，pqaapqA+=+，故集合A为“子列封闭集合”；【小问2详解】假设集合A为“子列封闭集合”，11,20A，故存在正整数()110,kkkN使得11

,20kaN，易知101,10kaN−，由于()1010kkaaA+−=，故1010kaaaA−+，显然101010kaaaa−+，这与10a为集合A中的最大元素矛盾，故集合A不为“子列封闭集合”．小问3详解】根据（2）中证明可知，集合A为“子列

封闭集合”，则11,20A=，由于数列na严格增，1022a=，故11,2222A=或{21，22}，①11,2222A=，则1234567891011022aaaaaaaaaa=，假设910a=，此时11,21A=，由于9

1910aA+==，故19aaA+，由于1911,12aa+，这与11,21A=矛盾；【故99a，又由于99a，故99a=，此时,1922,10nnnan==，经检验符合题意；②11,2221,22A=，则12345678910

1102122aaaaaaaaaa==，假设810a=，此时11,20A=，由于928aA+=，故28aaA+，由于2812,14aa+，这与11,20A=矛盾；假设89a=，此时10,20A=，

由于928aA+=，故28aaA+，由于2811,12aa+，这与10,20A=矛盾；故88a，又由于88a，故88a=，此时,1821,922,10nnnann===，经检验符合题意；综上所述，,1922,1

0nnnan==或,1821,922,10nnnann===．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com