【文档说明】湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含答案.docx，共(20)页，956.515 KB，由小赞的店铺上传

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湖南师大附中2022—2023学年度高二第二学期期中考试数学时量：120分钟满分：150分命题人：彭如倩李玲审题人：徐凡训得分：___________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合{2,0,1,2},{21}ABxxx=−=−或，则()RAB=ð（）A．{2}−B．{1}C．{2,0,1}−D．{0,1,2}2．设xR，则“112x−”是“3x”的（）A．充分而不必要条件B．必

要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若函数||(01)xyaaa=且的值域为[1,)+，则函数log||ayx=的大致图象是（）A．B．C．D．4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中

，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122mLmL=，其中1

2,mm分别为左右盘中物体质量，12,LL分别为左右横梁臂长．（）A．等于10gB．小于10gC．大于10gD．不确定5．天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等M与其

口径D（即物镜的直径，单位：mm）近似满足关系式1.85lgMD=+，例如：50mm口径的望远镜的极限星等约为10.3．则200mm口径的望远镜的极限星等约为（）A．12.8B．13.3C．13.8D．14.36．2023年3

月，某校A，B，C，D，E，F六名同学参加了中学生地球科学奥林匹克竞赛，均在比赛中取得优异成绩，现这6名同学和他们的主教练共7人站成一排合影留念，则主教练和A站在两端，B、C相邻，B、D不相邻的排法种数为（）A．36B．48C．56D．727．已知3152223l

og2,ln0,3logxxxxx−=+==，则（）A．123xxxB．213xxxC．132xxxD．231xxx8．记,,max{,},,ppqpqqqp=设函数221()max

e1,2xfxxmx−=−−+−，若函数()fx恰有三个零点，则实数m的取值范围的是（）A．(2,2)−B．9(,2)2,4−−C．99,2,44−−D．(,2)(2,)−−+二、选择题（本大题共4小题，每小题5

分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．若110ab，则下列不等式正确的是（）A．11abab+B．||0ab+C．11abab−−D．22lnlnab10

．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数1234nAaaaaa=，其中(1,2,3,,){0,1}iain=，若在A的各数位上出现0和1的概率均为12且相互独立，记123nXaaaa=++++，则当程序运行一次时（）A．1

(0)2nPX==B．()()()0,PXkPXnkknk===−NC．X的数学期望()2EXn=D．X的方差2()4nDX=11．红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调

配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（）A．事件A与事件C是独立事件B．事件A与事件B

是互斥事件C．1()4PCA=D．()()PBPC=12．对于定义在区间D上的函数()fx，若满足：12,xxD且12xx，都有()()12fxfx，则称函数()fx为区间D上的“非减函数”．若()fx为区间[0,2]上的“非减函数”，且

(2)2f=，()(2)2fxfx+−=，又当3,22x时，()2(1)fxx−恒成立，下列命题中正确的有（）A．(1)1f=B．()003,2,12xfxC．12257443184ffff+++=

D．10,,(())()22xffxfx−+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知0,0,39xyxyxy++=，则3xy+的最小值为_____________．14．已知函数()22log2yxkxk=

−+的值域为R，则k的取值范围是____________．15．已知5234560123456(1)xaaxaxaxaxaxax+=++++++，则2345aaaa+++=___________．（用数字作答）16．若对于任意实数x及13t，均有()2221

1()8xtxat++++，则实数a的取值范围是_____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知关于x的函数()2()42xxfx=−+，其中R．（1）当12=时，求()

fx的值域；（2）若当(,2]x−时，函数()fx的图象总在直线2y=−的上方，为整数，求的值．18．（本小题满分12分）已知函数2()(1)2fxaxaxa=+−+−．（1）若不等式()2fx−对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范

围；（2）若0a，解关于x的不等式()1fxa−．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，E，F分别是棱11,ABBC的中点，2ACB=．（1）证明：EFBC⊥；（2）若2,4ACBC==，平面1AEF与平

面ABC所成锐二面角的余弦值为13，求直线EF与平面ABC所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算

白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345云计算市场规模y/亿元692962133420913229经计算得：()5552111ln36.33,ln

112.85,55iiiiiiiyxyx======．（1）根据以上数据，建立y关于x的回归方程ˆˆˆebxay+=（e为自然对数的底数）；（2）云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差4~0,Nm，其中

m为单件产品的成本（单位：元），且(11)0.6827P−=；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差10,Nm，若保持单件产品的成本不变，则(11)P−将会变成多少？若保

持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归直线ˆˆˆyx=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,niiiniixynxyyxxnx==−==−−．若()

2,XN，则(||)0.6827,(||2)0.9545,(||3)0.9973PXPXPX−=−=−=．21．（本小题满分12分）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成

为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：（1）“自由式滑雪”参与

人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；（2）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式滑雪”

超过40人的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30人的概率；（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动

作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为13，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？22．（本小题满分12分）已知函数1()lg

1xfxx−=+，函数()2(0,1)xgxaaa=−．函数13()(0)13xxmhxmm−=+．（1）求不等式(())(lg2)0ffxf+的解集；（2）若存在12,[0,1)xx，使得()()12fxg

x=成立，求实数a的取值范围；（3）定义在I上的函数()Fx，如果满足：对任意xI，存在常数0M，都有()MFxM−成立，则称函数()Fx是I上的有界函数，其中M称为函数()Fx在I的上界．讨论函数()hx在(0,1)x上是否存在上界？若存在，求

出M的取值范围；若不存在，请说明理由．湖南师大附中2022—2023学年度高二第二学期期中考试数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

．）题号12345678答案CBACBDAB1．C【解析】由{21}Bxxx=−或得：{21}RBxx=−ð，而{2,0,1,2}A=−，所以(){2,0,1}RAB=−ð．故选：C．2．B【解析】由112x−可得131022xxx−−=−−，即302xx−−，可等价变形

为：(2)(3)0xx−−，即3x或2x，显然“3x或2x”是“3x”的必要不充分条件．故选：B．3．A【解析】∵||0x，且||xya=的值域为[1,)+，∴1a，当0x时，log||logaayx

x==在(0,)+上是增函数．又函数log||ayx=的图象关于y轴对称，所以log||ayx=的大致图象应为选项A．故选：A．4．C【解析】设天平左臂长1x，右臂长2x，且12xx，设天平右盘有1a克黄金，天平左盘有2a克黄金，所以1121225,5,xaxxax=

=所以1212121212212121555555,,210xxxxxxaaaaxxxxxx==+=+=．故选：C．5．B【解析】由题意1.85lg5010.3+，∴10.31.8lg501lg51.75−=+=，∴lg50.7．∴10001.85lg20

01.85lg1.85(3lg5)13.35+=+=+−．故选：B．6．D【解析】分2步进行分析：①主教练和A站在两端，有22A2=种情况；②中间5人分2种情况讨论：若B、C相邻且与D相邻，有2323AA12=种安排方法；若B、C相邻且不与D相邻，有222223AAA24=种安排

方法，则中间5人有122436+=种安排方法，则共有23672=种不同的安排方法．故选：D．7．A【解析】1551log2log52x==；设()lnfxxx=+，因为函数()fx在(0,)+上递增，1

1111lnlnelnlne22222f=+=+==eln04，(1)1f=，即1(1)02ff，由零点存在定理可知2112x；设函数21()log3xhxx=−，易知()hx在(0,)+上递减，11(1),(2)103

9hh==−，即(2)(1)0hh，由零点存在定理可知312x．即123112xxx．故选：A．8．B【解析】设221()e1,()2xgxhxxmx−=−=−+−，则函数()gx在(,)−+上递增，且(2)0g=，且函数()hx至多有两个零

点，当2x时，()0gx，若函数()fx在(2,)+上有零点，则()hx在(2,)+上有零点，不妨设零，点为0x，则02x，此时()()000gxhx=，则()()()()0000max,0fxgxhxgx==，与题意矛盾，故函数()fx在(2,

)+上无零点．二次函数()hx图象对称销为直线2mx=，函数()hx在(,2)−上有两个零点，所以22,2Δ20,9(2)20,2mmhm=−=−解得9(,2)2,4m−−故选：B．二、选择题（本大

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）题号9101112答案ACABCBDACD9．AC【解析】由110ab，可知0ba．A中，因为0,0abab+．所以110,0abab+．

则11abab+，故A正确；B中，因为0ba，所以0ba−−．故||ba−，即||0ab+，故B错误；C中，因为0ba，又110ab，则110ab−−，所以11abab−−，故C正确；D中，因为0ba，根据2yx=在(,0)

−上单调递减，可得220ba，而lnyx=在定义域(0,)+上单调递增，所以22lnlnba，故D错误．故选：AC．10．ABC【解析】由题意可得，每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，因此001111

,,(0)C12222nnnXBnPX==−=，故A正确；由于1111()C1C1()2222knknkkknknnPXkPXnk−−−==−=−==−，故B正确；∵1,2XBn

，∴111(),()122224nnEXnDXn===−=，故C正确，D错误．故选：ABC．11．BD【解析】根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则事件A发生事

件C必定不发生，∴()0,()0,()0PACPAPC=，故A，C不是独立事件，是互斥事件，故()0PCA=，故A，C错误；若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和

调出绿色不同时发生，故A，B为互斥事件，故B正确；若B事件发生，112226CC4()C15PB==，若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色，甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色，甲取1瓶红色1瓶蓝色，则21111111222242222264CCCCCCCC4()CC15PC++==，

故D正确．故选：BD．12．ACD【解析】A．因为()(2)2fxfx+−=，所以令1x=得(1)(21)2ff+−=，所以(1)1f=，A符合题意；B．由当3,2,()2(1)2xfxx−恒成立，令32x=，则312f

，由()fx为区间[0,2]上的“非减函数”，则3(1)12ff=，所以312f=，则33,2,()122xfxf=，B不符合题意；C．1313,,()2222xffxf，而13222f

f+=，所以131,()122fffx===，由17244ff+=，又22513,,31822，则2251318ff==

，则12257443184ffff+++=，C符合题意；当10,2x时，1(0)0,1,()[0,1]2fffx==，令()[0,1]tfx=

，则()[0,1],2[1,2]ftt−+，则()2ftt−+，即(())()2ffxfx−+，D符合题意．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．6【解析】由已知得211

39(3)3332xyxyxyxy+−+==，当且仅当3xy=，即3,1xy==时取等号．即2(3)12(3)1080xyxy+++−，令3xyt+=，则0t且2121080tt+−

，得6t，即3xy+的最小值为6．14．(,0][1,)−+【解析】因为函数()22log2yxkxk=−+的值域为R，所以2Δ440kk=−，解不等式得0k或1k．15．34【解析】令0x=，得01a=−；令1x=，得50123456232aaaaa

aa++++++==；二项式5(1)x+的通项公式为55155C1CrrrrrrTxx−−+==，则0465152C2,21(1)C3aa===+−=−，所以2345322(3)(1)34aaaa+++=−−−−−=．16．333,,22−+

【解析】由本不等式，()()2222221()1()xtxatxtxat++++=+++−−()()22221122xtxattat++−−+−=，故只需要()221128tat+−即可，即对于任意的()22113,14ttat+−恒成立，等价于对任意的2113,1

2ttat−+，或2112tat−+−．当2112tat−+时，由于13t，原式可变形为12att+，记12ytt=+，求导可知函数12ytt=+在20,2上递减，在2,2+上递增．于是12ytt=+在[1

,3]上递增，此时min13122ay=+=；当2112tat−+−时，由于13t，原式可变形为32att+，记32ytt=+，根据对勾函数性质32ytt=+在60,2上递减，在6,2+上递增，于是32ytt=+在61,2上递减在6,32

上递增，当51,2ty==，333,2ty==，注意到33522，故当13t时，max332y=，故332a．综上，333,,22a−+．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文

字说明、证明过程及演算步骤．）17．【解析】（1）当12=时，1()424xxfx=+，令20xt=，则2211(2)144yttt=+=+−在(0,)+上单调觉增，所以()fx的值域为(0,)+．（2）由题可知，()2fx−在(,2]x−上恒成立．22221442xxx

x−−−=−+，又2142xxy=−+在(,2]−上单调递增．所以max2213428xxxy==−+=−，因此238−−，解得21021044−+，又为整数，所以0=或1．18．【解析】（1）,()2xfx−R恒成立等价于2,(

1)0xaxaxa+−+R，当0a=时，0x，对一切实数x不恒成立，则0a，当0a时，2(1)yaxaxa=+−+开口向下，0y对xR不恒成立．所以此时必有220,Δ(1)40,aaa=−−

解得13a，所以实数a的取值范围是1,3+．（2）依题意，因为0a，则21()1(1)10(1)0fxaaxaxxxa−+−−+−，当1a=−时，11a−=，解得1x；当10a−时，1

1a−，解得1x或1xa−；当1a−时，101a−，解得1xa−或1x，所以，当1a=−时，原不等式的解集为{1}xx；当10a−时，原不等式的解集为11xxxa−或；当1a−时，原不等式的解集为11xxxa−或．19．【解析】（

1）取BC的中点D，连接,DEDF，因为D，E分别为,BCBA的中点，所以DEAC∥，又因为2ACB=，所以BCDE⊥，因为D，F分别为11,BCBC的中点，所以1DFCC∥，又因为111ABCABC−为直三棱柱，所以1CCBC⊥，所以BCDF⊥，因为,DEDFDDE

=平面,DEFDF平面DEF，所以BC⊥平面DEF，因为EF平面DEF，所以EFBC⊥．（2）设1(0)AAaa=，以C为原点，1,,CACBCC分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，因为2,4AC

BC==，则1(1,2,0),(2,0,),(0,2,)EAaFa，11(1,2,),(2,2,0)AEaAF=−−=−，设平面1AEF的一个法向量(,,)nxyz=，则110,0,AEnAFn==即20,220,xyazxy−+−=−+=取(,,1)n

aa=，1(0,0,)CCa=为平面ABC的一个法向量，平面ABC与平面1AEF所成锐二面角的余弦值为13，所以11211cos,3||21nCCanCCnCCaa===+，解得2a=，由（1）知FED即直线EF与平面ABC所成的角，2222125EFDFDE=+=+=，25sin5DF

FEDEF==，所以直线EF与平面ABC所成的角的正弦值为255．20．【解析】（1）由ˆˆˆebxay+=，得ˆnˆlˆybxa=+，令ˆnˆlzy=，即ˆˆˆzbxa=+，最小三东法公式得：5152215ˆ5iiiiixzxzbxx==−=−，∵()555211112

3451112.85,3,5536.33,5555iiiiiiixzxzzx===++++======，∴2112.85336.33ˆ0.3865553b−==−，∴1ˆˆ36.330.38636.1085azbx=−=−=，则ln0

.38.1ˆ6608yx=+，故y关于x的回归方程为0.3866.108ˆexy+=．（2）∵40,Nm，所以440,,|0|(11)0.6827PPmm==−=−=

，∴41m=，解得4m=，引入云计算后，10,Nm，所以10,m==，若保持单件产品的成本不变，则1114,0,,442mN===，∴1(11)|0|20.95454PP

−=−=，若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则11m=，∴1m=，即单件产品降价413−=元．21．【解析】（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校有4所，则X的可能取值为0，1，2，3

．03122134646464333310101010CCCCCC113C1(0),(1),(2),(3)C6C2C10C30PXPXPXPX============．所以X的分布列为：X0123P1612310130所以11316()01236210305EX=+++=．（2）由

题可知，参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为C、G，参与“自由式滑雪”的人数超过40人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为D、I，参与“自由式滑雪”的人数不超过40

人，且参加“单板滑雪”的人数超过30人的学校为A、B、E、H，参与“自由式滑雪”的人数不超过40人，且参加“单板滑雪”的人数不超过30人的学校为F、J，设事件A为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘自由式滑雪？的人数超过

40人”．事件B为“从这10所学校中抽3所学校恰有一个参与‘单板滑雪’的人数超过30人”．则1246310CC1()C2PA==．若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人为同一个

学校，则有1222CC2=种情况，若“自由式滑雪”的人数超过40人和“单板滑雪”人数超过30人非同一个学校，则有111242CC16C=种情况，3102163()C20PAB+==，所以()3()()10PABPBAPA==．（3）由题意可得小明同学在一轮测试中为“优秀”的概率为：2

323331117133327PCC=−+=．所以小明在n轮测试中获得“优秀”的次数Y满足7,27YBn，由7()327EYn=，得8111.67n．所以理论上至少要进行12轮测试．22．【解析】函

数1()lg1xfxx−=+，由101xx−+，可得11x−，1()lg()1xfxfxx+−==−−．即()fx为奇函数，且01x时2()lg11fxx=−++递减，可得()fx在(1,1)−递减，且()fx的值域为R，不等式(())(lg2)0ffxf+

，即为(())(lg2)(lg2)ffxff−=−，则1()lg2fx−−，即111lglg12xx−−+，即为1111012xx−+，解得19311x，则原不等式的解集为19,311．（2）函数()2(0,1)xgxaaa=−，若存在12,[0,1)xx，使得

()()12fxgx=成立，当101,()lg1xxfxx−=+的值域为(,0]−，当1a时，()gx在[0,1)递减，可得()gx的值域为(2,1]a−，由题意可得()fx和()gx的值域需要存在交集，即有20a−，即2a；若01a，则()gx在[0,1)递增，可得()gx的值

域为[1,2)a−，可得()fx和()gx的值域不存在交集，故不符合题意．综上可得a的范围是(2,)+．（3）132()1(0)1313xxxmhxmmm−==−+++，（ⅰ）当0,131xmm+，则()hx在(0,1)上单调递减，∴131()131mmhxmm−−

++，①若113113mmmm−−++，即30,3m时，存在上界1,,1mMMm−++，②若113113mmmm−−++，即3,3m+时，存在上界31,,13mMMm−++；

（ⅱ）当0m时，①若103m−时，()hx在(0,1)上单调递增，113(),113mmhxmm−−++，存在上界13,,13mMMm−++；②若13m=−时，2()11133xhx=−+−

在(0,1)上单调递增，()(2,)hx+，故不存在上界；③若113m−−时，()hx在310,logm−上单调递增，在31log,1m−上单调递增，131(),,131mmhxmm−−

−+++，故不存在上界；④若21,()113xmhx=−=−+−，在(0,1)上单调递增，()(,2)hx−−，故不存在上界；⑤若1,()mhx−在(0,1)上单调递增，113(),113mmhxmm−−

++，而13013mm−+，故存在上界1,,1mMMm−++．综上所述，当1m−时，存在上界1,,1mMMm−++，当113m−−时，不存在上界，当103m−时，存

在上界13,,13mMMm−++，当30,3m时，存在上界1,,1mMMm−++，当3,3m+时，存在上界31,,13mMMm−++．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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