【文档说明】四川省树德中学2022届高三下学期开学考试数学（理）试题 PDF版含解析.pdf，共(5)页，960.854 KB，由管理员店铺上传

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高三数学（理科）开学考第1页共2页高2019级高三下开学考试数学（理科）试题命题人：叶强审题人：陈秀丽、杨世卿、胡蓉一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2(1i)i1azaR在复平面上对应的点在直线0xy

上，则a（）A．2B．2C．3D．32．已知向量(2,1),(,4)ABACa，若ABAC，则||BC（）A．2B．5C．25D．53．集合2sin0,450PxxQxxxN，则PQ（）A．15xxB．0xxC．

{0,1,2,3,4}D．{1,2,3}．4．航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式00ln1MvVm.其中，0V是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，0m是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射

完之后达到的速度.已知02km/sV，则当火箭的最大速度v可达到10km/s时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A．5eB．5e1C．6eD．6e15．在等比数列

na中，已知5113aa，3134aa，则166aa的值为（）A．3B．9C．3或13D．9或196．已知双曲线22221(0,0)xyabab的渐近线均和圆22:650Cxyx相切，且双曲线的右焦点为圆C的

圆心，则该双曲线的方程为（）A．22172xyB．2262511xyC．22154xyD．22145xy7．函数1222xfxexx的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知函数()tan()(0,0,||)2fxAxA

的部分图象如图所示，下列关于函数()cos()()gxAxxR的表述正确的是（）A．函数()gx的图象关于点(,0)4对称B．函数()gx在3[,]88上递减C．函数()gx的

图象关于直线8x对称D．函数()cos2hxx的图象上所有点向左平移4个单位得到函数()gx的图象9．如图，在三棱锥ABCD的平面展开图中，四边形BCED是菱形，2BC，2BF，则三棱锥ABCD外接

球的表面积为（）A．43B．2C．4D．810．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现A，B两位同学各有3张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡

片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若A，B一局各自赢的概率都是13，平局的概率为13，各局输赢互不影响，则恰好5局时游戏终止的概率是（）A．19B．227C．281D．48111．已知数列na的首项11a，且满足*11()(N)2nnnaan，则存在正整数n，

使得10nnaa成立的实数组成的集合为（）A．122，B．213，C．112，D．2536，12．设IM表示函数2()42fxxx在闭区间I上的最大值．若正实数．．．a满足[0

,][,2]2aaaMM，则正实数a的取值范围是（）A．123,2B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分13．若二项式*1nxnxN的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是.14．已知实数x，

y满足29yx，则31ytx的取值范围是______．23,12,2323,4高三数学（理科）开学考第2页共2页15．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，

且点C位于第一象限，点B的坐标为125,1313，AOC.若1BC，则233cossincos2222的值为________．16．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一

部分，杯口宽42cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为236cm的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位

：cm)．三、解答题：共70分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或者演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．（12分）如图，已

知平面四边形ABCD中，1ABCD．（1）若2AD，4ADB，求ABD△的面积；（2）若BCt，2ADt，4CA，求t的最大值．18．（12分）如图，在正四棱锥PABCD中，22PAAB，

EF､分别为PBPD､的中点，平面AEF与棱PC的交点为G.（1）求平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的正切值的大小；（2）求的值.19．（12分）2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，指出要加快形成绿色发展方式和生活方式，建设生态文明

和美丽地球．中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和．某企业为了响应中央号召，准备在企业周边区域内通过植树造林实现减碳，从某育苗基地随机采购了120株银

杏树树苗进行栽种，测量树苗的高度，得到如下频率分布直方图，已知不同高度区间内树苗的售价区间如下表．树苗高度（cm）120,140140,160160,180树苗售价（元/株）468（1）现从120株树苗中，按售价分层抽样抽取8株，再从中任选三株，求售价之

和高于16元的概率；（2）已知该育苗基地银杏树树苗高度服从正态分布2,N，并用该企业采购的120株树苗作样本，来估计总体期望和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），且2185s．①从该育

苗基地银杏树树苗中任选5株，记树苗高度超过150cm的株数为，求随机变量的分布列和期望．②若该育苗基地共有5000株银杏树树苗，并将树苗的高度从高到低进行排列，请估计第114株树苗的高度。参考数据：若2~,XN，0.6826PX

，220.9544PX，18513.6．20．已知aR，设函数lnlnfxaxax．（1）讨论函数fx的单调性；（2）若恒成立，求实数a的取值范围

．21．（12分）如图，已知点2,2P是焦点为F的抛物线2:20Cypxp上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为1kk．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）证明：直线A

B的斜率为定值，并求焦点F到直线AB的距离d（用k表示）；（Ⅲ）在ABF中，记FAB，FBA，求sinsin的最大值．（二）选考题：共10分.请在考生第22，23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题

计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为3cos3sin3xy（为参数），直线l的参数方程为cossinxtyt（t为参数，0＜）.以坐标原点为极点，x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于A，B两点，若2OAOB，求直线l的斜率.选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f(x)＝11++22xx，

M为不等式f(x)<2的解集．（1）求M；（2）证明：当,abM时，|||1|abab.CGPC2ln1xaxfax高三数学（理科）开学考第3页共2页高2019级高三下开学考试数学（理科）试题答案一、选择题：D

DDACCBBCBCA二、填空题：13.84；14.32t或34t；15.513；16.6；10,2；三、解答题17.【详解】（1）由正弦定理可得sin2sin212ADBABDADAB∴,24ABDBAD∴1121sin1224

222ABDSABAD（2）,ABDCBD中，由余弦定理得：2212cosBDttC，221222cosBDttA，∴22cos2cos22cos2cos4tACAA

∴2sin24tA∴,42AC时，t的最大值是2．18.【解析】(1)连接EF，与OP相交于点Q，则Q为OP，EF的中点，因为EF､分别为PBPD､的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，因为BD平面ABCD，EF平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD，设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故EF∥l∥DB，连接QA，则因为AE=AF，所以AQ⊥EF，又因为OA⊥BD，故∠QAO即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其

中112OQOP，2AO，所以1tan2OQOAQAO，，即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的正切值为(2)延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，设GM=CM=x，则AM=4-x

，由第二问知：1tan2OAQ，所以12GMAM，即142xx，解得：43x，故42323CGGMPCOP19.【详解】（1）高度在120,140内的占比为0.0050.02100.25，高度在140,160内的占比为

0.030.02100.5，高度在160,180内的占比为0.0150.01100.25，从这120株树苗中，按售价分层抽取8株，其中2株4元，4株6元，2株8元，再从中任选三株，售价之和高于16元，可以为4,6

,8、6,6,6、6,6,8、4,8,8、6,8,8，故所求概率为11132112122424422242381928CCCCCCCCCCPC；（2）①1250.051350.21450.31550.21650.151750.1150cm

，，若从该育苗基地银杏树树苗中任选5株，高度超过150cm的概率为12，由题意可知15,2B，则5110232P,515151232PC，525152216PC，5351

53216PC，545154232PC，5115232P，所以，随机变量的分布列如下表所示：012345P132532516516532132随机变量的数学

期望为15522E.②，18513.6s，11410.0228122250002PXPX，所以，2177.2cm；20.【详解】（1）11axaafxxaxxxa，0x且xa，①0a

，0fx，fx单调递增：②1a，0fx，fx单调递减：③10a，01aaa，,1axaa时，0fx，fx单调递减；,1axa

时，0fx，fx单调递增．（2）2lnlnln1xfxaxaxaxa，即2lnln0axaaxa，令2lnlnhxaxaaxa，则232aa

xaahxaxaxa，令0hx，可得21axa，当1a时，0hx，则hx在0,单调递减，12高三数学（理科）开学考第4页共2页则只需满足0lnln0haaa，ln0a，解得01a，1a；当01a时，可得hx在210,

aa单调递增，在21,aa单调递减，则22max11ln1ln0ahxhaaaaaa，整理可得2ln0aaa，令2lnaaaa，则

121121aaaaaa，则可得a在10,2单调递增，在1,12单调递减，则max13ln2024a，故01a时，0hx恒成立，综上，01a.21.【详解】（Ⅰ）将点2,

2P代入抛物线方程可得：1p，抛物线2:2Cyx（Ⅱ）设:221PAykxk，与抛物线方程联立可得：22440kyyk，∴4422APAkkyyykk，用k代k可得：22Bkyk因此，

221222ABABABABABAByyyykyyxxyy即12ABk．（）由（Ⅰ）可知，12ABk，222122,kkAkk，222122,kkBkk

因此22222122122:202kkkAByxxykkk1,02F到直线AB的距离2222122254525kkkdk．（Ⅲ）11sins

in||||||||dddFAFBFAFB∵11||||||||||||FBFAFAFBFAFB3423211112524162422BABAABAB

ABxxxxkkkxxxxxx∴2234242254543216sinsin252416252416255kkkkkkkkk22244551616165542524516kkkkkkkk，令45tkk，由1k得1t∴

21616116125sinsin16165555216tttt当且仅当42264545tkkk时取等号．22.【详解】（1）∵曲线E的参数方程3cos3sin3xy（为参数），22(3

)3xy，即22660xyy，将222xy，siny代入，∴曲线E的极坐标方程为26sin60.∵直线l的参数方程为cossinxtyt（t为参数，0），∴直线l的极坐标方程为(,0)R（2）将直线l

的极坐标方程(,0)R代入曲线2:6sin60E得26sin60.236sin240，22sin3.设点1,A，2,B，由韦达定理得126sin，126，2OAOB，122，解得3sin2，满足0

，又0，3或23.∴直线l的斜率tan3k.23.【详解】（1）依题意，12,211()1,2212,2xxfxxxx，当12x时，由f(x)<2得：22x，解得1x

，则有112x，当1122x时，f(x)=1<2恒成立，则1122x，当12x时，由f(x)<2得：2x<2，解得1x，则有112x，综上得11x，所以{|11}Mxx.（2）由(1)知，当,ab

M时，11a，11b，则22222222111()()(1)()0ababababab，即22()(1)abab，所以|||1|abab.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com