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7.3.2离散型随机变量的方差A级必备知识基础练1.(多选题)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是()A.E(X)是反映随机变量的平均取值B.D(X)越小,说明X越集中于E(X)C.E(aX+b)=aE(X)+bD.D(aX+

b)=a2D(X)+b2.设0<a<1,已知随机变量X的分布列是X0a1P131313若D(X)=16,则a=()A.12B.13C.14D.153.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为X1(甲得分)012P0.20.50.3X2(乙

得分)012P0.30.30.4现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好()A.甲B.乙C.甲、乙均可D.无法确定4.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校

的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则()A.X的可能取值为0,1B.X服从两点分布C.E(X)=1D.D(X)=3165.(2022陕西西安模拟)已知随机变量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)=.ξ012Pa1-2a146.设随机变量X,Y满足Y=2X+b

(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)=,D(X)=.7.已知随机变量X的分布列为X01xP1213p若E(X)=23.(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.8.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互

独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.

B级关键能力提升练9.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值𝑥1+𝑥22,𝑥2+𝑥32,𝑥3+𝑥42,𝑥4+𝑥52,𝑥5+𝑥12的概率也均为0.2,若记D(X1)

,D(X2)分别为X1,X2的方差,则()A.D(X1)>D(X2)B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2)D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关10.已知X的分布列如表所示.X-101P121316有下列式子:①E(X)=-13;②D(X)=232

7;③P(X=0)=13.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.311.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则()A.抽取2次后停止取球的概率为35

B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为910C.取球次数ξ的均值为2D.取球次数ξ的方差为92012.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=.13

.已知随机变量ξ的所有可能取值为m,n,其中P(ξ=m)=P(ξ=n)=𝑚+𝑛2,则E(ξ)=,当D(ξ)取最小值时,mn=.14.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分、90分、100分的概率分

布大致如下表所示.甲:分数X8090100概率P0.20.60.2乙:分数Y8090100概率P0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平.C级学科素养创新练15.甲、乙、丙三人参加某比赛三个赛区的志愿服务活

动,若每人只能选择一个赛区,且选择其中任何一个赛区是等可能的.记X为三人选中的赛区个数,Y为三人没有选中的赛区个数,则()A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)B.E(X)=E(Y),D(X)≠D(Y)C

.E(X)≠E(Y),D(X)≠D(Y)D.E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y)7.3.2离散型随机变量的方差1.ABC离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,

说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确;由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误.2.A∵E(X)=0×13+a×13+1×13=1+𝑎3,∴D(X)=(1+𝑎3)2×13+(𝑎-1+𝑎3)2×13+(1-1+

𝑎3)2×13=127[(a+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=29(a2-a+1)=16,∴4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得a=12.3.A∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.1

2×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49,D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2).故甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好.4.ABD由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布.P(X=0)=12

×12=14,P(X=1)=12+12×12=34,∴E(X)=0×14+1×34=34,D(X)=916×14+116×34=316.5.2由题意可得a+1-2a+14=1,解得a=14,则随机变量ξ的分布列为ξ012P141

214所以E(ξ)=0×14+1×12+2×14=1,D(ξ)=14×(0-1)2+12×(1-1)2+14×(2-1)2=12,D(2ξ+1)=22D(ξ)=2.6.28随机变量X,Y满足Y=2X+b(

b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(Y)=2E(X)+b=4+b.所以E(X)=2.D(Y)=D(2X+b)=4D(X)=32,所以D(X)=8.7.解由12+13+p=1,得p=16.又E(X)=0×12+1×13+

16x=23,所以x=2.(1)D(X)=0-232×12+(1-23)2×13+(2-23)2×16=1527=59.(2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.8.解(1)由题意得,0.

5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.

1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得,E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(

8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(ξ)>E(η),D(ξ)

<D(η),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,故甲比乙的射击技术好.9.A由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2).10.CE(X)=(-1)×12+0×13+1×16=-13,故①正确.D(X)=(-1

+13)2×12+(0+13)2×13+(1+13)2×16=59,故②不正确.由分布列知③正确.11.BD设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=35,P(ξ=2)=25×34=310,P(ξ=3

)=25×14=110.对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=310,A选项错误;对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910,B选项正确;对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1×35+2×310+3×110=

32,C选项错误;对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=1-322×35+2-322×310+3-322×110=920,D选项正确.12.916由题意知X的可能取值有0,1,2,3,则P(X=0)=3343=2764,P(X=1)=C31×3243=2764,P(X=2

)=C32×343=964,P(X=3)=143=164.故E(X)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34,D(X)=(0-34)2×2764+(1-34)2×2764+(2-34)2×964+(3-34)2×164=916×2764+1

16×2764+2516×964+8116×164=916.13.1214由分布列的性质得𝑚+𝑛2+𝑚+𝑛2=1,即m+n=1,𝑚+𝑛2=12.所以E(ξ)=m·𝑚+𝑛2+n·𝑚+𝑛2=(𝑚+𝑛)

22=12,D(ξ)=m-122×12+n-122×12=m-122×12+1-m-122×12=m-122≥0,当且仅当m=n=12时等号成立,此时mn=14.14.解∵E(X)=80×0.2+90×0.6+100×0.2=90,D(X)=(8

0-90)2×0.2+(90-90)2×0.6+(100-90)2×0.2=40,E(Y)=80×0.4+90×0.2+100×0.4=90,D(Y)=(80-90)2×0.4+(90-90)2×0.2+(100-90)2×

0.4=80,∴E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),∴甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.15.D由题意得X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=C3133=19,P(X=2)=C32A3233=23,P(X=3)=A33

33=29,所以E(X)=1×19+2×23+3×29=199,D(X)=1-1992×19+2-1992×23+3-1992×29=2681;Y的可能取值为0,1,2,则P(Y=0)=A3333=29,P(

Y=1)=C32A3233=23,P(Y=2)=C3133=19,∴E(Y)=0×29+1×23+2×19=89,D(Y)=0-892×29+1-892×23+2-892×19=2681;∴E(X)≠E(Y),D(X)=D(Y).