【文档说明】浙江省杭州之江高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(16)页，819.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A．2πB．16πC．8πD．4π2．“2x2+x＝0”是“x＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要

不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．两圆x2+y2﹣6y＝0和x2+y2﹣8x+12＝0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．相离4．设A为圆x2+y2﹣2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|

PA|＝1，则P点的轨迹方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．y2＝2xC．（x﹣1）2+y2＝2D．y2＝﹣2x5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（）A．若a∥α，a∥β

，则α∥βB．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γC．若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥βD．若α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角

的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．抛物线y2＝2x上的点到直线距离的最小值是（）A．3B．C．D．9．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．

B．C．D．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将△ABD绕对角线BD旋转，令二面角A﹣BD﹣C的平面角为α，则在旋转过程中有（）A．∠EFK≤αB．∠EFK≥αC．∠EDK≤αD．∠EDK≥α二、

填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知双曲线﹣＝1，则该双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为．12．若直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0平行，则a＝，

两直线间的距离是．13．圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点到直线y＝x﹣1的最近距离为，最远距离为．14．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝，若，，共面，

则λ＝．15．已知圆x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线相切，则p＝．16．如图，三棱锥S﹣ABC中，若AC＝2，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为．17．已知一个圆经过直线l：2x+y+4＝0与圆C：

x2+y2+2x﹣4y＝0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为．三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（1，2）在抛物线C上．（1）求点F的坐标和

抛物线C的准线方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为M（3，﹣2），求△OAB的面积．19．如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．20．如图，

在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．21．设椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且S＝，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原

点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆上一点，＝1，求点P的坐标．22．已知两定点，，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．①求曲线E的轨迹方程；②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．参考答案一、选择题（共1

0小题，每小题4分，共40分）.1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为（）A．2πB．16πC．8πD．4π解：∵球的直径为2，∴该球的半径为1，可得该球的表面积为S＝4πR2＝4π×12＝4π．故选：D．2．“2x2+x＝0”是“x＝0”的（）A．充分不

必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x2+x＝0，解得：x＝0或x＝﹣2，故“x＝0或x＝﹣2“是“x＝0”的必要不充分条件，故“2x2+x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件，故选：B．3．两圆x2+y2﹣6y＝0和x2+y2﹣8x+12＝0的位置关系为（）A．相

交B．外切C．内切D．相离解：圆x2+y2﹣6y＝0的圆心（0，3）半径为3；x2+y2﹣8x+12＝0圆心（4，0）半径为2，圆心距为＝5，半径和为3+2＝5，两个圆的位置关系是外切．故选：B．4．设A为圆x2+y2﹣2x＝0上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是

（）A．（x﹣1）2+y2＝4B．y2＝2xC．（x﹣1）2+y2＝2D．y2＝﹣2x解：圆x2+y2﹣2x＝0可化为（x﹣1）2+y2＝1，由题意可得圆心C（1，0）到P点的距离为，所以点P在以（1，0）为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是（x﹣1）2+y2＝2．故选：C．5．

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为，高为2的圆柱的，挖去一个半径为的半球；故：V＝．故选：A．6．三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题

正确的是（）A．若a∥α，a∥β，则α∥βB．若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γC．若a⊂α，b⊂α，c⊂β，c⊥a，c⊥b，则α⊥βD．若α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，则a∥γ解：①在正方

体中可以判断，A命题不正确；②设作a′⊥γ，a′是过a直线上一点O的直线，∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，∴a′⊂α，a′⊂β，∴a′＝α∩β，∵α∩β＝a，而2个平面的交线只有一条，∴a与a′重合，故a⊥γ，故答案B是正确的命题．③当a∥b时，C命题不正确；④当α，β，γ两

两相交于同一条直线a时，也存在α∩β＝a，c⊂γ，c∥α，c∥β，这种情况，故D命题不正确，故选：B．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°解：分别以DA、DC、

DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，可得D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），∴＝（1，1，2），＝（﹣2，0，﹣2），∴cos＜，＞

＝＝＝∴异面直线DE与B1C所成角的余弦值为∴异面直线DE与B1C所成角的大小为：30°故选：B．8．抛物线y2＝2x上的点到直线距离的最小值是（）A．3B．C．D．解：因为点P在抛物线y2＝2x上，设，则点P到直线的距离∵y0∈R，

∴当时，．故选：C．9．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张

角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，所以P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c

2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，线段AD，BD，BC的中点分别为E，F，K，连接EF，FK．现将△ABD绕对角线BD旋转，令二面角A﹣BD﹣C的平面角为α，则在旋转过程中有（）A．∠EFK≤αB．∠EFK≥

αC．∠EDK≤αD．∠EDK≥α解：法一（考虑特殊位置）考虑初始位置，α＝180°，排除D；考虑重叠位置，α＝0°，排除AC，故选：B．法二（二面角最大原理）如图，θ＝∠E′FK＝π﹣∠E′FE，α＝∠E′HM＝π﹣∠E′HE，

在二面角A′﹣BD﹣A中，根据二面角最大角原理得，∠E′HE＞∠E′FE，故α≤θ．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11．已知双曲线﹣＝1，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为（±，0）．解：双曲线﹣＝1，

可得a＝2，b＝，c＝，则该双曲线的渐近线方程为：y＝±x．焦点坐标为：（±，0）．故答案为：y＝±x；（±，0）．12．若直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0平行，则a＝﹣6，两直线间的距离是．解：因为直线m：2x﹣4y﹣3＝0与n：3x+ay﹣12＝0

平行，所以，解得a＝﹣6，所以直线m：2x﹣4y﹣3＝0，直线n：3x﹣6y﹣12＝0，取直线n上一点P（4，0），则点P到直线m的距离为＝，所以两直线间的距离是．故答案为：﹣6；．13．圆x2+y2+4x﹣2y+4＝0上的点到直线y＝x﹣1的最近距离为，最远距离为．解：由题意可知，圆的方程

为x2+y2+4x﹣2y+4＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝1，圆心（﹣2，1）到直线y＝x﹣1的距离d＝，∴圆的点到直线的最近距离为d﹣r＝，最远的距离为．故答案为：，．14．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝﹣3，若，，共面，则λ＝．解：由题意

，可知：①⊥⇔2×7+（﹣1）×5+3λ＝0，解得λ＝﹣3．②，，共面⇔存在两个实数m、n，使得＝m+n，即，根据上面两个式子，可得．∴λ＝3×﹣2×＝．故答案为：﹣3，．15．已知圆x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线

相切，则p＝2．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x＝﹣，圆x2+y2﹣6x﹣7＝0，即（x﹣3）2+y2＝16，表示以（3，0）为圆心，半径等于4的圆．由题意得3+＝4，∴p＝2，故答案为2．16．如图，三棱锥S﹣ABC中，若AC＝2，SA＝

SB＝SC＝AB＝BC＝4，E为棱SC的中点，则直线AC与BE所成角的余弦值为．解：取SA的中点F，连接EF，BF，∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC＝2，SA＝SB＝AB＝BC＝SC＝4，∴BE＝BF＝2，EF＝，在等腰△BE

F中，cos∠BEF＝＝＝．故答案为：．17．已知一个圆经过直线l：2x+y+4＝0与圆C：x2+y2+2x﹣4y＝0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为x2+y2+x﹣y+＝0．解：可设圆的方程为x2+y2+2x﹣4y+λ（2x+y+4）＝0，即x2+y2+2（1+

λ）x+（λ﹣4）y+4λ＝0，此时圆心坐标为（﹣1﹣λ，），显然当圆心在直线2x+y+4＝0上时，圆的半径最小，从而面积最小，∴2（﹣1﹣λ）++4＝0，解得：λ＝，则所求圆的方程为：x2+y2+x﹣y+＝0．故答案为：x2+y2+x﹣y+＝0．三、解答题：本大题共5小题，满分74分

，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（1，2）在抛物线C上．（1）求点F的坐标和抛物线C的准线方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两个不同点，若AB的中点为M（3，﹣2），求△OAB的面积．解：（1）将点代入抛

物线得p＝2，则抛物线的方程为：y2＝4x，焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），，所以直线l的斜率为﹣1，直线l的方程为y＝﹣x+1，|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8，点O到直线l的距离，所以．19．如图

，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E是PC的中点，∴

OE∥PA，∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴直线PA∥平面EDB．解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，设PD＝DC＝a，则BD＝＝，

∴tan∠PBD＝＝＝．∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC．（1）求四棱锥A1﹣BCC1B1的体积；（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【解答】（本题满分12分）本

题共2小题，第（1）小题，第（2）小题．解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥BCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1﹣BCC1B1的高．…四棱锥A1﹣BCC1B1的体积为V＝×2×2×2＝…（2）如图

（图略），建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），…设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即＝（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量

是＝（x，y，z），＝（﹣2，2，﹣2），＝（﹣2，0，0）…∴＝﹣2x＝0，，令z＝1，解得x＝0，y＝1.＝（0，1，1），…设法向量与的夹角为β，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ＝|cosβ|＝，∴θ＝．二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为…21．设椭圆C：＝1（

a＞b＞0），F1，F2分别为左、右焦点，B为短轴的一个端点，且S＝，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为1，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是椭圆上一点，＝1，求点P的坐标．解：（1）由题意可得a﹣c＝1，，⇒⇒∴椭圆C的方程：．（2）设P（x0，y0），

由S，⇒h＝1，∴y0＝±1，代入椭圆方程可得．∴P（﹣，﹣1），（﹣），（，1），（，﹣1）．22．已知两定点，，点P是曲线E上任意一点，且满足条件．①求曲线E的轨迹方程；②若直线y＝kx﹣1与曲线E交于不同两点A，B两点，求k的范围．解

：①由双曲线的定义可知，曲线E是以，为焦点的双曲线的左支，且，a＝1，∴b＝＝1故曲线E的方程为：x2﹣y2＝1（x＜0）②设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有解得：