【文档说明】高中数学人教版必修5教案：2.1数列的概念与简单表示法 （系列三）含答案【高考】.doc，共(7)页，73.000 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1第一课时数列（二）教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同，会根据数列的递推公式写出数列的前n项；提高学生的推理能力，培养学生的应用意识.教学重点：1.数列的递推公式.2.根据数列的递推公式写出数列的前n项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：Ⅰ

.复习回顾上节课我们在学习函数的基础上学习了数列及有关概念，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容.数列的定义、项的定义、数列的表示形式、数列的通项公式及数列分类等等.Ⅱ.讲授新课我们为什么要学习有关数列的知识呢？那是因为在现实生活中，我们经常会遇到有关数列的问题，学

习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，让其为我们的生活更好地服务.也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活.下面，我们继续探讨有关数列的问题.首先，请同学们来看一幅钢管堆放示意图.

模型一：自上而下：第一层钢管数为4；即：14＝1＋3,第二层钢管数为5；即：25＝2＋3第三层钢管数为6；即：36＝3＋3,第四层钢管数为7；即：47＝4＋3第五层钢管数为8；即：58＝5＋3,第六层钢管数为9

；即：69＝6＋3第七层钢管数为10；即：710＝7＋3若用an表示自上而下每一层的钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数可构成一2数列，即：4，5，6，7，8，，9，10，且an＝n＋3(1≤n≤7，n∈N*)同学

们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.模型二：自上而下第一层钢管数为4；第二层钢管数为5＝4＋1；第三层钢管数为6＝5＋1；第四层钢管数为7＝6＋1；第五层钢管数为8＝7＋1；

第六层钢管数为9＝8＋1；第七层钢管数为10＝9＋1.即：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.若用an表示每一层的钢管数，则a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1；a4＝7＝6＋1＝a3＋1；a5＝8＝7＋1＝a4＋1；a6＝9

＝8＋1＝a5＋1；a7＝10＝9＋1＝a6＋1；即：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N*)对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他各项.看来，这一关系也较为重要.这一关系，咱们把它称为递推关系，表示这一关系的式子，咱们把之称为递推公式1.定义递推公式：如

果已知数列{an}的第1项(或前n项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项an与它的前一项

an－1（或前n项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.2.例题讲解［例1］已知数列{an}的第1项是1，以后的各项由公式an＝1＋1an－1给出，写出这个数列的前5项.分析：题中已给

出{an}的第1项即a1＝1，递推公式：an＝1＋1an－13解：据题意可知：a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1＋1a2＝32，a4＝1＋1a3＝53，a5＝85.［例2］已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝3an

－1＋an－2(n≥3)，试写出数列的前4项.解：由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝3a2＋a1＝7，a4＝3a3＋a2＝23Ⅲ.课堂练习写出下面数列{an}的前5项.1.a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)解法一：a1＝5；a2＝a1＋3＝8；a3＝a2＋3＝1

1；a4＝a3＋3＝14；a5＝a4＋3＝17.评析：由已知中的a1与递推公式an＝an－1＋3(n≥2)，依次递推出该数列的前5项，这是递推公式的最基本的应用.是否可利用该数列的递推公式而求得其通项公式呢？请同学们再仔细观察此递推公式.解法二：由an＝

an－1＋3(n≥2)，得an－an－1＝3则a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，a5－a4＝3，……，an－1－an－2＝3，an－an－1＝3将上述n－1个式子左右两边分别相加，便可得an－a1＝3(n－1)，即an＝3n＋2(n≥2)又由a1＝5满足上式，∴

an＝3n＋2(n≥1)为此数列的通项公式.2.a1＝2，an＝2an－1(n≥2)解法一：由a1＝2与an＝2an－1(n≥2)得：a1＝2，a2＝2a1＝4，a3＝2a2＝8，a4＝2a3＝16，a5＝2a4＝32.解法二：由an＝2an－1(n≥

2)，得anan－1＝2(n≥2)，且a1＝2则：a2a1＝2，a3a2＝2，a4a3＝2，……an－1an－2＝2，anan－1＝2若将上述n－1个式子左右两边分别相乘，便可得ana1＝2n－1即：a

n＝2n(n≥2)，又由a1＝2满足上式∴an＝2n(n≥1)为此数列的通项公式.∴a2＝22＝4，a3＝23＝8，a4＝24＝16，a5＝25＝32.3.a1＝1，an＝an－1＋1an－1(n≥2)4

解：由a1＝1，an＝an－1＋1an－1(n≥2),得a1＝1，a2＝a1＋1a1＝2,a3＝a2＋1a2＝52,a4＝a3＋1a3＝52＋25＝2910,a5＝a4＋1a4＝2910＋1029＝9

41290Ⅳ.课时小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两

项(或n项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他的项.Ⅴ.课后作业课本P32习题4，5，65数列(二)1．已知数列{an}

中，a1＝1，an+1＝2anan＋2(n∈N*),则a5等于（）A.25B.13C.23D.122．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的（）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中

，a100等于（）A.13B.100C.10D.144．在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an+2＝an+1－an(n∈N*)，则a1000等于（）A.5B.－5C.1D.－15．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋

1)an+12－nan2＋an+1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝.6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1

，an+1＝2anan＋2(n∈N*)67．若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)，写出{an}的前4项.8．若a1＝3，an＝an－1＋2an－1(n≥2)，bn＝1an，写出bn的前3项.数列(二)答案1．B2．B3．D4．A

5．解法一：已知等式可化为：(an+1＋an)·[（n＋1）an+1－nan]＝0∵an>0(n∈N*)，∴(n＋1)an+1－nan＝0即an+1＝nn＋1an①反复利用递推关系，得an＝n－1nan－1＝n－1nn－2n－1an－2＝n－1nn

－2n－1n－3n－2an－3[]＝…＝n－1nn－2n－1n－3n－2·…·12a1＝1na1＝1n[]解法二：前面同解法一.由①，得a2＝12a1＝12，a3＝23a2＝13，a4＝34a3＝14，…归纳，得an＝1n(n∈N*).评述：本题主要考查

递推公式.6．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a1＝0，an+1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an+1＝2anan＋2(n∈N*)解：（1）a1＝0；a2＝a1

＋1＝1；a3＝a2＋3＝4；a4＝a3＋5＝9；a5＝a4＋7＝16；a1＝02；a2＝12；a3＝22；a4＝32；a5＝42.可归纳出an＝(n－1)2.7(2)a1＝1，a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝

25，a5＝2a4a4＋2＝13，a1＝1＝22；a2＝23；a3＝12＝24；a4＝25；a5＝13＝26；由此可见：an＝2n＋1.评述：适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一.7．

若a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)，写出{an}的前4项.解：∵a1＝2，a2＝4，an＝log2(an－1·an－2)(n≥3)∴a3＝log2(a2·a1)＝log2(2×4)＝3，a4＝log2(a3·a2)＝log212＝2＋log23

.8．若a1＝3，an＝an－1＋2an－1(n≥2)，bn＝1an，写出bn的前3项.解：∵a1＝3，an＝an－1＋2an－1(n≥2)，∴a2＝a1＋2a1＝3＋23＝113.a3＝a2＋2a2＝113＋2113＝113＋611＝13933.∵bn＝1an,∴b1＝1a1

＝13，b2＝1a2＝311，b3＝1a3＝33139.