【文档说明】北京市中关村中学2021届高三下学期3月月考数学试题 PDF版含答案.pdf，共(15)页，557.465 KB，由小赞的店铺上传

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1北京市中关村中学2021届高三3月月考数学试题一、选择题;(共10小题,每小题4分,共40分)1.已知集合|lg3,|240,AxyxBxxx则AB=().|23Axx.|23Bx

x.|34Cxx.|34Dxx2.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是()3.Ayx.2xBy1.Cyx.||Dyxx3.已知复数(2)zii(i是虚数单位),则z的虚部为().2A.2B.1C.1D4.在61(2)xx的展开式中常数项是()

.160A.20B.20C.160D5.已知平面向量(3,1),4,ab且2,aba则ab().5A.4B.3C.2D6.从点P(m,3)向圆22222xy引切线，则切线长的最小值()A.

26B.5C.26D.237.数列na的前n项和记为nS,则“数列nS为等差数列"是"数列na为常数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条8.设抛物线C:220xpyp

的焦点为F,点P在C上,17||4PF,若以线段PF为直径的圆过点(1,0),则C的方程为()A.2x=y或2x=8yB.2x=2y或2x=8yC.2x=y或2x=16yD.2x=2y或2x=16y29.已知函数123sincos,0,fxxxfxfx且函数fx在

12,xx上具有单调性，则12||xx的最小值为().6A.3B2.3C4.3D10.关于函数21xfxxaxe,有以下三个结论:①函数恒有两个零点,且两个零点之积为-1;②函数的

极值点不可能是-1;③函数必有最小值.其中所有正确结论的编号是()A.①②③B.①②C.①③D.①二、填空题:(共5小题,每小题5分，共25分)11.某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的3倍，老、中、青职工共有440人，为了解职工身体状况，现

采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为__________.12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是__________.13.已知函数32,01ln3,0kxxfxxxkxx

，若fx恰有4个零点,则实数k的取值范围为____________.314.定义域为*|,112xxNx的函数fx满足|1|11,2,,11fxfxx且1

f,4f,12f成等比数列,若1f=1,12f=4,则满足条件的不同函数的个数为___________.15.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB边的中点,将ADE沿DE翻折,得到四棱

锥A1-DEBC.设线段A1C的中点为M,在翻折过程中,有下列三个命题:①总有BM//平面A1DE;②存在某个位置,使DE与A1C所成的角为90∘;③三棱锥C-A1DE的体积的最大值为4√23.其中正确的命题是_

__________.(写出所有正确命题的序号)4三、解答题:(共6小题,共85分).16.(本题13分)在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD.底面ABCD为梯形,AB//CD，ABAD，且AB=1,PA=AD=DC=2,PD=22.(I)求证:

ABPD;(Ⅱ)求二面角P-BC-D的余弦值;517.(本题13分)已知ABC中，cosc0.bA(I)ABC中是否必有一个角为钝角，说明理由；(II)若ABC同时满足下列四个条件中的三个：①2sin2A

;②3sin2C;③a=2;④c=2.请证明使得ABC存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出b的值.618.(本题13分)某企业发明了一种新产品，其质量指标值为70,100mm，其质量指标等级如下表：为了解该产品的经济效益

并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：(I)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的

概率；(II)若从质量指标值85m的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求90,95m的件数X的分布列及数学期望；(III)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表：

14t质量指标值m70,7575,8080,8585,9090,100利润y（元）6t8t4t2t53te试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大？（参考数值：ln20.7,ln51.6

）719.(本题15分)已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为21，过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，当直线l与x轴垂直时，3||AB(I)求椭圆C的标准方程；(II)当直线l与x轴不垂直时，在x轴上是否存在一点P（异于

点F），使x轴上任意点到直线PA、PB的距离均相等？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.820.(本题15分)已知函数321ln2fxxxaxaxaR.(I)当0a时，求fx的最值；(II)若312fxaxx恒成立，求实数a的取值范围；(

III)若函数fxgxx存在两个极值点1212,,xxxx求12g()()xgx的取值范围.921.(本题15分)已知集合12|,,,,0,1,1,2,,2,nniSXXxx

xxinn对于12,,,S,nnAaaa12,,,S,nnBbbb定义A与B的差为1122AB,,,;nnabababA与B之间的距离为1122,.nndAB

ababab(I)若(0,1),AB试写出所有可能的,AB；(II),,,nABCS①证明(,),dACBCdAB；②,B,,,,dAdACdBC三个数中是否一定有偶数？证明你的结论.(III)设,nPSP中有m(2,m且为奇数)个元素，即

P中所有两元素间距离的平均值为pd，证明：1.2pnmdm10答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.D7.B8.C9.B10.A二、填空题11.2812.1313．41,0e14.17615．①③三、解答题16.

（1）证明：因为平面ABCD平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD,AB平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD,又因为PD⊂平面PAD，所以ABPD.（2）6617.（1）因为cos0bAc，由

正弦定理可得sincossin0BAC，在ABC中，CAB，sinsinsincoscossinCABABAB，11所以不等式整理为sincoscossinsincosABABBA，即sincos0AB，因为0,A

，sin0A，所以cos0B，所以B为钝角.（2）（i）若满足①③④，则正弦定理得sinsinacAC，即22sin22C，所以1sin2C，又ac，所以AC，在三角形中，2sin2A所以4A或34，而由（I）可得4A，所

以可得6C，712B，所以222cos31bacacB.（ii）若满足①②，由（I）B为钝角，,AC为锐角，及2sin2A，3sin2C，可得4A，3C，所以512B不符合B为钝角，故①②不同时成立.（iii）若满足②③④，由B为钝角，3

sin2C，所以3C，而ac，所以AC，这时3B，B不符合为钝角的情况，所以这种情况不成立.综上所述：只有满足①③④时31b.18.（1）设事件A的概率为PA，则由频率分布直方图可得：121件产品为废品的

概率为0.040.0250.3P则33310.30.973PAC.（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，85,90m的频率为0.0850.4；90,95m的频率为0.0450.2；95,100m的频率

为0.0250.1.所以分层抽样抽取的7件产品中，85,90m的有4件，90,95m的有2件，95,100m的有1件，从这7件产品中任取3件产品，质量指标值90,95m的件数X的

所有可能取值为0,1,23537207CPXC;215237417CCPXC;125237127CCPXCX012P27471724160127777EX（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y的关

系如下表：14t质量指标值m70,7575,8080,8585,9090,100利润y（元）4t9t4t2t53teP0.050.10.150.40.3故每件产品的利润0.30.

80.60.80.514tyttttet,则2.50.5tye，令0y，则ln5t,1,ln5,0,ty函数递增，ln5,4,0,ty函数递减；ln5t时，函数y取得最大值，为ln52.5l

n50.51.5e,所以生产该产品能够盈利，当ln51.6t时，每件产品的利润取得最大值1.513元.19.（1）由题意得：22222132cbaacab，解得：1

,3,2cba，所以圆锥的标准方程13422yx.（2）若直线l的斜率不为零，可设直线l：)0(1mmyx，),(),,(1111yxByxA假设存在点P，设点)0,(0xP，由题设201

00,,1xxxxx且，设直线PBPA,的斜率分别为21,kk，则02220111,xxykxxyk，因为),(),,(1111yxByxA1myx上故111myx，111myx，而x轴上任意一点到直线PBPA,的距离均相等等价

于PF平分APB，即021kk，0))(())(1(202012102102201121xxxxyyxymyxxyxxykk联立113422myxyx消去x得096)43(22myym439,436221221

myymmyy))()(4(362402012021xxxxmmxmkk即)(04062400舍或mxmxm直线l的斜率为零时，)0,4(P也符合题意，故存在点)0,4(P而x

轴上任意一点到14直线PBPA,的距离均相等20.（1）由题意ln,1lnfxxxfxx，易知10,xe时，0fx，fx递减，1,xe时，0fx，

fx递增.fx有极小值1111lnfeeee，也是最小值，无最大值.（2）312fxaxx，2lnxxaxx，ln1xax.设ln1xxx，则2lnxxx，令0x，则1x

，0,1,0,xxx单调递增，1,,0,xxx单调递减max11x1a（3）由题意22111ln,2axaxgxxaxaxgxaxaxx

，gx在两个极值点12,xx，则12,xx是方程210axax的两个不等正根，2124010aaxxa121214,1,axxxxa221211122211

lnln22hagxgxxaxaxxaxax152121212121112ln2ln122xxaxxxxaxxaaaa1ln12aa显然是1ln12haaa

关于a的减函数，43ln4hah12gxgx的取值范围是,3ln4.21.)0,1(),1,1()1,1(),0,1()0,0(),1,0(),1,0(),0,0()1(BABABABA（2）令),,(21naaaA，),

(21nbbbB，),(21ncccC对ni3,2,1当0ic时有||||||||iiiiiibacbca当1ic时有|||)1(1|||||||iiiiiiiibabacbca所以),(||||

||),(2211BAdbababaCBCAdnn（3）),(),,(),,(,,,CBdCAdBAdSCBAn三个数中一定有偶数，理由如下：因为)()()(0)()()(iiiiiiiiiiiiaccbbaaccbba

且||||||iiiiiiaccbba奇偶性相同，所以||||||iiiiiiaccbba为偶数故),(),,(),,(CBdCAdBAd三个数不可能都是奇数，即),(),,()

,,(CBdCAdBAd三个数中一定有偶数