【文档说明】2025届高考数学一轮复习专练61 圆锥曲线中的定值问题.docx，共(8)页，105.811 KB，由小赞的店铺上传

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温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。六十一圆锥曲线中的定值问题(时间:45分钟分值:60分)1.(10分)(2024·咸阳模拟)已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,纵坐标为2的点N在C上,

以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,|DE|=2√3.(1)求抛物线C的方程;(2)过(-1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.【解析】(1)由题知,N点的横坐标为2𝑝,所以|NF|=𝑝2+2𝑝,|OF|=𝑝2,所以|NF|2=|

DF|2=|OF|2+(|𝐷𝐸|2)2,所以(𝑝2)2+(√3)2=(𝑝2+2𝑝)2,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知N(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my-1,代入y2=4x,整理得y2-4my+4=0,所以Δ=(

4m)2-4×4>0,即m2>1,所以y1+y2=4m,y1y2=4,所以kNA+kNB=𝑦1-2𝑥1-1+𝑦2-2𝑥2-1=𝑦1-2𝑚𝑦1-2+𝑦2-2𝑚𝑦2-2=2𝑚𝑦1𝑦2-2(1+𝑚)(𝑦1+𝑦2)+8𝑚2𝑦1𝑦2-2𝑚(𝑦1+𝑦2)+4=8𝑚

-2(1+𝑚)×4𝑚+84𝑚2-2𝑚×4𝑚+4=2.2.(10分)(2024·郑州模拟)在椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)中,其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ:x2+y2=a2+b2上,称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(1,√22),Q(-√62,1

2).(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M,作椭圆的一条切线,与蒙日圆交于另一点N,若kOM,kON存在,证明:kOM·kON为定值.【解析】(1)将P(1,√22),Q(-√62,12)代入到𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1中,可得{1𝑎2+24𝑏2=164𝑎2+1

4𝑏2=1,解得a2=2,b2=1,所以椭圆C的方程为𝑥22+y2=1.(2)由题意可知,蒙日圆方程为x2+y2=3.若直线MN斜率不存在,则直线MN的方程为x=√2或x=-√2.不妨取x=√2,易得M(√2,1),N(√2,-1),kOM=1√2=√22,kON=-1√2=-√2

2,所以kOM·kON=-12.若直线MN斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+t.联立{𝑦=𝑘𝑥+𝑡𝑥22+𝑦2=1,化简整理得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,据题意有Δ=16k2t2-4(4k2t2-4k2+2t2-2)=

0,于是有t2=2k2+1.设M(x1,y1)(x1≠0),N(x2,y2)(x2≠0).{𝑦=𝑘𝑥+𝑡𝑥2+𝑦2=3化简整理得(k2+1)x2+2ktx+t2-3=0,Δ1=4k2t2-4(k

2+1)(t2-3)=4(3k2-t2+3)=4(3k2+3-2k2-1)=4(k2+2)>0,x1+x2=-2𝑘𝑡𝑘2+1,x1x2=𝑡2-3𝑘2+1,则kOM·kON=𝑦1𝑦2𝑥1𝑥2=(𝑘𝑥1+𝑡)(𝑘�

�2+𝑡)𝑥1𝑥2=𝑘2𝑥1𝑥2+𝑘𝑡(𝑥1+𝑥2)+𝑡2𝑥1𝑥2=k2+-2𝑘2𝑡21+𝑘2+𝑡2𝑡2-31+𝑘2=k2+𝑡2-𝑘2𝑡2𝑡2-3=𝑘2𝑡2-3𝑘2+𝑡2-𝑘2𝑡2𝑡2-3=𝑡2-3

𝑘2𝑡2-3,因为t2=2k2+1,所以kOM·kON=2𝑘2+1-3𝑘22𝑘2+1-3=1-𝑘22𝑘2-2=-12.综上可知,kOM·kON为定值-12.3.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,

b>0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,A1,A2为其左、右顶点.(1)求C的方程;(2)设点P是直线l:x=2上的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.【解析】(1)依题意

{𝑏𝑎=342𝑐=10𝑐2=𝑎2+𝑏2⇒{𝑎=4𝑏=3⇒C:𝑥216-𝑦29=1.(2)如图:设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:y-y0=-𝑥0-4𝑦0(x-x0),即MN:y=-𝑥0-4𝑦0x+(𝑥

0-4)𝑥0+𝑦02𝑦0.(记k=-𝑥0-4𝑦0,m=(𝑥0-4)𝑥0+𝑦02𝑦0)代入9x2-16y2=9×16中得:(9-16k2)x2-32kmx-16(m2+9)=0.所以x1+x2=32𝑘𝑚9-16𝑘2,x1x2=-16(𝑚2+9)9-16�

�2.又因为直线A1M:y=𝑦1𝑥1+4(x+4),直线A2N:y=𝑦2𝑥2-4(x-4),联立得:-13=𝑦1𝑥1+4·𝑥2-4𝑦2=𝑦1𝑥1+4·(169)𝑦2𝑥2+4=169·(𝑘𝑥1+𝑚)(𝑘𝑥2+𝑚)

(𝑥1+4)(𝑥2+4)⇒(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0⇒(m2+9)(16k2+3)-8km(4km+3)+(m2+3)(16k2-9)=0⇒-24km-6m

2+16×12k2=0,即32k2-4km-m2=0⇒m=-8k或m=4k(舍),所以𝑥0-4𝑦0·8=(𝑥0-4)𝑥0+𝑦02𝑦0⇒(𝑥0-6)2+𝑦02=4,所以Q点轨迹为以(6,0)为圆心,2为半径的圆,所以R(6,0),|Q

R|=2.4.(10分)(2024·宁德模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆F1:(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圆F1上的一个动点,线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M.记点M的轨迹为曲线C.(1

)求曲线C的方程;(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点H,求证:|𝐴𝐵||𝐹2𝐻|为定值.【解析】(1)如图所示,连接MF2,根据题意,|MP

|=|MF2|,则||MF2|-|MF1||=||MP|-|MF1||=|PF1|=2<|F1F2|=4,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,设双曲线方程为𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1(a>0,

b>0),其中2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,故所求C的方程为x2-𝑦23=1.(2)设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),{𝑦=𝑘(𝑥-2)𝑥2-𝑦23=1,(3-k2)x2

+4k2x-4k2-3=0,Δ>0,所以x1+x2=4𝑘2𝑘2-3,x1x2=4𝑘2+3𝑘2-3,则y1+y2=k(x1+x2)-4k=4𝑘3𝑘2-3-4k=12𝑘𝑘2-3,所以AB中点为

Q(2𝑘2𝑘2-3,6𝑘𝑘2-3),当k=0时,Q(0,0),H(0,0),A(1,0),B(-1,0),此时|𝐴𝐵||𝐹2𝐻|=22=1;当k≠0时,则AB的垂直平分线的方程为y-6𝑘𝑘2-3=-1𝑘(x-2𝑘2𝑘2-3),令y=0得x=8�

�2𝑘2-3,即H(8𝑘2𝑘2-3,0),所以|F2H|=|2-8𝑘2𝑘2-3|=|6(1+𝑘2)𝑘2-3|,又|AB|=√1+𝑘2|x1-x2|=√1+𝑘2·√(4𝑘2𝑘2-3)2-4(4𝑘2+3𝑘2-3)=

6(1+𝑘2)|𝑘2-3|,于是得|𝐴𝐵||𝐹2𝐻|=6(1+𝑘2)|𝑘2-3||6(1+𝑘2)𝑘2-3|=1.综上可得,|𝐴𝐵||𝐹2𝐻|为定值1.5.(10分)(2023·潍坊模拟)已知双曲线C:𝑥2𝑎2-�

�2𝑏2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的右顶点A在圆O:x2+y2=3上,且𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-1.(1)求双曲线C的方程;(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐

近线分别交于点M,N,设O为坐标原点.求证:△OMN的面积为定值.【解析】(1)不妨设F1(-c,0),F2(c,0),因为A(a,0),从而𝐴𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-c-a,0),𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c-a,0),故由𝐴

𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a2-c2=-1,又因为a2+b2=c2,所以b=1,又因为A(a,0)在圆O:x2+y2=3上,所以a=√3,所以双曲线C的标准方程为𝑥23-y2=1.(2)设直线l与x轴交于D点,双曲线的渐近线方程

为y=±√33x,由于动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,当动直线l的斜率不存在时,l:x=±√3,|OD|=√3,|MN|=2,S△OMN=12×√3×2=√3.当动直线l的斜率存在时,且

斜率k≠±√33,不妨设直线l:y=kx+m,故由{𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥23-𝑦2=1消y得(1-3k2)x2-6mkx-3m2-3=0,依题意,1-3k2≠0且m≠0,Δ=(-6mk)2-4(1-3k2)(-3m2-3)=0,化简得3k2=m

2+1,故由{𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑦=√33𝑥⇒xM=𝑚√33-𝑘,同理可求,xN=-𝑚√33+𝑘,所以|MN|=√1+𝑘2|xM-xN|=2√3|𝑚|√𝑘2+1|1-3𝑘2|,又因为原点O到直线l:kx-y+m=0的距离d=|𝑚|√𝑘2+1,

所以S△OMN=12|MN|d=√3𝑚2|1-3𝑘2|,又因为3k2=m2+1,所以S△OMN=√3𝑚2|1-𝑚2-1|=√3𝑚2𝑚2=√3,故△OMN的面积是定值,定值为√3.6.(10分)(2024·大庆模拟)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1

(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C的方程;(2)已知经过定点P(1,1)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且与直线y=-34x相交于点Q,如果𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

,那么λ+μ是否为定值?若是,请求出具体数值;若不是,请说明理由.【解析】(1)由题意得{𝑏=√3𝑐𝑎=12𝑎2=𝑏2+𝑐2,解得a2=4,b2=3,故椭圆C的方程为𝑥24+𝑦23=1;(2)当直线l的斜率不存在时

,A(1,32),B(1,-32),Q(1,-34),P(1,1),则𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-94),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-12),𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-34),𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-52),此时𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=92𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=310𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗,λ+μ=92+310=245;当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1)+1,联立{𝑦=𝑘(𝑥-1)+1,𝑦=-34𝑥可得Q(4𝑘-44𝑘+3,3-3𝑘4𝑘+3),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立

{𝑦=𝑘(𝑥-1)+1,3𝑥2+4𝑦2=12可得(3+4k2)x2+(8k-8k2)x+4k2-8k-8=0,则x1+x2=8𝑘2-8𝑘3+4𝑘2,x1x2=4𝑘2-8𝑘-83+4𝑘2,因为𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=μ𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以λ=𝑥𝑄-𝑥11-𝑥1,μ=𝑥𝑄-𝑥21-𝑥2,所以λ+μ=𝑥𝑄(2-𝑥2-𝑥1)-(𝑥1+𝑥2)+2𝑥1𝑥21-(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2=𝑥𝑄(6+8𝑘)-8

𝑘-16-5=2(4𝑘-4)-8𝑘-16-5=245.