【文档说明】河南省开封市五县联考2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.474 MB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-开封市五县高二期中联考卷数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米

黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修2-2，选修2-3.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数13izi−+=−，则zz−=（）A.2B.4C.6D.8【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知复数，再由共轭复数概念表示，最后由复数的几何意义求复数的模长即可.【详解】因为21333iiiizii−++===−−−−

，则3zi=−+，所以()()3322zziii−=−−−−+=−=.故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，还考查了共轭复数的表示与求复数的模长，属于基础题.2.定积分()1214dxxx−−=（）A.0B.1−C.23−D.2−【答

案】C【解析】【分析】利用微积分基本定理求出即可．-2-【详解】()113221124d233xxxxx−−−=−=−.选C.【点睛】本题关键是求出被积函数的一个原函数．3.在用反证法证明“已知,,abcR，且3abc++，则,,abc中至少有

一个大于1”时，假设应为（）A.,,abc中至多有一个大于1B.,,abc全都小于1C.,,abc中至少有两个大于1D.,,abc均不大于1【答案】D【解析】【分析】直接利用反证法的定义得到答案.【详解】,,ab

c中至少有一个大于1的反面为,,abc均不大于1，故假设应为：,,abc均不大于1.故选：D.【点睛】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.4.以下成语的语境为合情推理的是（）A.坐井观天B.管

中窥豹C.开门见山D.一叶障目【答案】B【解析】【分析】由成语的意思结合合情推理的定义判定即可.【详解】A为眼光狭小，看到的有限；C意为说话写文章直截了当；D意为被局部或暂时的现象所迷惑，不认清事物的全貌或问题的本质；所以A，C，D都没有推理过程；B意为只见到事物的一部分，从观察

到的部分可以推测全貌，为从部分到全部的推理过程，属于归纳推理.故选：B-3-【点睛】本题考查合情推理的判定，属于基础题.5.已知曲线2xyxm=+过点()3,3−，则该曲线在1x=处的切线的方程是（）A.1122yx=−B.32yx=C

.yx=D.1122yx=+【答案】D【解析】【分析】由曲线上的一点坐标求得参数m，在有导数的几何意义求得切线的斜率，最后由直线的点斜式方程表示直线方程即可.【详解】因为曲线2xyxm=+过点()3,3−，所以633m−=−+，解得1m=，即21xyx=

+，所以()221yx=+，从而切线斜率为()1221211xky====+，所以过点()1,1的切线的方程为()1112yx−=−，即1122yx=+.故选：D【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线的方程，属于基础题.6.某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布()2

85,N，已知()1220.96PX=，现随机从这次考试的成绩中抽取100个样本，则成绩低于48分的样本个数大约为（）A.6B.4C.94D.96【答案】B【解析】【分析】由已知根据正态分布的特点，可得()1220.04PX=，根据对称性，则()480.04P

X=，乘以样本个数得答案．【详解】由题意，知()1220.96PX=，可得()1220.04PX=，又由对称轴为85x=，所以()480.04PX=，-4-所以成绩小于48分的样本个数为1000.044=个．故选B．【点睛】本题考查正态分布曲线的特

点及曲线所表示的意义，以及考查正态分布中两个量和的应用，其中熟记正态分布的对称性是解答的关键，属于基础题．7.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数是（）A.50B.52C.54D.56【答案】B【解析】【分析】特殊元素优先考虑，即优先

考虑个位数是0的情况，再考虑不是0的情况，最后将所有结果加起来即可.【详解】能被2整除的三位数是偶数，当个位数是0时，有25A种情形；当个位数是2或4时，其中最高位不能是0，则有111244CCC种情形，因此，能被2整除的三位数的个数是2111524

452ACCC+=种.故选：B【点睛】本题考查排列组合中的排数问题，属于基础题.8.大学生小徐、小杨、小蔡通过招聘会被教育局录取并分配到一中、二中、三中去任教,这三所学校每所学校分配一名老师,具体谁被分配到哪所学校还不清楚.他们三人任教的学科是语文、数学、英语,且每个

学科一名老师,现知道:(1)小徐没有被分配到一中;(2)小杨没有被分配到二中;(3)教英语的没有被分配到三中;(4)教语文的被分配到一中;(5)教语文的不是小杨.据此判断到三中任教的人和所任教的学科分别是()A.小徐语文B.小蔡数学C.小杨数学D.小蔡

语文【答案】C【解析】【详解】分析：逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.详解：小徐没有被分配到一中,教语文的被分配到一中，小杨不任教语文，所以只有小蔡被分-5-配到一

中任教语文，小杨没有被分配到二中，也没有被分配到一中，所以只能被分配到三中，且任教数学，故选C.点睛：本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的

融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.9.甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加《中国成语大全》的决赛,5人坐成一排,若甲与2名女同学都相邻,则不同坐法的总数为（）A.6B.12C.18D.24【答案】B【解析】

【分析】利用捆绑法以及排列的方法求解即可.【详解】把甲与2名女同学“捆绑”在一起与另外2名男同学全排列有33A种情形,再将2名女同学全排列有22A种情形,故满足条件的不同坐法的总数为323212AA=种.故选：B【点

睛】本题主要考查了捆绑法的运用以及排列的一般方法,属于基础题.10.若函数()321233fxxx=+−在区间(),3aa+内既存在最大值也存在最小值，则a的取值范围是（）A.()3,2−−B.()3,1−−C.()2,1−−D.()2

,0−【答案】A【解析】【分析】利用导数求出()fx在0x=处取得极小值()203f=−，在2x=−处取得极大值()223f−=，再根据2(0)3f=−且2(1)3f=，结合三次函数的图象列不等式组03132aa+−−可求得结果.【详解】由()22

(2)0fxxxxx=+=+=得2x=−或0x=，-6-可以判断()fx在0x=处取得极小值()203f=−，在2x=−处取得极大值()223f−=.令()23fx=−，得3x=−或0x=，令()23fx=，得2x=−或1x=，由题意知函数()f

x在开区间(),3aa+内的最大、最小值只能在2x=−和0x=处取得，结合函数()fx的图象可得：03132aa+−−，解得32a−−，故a的取值范围是()3,2−−.故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于

基础题.11.随机变量X的概率分布为2()(1,2,3)aPXnnnn===+，其中a是常数，则()DaX=（）A.3881B.608729C.152243D.5227【答案】B【解析】分析：由已知得1

2612aaa++=可得a值，在求出期望算方差即可.详解：因为随机变量X的概率分布为()()21,2,3aPXnnnn===+，故12612aaa++=得43a=，故E（X）=139,又()2()DaXaDX=，而-7-222132132131()(1)(2)(3)939999DX=−+−+

−,故()2()DaXaDX==608729，选B点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.12.若函数()xfxxeax=−有2个零点，则a的取值范围是（）A.(),1e−−B.()

(),0,1e−−C.()()1,00,1−UD.()()1,01,−+【答案】D【解析】分析：首先研究函数xyxe=的性质，然后结合函数图象考查临界情况即可求得最终结果.详解：令()xgxxe=，

()hxax=，原问题等价于()gx与()hx有两个不同的交点，当0x时，()xgxxe=，()()'10xgxex=+，则函数()gx在区间()0,+上单调递增，当0x时，()xgxxe=−，()()'1xgxex=−+，则函数()gx在区间(),1−−

上单调递增，在区间()1,0−上单调递减，绘制函数图象如图所示，函数()hx表示过坐标原点的直线，考查临界情况，即函数()hx与函数()gx相切的情况，当0x时，()()0'0011age==+=，当0x时，()()0'0011ag

e==−+=−，数形结合可知：a的取值范围是()()1,01,−+.本题选择D选项.-8-点睛：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的切线方程，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：13.已知()22321izi−+−=−

，则复数z在复平面内表示的点在第______象限.【答案】二【解析】【分析】根据复数的代数形式的四则运算法则求出12.5zi=−+，再根据复数的几何意义可得结果.【详解】因为23i22iz−+−=−，所以12.5iz=−+，所以复数z表示的点(1,2.5)−落在第二象限.故

答案为：二【点睛】本题考查了复数的代数形式的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.14.下表是不完整的22列联表，其中3ac=，2bd=，则a=______.1y2y总计1xab552xcd-9

-总计120【答案】15【解析】【分析】根据列联表，列方程组解得即可.【详解】由题意得5512055abcd+=+=−,又3ac=，2bd=，所以255365adad+=+=，解得15a=.故答案为：15【点睛】本题考查了列联表的完善，属于基础题.15.512xx−

的展开式中3x的系数为______.【答案】80−【解析】【分析】根据通项公式中x的指数为3，列方程解得1r=，从而可得展开式中3x的系数.【详解】512xx−展开式的通项为()5521512rrrrrTCx−−+=−(0,1,2,3,4,5)r=，令523

−=r，得1r=，所以展开式中3x的系数为5115(1)2C−−=80−.故答案为：80−【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.-10-16.设函数()()034xfxxx=+，观察()()134xfxfxx==+，()()()211516

xfxffxx==+，()()()326364xfxffxx==+，()()()43255256xfxffxx==+，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当*nN且2n时，()()()1nnfxffx−==______.【答案】(

)414nnxx−+【解析】【分析】对四个分母中x的系数和常数进行归纳，找出规律可得答案.【详解】观察知：四个等式等号右边的分母为34+x，1516x+，6364x+，255256x+，即()414x−+，()22414x−+，()33414x−+，()444

14x−+，所以归纳出()()()1nnfxffx−=的分母为()414nnx−+，故当nN且2n时，()()()()1414nnnnxfxffxx−==−+.故答案为：()414nnxx−+【点睛】本题考查了归纳推理，解题关键是根据前几项的分母找规律，属于基础题.三、解答题：解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()()()15215012151111xaaxaxax+=+−+−++−L.(1)求20loga；(2)证明：15151231532aaaa++++=−L.【答案】(

1)15；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用赋值法：令1x=，即可求出1502a=，进而可求出20loga；(2)利用赋值法：令2x=，即可求出012315aaaaa+++++L的值，再结合1502a=，即可-11-证出.【详解】(1)解：令1x=，得150

2a=，所以20log15a=.(2)证明：令2x=，得150123153aaaaa+++++=L，所以15151231532aaaa++++=−L.【点睛】本题主要考二项式定理的应用，注意分析所给的式子的结构特点，通过对二项式中的x恰当的赋值，即可快速求出展开式的系数和，属于

基础题.18.已知函数()22lnfxxaxb=++在1x=处取得极值1.（1）求a，b的值；（2）求()fx在1,ee−上的最大值和最小值.【答案】（1）1a=−，2b=；（2）最大值为1，最小值为24e−【解析】【分析

】（1）求导后，根据()10f=，()11f=，可得1a=−，2b=，再检验所求值即可；（2）根据当x在1,ee−上变化时，()fx，()fx的变化情况表可得结果.【详解】（1）因为()22lnfxxaxb=++，所以()22fxaxx=+.依题意得()10f=，()11f=，即

2201aab+=+=.解得1a=−，2b=，经检验，1a=−，2b=符合题意.所以1a=−，2b=（2）由（1）可知()22ln2fxxx=−+，所以()()()21122xxfxxxx+−=−=.令()0fx=，得1x=−，1x=.当x在1,ee−

上变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x1e−()1,1e−1()1,ee-12-()fx＋0－()fx2e−−单调递增极大值1单调递减24e−又224ee−−−，所以()fx在1,ee−上的最大值为1，最小值为24e−.【点睛】本题考查了根据函数的极值求参

数，要注意检验所求参数是否符合题意，考查了利用导数求函数的最大、最小值，属于基础题.19.A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：支持不支持合计男性市民60女性市民50合计70

140（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：（i）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关；（ii）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5

位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.20()PKk0.0500.0250.0100.0050.0010k3.8415.0

246.6357.87910.828-13-【答案】（1）见解析；（2）（i）能，（ii）710P=.【解析】【分析】（1）根据2×2列联表性质填即可；（2）求出2K，与临界值比较，即可得出结论；（3）根据排列组合

的性质，随机抽取3人，即可求出至多有1位老师的概率．【详解】（1）支持不支持合计男性市民402060女性市民305080合计7070140（2）（i）因为2K的观测值()()()()()2nadbckabcdacbd−=++++()21404050302011.66710.82

860807070−=，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关.（ii）记5人分别为a，b，c，d，e，其中a，b表示教师，从5人中任意取3人的情况有3510C=种，其中至多有1位教师的

情况有1232337CCC+=种，故所求的概率710P=.【点睛】本题主要考查概率统计的相关知识，独立性检验知识的运用，考查概率的计算，属于中档题20.已知x与y之间的数据如下表：x23456y2.23.85.56.57.0-14-（1）求y关于x

的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：x23456iiyy−并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若20.9R，则认为回归效果良好）.附：121()()()niiiniixxyybxx==−−=−1221niiiniixynxyxnx

==−=−，aybx=−$$，22121()1()niiiniiyyRyy==−=−−，521()0.651iiiyy=−=.【答案】（1）1.230.08yx=+；（2）表格见解析，良好.【解析】【分析】（1）由题

意求出,xy，66211,,iiiiixxy==，代入公式求值，从而得到回归直线方程；（2）根据公式计算并填写残差表；由公式计算相关指数2R，结合题意得出统计结论．【详解】（1）由已知图表可得4x=，5y=，52

190iix==，51112.3iiixy==，则2112.35451.23905ˆ4b−==−，0ˆ.08ˆaybx=−=，故1.2308ˆ.0yx=+.（2）∵ˆˆiiieyy=−，∴1.34ˆ0e=−，2ˆ0.03e=，3ˆ0.58e=，4ˆ

0.27e=，5.46ˆ0b=−，则残差表如下表所示，x23456-15-ˆiiyy−0.34−0.030.50.270.46−∵()()()522212.253.85iiyy=−=−+−()()()2225.

556.557515.78+−+−+−=，∴20.65110.960.915.78R=−，∴该线性回归方程的回归效果良好.【点睛】本题考查了线性回归直线方程与相关系数的应用问题，是中档题．21.越野汽车轮胎的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使

用时间大于或等于6千小时的为优质品.现用A，B两种不同型号的汽车轮胎做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以上述试验结果中各组的频率作为相应的概率.（1）现从大量的A，B两种型号的轮胎中各随机抽取2件产品，求其中

至少有3件是优质品的概率；（2）通过多年统计发现，A型轮胎每件产品的利润y（单位：元）与其使用时间t（单位：千小时）的关系如下表：使用时间t（单位：千小时）5t56t6t每件产品的利润y（单位：元）200−200400-1

6-若从大量的A型轮胎中随机抽取两件，其利润之和记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.【答案】（1）625；（2）分布列见解析，360【解析】【分析】（1）先根据直方图得到抽取一件A和一件B型轮胎为优质品的概率，再根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果；（2

）据题意知，X的可能取值为400−，0，200，400，600，800.根据概率公式求出X的各个取值的概率，再写出分布列，根据数学期望公式求出数学期望即可.【详解】（1）由直方图可知，从A型号轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率()10.40.12PA=

+=，从B型轮胎中随机抽取一件产品为优质品的概率()20.30.15PB=+=，所以从A，B两种型号轮胎中各随机抽取2件产品，其中至少有3件是优质品的概率222221122222222212311212

62552252525PCCCCCC=++=.（2）据题意知，X的可能取值为400−，0，200，400，600，800.所以()22239400

10100PXC=−==，()12313010525PXC===，()1231320010210PXC===，()22211400525PXC===，()12111600525PXC==

=，()2221180024PXC===，那么X的分布列为X400−0200400600800P91003253101251514-17-则数学期望()933111400020040060080036010025

102554EX=−+++++=.【点睛】本题考查了根据直方图求概率，考查了互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式，考查了求离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.22.已知函数()()1lnfxmaxxxa=−++−.(1)当0a=时，若()0fx在()1,+上恒成立，求

m的取值范围；(2)当1ma==时，证明：()()10xfx−.【答案】（1）(,e−（2）见解析【解析】【分析】(1)()0fx在()1,+上恒成立即lnxmx在()1,+上恒成立，构造新函数求最值即可；（2）对x分类讨论()1,x+，()0,1,x转证()fx的最

值与零的关系即可.【详解】解：（1）由()0fx，得lnxmx在()1,+上恒成立.令()lnxgxx=，则()()2ln1lnxgxx−=.当()1,ex时，()0gx；当()e,+x时，()0gx，所以()gx在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递

增.故()gx的最小值为()e=eg.所以em，即m的取值范围为(,e−.（2）因为1ma==，所以()()1ln1fxxxx=−++−，()11ln1lnxfxxxxx+=−−+=−−.令(

)1lnhxxx=−−，则()22111xhxxxx−=−+=.当()1,x+时，()0hx，()hx单调递减；当()0,1x时，()0hx，()hx单调递增.-18-所以()()max110hxh==−，即当()0,x+时，

()0fx，所以()fx在()0,+上单调递减.又因为()10,f=所以当()0,1x时，()0;fx当()1,x+时，()0.fx于是()()10xfx−对()0,x+恒成立.【

点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()hxfxgx=−.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般

思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.-19-